2025屆安徽省滁州市來(lái)安縣第二中學(xué)數(shù)學(xué)高二上期末質(zhì)量跟蹤監(jiān)視模擬試題含解析

2025屆安徽省滁州市來(lái)安縣第二中學(xué)數(shù)學(xué)高二上期末質(zhì)量跟蹤監(jiān)視模擬試題注意事項(xiàng)：1．答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)填寫在答題卡上。2．回答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑，如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其它答案標(biāo)號(hào)。回答非選擇題時(shí)，將答案寫在答題卡上，寫在本試卷上無(wú)效。3．考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．曲線與曲線（）的（）A.長(zhǎng)軸長(zhǎng)相等 B.短軸長(zhǎng)相等C.離心率相等 D.焦距相等2．在四面體中，點(diǎn)G是的重心，設(shè)，，，則（）A. B.C. D.3．下列結(jié)論正確的個(gè)數(shù)為（）①若，則；②若，則；③若，則；④若，則A.4 B.3C.2 D.14．若復(fù)數(shù)的模為2，則的最大值為（）A. B.C. D.5．已知向量是兩兩垂直的單位向量，且，則（）A.5 B.1C.-1 D.76．如圖，奧運(yùn)五環(huán)由5個(gè)奧林匹克環(huán)套接組成，環(huán)從左到右互相套接，上面是藍(lán)、黑、紅環(huán)，下面是黃，綠環(huán)，整個(gè)造形為一個(gè)底部小的規(guī)則梯形．為迎接北京冬奧會(huì)召開，某機(jī)構(gòu)定制一批奧運(yùn)五環(huán)旗，已知該五環(huán)旗的5個(gè)奧林匹克環(huán)的內(nèi)圈半徑為1，外圈半徑為1.2，相鄰圓環(huán)圓心水平距離為2.6，兩排圓環(huán)圓心垂直距離為1.1，則相鄰兩個(gè)相交的圓的圓心之間的距離為（）A. B.2.8C. D.2.97．已知點(diǎn)P是圓上一點(diǎn)，則點(diǎn)P到直線的距離的最大值為（）A.2 B.C. D.8．已知拋物線上的一點(diǎn)，則點(diǎn)M到拋物線焦點(diǎn)F的距離等于（）A.6 B.5C.4 D.29．設(shè)點(diǎn)P是函數(shù)圖象上任意一點(diǎn)，點(diǎn)Q的坐標(biāo)，當(dāng)取得最小值時(shí)圓C：上恰有2個(gè)點(diǎn)到直線的距離為1，則實(shí)數(shù)r的取值范圍為（）A. B.C. D.10．若存在兩個(gè)不相等的正實(shí)數(shù)x，y，使得成立，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是（）A. B.C. D.11．已知雙曲線，則雙曲線的漸近線方程為（）A. B.C. D.12．設(shè)分別是橢圓的左、右焦點(diǎn)，P是C上的點(diǎn)，則的周長(zhǎng)為（）A.13 B.16C.20 D.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．定義在R上的函數(shù)滿足，其中為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)，，則滿足的a的取值范圍是__________.14．已知雙曲線的左、右焦點(diǎn)分別為，，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)M是雙曲線左支上的一點(diǎn)，若，，則雙曲線的離心率是____________15．已知雙曲線：，，是其左右焦點(diǎn).圓：，點(diǎn)為雙曲線右支上的動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)為圓上的動(dòng)點(diǎn)，則的最小值是________.16．已知空間向量，，則向量在向量上的投影向量的坐標(biāo)是__________三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17．（12分）已知函數(shù)，且）的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)和

.（1）求實(shí)數(shù)，的值；（2）若，求數(shù)列前項(xiàng)和

.18．（12分）已知直線l過(guò)點(diǎn)，與兩坐標(biāo)軸的正半軸分別交于A，B兩點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)（1）若的面積為，求直線l的方程；（2）求的面積的最小值19．（12分）數(shù)列的前n項(xiàng)和為，（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）令，求數(shù)列的前n項(xiàng)和20．（12分）已知數(shù)列為等差數(shù)列，，數(shù)列滿足，且（1）求的通項(xiàng)公式；（2）設(shè)，記數(shù)列的前項(xiàng)和為，求證：21．（12分）直線經(jīng)過(guò)兩直線和的交點(diǎn)（1）若直線與直線平行，求直線的方程；（2）若點(diǎn)到直線的距離為，求直線的方程22．（10分）已知橢圓經(jīng)過(guò)點(diǎn)，且離心率為（1）求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）已知點(diǎn)A，B是橢圓C的上，下頂點(diǎn)，點(diǎn)P是直線上的動(dòng)點(diǎn)，直線PA與橢圓C的另一交點(diǎn)為E，直線PB與橢圓C的另一交點(diǎn)為F．證明：直線EF過(guò)定點(diǎn)

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、D【解析】分別求出兩橢圓的長(zhǎng)軸長(zhǎng)、短軸長(zhǎng)、離心率、焦距，即可判斷.【詳解】曲線表示焦點(diǎn)在軸上，長(zhǎng)軸長(zhǎng)為，短軸長(zhǎng)為，離心率為，焦距為；曲線表示焦點(diǎn)在軸上，長(zhǎng)軸長(zhǎng)為，短軸長(zhǎng)為，離心率為，焦距為.對(duì)照選項(xiàng)可知：焦距相等.故選：D.2、B【解析】結(jié)合重心的知識(shí)以及空間向量運(yùn)算求得正確答案.【詳解】設(shè)是中點(diǎn)，.故選：B3、D【解析】根據(jù)常數(shù)函數(shù)的導(dǎo)數(shù)為0，可判斷①；根據(jù)冪函數(shù)的求導(dǎo)公式，可判斷②；根據(jù)指數(shù)函數(shù)以及對(duì)數(shù)函數(shù)的求導(dǎo)公式，可判斷③④.【詳解】由得：，故①錯(cuò)誤；對(duì)于，，故，故②正確；對(duì)于，則，故③錯(cuò)誤；對(duì)于，則，故④錯(cuò)誤，故選：D4、A【解析】由題意得，表示以為圓心，2為半徑的圓，表示過(guò)原點(diǎn)和圓上的點(diǎn)的直線的斜率，由圖可知，當(dāng)直線與圓相切時(shí)，取得最值，然后求出切線的斜率即可【詳解】因?yàn)閺?fù)數(shù)的模為2，所以，所以其表示以為圓心，2為半徑的圓，如圖所示，表示過(guò)原點(diǎn)和圓上的點(diǎn)的直線的斜率，由圖可知，當(dāng)直線與圓相切時(shí)，取得最值，設(shè)切線方程為，則，解得，所以的最大值為，故選：A5、B【解析】根據(jù)單位向量的定義和向量的乘法運(yùn)算計(jì)算即可.【詳解】因?yàn)橄蛄渴莾蓛纱怪钡膯挝幌蛄?，且所?故選：B6、C【解析】根據(jù)題意作出輔助線直接求解即可.【詳解】如圖所示，由題意可知，在中，取的中點(diǎn)，連接，所以，，又因?yàn)?，所以，所以即相鄰兩個(gè)相交的圓的圓心之間的距離為.故選：C7、C【解析】求出圓心到直線的距離，由這個(gè)距離加上半徑即得【詳解】由圓，可得圓心坐標(biāo)，半徑，則圓心C到直線的距離為，所以點(diǎn)P到直線l的距離的最大值為.故選：C8、B【解析】將點(diǎn)代入拋物線方程求出，再由拋物線的焦半徑公式可得答案.詳解】將點(diǎn)代入拋物線方程可得，解得則故選：B9、C【解析】先求出代表的是以為圓心，2為半徑的圓的位于x軸下方部分（包含x軸上的部分），數(shù)形結(jié)合得到取得最小值時(shí)a的值，得到圓心C，利用點(diǎn)到直線距離求出圓心C到直線的距離，數(shù)形結(jié)合求出半徑r的取值范圍.【詳解】，兩邊平方得：，即點(diǎn)P在以為圓心，2為半徑的圓的位于x軸下方部分（包含x軸上的部分），如圖所示：因?yàn)镼的坐標(biāo)為，則在直線，過(guò)點(diǎn)A作⊥l于點(diǎn)，與半圓交于點(diǎn)，此時(shí)長(zhǎng)為的最小值，則，所以直線：，與聯(lián)立得：，所以，解得：，則圓C：，則，圓心到直線的距離為，要想圓C上恰有2個(gè)點(diǎn)到直線的距離為1，則.故選：C10、D【解析】將給定等式變形并構(gòu)造函數(shù)，由函數(shù)的圖象與垂直于y軸的直線有兩個(gè)公共點(diǎn)推理作答.【詳解】因，令，則存在兩個(gè)不相等的正實(shí)數(shù)x，y，使得，即存在垂直于y軸的直線與函數(shù)的圖象有兩個(gè)公共點(diǎn)，，，而，當(dāng)時(shí)，，函數(shù)在上單調(diào)遞增，則垂直于y軸的直線與函數(shù)的圖象最多只有1個(gè)公共點(diǎn)，不符合要求，當(dāng)時(shí)，由得，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，即函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，，令，，令，則，即在上單調(diào)遞增，，即，在上單調(diào)遞增，則有當(dāng)時(shí)，，，而函數(shù)在上單調(diào)遞增，取，則，而，因此，存在垂直于y軸的直線()，與函數(shù)的圖象有兩個(gè)公共點(diǎn)，所以實(shí)數(shù)m的取值范圍是.故選：D【點(diǎn)睛】思路點(diǎn)睛：涉及雙變量的等式或不等式問(wèn)題，把雙變量的等式或不等式轉(zhuǎn)化為一元變量問(wèn)題求解，途徑都是構(gòu)造一元函數(shù).11、A【解析】求出、的值，可得出雙曲線的漸近線方程.【詳解】在雙曲線中，，，因此，該雙曲線的漸近線方程為.故選：A.12、B【解析】利用橢圓的定義及即可得到答案.【詳解】由橢圓的定義，，焦距，所以的周長(zhǎng)為.故選：B二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解析】設(shè)，求出其導(dǎo)數(shù)結(jié)合條件得出在上單調(diào)遞減，將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為求解，由的單調(diào)性可得答案.【詳解】設(shè)，則由，則所以在上單調(diào)遞減.又由，即，即，所以故答案為：14、5【解析】根據(jù)得出，設(shè)，從而利用雙曲線的定義可求出，的關(guān)系，從而可求出答案.【詳解】設(shè)雙曲線的焦距為，則，因?yàn)?，所以，因?yàn)?，不妨設(shè)，，由雙曲線的定義可得，所以，，由勾股定理可得，，所以，所以雙曲線的離心率故答案為：.15、##【解析】利用雙曲線定義，將的最小值問(wèn)題轉(zhuǎn)化為的最小值問(wèn)題，然后結(jié)合圖形可解.【詳解】由題設(shè)知，，，，圓的半徑由點(diǎn)為雙曲線右支上的動(dòng)點(diǎn)知∴∴.故答案為：16、【解析】根據(jù)投影向量概念求解即可.【詳解】因?yàn)榭臻g向量，，所以，，所以向量在向量上投影向量為：，故答案為：.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17、（1），（2）【解析】（1）將A、B點(diǎn)坐標(biāo)代入，計(jì)算求解，即可得答案.（2）由（1）可得解析式，即可得，利用分組求和法，結(jié)合等比數(shù)列的求和公式，即可得答案.【小問(wèn)1詳解】由已知，可得，所以，解得，

.【小問(wèn)2詳解】由（1）得，又，所以，故

.18、（1）或（2）4【解析】（1）設(shè)直線方程為，根據(jù)所過(guò)的點(diǎn)及面積可得關(guān)于的方程組，求出解后可得直線方程，我們也可以設(shè)直線，利用面積求出后可得直線方程.（2）結(jié)合（1）中直線方程的形式利用基本不等式可求面積的最小值.【小問(wèn)1詳解】法一：（1）設(shè)直線，則解得或，所以直線或法二：設(shè)直線，，則，則，∴或﹣8所以直線或【小問(wèn)2詳解】法一：∵，∴，∴，此時(shí)，∴面積的最小值為4，此時(shí)直線法二：∵，∴，此時(shí)，∴面積的最小值為4，此時(shí)直線19、（1）；（2）.【解析】(1)根據(jù)給定條件結(jié)合“當(dāng)時(shí)，”計(jì)算作答.(2)由(1)求出，利用裂項(xiàng)相消法計(jì)算得解.【小問(wèn)1詳解】數(shù)列的前n項(xiàng)和為，，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，滿足上式，則，所以數(shù)列的通項(xiàng)公式是【小問(wèn)2詳解】由(1)知，，所以，所以數(shù)列的前n項(xiàng)和20、（1）；（2）證明見(jiàn)解析.【解析】（1）求出的值，可求得等差數(shù)列的公差，進(jìn)而可求得數(shù)列的通項(xiàng)公式，再由前項(xiàng)和與通項(xiàng)的關(guān)系可求得的表達(dá)式，可求得，然后對(duì)是否滿足在時(shí)的表達(dá)式進(jìn)行檢驗(yàn)，綜合可得出數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）求得，利用裂項(xiàng)求和法可求得的表達(dá)式，利用不等式的性質(zhì)和數(shù)列的單調(diào)性可證得所證不等式成立.【小問(wèn)1詳解】解：因?yàn)?，，所以，因?yàn)?，，所以，設(shè)數(shù)列公差為，則，所以，當(dāng)時(shí)，由，可得，所以，所以，因?yàn)闈M足，所以，對(duì)任意的，【小問(wèn)2詳解】證明：因?yàn)?，所以，因?yàn)?，所以，因?yàn)?，所以，故?shù)列單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，，所以21、（1）（2）或【解析】（1）由題意兩立方程組，求兩直線的交點(diǎn)的坐標(biāo)，利用兩直線平行的性質(zhì)，用待定系數(shù)法求出的方程（2）分類討論直線的斜率，利用點(diǎn)到直線的距離公式，用點(diǎn)斜式求直線的方程【小問(wèn)1詳解】解：由，解得，所以兩直線和的交點(diǎn)為當(dāng)直線與直線平行，設(shè)的方程為，把點(diǎn)代入求得，可得的方程為【小問(wèn)2詳解】解：斜率不存在時(shí)，直線方程為，滿足點(diǎn)到直線的距離為5當(dāng)?shù)男甭蚀嬖跁r(shí)，設(shè)直限的方程為，即，則點(diǎn)到直線的距離為，求得，故的方程為，即綜上，直線的方程為或22、（1）；（2）證明見(jiàn)解析.【解析】（1）根據(jù)題意，列出的方程組，通過(guò)解方程組，即可求出答案.（2）法一：設(shè)，，；當(dāng)時(shí)，根據(jù)點(diǎn)的坐標(biāo)寫出直線PA的方程，與橢圓方程聯(lián)立，可求出點(diǎn)的坐標(biāo)；同理可求出點(diǎn)的坐標(biāo)，然后即可求出直線EF的方程，從而證明直線EF過(guò)定點(diǎn).法二：首先根據(jù)時(shí)直線EF的方程為，可判斷出直線EF過(guò)的定點(diǎn)M必在y軸上，設(shè)為；然后同方法一，求出點(diǎn)，的坐標(biāo)，根據(jù)，即可求出的值.【小問(wèn)1詳解】由題意，知，解得，所以橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為【小問(wèn)2詳解】法