2025屆安徽省宿州市泗縣第一中學(xué)高二數(shù)學(xué)第一學(xué)期期末質(zhì)量跟蹤監(jiān)視模擬試題含解析

2025屆安徽省宿州市泗縣第一中學(xué)高二數(shù)學(xué)第一學(xué)期期末質(zhì)量跟蹤監(jiān)視模擬試題考生須知：1．全卷分選擇題和非選擇題兩部分，全部在答題紙上作答。選擇題必須用2B鉛筆填涂；非選擇題的答案必須用黑色字跡的鋼筆或答字筆寫(xiě)在“答題紙”相應(yīng)位置上。2．請(qǐng)用黑色字跡的鋼筆或答字筆在“答題紙”上先填寫(xiě)姓名和準(zhǔn)考證號(hào)。3．保持卡面清潔，不要折疊，不要弄破、弄皺，在草稿紙、試題卷上答題無(wú)效。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．已知數(shù)列滿(mǎn)足，，在（）A.25 B.30C.32 D.642．f（x），g（x）分別是定義在R上的奇函數(shù)和偶函數(shù)，當(dāng)x＜0時(shí)，f（x）g（x）+f（x）g（x）＜0且f（﹣1）＝0則不等式f（x）g（x）＜0的解集為A.（﹣1，0）∪（1，+∞） B.（﹣1，0）∪（0，1）C.（﹣∞，﹣1）∪（1，+∞） D.（﹣∞，﹣1）∪（0，1）3．已知數(shù)列滿(mǎn)足，，，前項(xiàng)和（）A. B.C. D.4．曲線(xiàn)上的點(diǎn)到直線(xiàn)的距離的最小值是（）A.3 B.C.2 D.5．已知直線(xiàn)的方程為，則該直線(xiàn)的傾斜角為（）A. B.C. D.6．下列曲線(xiàn)中，與雙曲線(xiàn)有相同漸近線(xiàn)是（）A. B.C. D.7．“”是“直線(xiàn)：與直線(xiàn)：平行”的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件8．已知點(diǎn)，則滿(mǎn)足點(diǎn)到直線(xiàn)的距離為，點(diǎn)到直線(xiàn)距離為的直線(xiàn)的條數(shù)有（）A.1 B.2C.3 D.49．等比數(shù)列的各項(xiàng)均為正數(shù)，且，則（）A.5 B.10C.4 D.10．函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間為（）A. B.C. D.11．關(guān)于實(shí)數(shù)a，b，c，下列說(shuō)法正確的是（）A.如果，則，，成等差數(shù)列B.如果，則，，成等比數(shù)列C.如果，則，，成等差數(shù)列D.如果，則，，成等差數(shù)列12．直線(xiàn)與直線(xiàn)平行，則兩直線(xiàn)間的距離為（）A. B.C. D.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．在數(shù)列中，，且，則_______.14．已知空間向量，，，若，，共面，則實(shí)數(shù)___________.15．已知雙曲線(xiàn)的右焦點(diǎn)為，過(guò)點(diǎn)作軸的垂線(xiàn)，在第一象限與雙曲線(xiàn)及其漸近線(xiàn)分別交于，兩點(diǎn).若，則雙曲線(xiàn)的離心率為_(kāi)__________.16．半徑為R的圓外接于，且，若，則面積的最大值為_(kāi)_______.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17．（12分）已知數(shù)列是公比為正數(shù)的等比數(shù)列，且，.（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）若，求數(shù)列的前項(xiàng)和.18．（12分）如圖，已知平面，底面為正方形，，分別為的中點(diǎn)（1）求證：平面；（2）求與平面所成角的正弦值19．（12分）在平面直角坐標(biāo)系中，已知拋物線(xiàn)的焦點(diǎn)與橢圓的右焦點(diǎn)重合（1）求橢圓的離心率；（2）求拋物線(xiàn)的方程；（3）設(shè)是拋物線(xiàn)上一點(diǎn)，且，求點(diǎn)的坐標(biāo)20．（12分）某學(xué)校高一、高二、高三的三個(gè)年級(jí)學(xué)生人數(shù)如下表，按年級(jí)分層抽樣的方法評(píng)選優(yōu)秀學(xué)生50人，其中高三有10人.高三高二高一女生100150z男生300450600（1）求z的值；（2）用分層抽樣的方法在高一學(xué)生中抽取一個(gè)容量為5的樣本，將該樣本看成一個(gè)總體，從中任取2人，求至少有1名女生的概率；（3）用隨機(jī)抽樣的方法從高二女生中抽取8人，經(jīng)檢測(cè)她們的得分如圖所示，把這8人的得分看作一個(gè)總體，從中任取一個(gè)數(shù)，求該數(shù)與樣本平均數(shù)之差的絕對(duì)值不超過(guò)5分的概率.21．（12分）已知數(shù)列滿(mǎn)足，.（1）求證數(shù)列是等差數(shù)列，并求通項(xiàng)公式；（2）已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，求.22．（10分）如圖，在直三棱柱中，平面?zhèn)让?，?（1）求證：；（2）若直線(xiàn)與平面所成的角為，請(qǐng)問(wèn)在線(xiàn)段上是否存在點(diǎn)，使得二面角的大小為，若存在請(qǐng)求出的位置，不存在請(qǐng)說(shuō)明理由.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、A【解析】根據(jù)題中條件，得出數(shù)列公差，進(jìn)而可求出結(jié)果.【詳解】由得，所以數(shù)列是以為公差的等差數(shù)列，又，所以.故選：A.【點(diǎn)睛】本題主要考查等差數(shù)列的基本量運(yùn)算，屬于基礎(chǔ)題型.2、A【解析】構(gòu)造函數(shù)h（x）＝f（x）g（x），由已知得當(dāng)x＜0時(shí)，h（x）＜0，所以函數(shù)y＝h（x）在（﹣∞，0）單調(diào)遞減，又因?yàn)閒（x），g（x）分別是定義在R上的奇函數(shù)和偶函數(shù)，得函數(shù)y＝h（x）為R上的奇函數(shù)，所以函數(shù)y＝h（x）在（0，+∞）單調(diào)遞減，得到f（x）g（x）＜0不等式的解集【詳解】設(shè)h（x）＝f（x）g（x），因?yàn)楫?dāng)x＜0時(shí)，f（x）g（x）+f（x）g（x）＜0，所以當(dāng)x＜0時(shí)，h（x）＜0，所以函數(shù)y＝h（x）在（﹣∞，0）單調(diào)遞減，又因?yàn)閒（x），g（x）分別是定義在R上的奇函數(shù)和偶函數(shù)，所以函數(shù)y＝h（x）為R上的奇函數(shù)，所以函數(shù)y＝h（x）在（0，+∞）單調(diào)遞減，因?yàn)閒（﹣1）＝0，所以函數(shù)y＝h（x）的大致圖象如下：所以等式f（x）g（x）＜0的解集為（﹣1，0）∪（1，+∞）故選A【點(diǎn)睛】本題考查導(dǎo)數(shù)乘法法則、導(dǎo)數(shù)的符號(hào)與函數(shù)單調(diào)性的關(guān)系；奇函數(shù)的單調(diào)性在對(duì)稱(chēng)區(qū)間上一致，屬于中檔題3、C【解析】根據(jù)，利用對(duì)數(shù)運(yùn)算得到，再利用等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式求解.【詳解】解：因?yàn)?，所以，則，所以數(shù)列是以為首項(xiàng)，為公比的等比數(shù)列，所以，故選：C4、D【解析】求出函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，設(shè)切點(diǎn)為，依題意即過(guò)切點(diǎn)的切線(xiàn)恰好與直線(xiàn)平行，此時(shí)切點(diǎn)到直線(xiàn)的距離最小，求出切點(diǎn)坐標(biāo)，再利用點(diǎn)到直線(xiàn)的距離公式計(jì)算可得；【詳解】解：因?yàn)?，所以，設(shè)切點(diǎn)為，則，解得，所以切點(diǎn)為，點(diǎn)到直線(xiàn)的距離，所以曲線(xiàn)上的點(diǎn)到直線(xiàn)的距離的最小值是；故選：D5、C【解析】設(shè)直線(xiàn)的傾斜角為，則，解方程即可.【詳解】由已知，設(shè)直線(xiàn)的傾斜角為，則，又，所以.故選：C6、B【解析】求出已知雙曲線(xiàn)的漸近線(xiàn)方程，逐一驗(yàn)證即可.【詳解】雙曲線(xiàn)的漸近線(xiàn)方程為，而雙曲線(xiàn)的漸近線(xiàn)方程為，雙曲線(xiàn)的漸近線(xiàn)方程為，雙曲線(xiàn)的漸近線(xiàn)方程為，雙曲線(xiàn)的漸近線(xiàn)方程為.故選：B7、C【解析】根據(jù)兩直線(xiàn)平行求得的值，由此確定充分、必要條件.【詳解】由于，所以，當(dāng)時(shí)，兩直線(xiàn)重合，不符合題意，所以.所以“”是“直線(xiàn)：與直線(xiàn)：平行”的充要條件.故選：C8、D【解析】以為圓心，為半徑，為圓心，為半徑分別畫(huà)圓，將所求轉(zhuǎn)化為求圓與圓的公切線(xiàn)條數(shù)，判斷兩圓的位置關(guān)系，從而得公切線(xiàn)條數(shù).【詳解】以為圓心，為半徑，為圓心，為半徑分別畫(huà)圓，如圖所示，由題意，滿(mǎn)足點(diǎn)到直線(xiàn)的距離為，點(diǎn)到直線(xiàn)距離為的直線(xiàn)的條數(shù)即為圓與圓的公切線(xiàn)條數(shù)，因?yàn)?，所以?xún)蓤A外離，所以?xún)蓤A的公切線(xiàn)有4條，即滿(mǎn)足條件的直線(xiàn)有4條.故選：D【點(diǎn)睛】解答本題的關(guān)鍵是將滿(mǎn)足點(diǎn)到直線(xiàn)的距離為，點(diǎn)到直線(xiàn)距離為的直線(xiàn)的條數(shù)轉(zhuǎn)化為圓與圓的公切線(xiàn)條數(shù)，從而根據(jù)圓與圓的位置關(guān)系判斷出公切線(xiàn)條數(shù).9、A【解析】利用等比數(shù)列的性質(zhì)及對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)求解.【詳解】由題有，則=5.故選：A10、D【解析】先求定義域，再求導(dǎo)數(shù)，令解不等式，即可.【詳解】函數(shù)的定義域?yàn)榱?，解得故選：D【點(diǎn)睛】本題考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，屬于中檔題.11、B【解析】根據(jù)給定條件結(jié)合取特值、推理計(jì)算等方法逐一分析各個(gè)選項(xiàng)并判斷即可作答.【詳解】對(duì)于A，若，取，而，即，，不成等差數(shù)列，A不正確；對(duì)于B，若，則，即，，成等比數(shù)列，B正確；對(duì)于C，若，取，而，，，不成等差數(shù)列，C不正確；對(duì)于D，a，b，c是實(shí)數(shù)，若，顯然都可以為負(fù)數(shù)或者0，此時(shí)a，b，c無(wú)對(duì)數(shù)，D不正確.故選：B12、B【解析】先根據(jù)直線(xiàn)平行求得，再根據(jù)公式可求平行線(xiàn)之間的距離.【詳解】由兩直線(xiàn)平行，得，故，當(dāng)時(shí)，，，此時(shí)，故兩直線(xiàn)平行時(shí)又之間的距離為，故選：B.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、##【解析】根據(jù)數(shù)列的遞推公式，發(fā)現(xiàn)規(guī)律，即數(shù)列為周期數(shù)列，然后求出即可【詳解】根據(jù)題意可得：，，，故數(shù)列為周期數(shù)列可得：故答案為：14、1【解析】根據(jù)向量共面，可設(shè)，先求解出的值，則的值可求.【詳解】因?yàn)椋?，共面且，不共線(xiàn)，所以可設(shè)，所以，所以，所以，所以，故答案為：1.15、【解析】按題意求得，兩點(diǎn)坐標(biāo)，以代數(shù)式表達(dá)出條件，即可得到關(guān)于的關(guān)系式，進(jìn)而解得雙曲線(xiàn)的離心率.【詳解】雙曲線(xiàn)的右焦點(diǎn)為,其漸近線(xiàn)為，垂線(xiàn)方程為，則，，，由，得，即即，則，離心率故答案為：16、【解析】利用正弦定理將已知條件轉(zhuǎn)化為邊之間的關(guān)系，然后用余弦定理求得C；利用三角形面積公式，結(jié)合兩角差的正弦函數(shù)公式和二倍角公式得，再利用輔助角公式得，最后利用函數(shù)的值域計(jì)算得結(jié)論.【詳解】因?yàn)樗杂烧叶ɡ淼茫?，即，所以由余弦定理可得：，又，?由正弦定理得：，，所以，所以當(dāng)時(shí)，S最大，.若，則面積的最大值為.故答案為：.【點(diǎn)睛】本題考查了兩角和與差的三角函數(shù)公式，二倍角公式及應(yīng)用，正弦定理，余弦定理，三角形面積公式，函數(shù)的圖象與性質(zhì)，屬于中檔題.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17、（1）；（2）.【解析】（1）根據(jù)題意，通過(guò)解方程求出公比，即可求解；（2）根據(jù)題意，求出，結(jié)合組合法求和，即可求解.小問(wèn)1詳解】根據(jù)題意，設(shè)公比為，且，∵，，∴，解得或（舍），∴.【小問(wèn)2詳解】根據(jù)題意，得，故，因此.18、（1）證明見(jiàn)解析；（2）.【解析】（1）建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法證得平面.（2）利用直線(xiàn)的方向向量，平面的法向量，計(jì)算線(xiàn)面角的正弦值.【詳解】（1）以為原點(diǎn)建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系，則.，，所以,由于，所以平面.（2），，設(shè)平面的法向量為，則，令，則，所以.設(shè)直線(xiàn)與平面所成角為，則.19、（1）；（2）；（3）【解析】（1）由橢圓方程即可求出離心率.（2）求出橢圓的焦點(diǎn)即為拋物線(xiàn)的焦點(diǎn)，即可求出答案.（3）由拋物線(xiàn)定義可求出點(diǎn)的坐標(biāo)【小問(wèn)1詳解】由題意可知，.【小問(wèn)2詳解】橢圓的右焦點(diǎn)為，故拋物線(xiàn)的焦點(diǎn)為.拋物線(xiàn)的方程為.【小問(wèn)3詳解】設(shè)的坐標(biāo)為，，解得，.故的坐標(biāo)為.20、（1）400（2）（3）【解析】（1）根據(jù)分層抽樣的方法，列出關(guān)系式計(jì)算即可；（2）根據(jù)分層抽樣的方法，求出抽取的女生人數(shù)，進(jìn)而列舉出從樣本中抽取2人的所有情況，可根據(jù)古典概型的概率公式計(jì)算即可；（3）求出樣本平均數(shù)，進(jìn)而求出與樣本平均數(shù)之差的絕對(duì)值不超過(guò)5的數(shù)，從而利于古典概型的概率公式計(jì)算即可.【小問(wèn)1詳解】設(shè)該?？?cè)藬?shù)為n人，由題意得，所以，.【小問(wèn)2詳解】設(shè)所抽樣本中有m個(gè)女生，因?yàn)橛梅謱映闃拥姆椒ㄔ诟咭粚W(xué)生中抽取一個(gè)容量為5的樣本，所以，解得.所以抽取了2名女生，3名男生，分別記作，；，，，則從中任取2人的所有基本事件為：，，，，，，，，，，共10個(gè)，其中至少有1名女生的基本事件有，，，，，，，共7個(gè)，所以從中任取2人，至少有1名女生的概率為.【小問(wèn)3詳解】樣本的平均數(shù)為，那么與樣本平均數(shù)之差的絕對(duì)值不超過(guò)5的數(shù)為94，86，92，87，90，93這6個(gè)數(shù)，總的個(gè)數(shù)為8，所以該數(shù)與樣本平均數(shù)之差的絕對(duì)值不超過(guò)5的概率為.21、（1）證明見(jiàn)詳解，（2）【解析】（1）由題意將原式化簡(jiǎn)變形得到，可證明數(shù)列是等差數(shù)列，由等差數(shù)列的通項(xiàng)公式則可得，進(jìn)而得到的通項(xiàng)公式；（2）由（1）把的通項(xiàng)公式代入，得到，利用乘公比錯(cuò)位相減法求和即可.【小問(wèn)1詳解】若，則，這與矛盾，，由已知得，，故數(shù)列是以為首項(xiàng)，2為公差的等差數(shù)列，，即.【小問(wèn)2詳解】設(shè)，則由（1）知，所以，，兩式相減，則，所以.22、（1）證明見(jiàn)解析（2）存在，點(diǎn)E為線(xiàn)段中點(diǎn)【解析】(1)通過(guò)作輔助線(xiàn)結(jié)合面面垂直的性質(zhì)證明側(cè)面，從而證明結(jié)論；（2）建立空間直角坐標(biāo)系，求出相關(guān)點(diǎn)的坐標(biāo),再求相關(guān)的向量坐標(biāo)，求平面的法向量，利用向量的夾角公式求得答案.【小問(wèn)1詳解】證明：連