章電容元件電感

5.1

電容元件5.2

電感元件5.3

耦合電感5.4

理想變壓器本章目次第5

章電容元件和電感元件

本章介紹電容元件、電感元件。它們是重要的儲能元件。其端口電壓、電流關(guān)系不是代數(shù)關(guān)系而是微分或積分關(guān)系，因此又稱為動態(tài)元件。通過本章學習，應掌握電容元件、電感元件、互感元件的特性方程、能量計算及各種等效變換。此外還介紹理想變壓器?；疽螅菏炀氄莆针娙菰丝谔匦苑匠獭⒛芰坑嬎慵按⒙?lián)等效變換。電容構(gòu)成原理圖5.1電容的基本構(gòu)成電容的電路符號d金屬極板面積A一般電容可變電容電解電容電解電容器瓷質(zhì)電容器聚丙烯膜電容器圖5.3a固定電容器實際電容器示例管式空氣可調(diào)電容器片式空氣可調(diào)電容器5.3b可變電容器電容元件是一種動態(tài)元件，其端口電壓、電流關(guān)系為微分（或積分）關(guān)系。當電容器填充線性介質(zhì)時，正極板上存儲的電荷量q與極板間電壓u成正比電容[系數(shù)]，單位：F(法拉)表示。常用單位有μF(微法)及pF(皮法)，分別表示為10-6F及10-12F。圖5.4線性電容電路符號和特性在u、q取關(guān)聯(lián)參考方向且C是正值時，線性電容的電路符號和它的電荷、電壓關(guān)系曲線如圖5.4所示。已知電流i，求電荷q，反映電荷量的積儲過程

極板上電荷量增多或減少，在電容的端線中就有電流產(chǎn)生，如圖5.4(a)所示。（電容元件的VCR方程）

可見線性電容的端口電流并不取決于當前時刻電壓，而與端口電壓的時間變化率成正比，所以電容是一種動態(tài)元件。物理意義：t時刻電容上的電荷量是此刻以前由電流充電（或放電）而積累起來的。所以某一瞬刻的電荷量不能由該瞬間時刻的電流值來確定，而須考慮此刻以前的全部電流的“歷史”，所以電容也屬于記憶元件。對于線性電容有在關(guān)聯(lián)參考方向下，輸入線性電容端口的功率電容存儲的電場能量當u(t)↑

→

儲能↑也即吸收能量→吸收功率當u(t)↓

→儲能↓也即釋放能量→發(fā)出功率

同時電容的輸入功率與能量變化關(guān)系為

電容儲能隨時間的增加率從全過程來看，電容本身不能提供任何能量，正值的電容是無源元件。

綜上所述，電容是一種動態(tài)、記憶、儲能、無源元件。假設(shè)

所以電容是儲能元件。式（5.8)、(5.9)說明電容吸收的總能量全部儲存在電場中，所以電容又是無損元件。反之截止到t

瞬間，從外部輸入電容的能量為[解]電阻消耗的電能為電容最終儲存的電荷為由此可知

[補充5.1]圖示RC串聯(lián)電路，設(shè)uC(0)=0，i(t)=Ie-t/RC。求在0<t<∞時間內(nèi)電阻消耗的電能和電容存儲的電能，并比較二者大小。補充5.1iR_+Cu電容最終儲能為設(shè)在串聯(lián)前電容上無電荷，根據(jù)KVL及電容元件的電壓——電流關(guān)系得圖5.5(a)電容的串聯(lián)在使用電容器時，除了要關(guān)注其電容值外，還要注意它的額定電壓。使用時若電壓超過額定電壓，電容就有可能會因介質(zhì)被擊穿而損壞。為了提高總電容承受的電壓，可將若干電容串聯(lián)起來使用，如圖5.5(a)所示。

串聯(lián)等效電容的倒數(shù)等于各電容的倒數(shù)之和。如圖5.5(b)所示。

由于并聯(lián)電容的總電荷等于各電容的電荷之和，即

所以并聯(lián)等效電容等于各電容之和，等效電路如圖5.6(b)所示

注：如果在并聯(lián)或串聯(lián)前電容上存在電荷，則除了須計算等效電容外還須計算等效電容的初始電壓。為了得到電容值較大電容，可將若干電容并聯(lián)起來使用，如圖5.6(a)所示。

在直流電路中電容相當于開路，據(jù)此求得電容電壓分別為所以兩個電容儲存的電場能量分別為

圖示電路，設(shè)，，電路處于直流工作狀態(tài)。計算兩個電容各自儲存的電場能量。設(shè)0.2F電容流過的電流波形如圖(a)所示，已知。試計算電容電壓的變化規(guī)律并畫出波形。(1)：，電容充電電容電壓計算如下(2)：，電容放電(3)：此時，電容電壓保持不變，電容電壓的變化規(guī)律波形如右圖幾種實際的電感線圈如圖5.9所示。

圖5.9幾種實際電感線圈示例

基本要求：熟練掌握電感元件端口特性方程、能量計算及串并聯(lián)等效變換。盡管實際的電感線圈形狀各異，但其共性都是線圈中通以電流i，在其周圍激發(fā)磁場(magneticfiled)，從而在線圈中形成與電流相交鏈的磁通(flux)Φ

（兩者的方向遵循右手螺旋法則），與線圈交鏈成磁鏈ψ

，如圖5.10所示。

圖5.10電感線圈原理示意圖電感元件的特性用電流與磁鏈關(guān)系來表征，其電路符號如圖5.11所示對應的磁鏈-電流關(guān)系是一條通過平面原點的直線且位于Ⅰ、Ⅲ象限，圖5.11(c)表示其特性

.圖5.11線性電感的符號及其特性電感[系數(shù)](inductance)。單位亨[利](符號H)如果線圈的磁場存在于線性介質(zhì)，稱為線性電感，磁鏈與電流成正比可調(diào)電感固定電感對線性電感，其端口特性方程

即線性電感的端口電壓與端口電流的時間變化率成正比。因為電感上電壓-電流關(guān)系是微分或積分關(guān)系，所以電感也屬動態(tài)元件。根據(jù)電磁感應定律和楞茨定律，當電壓、電流方向如圖下圖所示，并且電流與磁通的參考方向遵循右螺旋法則時，端口電壓u與感應電動勢e關(guān)系如下若已知電壓求磁鏈或電流，則此兩式表明，電感中某一瞬間的磁鏈和電流決定于此瞬間以前的全過程的電壓，因此電感也屬于記憶元件。

線性電感吸收的功率為電感存儲的磁場能量()

截止到t時刻電感吸收的能量為:上式說明電感吸收的總能量全部儲存在磁場中，所以電感又是無損元件。電感的串聯(lián)：電感也可以串聯(lián)或并聯(lián)。仿照電容串、并聯(lián)電路的分析可以得出結(jié)論：電感串聯(lián)時，等效電感等于各電感之和，即

電感也是儲能元件。圖5.12電感的串聯(lián)等效電感的并聯(lián)：電感并聯(lián)時，等效電感的倒數(shù)等于各電感倒數(shù)之和，即

說明：從電路模型上講，電感在串聯(lián)或并聯(lián)之前可以假設(shè)存在一定的磁鏈或電流。這樣，串聯(lián)或并聯(lián)聯(lián)接后，除須計算等效電感外，還須計算等效電感的初始磁鏈或初始電流。

圖5.13電感的并聯(lián)等效根據(jù)電流的變化規(guī)律，分段計算如下電路如圖(a)所示，0.1H電感通以圖(b)所示的電流。求時間電感電壓、吸收功率及儲存能量的變化規(guī)律。圖5.14例題5.3電壓、功率及能量均為零。各時段的電壓、功率及能量的變化規(guī)律如右圖(c)、(d)、(e)所示。小結(jié)：本題可見，電流源的端電壓決定于外電路，即決定于電感。而電感電壓與電流的變化率成正比。因而當時，雖然電流最大，電壓卻為零?；疽螅和笍乩斫馔说母拍?、熟練掌握互感元件端口方程和互感元件的串并聯(lián)等效電路。當幾個線圈之間存在著磁耦合，便形成了多端口電感。本節(jié)只討論二端口電感，習慣上稱為互感[元件]，如圖5.15所示。

圖5.15

兩個線圈的磁耦合

(a)(b)每一線圈的總磁鏈是自感磁鏈和互感磁鏈代數(shù)和。在線性條件下，自感磁鏈和互感磁鏈均正比與激發(fā)它們的電流，設(shè)電流與自感磁鏈的參考方向符合右手螺旋關(guān)系，則式中互感磁鏈前正負號，由自感磁鏈和互感磁鏈的方向而定，一致取“

+”

；否則取“

–

”——自感；

簡寫成——互感；一般實際線圈

自感應磁鏈

互感應磁鏈

圖5.15

兩個線圈的磁耦合

(a)(b)在圖5.16a中，可明顯地判斷自感磁鏈和互感磁鏈的方向是相同或相反。但當將實際線圈抽象成圖5.16(b)所示的電路模型時，就靠電流進、出同名端來判斷互感磁鏈的+（或-）。同名端

使所激發(fā)的自感磁鏈和互感磁鏈方向一致的兩個線圈電流的進端或出端。

換言之，兩個端口電流都流進（或流出）同名端，表示它們所激發(fā)的自感磁鏈和互感磁鏈方向一致，（總磁鏈在原自感磁鏈基礎(chǔ)上增強）。則互感磁鏈前應取正號。當兩個電流的參考方向是從非同名端流入時，它們所激發(fā)的自感磁鏈與互感磁鏈方向相反，則互感磁鏈前應取負號。如圖5.17所示。同名端也可以等價說成：當某線圈電流增加時，流入電流的端子與另一線圈互感電壓為正極性的端子為同名端。根據(jù)這一原理，在實驗中，使某線圈流入遞增電流，通過測試另一線圈互感電壓的極性便可找出同名端。

根據(jù)電磁感應定律，在端口電壓、電流為關(guān)聯(lián)參考方向，并且自感磁通與電流符合右手螺旋關(guān)系時，互感元件的電壓電流方程為若式中u1、i1

或u2、i2的參考方向相反，則L1或L2前應添入負號；若u1、i2

或u2、i1的參考方向相對星標*是相同的，則M前取正號，否則應取負號.分析1）從圖(a)知，端口1的電壓和電流為關(guān)聯(lián)參考方向，自感電壓前為正，2）引起互感電壓的電流參考方向是從所在端口2的非*指向*端，與引起的電流從自端口*端指向非*端方向相反，因此前取負；[補充5.2]列出圖示兩個互感元件的特性方程上述列寫互感方程的方法稱為逐項判斷法。故圖（a）所示的互感元件特性方成為3）端口2的電壓和電流為非關(guān)聯(lián)參考方向,自感電壓前為負，4）引起互感電壓的電流參考方向是從端口1的*指向非*端，相對與端口2來說與的參考方向關(guān)聯(lián)一致，故前取正。基于相似解釋，圖（b）所示互感元件的特性方程。

正如一端口電感那樣，輸入互感的總能量將全部轉(zhuǎn)化為磁場能量互感總功率，在關(guān)聯(lián)參考方向下

定義耦合系數(shù)

用來衡量互感耦合的程度

如果沒有磁耦合，M=0，磁能就是兩個自感元件分別儲能之和。存在磁耦合時，要增減一項Mi1i2，增與減要視互感的作用是使磁場增強還是使磁場減弱而定。

含互感元件電路的連接由此可得串聯(lián)等效電感如圖5.18c所示

圖5.18c注：正串2M前取正,等效電感大于倆自感之和;反串2M前取負，等效電感小于倆自感之和。1互感元件的串聯(lián)電流從同名端流入→正串(或順接)

電流從異名端流入→反串(或反接)圖5.18a圖5.18b2互感元件的并聯(lián)（3）代入（1）得：（3）代（2）得：由此消去互感的等效電路如圖5.19(b)圖5.19(a)互感兩同名端并聯(lián)電路

圖5.19(a)表示兩個同名端相接。為求其等效電路，分別列KCL和KVL方程：圖中各等效電感為

同理，異名端連接時的總等效電感為

對于實際的耦合線圈，無論何種串聯(lián)或何種并聯(lián)，其等效電感均為正值。所以自感和互感滿足如下關(guān)系

耦合系數(shù)滿足

如無需計算電流，根據(jù)電感的串、并聯(lián)等效，圖5.19(b)可進一步等效成一個電感，如圖5.19(c)，

圖5.19(c)等效電感

3互感線圈的T型聯(lián)接圖5.20(b)中各等效電感為

圖5.20互感的T型等效電路如圖5.20(a)所示，圖5.20(b)是不含磁耦合的等效電路由于耦合線圈含有電阻，在較接近實際的電路模型中兩自感都含有串聯(lián)電阻。其等效電感的計算與式(5.36)相同。就是說，即便模型中含有串聯(lián)電阻,也可以通過這種方法來消除互感，得到無互感等效電路。一個實際耦合電感，例如空心變壓器(一種繞在非鐵磁材料上的變壓器)，一般需要考慮繞組電阻，此時可用帶有串聯(lián)等效電阻的互感來表示其電路模型，如圖5.21所示。圖中u1與i2參考方向相對星標*是相反的，u2與i1也是相反的，故M前均應取負號，端口特性方程將是：理想化認為1)鐵心的磁導率2)每個線圈的漏磁通為零,即兩個線圈為全