2023年《雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程》教學(xué)設(shè)計(jì)

高中數(shù)學(xué)精編資源3/3《雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程》教學(xué)設(shè)計(jì)必備知識(shí)學(xué)科能力學(xué)科素養(yǎng)高考考向1.雙曲線及其標(biāo)準(zhǔn)方程學(xué)習(xí)理解能力觀察記憶概括理解說(shuō)明論證應(yīng)用實(shí)踐能力分析計(jì)算推測(cè)解釋簡(jiǎn)單問題解決遷移創(chuàng)新能力綜合問題解決猜想探究發(fā)現(xiàn)創(chuàng)新數(shù)學(xué)抽象直觀想象邏輯推理數(shù)學(xué)運(yùn)算【考查內(nèi)容】1.根據(jù)幾何條件求出雙曲線的方程2.進(jìn)一步掌握雙曲線的方程及其性質(zhì)的應(yīng)用3.運(yùn)用雙曲線的方程與性質(zhì)解決綜合問題【考查題型】填空題、選擇題、解答題為主2.雙曲線的幾何性質(zhì)(1)數(shù)學(xué)抽象直觀想象數(shù)學(xué)運(yùn)算邏輯推理數(shù)學(xué)建模3.雙曲線的幾何性質(zhì)(1)數(shù)學(xué)抽象直觀想象數(shù)學(xué)運(yùn)算邏輯推理數(shù)學(xué)建模一、本節(jié)內(nèi)容分析本節(jié)對(duì)雙曲線的教學(xué),是在學(xué)生對(duì)于橢圓基本知識(shí)和研究方法已經(jīng)熟悉基礎(chǔ)上進(jìn)行的,所以講解時(shí)應(yīng)采用類比的方法讓學(xué)生以自主研究、合作交流等方式得出雙曲線的定義、標(biāo)準(zhǔn)方程,最后反思應(yīng)用.雙曲線的定義與橢圓的定義很相似,但不容易掌握而又非常重要,學(xué)習(xí)時(shí)要注意和橢圓的聯(lián)系與區(qū)別,為深刻體會(huì)圓錐曲線的統(tǒng)一定義作好充分準(zhǔn)備,又可對(duì)學(xué)生進(jìn)行運(yùn)動(dòng)、變化、聯(lián)系、對(duì)立、統(tǒng)一的辯證唯物主義思想教育.本節(jié)包含的核心知識(shí)和體現(xiàn)的核心素養(yǎng)如下:核心知識(shí)1.雙曲線及其標(biāo)準(zhǔn)方程2.雙曲線的幾何性質(zhì)(1)3.雙曲線的幾何性質(zhì)(2)直觀想象數(shù)學(xué)抽象邏輯推理數(shù)學(xué)運(yùn)算數(shù)學(xué)建模核心素養(yǎng)二、學(xué)情整體分析學(xué)生已掌握了一些雙曲線圖形的實(shí)物與實(shí)例,對(duì)曲線和方程的概念有了一些了解,對(duì)用坐標(biāo)法研究幾何問題有了初步的認(rèn)識(shí)通過橢圓的學(xué)習(xí),學(xué)生已經(jīng)對(duì)圓錐曲線有所了解,對(duì)探索圓錐曲線的方法基本掌握.通過類比的方法探究雙曲線及其標(biāo)準(zhǔn)方程,學(xué)生比較熟悉通過探究、操作,歸納得出雙曲線的定義,以及根據(jù)條件列出等式并化簡(jiǎn)整理得到雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程,同時(shí)對(duì)雙曲線幾何性質(zhì)的探究學(xué)生皆可以類比橢圓的學(xué)習(xí)過程來(lái)完成.學(xué)情補(bǔ)充:_____________________________________________________________________________________________________________________________________________________三、教學(xué)活動(dòng)準(zhǔn)備【任務(wù)專題設(shè)計(jì)】1.雙曲線及其標(biāo)準(zhǔn)方程2.雙曲線的幾何性質(zhì)(1)3.雙曲線的幾何性質(zhì)(2)【教學(xué)目標(biāo)設(shè)計(jì)】1.理解雙曲線的定義,掌握雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程及其幾何性質(zhì)2.運(yùn)用雙曲線標(biāo)準(zhǔn)方程解決相關(guān)問題.【教學(xué)策略設(shè)計(jì)】本節(jié)課內(nèi)容為推導(dǎo)雙曲線標(biāo)準(zhǔn)方程、研究雙曲線的性質(zhì),這部分內(nèi)容類似于橢圓的學(xué)習(xí),教學(xué)中可以與其類比講解,讓學(xué)生自己進(jìn)行探究,得到類似的結(jié)論.在教學(xué)中,學(xué)生自己能得到的結(jié)論應(yīng)該讓學(xué)生自己得到,凡是難度不大,經(jīng)過學(xué)習(xí),學(xué)生自己能解決的問題,應(yīng)該讓學(xué)生自己解決,這樣有利于調(diào)動(dòng)學(xué)生學(xué)習(xí)的積極性,同時(shí)也有利于學(xué)生建立信心,使他們的主動(dòng)性得到充分發(fā)揮,從中提高學(xué)生的數(shù)學(xué)思維和解決問題的能力.【教學(xué)方法建議】情境教學(xué)法、問題教學(xué)法,還有__________________________________________【教學(xué)重點(diǎn)難點(diǎn)】重點(diǎn)1.理解和掌握雙曲線的定義、標(biāo)準(zhǔn)方程及其求法.2.掌握雙曲線的幾何性質(zhì).難點(diǎn)1.推導(dǎo)雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程.2.雙曲線方程的簡(jiǎn)單應(yīng)用.【教學(xué)材料準(zhǔn)備】1.常規(guī)材料:直尺、多媒體課件、_________________________________________2.其他材料_____________________________________________________________四、教學(xué)活動(dòng)設(shè)計(jì)(課時(shí)建議:1課時(shí))教學(xué)導(dǎo)入師:上本節(jié)課之前,同學(xué)們先思考一下這樣的問題.【情境設(shè)置】探究雙曲線的定義如圖所示,某中心O接到其正西、正東、正北方向三個(gè)觀測(cè)點(diǎn)A,B,C的報(bào)告:A,C兩個(gè)觀測(cè)點(diǎn)同時(shí)聽到一聲巨響,B觀測(cè)點(diǎn)聽到的時(shí)間比A觀測(cè)點(diǎn)晚4s.已知各觀測(cè)點(diǎn)到該中心的距離都是1020m.假定當(dāng)時(shí)聲音傳播的速度為340m/s,發(fā)出巨響的位置為點(diǎn)P,且A,B,C,O,P均在同一平面內(nèi).你能確定該巨響發(fā)生的,點(diǎn)的位置嗎？【設(shè)計(jì)意圖】通過實(shí)際問題,引導(dǎo)學(xué)生思考,引出雙曲線的定義,發(fā)展學(xué)生數(shù)學(xué)抽象、直觀想象的核心素養(yǎng).【學(xué)生思考,合作交流,回答問題,教師予以肯定】生:其中|PA|=|PC|說(shuō)明P在AC的中垂線上,并且|PB|?|PA|=4×340=1360,也說(shuō)明點(diǎn)P有相應(yīng)的位置,兩個(gè)圖像的交點(diǎn)就是巨響發(fā)生的點(diǎn)P的位置.師:滿足|PB|?|PA|=1360的點(diǎn)P軌跡又是什么呢？那么,這節(jié)課我們要研究的這個(gè)問題,也就是到兩定點(diǎn)距離之差等于常數(shù)的點(diǎn)的軌跡是什么.探究1雙曲線的定義師:我們先看一下雙曲線的定義.【要點(diǎn)知識(shí)】雙曲線的定義一般地,如果F1,F2,是平面內(nèi)的兩個(gè)定點(diǎn),a是一個(gè)正常數(shù),且2a<|F1F2|.則平面上滿足||PF1|?|PF2||=2a的動(dòng)點(diǎn)P的軌跡稱為雙曲線,其中,兩個(gè)定點(diǎn)F1,F2稱為雙曲線的焦點(diǎn),兩個(gè)焦點(diǎn)的距離|F1F2|稱為雙曲線的焦距.雙曲線也可以通過用平面截兩個(gè)特殊的圓錐面得到,因此雙曲線是一種圓錐曲線.【設(shè)情境巧激趣】通過學(xué)生觀察、思考、討論在不同條件下動(dòng)點(diǎn)P的軌跡方程,增加學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣,為研究雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程作準(zhǔn)備.師:雙曲線的定義中,若2a=|F1F2|,則點(diǎn)P的軌跡是什么？2a>|F1F2|呢？生:若2a=|F1F2|,點(diǎn)P的軌跡是以F1,F2為端點(diǎn)的兩條射線;若2a>|F1F2|,點(diǎn)P的軌跡不存在.師:定義中若常數(shù)為0,則點(diǎn)P的軌跡是什么？生:此時(shí)P的軌跡為線段F1F2的垂直平分線.師:你能利用拉鏈等日常生活中的物品作出雙曲線嗎？【引導(dǎo)學(xué)生思考,自主動(dòng)手研究,回答問題,教師予以肯定】生:將拉鏈的一邊截去一部分,將兩端用圖釘固定在兩定點(diǎn)F1,F2處,將筆尖放在拉鎖處,隨著拉鏈沿不同部分拉開,筆尖就會(huì)畫出一條曲線:調(diào)換拉鏈兩端,重復(fù)剛才操作,還會(huì)畫出一條曲線,最終作出的圖形是雙曲線的一部分,其中每一條曲線都稱為雙曲線的一支.【以學(xué)定教】在“做”中學(xué),通過畫雙曲線的實(shí)驗(yàn)操作,經(jīng)歷概念的形成過程,積累感性經(jīng)驗(yàn),同時(shí)培養(yǎng)學(xué)生動(dòng)手操作、觀察分析、歸納概括的能力,引導(dǎo)學(xué)生自主合作探究,變被動(dòng)為主動(dòng).探究2雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程師:怎樣從數(shù)學(xué)上證明滿足雙曲線定義的點(diǎn)一定是存在的？這樣的點(diǎn)有多少個(gè)？你能想到什么辦法來(lái)解決這兩個(gè)問題？生:和橢圓的情形一樣,可以用坐標(biāo)法來(lái)探討并求出雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程.師:回顧一下求曲線方程的基本方法——坐標(biāo)法,以及它的解題步驟.生:(1)建系;(2)設(shè)點(diǎn);(3)列式與代入;(4)化簡(jiǎn)與驗(yàn)證.【師生共同求解雙曲線方程】師:(1)建系:以F1,F2所在直線為x軸,以線段F1F2的垂直平分線為y軸,建立平面直角坐標(biāo)系.(2)設(shè)點(diǎn):設(shè)P(x,y)是雙曲線上任意一點(diǎn),為了使F1,F2的坐標(biāo)簡(jiǎn)單及化簡(jiǎn)過程不那么繁雜,設(shè)|F1F2|=2c(c>0),則F1(?c,0),F2(c,0).(3)列式與代入:||PF1|?|PF2||=2a,因?yàn)?所以【推測(cè)解釋能力】類比橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程進(jìn)行推導(dǎo),運(yùn)用雙曲線定義推導(dǎo)其標(biāo)準(zhǔn)方程.在此過程中注意以下幾點(diǎn):(1)明確求曲線的方程的大致步驟,避免推導(dǎo)過程中思維的盲目性;(2)以雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程的推導(dǎo)為載體,引導(dǎo)學(xué)生掌握推導(dǎo)圓錐曲線的方程的一般思路與方法;(3)以雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程概念為載體,深化學(xué)生對(duì)曲線與方程的關(guān)系的理解.通過推導(dǎo)提升推測(cè)解釋能力.(4)化簡(jiǎn)與驗(yàn)證師:我們?cè)趺椿?jiǎn)兩個(gè)帶根式的式子？對(duì)于本式是直接平方好還是移項(xiàng)后再平方好呢？【通過分析對(duì)比,最后選擇移項(xiàng)平方】生:由①得,整理得且②與①右邊同時(shí)取正號(hào)或負(fù)號(hào),①+②整理得將③式平方,再整理得因?yàn)閏>a>0,所以c2?a2>0,設(shè)c2?a2=b2,且b>0,則④可化為(a>0,b>0).⑤【教師板書化簡(jiǎn)過程,讓學(xué)生進(jìn)一步明確標(biāo)準(zhǔn)方程的由來(lái),體會(huì)化簡(jiǎn)的技巧】師:從上述過程可以看到,雙曲線上任意一點(diǎn)的坐標(biāo)都滿足方程⑤,以方程⑤的解(x,y)為坐標(biāo)的點(diǎn)到雙曲線的兩個(gè)焦點(diǎn)F1(?c,0),F2(c,0)的距離之差的絕對(duì)值為2a,即以方程⑤的解為坐標(biāo)的點(diǎn)都在雙曲線上,由曲線與方程的關(guān)系知,方程⑤是雙曲線的方程,通常稱為焦點(diǎn)在x軸上的雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程.顯然,滿足方程⑤的點(diǎn)的坐標(biāo)有無(wú)窮多組,這無(wú)窮多組解對(duì)應(yīng)的點(diǎn)組成的雙曲線如圖所示.【概括理解能力】通過思考可以讓學(xué)生進(jìn)一步明確a,b,c的由來(lái),加深對(duì)雙曲線定義及標(biāo)準(zhǔn)方程的理解.提升概括理解能力.師:設(shè)雙曲線的焦點(diǎn)為F1,和F2,焦距為2c,而且雙曲線上的動(dòng)點(diǎn)P滿足||PF1|?|PF2||=2a,其中c>a>0.以F1,F2所在直線為y軸,線段F1,F2的垂直平分線為x軸,建立平面直角坐標(biāo)系,如圖所示.此時(shí):(1)雙曲線焦點(diǎn)的坐標(biāo)分別是什么？(2)能否通過得到此雙曲線的方程呢？【學(xué)生獨(dú)立思考,回答問題,教師予以肯定】生:(1)雙曲線的焦點(diǎn)坐標(biāo)分別為F1,(0,?c),F2(0,c).(2)變量x與y互換位置,就可以得到此時(shí)雙曲線的方程為,⑥其中b2=c2?a2.這個(gè)方程通常稱為焦點(diǎn)在y軸上的雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程.師:我們共同總結(jié)一下兩種雙曲線標(biāo)準(zhǔn)方程特征.【同學(xué)們積極思考,獨(dú)立完成,師生共同總結(jié)】【少教精教】通過焦點(diǎn)在x軸上的雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程類比研究焦點(diǎn)在y軸上的雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程,化解難點(diǎn),突出重點(diǎn),強(qiáng)化推理方法.【歸納總結(jié)】雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程焦點(diǎn)所在的坐標(biāo)軸x軸y軸標(biāo)準(zhǔn)方程圖形焦點(diǎn)坐標(biāo)(?c,0),(c,0)(0,?c),(0,c)a,b,c之間的關(guān)系【觀察記憶能力】通過對(duì)兩個(gè)標(biāo)準(zhǔn)方程的總結(jié),加深學(xué)生對(duì)雙曲線標(biāo)準(zhǔn)方程的理解掌握,特別對(duì)焦點(diǎn)位置、三個(gè)參數(shù)的關(guān)系的理解,為求解雙曲線的相關(guān)問題打下基礎(chǔ).提升觀察記憶能力.師:我們根據(jù)雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程總結(jié)一下雙曲線標(biāo)準(zhǔn)方程的特征.【師生共同總結(jié),教師展示多媒體】【歸納總結(jié)】雙曲線標(biāo)準(zhǔn)方程的特征1.雙曲線標(biāo)準(zhǔn)方程的形式:左邊兩個(gè)分式的平方差,右邊是1.2.a>0,b>0不可少,體會(huì)a,b,c的幾何意義.3.雙曲線焦點(diǎn)的位置與標(biāo)準(zhǔn)方程中正項(xiàng)有關(guān).4.雙曲線標(biāo)準(zhǔn)方程中三個(gè)參數(shù)a,b,c的關(guān)系:c2=a2+b2,c最大,a,b的大小不確定.師:我們下面對(duì)雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程與橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程作比較.【同學(xué)們積極思考,獨(dú)立完成,教師及時(shí)肯定并展示多媒體】【歸納總結(jié)】橢圓和雙曲線標(biāo)準(zhǔn)方程比較類型橢圓雙曲線定義a,b,c的關(guān)系焦點(diǎn)在x軸上焦點(diǎn)在y軸上【深度學(xué)習(xí)】通過對(duì)橢圓和雙曲線的對(duì)比總結(jié),加深學(xué)生對(duì)兩種曲線標(biāo)準(zhǔn)方程的理解掌握,特別是定義、焦點(diǎn)位置以及三個(gè)參數(shù)的關(guān)系.師:下面看一道例題.【典型例題】求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程例1分別求適合下列條件的雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程:(1)兩個(gè)焦點(diǎn)的坐標(biāo)分別是(?5,0),(5,0),且雙曲線上的點(diǎn)與兩焦點(diǎn)距離之差的絕對(duì)值等于8;(2)雙曲線的一個(gè)焦點(diǎn)坐標(biāo)是(0,?6),且雙曲線經(jīng)過點(diǎn)A(?5,6).【分析計(jì)算能力】一個(gè)題目有不同的解法,我們可以從中選擇簡(jiǎn)捷、自然的解題思路.本題突出雙曲線定義的應(yīng)用和待定系數(shù)法的解題方法.在解決問題的過程中,提升分析計(jì)算能力.【引導(dǎo)學(xué)生積極思考,獨(dú)立完成,并予以肯定】生解:(1)由已知得c=5,2a=8,所以a=4,b2=c2?a2=9.因?yàn)榻裹c(diǎn)在x軸上,所以所求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為.(2)由已知得雙曲線的焦點(diǎn)在y軸上,且c=6,另一焦點(diǎn)坐標(biāo)是(0,6),因?yàn)锳在雙曲線上,所以A到兩焦點(diǎn)距離之差的絕對(duì)值是.所以.又因?yàn)榻裹c(diǎn)在y軸上,因此所求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程是.師:是否還有其他方法解決例題(2)?生:也可以先設(shè)雙曲線方程,再利用待定系數(shù)法求解.師:回答正確！下面總結(jié)求雙曲線標(biāo)準(zhǔn)方程的一般步驟及方法.【以學(xué)定教】強(qiáng)化求雙曲線方程的方法.通過總結(jié),進(jìn)行對(duì)比,不僅使學(xué)生加深了對(duì)雙曲線定義和標(biāo)準(zhǔn)方程的理解,而且有助于教學(xué)目標(biāo)的實(shí)現(xiàn).【歸納總結(jié)】求雙曲線標(biāo)準(zhǔn)方程的一般步驟及方法.1.“定位”:確定雙曲線的焦點(diǎn)在哪條坐標(biāo)軸上.2.“定量”:確定a2,b2的具體數(shù)值.3.求雙曲線標(biāo)準(zhǔn)方程的常用方法:待定系數(shù)法、定義法.探究3與雙曲線有關(guān)的軌跡方程師:下面我們探究一下與雙曲線有關(guān)的軌跡問題.【典型例題】求動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程例2已知F,(?2,0),F,(2,0),動(dòng),點(diǎn)P滿足|PF1|?|PF2|=2,求動(dòng)點(diǎn)P的軌跡方程.【分析計(jì)算能力】數(shù)學(xué)概念是要在運(yùn)用中得以鞏固,通過課件展示例題使學(xué)生進(jìn)一步理解雙曲線的定義,掌握標(biāo)準(zhǔn)方程,并在解題過程中感受“數(shù)形結(jié)合”思想的優(yōu)越性,同時(shí)提升分析計(jì)算能力.【同學(xué)們積極思考,獨(dú)立完成,教師指定學(xué)生回答,并進(jìn)行方法總結(jié)】生解:因?yàn)?1<2,所以根據(jù)雙曲線的定義可知,P一定在a=1,c=2且焦點(diǎn)在x軸上的雙曲線上,這就是說(shuō),點(diǎn)P的坐標(biāo)(x,y)一定滿足.另一方面,由可知,因此點(diǎn)P的橫坐標(biāo)要大于零,從而可知?jiǎng)狱c(diǎn)P的軌跡方程為.師:下面進(jìn)行總結(jié)求與雙曲線有關(guān)的軌跡方程的方法.【歸納總結(jié)】求與雙曲線有關(guān)的軌跡方程的方法一般來(lái)說(shuō),我們常用直接法、定義法和代入法三種方法解決與雙曲線有關(guān)的軌跡方程問題,例2是應(yīng)用定義法.如果能確定動(dòng)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的軌跡滿足某種已知曲線的定義,則可以利用這種已知曲線的定義直接寫出其方程,這種求軌跡方程的方法稱為定義法.定義法在我們后續(xù)要學(xué)習(xí)的圓錐曲線的問題中被廣泛使用,是一種重要的解題方法.【意義學(xué)習(xí)】通過例題總結(jié)方法,概括提煉,進(jìn)行歸納,突出重點(diǎn),使學(xué)生能夠有效學(xué)習(xí),有意義地學(xué)習(xí).師:對(duì)于本節(jié)開始部分的情境問題來(lái)說(shuō),如果以O(shè)為原點(diǎn),AB,OC所在直線為x軸、y軸建立平面直角坐標(biāo)系,動(dòng)點(diǎn)P既在直線y=?x上,又在以A,B為焦點(diǎn)的雙曲線的左支上,點(diǎn)P是它們的交點(diǎn).請(qǐng)同學(xué)們?cè)囍獯鹨幌?【學(xué)生嘗試解答,教師進(jìn)行個(gè)別指導(dǎo)后展示多媒體】【情境設(shè)置】雙曲線定義的應(yīng)用解:以O(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn),AB,OC所在直線為x軸、y軸建立平面直角坐標(biāo)系,如圖所示.則可知A(?1020,0),B(1020,0),C(0,1020),發(fā)出巨響的位置P在以A,B為焦點(diǎn)的雙曲線上,而且雙曲線中,其方程為,又因?yàn)镻在直線y=?x上,聯(lián)立可解得x=?680,y=680,所以,發(fā)出巨響的點(diǎn)P在中心O的西偏北45°的680m處.【簡(jiǎn)單問題解決能力】通過情境設(shè)置,進(jìn)一步熟練掌握雙曲線標(biāo)準(zhǔn)方程的求解及其定義,同時(shí)解決開篇問題,首尾呼應(yīng),提升學(xué)生數(shù)學(xué)建模、數(shù)形結(jié)合及方程思想,培養(yǎng)簡(jiǎn)單問題解決能力,發(fā)展邏輯推理、直觀想象、數(shù)學(xué)抽象和數(shù)學(xué)運(yùn)算的核心素養(yǎng).師:下面是利用雙曲線解決實(shí)際問題的基本步驟及注意事項(xiàng).【歸納總結(jié)】利用雙曲線解決實(shí)際問題的基本步驟及注意事項(xiàng)1.利用雙曲線解決實(shí)際問題的基本步驟(1)建立適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系.(2)求出雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程.(3)根據(jù)雙曲線的方程及定義解決實(shí)際應(yīng)用問題.2.注意事項(xiàng)(1)解答與雙曲線有關(guān)的應(yīng)用問題時(shí),除要準(zhǔn)確把握題意,了解一些實(shí)際問題的相關(guān)概念,同時(shí)還要注意雙曲線的定義及性質(zhì)的靈活應(yīng)用.(2)實(shí)際應(yīng)用問題要注意其實(shí)際意義以及在該意義下隱藏著的變量范圍.師:好的,同學(xué)們回憶一下,本節(jié)課的重點(diǎn)概念.【學(xué)生回憶,教師補(bǔ)充】【課堂小結(jié)】雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程1.雙曲線的定義,注意絕對(duì)值與雙曲線的兩支的關(guān)系.2.雙曲線有兩種標(biāo)準(zhǔn)方程,關(guān)鍵是焦點(diǎn)位置.3.求軌跡方程.4.求實(shí)際問題的解題步驟.【設(shè)計(jì)意圖】課時(shí)小結(jié),教師引導(dǎo)學(xué)生自主總結(jié)本節(jié)課的重點(diǎn)內(nèi)容,整體學(xué)習(xí),培養(yǎng)學(xué)生對(duì)本節(jié)學(xué)習(xí)內(nèi)容的整體認(rèn)識(shí)和把握.師:非常好！下一節(jié)課我們會(huì)在理解概念的基礎(chǔ)上進(jìn)一步研究雙曲線的幾何性質(zhì),并利用它的性質(zhì)解決一些問題.教學(xué)評(píng)價(jià)雙曲線是三種圓錐曲線中最復(fù)雜的一種,我們是先學(xué)習(xí)橢圓,再學(xué)習(xí)雙曲線,這充分考慮了緊密聯(lián)系知識(shí)體系和由易到難的教學(xué)要求,符合學(xué)生的學(xué)習(xí)規(guī)律,前面有橢圓知識(shí)及學(xué)習(xí)方法的鋪墊,后面有拋物線學(xué)習(xí)的綜合加強(qiáng),有利于學(xué)生掌握和鞏固.應(yīng)用所學(xué)知識(shí),完成下面各題:1.求適合下列條件的雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程.(1)以橢圓長(zhǎng)軸的端點(diǎn)為焦點(diǎn),且經(jīng)過點(diǎn)(3,);(2)a=b,經(jīng)過點(diǎn)(3,?1);(3)過點(diǎn)P(3,?),離心率為;(4)與橢圓有公共焦點(diǎn),且離心率.【設(shè)計(jì)意圖】學(xué)生在掌握雙曲線的定義及標(biāo)準(zhǔn)方程之后,反過來(lái)利用雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程研究其幾何性質(zhì).靈活運(yùn)用雙曲線的定義、方程、性質(zhì)、體會(huì)解析幾何這門學(xué)科的研究方法,培養(yǎng)學(xué)生的解析幾何觀念,提高學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng).解析:本題主要考查用待定系數(shù)法求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程,首先根據(jù)條件判斷雙曲線的焦點(diǎn)的位置然后設(shè)定方程,最后尋找a,b的關(guān)系并求解其中,與雙曲線具有相同漸近線的雙曲線方程可設(shè)為.(1)由題意得,雙曲線的焦點(diǎn)在x軸上,且c=2.設(shè)雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為.則有,將點(diǎn)(3,)代入方程得,解得.故所求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為.(2)當(dāng)焦點(diǎn)在x軸上時(shí),可設(shè)雙曲線的方程為x2?y2=a2,將點(diǎn)(3,?1)代入,得32?(?1)2=a2,所以a2=62=8.故所求的雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為.當(dāng)焦點(diǎn)在y軸上時(shí),可設(shè)雙曲線的方程為,將點(diǎn)(3,?1)代入,得(?1)2?32=a2,a2=?8(舍去),所以焦點(diǎn)不可能在y軸上.綜上,雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為.【分析計(jì)算能力】從基礎(chǔ)入手,通過評(píng)價(jià)練習(xí),使學(xué)生更好地理解雙曲線標(biāo)準(zhǔn)方程的兩種形式,以及各個(gè)量之間的關(guān)系,掌握求雙曲線標(biāo)準(zhǔn)方程的方法.培養(yǎng)分析計(jì)算能力.(3)若雙曲線的焦點(diǎn)在x軸上,設(shè)其方程為,∵e=,∴,即a2=b2.①又雙曲線過P(3,?),∴,②由①②得a2=b2=4,故雙曲線方程為.若雙曲線的焦點(diǎn)在y軸上,設(shè)其方程為,同理有a2=b2,③,④由③④得a2=b2=?4(舍去).綜上,雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為.【簡(jiǎn)單問題解決能力】通過設(shè)計(jì)不同層次的習(xí)題,讓學(xué)生能夠理解并運(yùn)用雙曲線的幾何性質(zhì),解決簡(jiǎn)單的雙曲線問題;也讓學(xué)有余力的學(xué)生有所提高,從而達(dá)到激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)興趣的目的.培養(yǎng)簡(jiǎn)單問題解決能力.(4)由橢圓方程知,,所以橢圓的焦點(diǎn)是F1(?,0),F2(,0).因此雙曲線的焦點(diǎn)為(?,0),(,0).設(shè)雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為,由已知條件,有,解得所以所求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為.2.一塊面積為12公頃的三角形形狀的農(nóng)場(chǎng),如圖所示,在△PEF中,已知tan∠PEF=,tan∠PFE=?2,試建立適當(dāng)直角坐標(biāo)系,求出分別以E,F為左、右焦點(diǎn)且過點(diǎn)P的雙曲線方程.【簡(jiǎn)單問題解決能力】通過雙曲線實(shí)際應(yīng)用的練習(xí),幫助學(xué)生形成基本解題思路,進(jìn)一步體會(huì)數(shù)形結(jié)合的思想方法和利用雙曲線的定義解決實(shí)際問題的基本步驟.發(fā)展學(xué)生簡(jiǎn)單問題的解決能力,提升數(shù)學(xué)運(yùn)算、數(shù)學(xué)抽象和數(shù)學(xué)建模的核心素養(yǎng).解析:本題主要利用特定系數(shù)法求解雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程.以EF所在直線為x軸,EF的垂直平分線為y軸建立平面直角坐標(biāo)系,如圖.設(shè)以E,P為焦點(diǎn)目過點(diǎn)P的雙曲線方程為,焦點(diǎn)為E(?c,0),F(c,0).由tan∠PEF=,tan∠EFP=?2,設(shè)∠PFx=α,則tanα=tan(π?∠EFP)=2,得直線PE和