北師版九年級(jí)數(shù)學(xué) 第四章 圖形的相似（壓軸專練）（十大題型）

第四章圖形的相似（壓軸專練）（十大題型）題型1：相似三角形解答證明題1．在中，，點(diǎn)在線段的延長線上，連接，過點(diǎn)作交線段于點(diǎn)．

(1)如圖1，求的度數(shù)．(2)如圖2，若，求的值．(3)如圖3，在（2）的條件下，連接交線段于點(diǎn)，若，求的長．2．如圖1，在中，于點(diǎn)D，連接，在上截取，使，連接．(1)直接判斷與的位置關(guān)系(2)如圖2，延長，交于點(diǎn)F，過點(diǎn)E作交于點(diǎn)G，試判斷與之間的數(shù)量關(guān)系，并證明；(3)在（2）的條件下，若，，求的長．題型2：相似三角形在特殊平行四邊形中的應(yīng)用3．如圖1，四邊形是正方形，點(diǎn)E在邊的延長線上，點(diǎn)F在邊上，且，連接交于點(diǎn)P，連接交于Q，連接．(1)求證：；(2)連接，如圖2，①若，求的長；②若，則．4．綜合與實(shí)踐已知：矩形，是邊上一點(diǎn)．

【基本圖形】（1）如圖1，，交于點(diǎn)，的延長線與的延長線交于點(diǎn)，連，求證：；【類比探究】（2）如圖2，，過點(diǎn)任意作直線與，的延長線分別交于點(diǎn)，點(diǎn)，連，求證：；【擴(kuò)展延伸】（3）如圖3，是延長線上一點(diǎn)，是延長線上一點(diǎn)，交于點(diǎn)，交于點(diǎn)，延長交于點(diǎn)，若是的中點(diǎn)，且，，求的面積．題型3：翻折問題5．菱形中，，點(diǎn)是邊上的點(diǎn)，點(diǎn)是邊上的點(diǎn)．(1)如圖，若點(diǎn)是的中點(diǎn)，，連接并延長交的延長線于點(diǎn)，連接，①求證：；②判定的形狀，并說明理由；(2)若菱形面積為，將菱形沿翻折，點(diǎn)的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為點(diǎn)．①如圖，當(dāng)點(diǎn)落在邊的延長線上時(shí)，連接，交于，交于點(diǎn)，求的值；②如圖，當(dāng)，垂足為點(diǎn)，交于點(diǎn)，求四邊形的面積．6．如圖1，在矩形中，，，點(diǎn)E在上，連接，把沿直線翻折得到，直線與直線CD交于點(diǎn)G，連接．(1)當(dāng)時(shí)，求的長．小星看到把沿直線翻折得到，就想到翻折圖形的特征特點(diǎn)，對(duì)應(yīng)邊相等，對(duì)應(yīng)角相等，對(duì)應(yīng)點(diǎn)連線被對(duì)稱軸垂直平分，那么他就知道，，，根據(jù)，他延長EG與AD的延長線相交于點(diǎn)H，可證，，再通過勾股定理即可求出的長．請(qǐng)用小星的方法或自己的方法求的長；(2)當(dāng)G是CD的中點(diǎn)時(shí)，求的長；(3)如圖2，已知等邊的邊長為6，點(diǎn)D在邊上，連接，把沿直線AD翻折得到，直線DE與直線交于點(diǎn)F，若，求BD的長．7．（1）發(fā)現(xiàn)：如圖1，正方形中，點(diǎn)E在邊上，將沿對(duì)折得到，延長交BC邊于點(diǎn)G，連接．證明：．（2）探究：如圖2，矩形中，O是對(duì)角線的交點(diǎn)，過O任作一直線分別交于點(diǎn)M、N，四邊形是四邊形沿翻折得到的，連接，若的面積與的面積比為，求的值．（3）拓展：如圖3，在菱形中，，E為邊上的三等分點(diǎn)，，將沿AE翻折得到，直線交于點(diǎn)P，求的長．題型4：旋轉(zhuǎn)問題8．如圖，和是有公共頂點(diǎn)的等腰直角三角形，．(1)如圖1，連接、，的延長線交于，交于點(diǎn)，求證：①；②；(2)如圖2，把繞點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，當(dāng)點(diǎn)落在上時(shí)，連接、，的延長線交于點(diǎn)，若，．①求證：，②的面積是．9．問題背景：如圖（1），在和中，，，求證：；嘗試應(yīng)用：如圖（2），在和中，，，連接，點(diǎn)F是的中點(diǎn)．判定以B，D，F(xiàn)為頂點(diǎn)的三角形的形狀，并證明你的結(jié)論；拓展創(chuàng)新：如圖（3），在中，，，將繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到，連接．若點(diǎn)E是的中點(diǎn)，連接，直接寫出的最大值．10．如圖，在銳角中，，，，將繞點(diǎn)按逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)得到．(1)如圖①，當(dāng)點(diǎn)在線段的延長線上時(shí)，求的度數(shù)；(2)如圖②，連接，，若的面積為2，求的面積；(3)如圖③，點(diǎn)E為線段中點(diǎn)，點(diǎn)P是線段上的動(dòng)點(diǎn)，在繞點(diǎn)B按逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)過程中，點(diǎn)P的對(duì)應(yīng)點(diǎn)是點(diǎn)，求線段長度的最大值與最小值．題型5：最值問題11．如圖，在中，，點(diǎn)D為一點(diǎn)，連接．(1)如圖1，若，，求的長；(2)如圖2，過點(diǎn)A作于點(diǎn)E，交于點(diǎn)M，于點(diǎn)G，交于點(diǎn)N，求證：；(3)如圖3，將沿翻折至處，在上取點(diǎn)F，連接，過點(diǎn)E作交于點(diǎn)G，交于點(diǎn)H，連接，若，，求的最小值．12．如圖1和圖2，平面上，四邊形中，，，，點(diǎn)M在邊上，且．點(diǎn)P從點(diǎn)A沿折線上運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)C，將沿翻折，點(diǎn)A的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為點(diǎn)，設(shè)點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)路徑長為x．(1)如圖1，連接，①求的度數(shù)；②求證：．(2)如圖2，當(dāng)點(diǎn)落到四邊形內(nèi)部時(shí)，求x的取值范圍．(3)①當(dāng)點(diǎn)落在的延長線上時(shí)，請(qǐng)直接寫出x的值．②設(shè)點(diǎn)到邊所在直線的距離為h，請(qǐng)直接寫出h的最小值．13．如圖，在中，，，點(diǎn)D在直線上，點(diǎn)E在直線上，連接，，且，直線交于點(diǎn)F．(1)如圖①，當(dāng)點(diǎn)D在線段上時(shí)，，，求的長；(2)如圖②，當(dāng)D是的中點(diǎn)時(shí)，求證：；(3)如圖③，連接，將沿著翻折，得到，M是上一點(diǎn)，且，當(dāng)最短時(shí)，請(qǐng)直接寫出的值．題型6：比值問題14．如圖1，在中，，點(diǎn)、分別在邊、上，，連接，點(diǎn)、、分別為、、的中點(diǎn)，連接，．(1)圖1中，求證：；(2)當(dāng)繞點(diǎn)旋轉(zhuǎn)到如圖2所示的位置時(shí)，①是否仍然成立？若成立請(qǐng)證明；若不成立，說明理由；②若，和的面積分別是，，的面積為，求的值．15．【特例感知】（1）如圖1，在正方形中，點(diǎn)P在邊的延長線上，連接，過點(diǎn)D作，交的延長線于點(diǎn)M．求證：．【變式求異】（2）如圖2，在中，，點(diǎn)D在邊上，過點(diǎn)D作，交于點(diǎn)Q，點(diǎn)P在邊的延長線上，連接，過點(diǎn)Q作，交射線于點(diǎn)M．已知，，AD=2DB，求的值．【拓展應(yīng)用】（3）如圖3，在中，，點(diǎn)P在邊的延長線上，點(diǎn)Q在邊上（不與點(diǎn)A，C重合），連接，以Q為頂點(diǎn)作，的邊交射線于點(diǎn)M．若，（m，n是常數(shù)），直接寫出的值（用含m，n的代數(shù)式表示）．題型7：“手拉手”模型16．在中，，，點(diǎn)D是邊上一動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)C作交于點(diǎn)E．(1)如圖1，若，求的度數(shù)；(2)如圖2，點(diǎn)F是上一點(diǎn)，連接并延長交的延長線于點(diǎn)G．若點(diǎn)P為的中點(diǎn)，，，求證：；(3)點(diǎn)F是邊上一點(diǎn)，射線與射線交于點(diǎn)G，，點(diǎn)H是上一點(diǎn)，且，連接，，點(diǎn)M是射線上一動(dòng)點(diǎn)，連接，．在點(diǎn)D的運(yùn)動(dòng)過程中，當(dāng)取得最小值m時(shí)，在平面內(nèi)將沿直線翻折得到，連接．在點(diǎn)M的運(yùn)動(dòng)過程中，若的最大值為n，直接寫出的值．17．如圖所示，在中，D、E分別是、上的點(diǎn)，，如圖1，然后將繞A點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)一定角度，得到圖2，然后將、分別延長至M、N，使，，得到圖3，請(qǐng)解答下列問題：(1)若，請(qǐng)?zhí)骄肯铝袛?shù)量關(guān)系：①在圖2中，與的數(shù)量關(guān)系是；②在圖3中，猜想與的數(shù)量關(guān)系、與的數(shù)量關(guān)系，并證明你的猜想；(2)若，按上述操作方法，得到圖4，請(qǐng)繼續(xù)探究：與的數(shù)量關(guān)系、與的數(shù)量關(guān)系，直接寫出你的猜想，不必證明．題型8：定值問題18．如圖1，在中，，，．(1)請(qǐng)計(jì)算的面積；(2)如圖2，將沿著翻折，D點(diǎn)的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為，線段交于點(diǎn)M，請(qǐng)計(jì)算的長度；(3)如圖3，在（2）的條件下，點(diǎn)P為線段上一動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)P作于點(diǎn)N，交的延長線于點(diǎn)G．在點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)的過程中，的長度是否為定值？如果是，請(qǐng)計(jì)算出這個(gè)定值；如果不是，請(qǐng)說明理由．題型9：情景探究題19．[問題情境]（1）王老師給愛好學(xué)習(xí)的小明和小穎提出這樣一個(gè)問題：如圖①，在中，，P為邊上的任一點(diǎn)，過點(diǎn)P作，垂足分別為D，E，過點(diǎn)C作，垂足為F．求證：．小明的證明思路是：如圖①，連接，由與面積之和等于的面積可以證得：．小穎的證明思路是：如圖②，過點(diǎn)P作，垂足為G，可以證得：，則．請(qǐng)你選擇小明、小穎兩種證明思路中的任意一種，寫出詳細(xì)的證明過程．[變式探究]（2）如圖③，當(dāng)點(diǎn)Р在延長線上時(shí)，問題情境中，其余條件不變，則之間的數(shù)量關(guān)系是______．[結(jié)論運(yùn)用]（3）如圖④，將矩形沿折疊，使點(diǎn)D落在點(diǎn)B上，點(diǎn)C落在點(diǎn)處，點(diǎn)P為折痕上的任一點(diǎn)，過點(diǎn)Р作，垂足分別為G，H，若，求的值．[遷移拓展]（4）圖⑤是一個(gè)機(jī)器模型的截面示意圖，在四邊形中，E為邊上的一點(diǎn)，，垂足分別為D，C，且，M、N分別為的中點(diǎn)，連接，請(qǐng)直接寫出與的周長之和___________．題型10：相似三角形在平面直角坐標(biāo)系的應(yīng)用20．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中；一次函數(shù)的圖象與x軸交于點(diǎn)A，與y軸交于點(diǎn)B0,3，與直線OC交于點(diǎn)．(1)求直線的函數(shù)表達(dá)式；(2)過點(diǎn)C作軸于點(diǎn)D，將沿射線平移得到的三角形記為，點(diǎn)A，C，D的對(duì)應(yīng)點(diǎn)分別為，，，若與重疊部分的面積為S，平移的距離，當(dāng)點(diǎn)與點(diǎn)B重合時(shí)停止運(yùn)動(dòng)，當(dāng)時(shí)，求m的值．21．綜合運(yùn)用如圖1，在平面直角坐標(biāo)系中，是等腰直角三角形，，點(diǎn)A的坐標(biāo)為．點(diǎn)C是邊上一點(diǎn)，連接，將線段繞點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°，得到線段，連接，．(1)當(dāng)平分時(shí)，＝________°；(2)若，求的長；(3)如圖2，作點(diǎn)C關(guān)于的對(duì)稱點(diǎn)E，連接，，．設(shè)的面積，，求S關(guān)于m的函數(shù)表達(dá)式．

第四章圖形的相似（壓軸專練）（十大題型）題型1：相似三角形解答證明題1．在中，，點(diǎn)在線段的延長線上，連接，過點(diǎn)作交線段于點(diǎn)．

(1)如圖1，求的度數(shù)．(2)如圖2，若，求的值．(3)如圖3，在（2）的條件下，連接交線段于點(diǎn)，若，求的長．【答案】(1)；(2)；(3)【分析】（1）過點(diǎn)作于點(diǎn)，證，得，即，由得，從而可得；（2）過點(diǎn)作于點(diǎn)，證，得，從而即可得解；（3）過點(diǎn)作于點(diǎn)，作交的延長線于點(diǎn)，在延長線上取一點(diǎn)，使得，由()得，，證，，得，，從而，，設(shè)，則，證，得即，于是有，再利用勾股定理構(gòu)造方程得，解得，從而利用勾股定理即可得解．【解析】（1）解：如圖1，過點(diǎn)作于點(diǎn)，

∵，∴，∴，∴，即，∵，∴，∵，∴，∴；（2）解：如圖2，過點(diǎn)作于點(diǎn)，

∵，，∴，，∴，∴，∴；（3）解：過點(diǎn)作于點(diǎn)，作交的延長線于點(diǎn)，在延長線上取一點(diǎn)，連接，使得，

由()得，，∵，∴，，，，∵，∴，，，∴，，∴，，∴，∴，設(shè)，則，∵，，∴，∴，∴∵，，∴，∴即，∴，∵，∴，∴，解得(舍去)或，∴，∴，∵，∴．【點(diǎn)睛】本題主要考查了勾股定理，等腰三角形的性質(zhì)，相似三角形的判定及性質(zhì)，解一元二次方程以及平行線的性質(zhì)，熟練掌握平行線的性質(zhì)及相似三角形的判定及性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．2．如圖1，在中，于點(diǎn)D，連接，在上截取，使，連接．(1)直接判斷與的位置關(guān)系(2)如圖2，延長，交于點(diǎn)F，過點(diǎn)E作交于點(diǎn)G，試判斷與之間的數(shù)量關(guān)系，并證明；(3)在（2）的條件下，若，，求的長．【答案】(1)(2)，見解析(3)1【分析】（1）證明，由全等三角形的性質(zhì)得出，再根據(jù)余角的性質(zhì)得到，即可判斷；（2）過點(diǎn)B作交于點(diǎn)M，證得為等腰直角三角形，則，證明，由全等三角形的性質(zhì)得出，由直角三角形的性質(zhì)可得出結(jié)論；（3）設(shè)，則，證明，由相似三角形的性質(zhì)得出，則可得出答案．【解析】（1）解：；理由如下：設(shè)與交于O，∵，∴，∵，，∴，∴，∵，∴，即，∴；（2）解：，證明：過點(diǎn)B作交于點(diǎn)M，∵，∴，，，∵，，∴，∵，∴，∴為等腰直角三角形，∴，∴，∵，∴，，，，又，∴，∴，∴，∴，∴，∵，∴；（3）解：∵，為等腰直角三角形，∴，∵，∴，∵，∴，∵，∴，設(shè)，∴，∵，∴，∴，，解得，，經(jīng)檢驗(yàn)符合題意；∴．【點(diǎn)睛】本題是三角形綜合題，考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，平行線的性質(zhì)，相似三角形的判定與性質(zhì)，等腰直角三角形的性質(zhì)等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是正確構(gòu)造全等三角形解決問題．題型2：相似三角形在特殊平行四邊形中的應(yīng)用3．如圖1，四邊形是正方形，點(diǎn)E在邊的延長線上，點(diǎn)F在邊上，且，連接交于點(diǎn)P，連接交于Q，連接．(1)求證：；(2)連接，如圖2，①若，求的長；②若，則．【答案】(1)證明見解析(2)①

②【分析】此題考查了相似三角形的判定和性質(zhì)、全等三角形的判定和性質(zhì)、正方形的性質(zhì)等知識(shí)，熟練掌握相似三角形的判定和全等三角形的判定是解題的關(guān)鍵．（1）過點(diǎn)E作交的延長線于點(diǎn)G，證明，即可得到結(jié)論；（2）①連接，證明,則，得到是等腰直角三角形，由（1）知：點(diǎn)Q是的中點(diǎn)，則，證明，則，得到，設(shè)，根據(jù)勾股定理，得，得到，，Q是的中點(diǎn)，即可得到；②過F作，證明四邊形是矩形，進(jìn)一步得到，設(shè)，則，證明，則，得到，求出，得到，證明，得到，則，即可得到答案．【解析】（1）證明：如圖1，過點(diǎn)E作交的延長線于點(diǎn)G，∴，∵四邊形是正方形，∴，∵，∵，∴，∴，∵，∴，又，∴，∴；（2）①解：如圖2，連接，∵四邊形是正方形，∴∵，∴,∴，∴∴是等腰直角三角形，由（1）知：點(diǎn)Q是的中點(diǎn)，∴，∵，∴，∵，∴，∴，∴，∴，∵，∴，設(shè)，根據(jù)勾股定理，得，∴，∴或（舍去），∴，∵，Q是的中點(diǎn)，∴；②如圖3，過F作，∵∴四邊形是矩形，∴，∵，∴，由（1）知，，∴，設(shè)，∴，∵，∴，∴，∴，∴，∴（負(fù)值舍去），∴，∵，∴，∴，∴，∴，∴，∴，∴．故答案為：4．綜合與實(shí)踐已知：矩形，是邊上一點(diǎn)．

【基本圖形】（1）如圖1，，交于點(diǎn)，的延長線與的延長線交于點(diǎn)，連，求證：；【類比探究】（2）如圖2，，過點(diǎn)任意作直線與，的延長線分別交于點(diǎn)，點(diǎn)，連，求證：；【擴(kuò)展延伸】（3）如圖3，是延長線上一點(diǎn)，是延長線上一點(diǎn)，交于點(diǎn)，交于點(diǎn)，延長交于點(diǎn)，若是的中點(diǎn)，且，，求的面積．【答案】（1）見解析；（2）見解析；（3）12【分析】（1）由四邊形是矩形得，從而得到，，進(jìn)而得到，，由就可得到結(jié)論；（2）延長、交于點(diǎn)，如圖，由三角形相似可證到，再由可得，再由垂直平分線的性質(zhì)可得到，結(jié)合就可得．（3）延長、交于點(diǎn)，如圖，由（2）得，進(jìn)而證到，再由可證到，進(jìn)而得到．根據(jù)就可求出的面積．【解析】解：（1）證明：∵四邊形是矩形，∴．∴，．∴，．∵，∴．（2）證明：延長、交于點(diǎn)，如圖，

∵四邊形是矩形，∴．∴，．∴，．∴．∵，∴．∵四邊形是矩形，∴，即．∴．∴．∵，∴，．∴．（3）延長、交于點(diǎn)，如圖，

同理可得：．∵四邊形是矩形，∴，．∴．∴．∴．∴．∵，，∴．∴．∵，，∴．∴．∴．∴的面積為12．【點(diǎn)睛】本題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)、等腰三角形的判定與性質(zhì)、矩形的性質(zhì)、垂直平分線的性質(zhì)、直角三角形的兩銳角互余等知識(shí)．本題在解決問題的過程中，用已有的經(jīng)驗(yàn)得到角相等，用割補(bǔ)法和整體思想求出三角形的面積，綜合性強(qiáng)，有一定的難度．而由平行線（矩形的性質(zhì)）、角平分線（結(jié)論）聯(lián)想到構(gòu)造等腰三角形是解決第二小題的關(guān)鍵．題型3：翻折問題5．菱形中，，點(diǎn)是邊上的點(diǎn)，點(diǎn)是邊上的點(diǎn)．(1)如圖，若點(diǎn)是的中點(diǎn)，，連接并延長交的延長線于點(diǎn)，連接，①求證：；②判定的形狀，并說明理由；(2)若菱形面積為，將菱形沿翻折，點(diǎn)的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為點(diǎn)．①如圖，當(dāng)點(diǎn)落在邊的延長線上時(shí)，連接，交于，交于點(diǎn)，求的值；②如圖，當(dāng)，垂足為點(diǎn)，交于點(diǎn)，求四邊形的面積．【答案】(1)①證明見解析；②△是等腰三角形，理由見解析；(2)①；②．【分析】（）①利用證明即可；②由全等三角形的性質(zhì)可得，進(jìn)而根據(jù)直角三角形斜邊上的中線長等于斜邊的一半得，即可求解；（）①由對(duì)稱可得，，由菱形的面積可得，進(jìn)而由勾股定理得，得到，，即得，再由，，，可得，，，由可得，即得，設(shè)，則，則，可得，進(jìn)而得，得到，即得，據(jù)此即可求解；②如圖，過點(diǎn)作于，由，可得，由折疊的性質(zhì)得，，，進(jìn)而可得是等腰直角三角形，得到，又由菱形的面積可得，即得，由勾股定理得，再證明，得到，即可得，得到，同理由可得，再根據(jù)即可求解．【解析】（1）①證明：∵為中點(diǎn)，∴，∵四邊形是菱形，∴，∴，又∵，∴；②解：是等腰三角形，理由如下：∵，∴，∵，∴，∴是斜邊上的中線，∴，∴是等腰三角形；（2）解：①∵點(diǎn)與點(diǎn)關(guān)于對(duì)稱，∴，，∵，，∴，在中，根據(jù)勾股定理可得，，∴，，∴，∵四邊形是菱形，∴，，∴，，，∴，，，∵，∴，即，∴，設(shè)，則，則，∵，，∴，∴，∴，∵，∴，∴，即，∴，∴，即的值為；②如圖，過點(diǎn)作于，∵，，∴，由折疊可知，，，，∴是等腰直角三角形，∴，∵，，∴，∴，在中，由勾股定理得，，∵，，∴，∴，即∴，∴，∵，，∴，∴，∴，設(shè)，則，∴，∴，∴，∴，∴．【點(diǎn)睛】本題考查了菱形的性質(zhì)，平行線的性質(zhì)，全等三角形判定和性質(zhì)，直角三角形的性質(zhì)，等腰三角形的判定，軸對(duì)稱的性質(zhì)，勾股定理，相似三角形的判定和性質(zhì)，折疊的性質(zhì)，等腰直角三角形的判定和性質(zhì)，正確作出輔助線是解題的關(guān)鍵．6．如圖1，在矩形中，，，點(diǎn)E在上，連接，把沿直線翻折得到，直線與直線CD交于點(diǎn)G，連接．(1)當(dāng)時(shí)，求的長．小星看到把沿直線翻折得到，就想到翻折圖形的特征特點(diǎn)，對(duì)應(yīng)邊相等，對(duì)應(yīng)角相等，對(duì)應(yīng)點(diǎn)連線被對(duì)稱軸垂直平分，那么他就知道，，，根據(jù)，他延長EG與AD的延長線相交于點(diǎn)H，可證，，再通過勾股定理即可求出的長．請(qǐng)用小星的方法或自己的方法求的長；(2)當(dāng)G是CD的中點(diǎn)時(shí)，求的長；(3)如圖2，已知等邊的邊長為6，點(diǎn)D在邊上，連接，把沿直線AD翻折得到，直線DE與直線交于點(diǎn)F，若，求BD的長．【答案】(1)(2)(3)或或【分析】（1）延長EG與AD的延長線相交于點(diǎn)H，可證，，在中根據(jù)勾股定理即可求出的長．（2）延長EG與AD的延長線相交于點(diǎn)H，設(shè)，則，證明，得，求出，，在中根據(jù)勾股定理，，求出x即可；（3）分兩種情況：當(dāng)點(diǎn)F在線段上時(shí)，當(dāng)點(diǎn)F在延長線上時(shí)，根據(jù)等邊三角形及相似三角形解決問題【解析】（1）解：延長EG與AD的延長線相交于點(diǎn)H，由翻折得，，，∵四邊形是矩形，∴，∴，∵∴∴，∵，，∴，∴，∵，∴，∴在中，，∴解得或（舍去）；（2）延長EG與AD的延長線相交于點(diǎn)H，設(shè)，則∵G是CD的中點(diǎn)，∴，∵四邊形是矩形，∴，∴，∵∴，∴，∴，∵，∴，∴，∴在中，，∴解得或（舍去）即；（3）當(dāng)點(diǎn)F在線段上時(shí)，設(shè)，，則，，∵是等邊三角形，∴，，由翻折得，，∴，∵，∴，∴，∴，解得或；當(dāng)點(diǎn)F在延長線上時(shí)，設(shè)，則，∵是等邊三角形，∴，，由折疊得，，∴，∵，∴，∵，∴∴∴，解得或（舍）．綜上，的長為或或．【點(diǎn)睛】此題考查了矩形的性質(zhì)，等邊三角形的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)，勾股定理等知識(shí)，是綜合性較強(qiáng)的一題，綜合掌握各種圖形的性質(zhì)，正確引出輔助線分類討論是解題的關(guān)鍵．7．（1）發(fā)現(xiàn)：如圖1，正方形中，點(diǎn)E在邊上，將沿對(duì)折得到，延長交BC邊于點(diǎn)G，連接．證明：．（2）探究：如圖2，矩形中，O是對(duì)角線的交點(diǎn)，過O任作一直線分別交于點(diǎn)M、N，四邊形是四邊形沿翻折得到的，連接，若的面積與的面積比為，求的值．（3）拓展：如圖3，在菱形中，，E為邊上的三等分點(diǎn)，，將沿AE翻折得到，直線交于點(diǎn)P，求的長．【答案】（1）見解析；（2）；（3）或【分析】（1）由折疊性質(zhì)得，再證明即可；（2）連接，過N作于G，依題意得四邊形是矩形；首先證明四邊形是平行四邊形，從而得；設(shè)，由面積關(guān)系得，從而由勾股定理得；依題意得四邊形是矩形，則有，在直角三角形中由勾股定理求得，即可求得結(jié)果；（3）分兩種情況考慮：①時(shí)；②時(shí)，分別利用勾股定理建立方程求解．【解析】（1）證明：正方形中，；由折疊性質(zhì)得，；，；，，；；（2）如圖，連接，過N作于G，則，在矩形中，，，；則四邊形是矩形，；，，，，故四邊形是平行四邊形，，；由折疊知，，設(shè)，由于的面積與的面積比為，即，；，，；由勾股定理得，，在中，由勾股定理求得，；（3）由于四邊形是菱形，則；①如圖，當(dāng)時(shí)；延長交于點(diǎn)Q，過點(diǎn)Q作于點(diǎn)H，過點(diǎn)E作于M，于N，過點(diǎn)A作于R；設(shè)，則；，，，則；由折疊知：，，平分，；，，上兩式相比并化簡得：，即，故有：；，，，；在中，由勾股定理得：，即，解得：（舍去），；②當(dāng)時(shí)，如圖，延長交延長線于點(diǎn)，過點(diǎn)作于，則；設(shè)，則；，，，；由折疊性質(zhì)得：，；與前一情況同理，得：，即，；，，；在中，由勾股定理得：，即，解得：或（舍去），；綜上，的長為或．【點(diǎn)睛】本題是相似三角形與四邊形的綜合，考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，相似三角形的判定與性質(zhì)，折疊的性質(zhì)，勾股定理，含30度直角三角形的性質(zhì)，正方形的性質(zhì)，矩形及菱形的性質(zhì)，平行四邊形的性質(zhì)等知識(shí)，涉及分類討論思想，綜合性強(qiáng)，難度大，正確作出輔助線，熟練掌握折疊的性質(zhì)、相似三角形的判定與性質(zhì)是關(guān)鍵．題型4：旋轉(zhuǎn)問題8．如圖，和是有公共頂點(diǎn)的等腰直角三角形，．(1)如圖1，連接、，的延長線交于，交于點(diǎn)，求證：①；②；(2)如圖2，把繞點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，當(dāng)點(diǎn)落在上時(shí)，連接、，的延長線交于點(diǎn)，若，．①求證：，②的面積是．【答案】(1)①見解析；②見解析(2)①見解析；②【分析】（1）①利用定理證明；②根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到，根據(jù)三角形內(nèi)角和定理、垂直的定義證明結(jié)論；（2）①證明，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到，利用相似三角形的判定定理證明即可；②根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)求出，根據(jù)勾股定理求出，證明，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)分別求出、，根據(jù)三角形的面積公式計(jì)算，得到答案．【解析】（1）證明：①，，即，在和中，，；②，，，，即；（2）①證明：在和中，，，，，；②解：在中，，，，∴，在中，，，，，∴，在中，，由勾股定理得：，由（1）②可知，，，，，，即，解得：，，，．【點(diǎn)睛】本題考查的是相似三角形的判定和性質(zhì)、等腰直角三角形的性質(zhì)、全等三角形的判定和性質(zhì)，勾股定理以及三角形的面積計(jì)算，靈活運(yùn)用相似三角形的判定定理是解題的關(guān)鍵．9．問題背景：如圖（1），在和中，，，求證：；嘗試應(yīng)用：如圖（2），在和中，，，連接，點(diǎn)F是的中點(diǎn)．判定以B，D，F(xiàn)為頂點(diǎn)的三角形的形狀，并證明你的結(jié)論；拓展創(chuàng)新：如圖（3），在中，，，將繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到，連接．若點(diǎn)E是的中點(diǎn)，連接，直接寫出的最大值．【答案】問題背景：見解析；嘗試應(yīng)用：等邊三角形，理由見解析；拓展創(chuàng)新：6【分析】問題背景：由得，利用即可證明全等；嘗試應(yīng)用：取中點(diǎn)P，連接，則是等邊三角形，得；由三角形中位線定理得，，則，從而可得，從而可證明，則可得，，問題即可證明；拓展創(chuàng)新：過C作，垂足為C，且，連接，可得，從而；.取的中點(diǎn)G，連接，則，由可得，即的最大值為6．【解析】問題背景：證明：，，即，，；嘗試應(yīng)用：解：等邊三角形；證明如下：取中點(diǎn)P，連接，如圖，，，，，，是等邊三角形，；，；為的中點(diǎn)，中點(diǎn)為P，，，，，，，，，是等邊三角形；拓展創(chuàng)新：解：如圖，過C作，垂足為C，且，連接，則；由旋轉(zhuǎn)知，，；，；，，，；取的中點(diǎn)G，連接，則；點(diǎn)是的中點(diǎn)，，由勾股定理得：，，即，的最大值為6．【點(diǎn)睛】本題是三角形的綜合，考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，相似三角形的判定與性質(zhì)，等邊三角形判定，等腰三角形的性質(zhì)，勾股定理，三角形中位線定理等知識(shí)，構(gòu)造輔助線證明三角形全等與相似是本題的關(guān)鍵．10．如圖，在銳角中，，，，將繞點(diǎn)按逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)得到．(1)如圖①，當(dāng)點(diǎn)在線段的延長線上時(shí)，求的度數(shù)；(2)如圖②，連接，，若的面積為2，求的面積；(3)如圖③，點(diǎn)E為線段中點(diǎn)，點(diǎn)P是線段上的動(dòng)點(diǎn)，在繞點(diǎn)B按逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)過程中，點(diǎn)P的對(duì)應(yīng)點(diǎn)是點(diǎn)，求線段長度的最大值與最小值．【答案】(1)(2)(3)線段長度的最大值為與最小值為．【分析】（1）由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得：，，又由等腰三角形的性質(zhì)，即可求得的度數(shù)；（2）由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得：，易證得，利用相似三角形的性質(zhì)可得答案；（3）由①當(dāng)P在上運(yùn)動(dòng)至垂足點(diǎn)D，繞點(diǎn)B旋轉(zhuǎn)，使點(diǎn)P的對(duì)應(yīng)點(diǎn)在線段上時(shí)，最?。虎诋?dāng)P在上運(yùn)動(dòng)至點(diǎn)C，繞點(diǎn)B旋轉(zhuǎn)，使點(diǎn)P的對(duì)應(yīng)點(diǎn)在線段的延長線上時(shí)，最大，即可求得線段長度的最大值與最小值．【解析】（1）解：由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得：，，∴，∴．（2）解：由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得：，∴，，，∴，，∴，∴，而，，∴，∵的面積為2，∴．（3）解：過點(diǎn)B作，D為垂足，∵為銳角三角形，∴點(diǎn)D在線段上，在中，，，∴，∴，∴，∵，∴，解得：或（舍去），∵點(diǎn)E為線段中點(diǎn)，∴；①如圖1，當(dāng)P在上運(yùn)動(dòng)至垂足點(diǎn)D，繞點(diǎn)B旋轉(zhuǎn)，使點(diǎn)P的對(duì)應(yīng)點(diǎn)在線段上時(shí)，，此時(shí)最小，且最小值為：；②如圖，當(dāng)P在上運(yùn)動(dòng)至點(diǎn)C，繞點(diǎn)B旋轉(zhuǎn)，使點(diǎn)P的對(duì)應(yīng)點(diǎn)在線段的延長線上時(shí)，最大，且最大值為：．綜上分析可知，線段長度的最大值為與最小值為．【點(diǎn)睛】本題主要考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)、相似三角形的判定與性質(zhì)，勾股定理．此題難度較大，注意數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用，注意旋轉(zhuǎn)前后的對(duì)應(yīng)關(guān)系．題型5：最值問題11．如圖，在中，，點(diǎn)D為一點(diǎn)，連接．(1)如圖1，若，，求的長；(2)如圖2，過點(diǎn)A作于點(diǎn)E，交于點(diǎn)M，于點(diǎn)G，交于點(diǎn)N，求證：；(3)如圖3，將沿翻折至處，在上取點(diǎn)F，連接，過點(diǎn)E作交于點(diǎn)G，交于點(diǎn)H，連接，若，，求的最小值．【答案】(1)(2)見解析(3)【分析】（1）過點(diǎn)D作于點(diǎn)K，則，可得是等腰直角三角形，從而得到，再由，可得，從而得到，進(jìn)而得到，即可求解；（2）證明，可得，作交于點(diǎn)Q，再證明，可得，即可求證；（3）取中點(diǎn)M，連接，連接交于點(diǎn)N，作于點(diǎn)P，設(shè)交于點(diǎn)Q．證明，可得，設(shè)，則，設(shè)，則，根據(jù)，∴，可得，再由勾股定理可得，然后根據(jù)點(diǎn)M為的中點(diǎn)，，可得，從而得到，進(jìn)而得到，即可求解．【解析】（1）解：如圖，過點(diǎn)D作于點(diǎn)K，則，∵，∴，，∴是等腰直角三角形，∴，∵，∴，

∵，∴，∴，∴，∴，∴，∴；（2）證明：∵，，∴，∵，∴，∴，∴，∴，∴，∴，作交于點(diǎn)Q，∴，∴，∴，∴，∴，∴，∴；（3）解：如圖，取中點(diǎn)M，連接，連接交于點(diǎn)N，作于點(diǎn)P，設(shè)交于點(diǎn)Q．由軸對(duì)稱的性質(zhì)得：，垂直平分，∴，∴，∵，∴，∴，∴，∴，∵，∴，即，∴，∴，設(shè)，則，設(shè)，則，同理，∴，∴，即，解得：或（舍去），∴，∴，∴，∵點(diǎn)M為的中點(diǎn)，，∴，∴，∴，∵，∴，當(dāng)且僅當(dāng)點(diǎn)A，H，M三點(diǎn)共線時(shí)，取得最小值，最小值為．【點(diǎn)睛】本題為幾何綜合題，主要考查了等腰直角三角形的性質(zhì)、全等三角形判定與性質(zhì)、勾股定理、相似三角形的判定性質(zhì)、幾何變換、解直角三角形等重要知識(shí)點(diǎn)．熟練掌握常用幾何定理和模型是解決問題的關(guān)鍵．12．如圖1和圖2，平面上，四邊形中，，，，點(diǎn)M在邊上，且．點(diǎn)P從點(diǎn)A沿折線上運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)C，將沿翻折，點(diǎn)A的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為點(diǎn)，設(shè)點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)路徑長為x．(1)如圖1，連接，①求的度數(shù)；②求證：．(2)如圖2，當(dāng)點(diǎn)落到四邊形內(nèi)部時(shí)，求x的取值范圍．(3)①當(dāng)點(diǎn)落在的延長線上時(shí)，請(qǐng)直接寫出x的值．②設(shè)點(diǎn)到邊所在直線的距離為h，請(qǐng)直接寫出h的最小值．【答案】(1)①∠CBD=90°；②見解析(2)0<x<4(3)①x=13；②?【分析】（1）①由勾股定理求出BD=10，再由勾股定理逆定理得BC2+B②由題意易得BDBC=ABAD，從而得（2）過P作PH⊥CD．易得四邊形ADHP是矩形，則PH=AD=6，DH=AP；由DM=2得AM=4，由折疊性質(zhì)得A'M=AM=4，A'P=AP；在Rt△A'DM中由勾股定理求得A'（3）①當(dāng)點(diǎn)A'落在AD的延長線上時(shí)，則PM⊥A'A，過B作BG⊥CD于G，交PM于H．由CG∥PH，得BPBC②分當(dāng)P在AB上與當(dāng)P在BC上兩種情況考慮，利用相似三角形的判定與性質(zhì)即可求解．【解析】（1）解：①∵∠A=90°，∴BD=A∵BC∴BC∴∠CBD=90°．②證明：∵BD∴BD又∠CBD=∠A=90°，∴△ABD∽△BDC，∴∠DBA=∠CDB，∴AB∥CD．（2）解：當(dāng)A'落在CD上時(shí)，過P作PH⊥CD．則PH∥∵AB∥∴四邊形ADHP是矩形，∴PH=AD=6，DH=AP．∵DM=2，∴AM=4，由翻折得A'M=AM=4，∵AB∥∴∠CDA=90°，∴A∴A∵PH∴6∴AP=43故點(diǎn)A'落到四邊形ABCD內(nèi)部時(shí)，0<x<43（3）①解：當(dāng)點(diǎn)A'落在AD的延長線上時(shí)，則PM⊥過B作BG⊥CD于G，交PM于H．則四邊形ABHM是矩形，四邊形ABGD為矩形，∴BH=AM=4，BG=AD=6，∵CG∥PH，∴BP即BP=2∴AB+BP=8+5=13，∴x=13．②當(dāng)P在AB上時(shí)，過M作MH⊥CB于H，過M作MG⊥BD于G．由垂線段最短，知M、A'、H共線時(shí)，A則四邊形BHMG是矩形，∴HM=BG；∵∠MGD=∠A=90°，∴△DGM∽△DAB，∴DM∴2∴DG=6∴HM=BG=BD?DG=10?6∴A當(dāng)P在CB上時(shí)，由于點(diǎn)A'到點(diǎn)B故A'離BD故P與B重合時(shí)，PH最短，則A'過M作MQ⊥HA'，交HA'延長線于Q，交BD于G，過則得四邊形A'HBR、∴HA'=BR∵∠HA∴∠HBA∵∠A∴△A∴A設(shè)BH=m，∴A由上一問知DG=6∴HA∵BH∴m∴125m∴m∴BH最小5625A'∵192∴?【點(diǎn)睛】本題是一道幾何綜合題，考查了折疊的性質(zhì)，相似三角形的判定與性質(zhì)，矩形的判定與性質(zhì)，勾股定理及其逆定理，解一元二次方程等知識(shí)點(diǎn)，涉及的知識(shí)較多，綜合性較強(qiáng)，注意分類討論．13．如圖，在中，，，點(diǎn)D在直線上，點(diǎn)E在直線上，連接，，且，直線交于點(diǎn)F．(1)如圖①，當(dāng)點(diǎn)D在線段上時(shí)，，，求的長；(2)如圖②，當(dāng)D是的中點(diǎn)時(shí)，求證：；(3)如圖③，連接，將沿著翻折，得到，M是上一點(diǎn)，且，當(dāng)最短時(shí)，請(qǐng)直接寫出的值．【答案】(1)(2)見解析(3)【分析】（1）根據(jù)等邊對(duì)等角可得，，繼而可得，則，根據(jù)即可得證；（2）過點(diǎn)D作于點(diǎn)N，作于點(diǎn)M，證明，得到，進(jìn)而得證；（3）根據(jù)對(duì)稱的性質(zhì)和已知可得出，當(dāng)最短時(shí)，點(diǎn)，，三點(diǎn)共線，過點(diǎn)D作于點(diǎn)Q，過點(diǎn)D，M作的垂線，垂足為P，N，則，，根據(jù)平行線成比例，可得，設(shè)，則，在中，，證明，繼而得到，設(shè)，則，，由（1）可得，設(shè)，在中，，可推出，，證明，表示出，再根據(jù)勾股定理求出，代入化簡即可．【解析】（1）解：如圖①，過點(diǎn)D作于點(diǎn)G，，，，，，，，，，在中，，，，在中，，．（2）證明：如圖②，過點(diǎn)D作于點(diǎn)N，作于點(diǎn)M．由（1）知，，，，，，，，．（3）解：．依題意，將沿著翻折，得到，，點(diǎn)在以C為圓心、的長為半徑的圓上運(yùn)動(dòng)，∴點(diǎn)M是上一點(diǎn)，當(dāng)最短時(shí)，點(diǎn)，，三點(diǎn)共線，此時(shí)如圖③所示，過點(diǎn)D作于點(diǎn)Q，過點(diǎn)D，M作的垂線，垂足為P，N，則，，是等腰直角三角形，，，，，，設(shè)，則，在中，，，，，，設(shè)，則，，由（1）可得，設(shè)，在中，，，即，在中，，則，又，，，，，，在中，，，．【點(diǎn)睛】本題是折疊變換綜合題，考查了折疊的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，等腰直角三角形的判定和性質(zhì)，矩形的判定和性質(zhì)，等腰三角形的判定和性質(zhì)，相似三角形的性質(zhì)與判定，平行線分線段成比例定理，勾股定理等知識(shí)點(diǎn)，本題難度大，通過作適當(dāng)?shù)妮o助線并綜合運(yùn)用以上知識(shí)是解題的關(guān)鍵．題型6：比值問題14．如圖1，在中，，點(diǎn)、分別在邊、上，，連接，點(diǎn)、、分別為、、的中點(diǎn)，連接，．(1)圖1中，求證：；(2)當(dāng)繞點(diǎn)旋轉(zhuǎn)到如圖2所示的位置時(shí)，①是否仍然成立？若成立請(qǐng)證明；若不成立，說明理由；②若，和的面積分別是，，的面積為，求的值．【答案】(1)(2)①仍然成立，見解析；②【分析】（1）利用等腰三角形的性質(zhì)以及三角形的中位線定理解決問題即可．（2）①證明，推出，再利用三角形的中位線定理即可解決問題．②由，推出，推出，求出，，的面積即可解決問題．【解析】（1）解：如圖1，在中，，點(diǎn)、分別在邊、上，，，即，點(diǎn)、、分別為、、的中點(diǎn)，，，，（2）解：①仍然成立，如圖2，連接，，由題意知，，，，，點(diǎn)、、分別為、、的中點(diǎn)，，分別是和的中位線，，，；②如圖2中，，，，，，，，，，，，同法可得，，，，，．故答案為：．【點(diǎn)睛】本題屬于幾何變換綜合題，考查了三角形的中位線定理，等腰直角三角形的判定和性質(zhì)，全等三角形的判斷和性質(zhì)，三角形的面積等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是正確尋找全等三角形解決問題，屬于中考?jí)狠S題．15．【特例感知】（1）如圖1，在正方形中，點(diǎn)P在邊的延長線上，連接，過點(diǎn)D作，交的延長線于點(diǎn)M．求證：．【變式求異】（2）如圖2，在中，，點(diǎn)D在邊上，過點(diǎn)D作，交于點(diǎn)Q，點(diǎn)P在邊的延長線上，連接，過點(diǎn)Q作，交射線于點(diǎn)M．已知，，AD=2DB，求的值．【拓展應(yīng)用】（3）如圖3，在中，，點(diǎn)P在邊的延長線上，點(diǎn)Q在邊上（不與點(diǎn)A，C重合），連接，以Q為頂點(diǎn)作，的邊交射線于點(diǎn)M．若，（m，n是常數(shù)），直接寫出的值（用含m，n的代數(shù)式表示）．【答案】（1）證明見解析；（2）；（3）【分析】（1）根據(jù)證明即可；（2）證明，得出，根據(jù)勾股定理，根據(jù)，得出，求出，得出，求出；（3）先求解，作于點(diǎn)N，證明，得出．證明，得出，求出．【解析】證明：（1）在正方形中，，，∴，∵，∴，∴，∴．∴；（2）如圖2，作于點(diǎn)N，如圖所示：

∵，，∴四邊形是矩形，∴，，∵，∴，∴，∵，∴，∴，∵，，，∴，∵AD=2DB，∴，∵，∴，∴，∴，∴，∴；（3）∵，，∴，∴．∵，∴，如圖3，作于點(diǎn)N，

∵，∴，∴．∵，∴，∴，∵，∴，∴．∵，，∴，∴，∴∴．【點(diǎn)睛】本題主要考查了三角形全等和三角形相似的判定和性質(zhì)，勾股定理，矩形的判定和性質(zhì)，正方形的性質(zhì)，平行線的判定和性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是作出輔助線，熟練掌握三角形相似的判定方法．題型7：“手拉手”模型16．在中，，，點(diǎn)D是邊上一動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)C作交于點(diǎn)E．(1)如圖1，若，求的度數(shù)；(2)如圖2，點(diǎn)F是上一點(diǎn)，連接并延長交的延長線于點(diǎn)G．若點(diǎn)P為的中點(diǎn)，，，求證：；(3)點(diǎn)F是邊上一點(diǎn)，射線與射線交于點(diǎn)G，，點(diǎn)H是上一點(diǎn)，且，連接，，點(diǎn)M是射線上一動(dòng)點(diǎn)，連接，．在點(diǎn)D的運(yùn)動(dòng)過程中，當(dāng)取得最小值m時(shí)，在平面內(nèi)將沿直線翻折得到，連接．在點(diǎn)M的運(yùn)動(dòng)過程中，若的最大值為n，直接寫出的值．【答案】(1)(2)見解析(3)【分析】（1）根據(jù)等腰直角三角形性質(zhì)得到，利用等腰三角形性質(zhì)得到，最后根據(jù)三角形外角性質(zhì)得到，即可解題；（2）利用直角三角形性質(zhì)得到，結(jié)合等腰三角形性質(zhì)得到，進(jìn)而得到，，證明，得到，，推出，作，交延長線于點(diǎn)，證明，得到，證明，得到，再進(jìn)行等量代換即可解題；（3）根據(jù)題意得到在的中垂線上，當(dāng)時(shí)，最小，且此時(shí)四邊形為矩形，當(dāng)取得最小值時(shí)，、關(guān)于對(duì)稱，且，得到的運(yùn)動(dòng)軌跡是以為圓心，為半徑的圓周上，則當(dāng)過圓心，且、分別在的兩側(cè)時(shí)，的值最大，作，交的延長線于點(diǎn)，證明，得到，，進(jìn)而證明，利用全等三角形性質(zhì)推出為中點(diǎn)，設(shè)，則，（即），，利用勾股定理和相似三角形性質(zhì)得到，，，，作于點(diǎn)，結(jié)合勾股定理和等腰直角三角形性質(zhì)得到，，，，進(jìn)而推出，即可解題．【解析】（1）解：，，，，，，；（2）證明：，點(diǎn)P為的中點(diǎn)，，，，，，，，，，，，，作，交延長線于點(diǎn)，，，，，，，，，，，，，，，，，，即；（3）解：，理由如下：根據(jù)題意畫出圖形，，，作于點(diǎn)，即在的中垂線上，，，當(dāng)時(shí)，最小，易得此時(shí)四邊形為矩形，當(dāng)取得最小值時(shí)，、關(guān)于對(duì)稱，，的運(yùn)動(dòng)軌跡是以為圓心，為半徑的圓周上，則當(dāng)過圓心，且、分別在的兩側(cè)時(shí)，的值最大，如圖所示：作，交的延長線于點(diǎn)，，，，，，，，，，，，，，，，，即為中點(diǎn)，設(shè)，，四邊形為矩形，，（即），，，，，，，，，，，，，又，，，，，作于點(diǎn)，，，，，，，，，，．【點(diǎn)睛】本題考查了等腰直角三角形性質(zhì)，全等三角形性質(zhì)和判定，直角三角形性質(zhì)，三角形外角性質(zhì)，垂直平分線性質(zhì)，軸對(duì)稱性質(zhì)，勾股定理，相似三角形判定和性質(zhì)，解題的關(guān)鍵在于利用數(shù)形結(jié)合的思想解決問題．17．如圖所示，在中，D、E分別是、上的點(diǎn)，，如圖1，然后將繞A點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)一定角度，得到圖2，然后將、分別延長至M、N，使，，得到圖3，請(qǐng)解答下列問題：(1)若，請(qǐng)?zhí)骄肯铝袛?shù)量關(guān)系：①在圖2中，與的數(shù)量關(guān)系是；②在圖3中，猜想與的數(shù)量關(guān)系、與的數(shù)量關(guān)系，并證明你的猜想；(2)若，按上述操作方法，得到圖4，請(qǐng)繼續(xù)探究：與的數(shù)量關(guān)系、與的數(shù)量關(guān)系，直接寫出你的猜想，不必證明．【答案】(1)①；②，，理由見解析(2)，【分析】本題考查三角形全等的判定方法和性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)等知識(shí)，靈活運(yùn)用全等三角形的證明方法解題是解題的關(guān)鍵．（1）①運(yùn)用證明，所以；②根據(jù)題意可得，，，所以得到，在和中，，，可證，所以，即．（2）直接類比（1）中結(jié)果可知，．【解析】（1）（1）①∵，，∴，∴，∵，∴圖2中，，即∵，，∴，∴，故答案為：；②，，理由如下：，∴，即，在和中，，，，，，在和中，，，，∴，即；（2）結(jié)論：，．理由如下：∵，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，．綜上所述：，．題型8：定值問題18．如圖1，在中，，，．(1)請(qǐng)計(jì)算的面積；(2)如圖2，將沿著翻折，D點(diǎn)的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為，線段交于點(diǎn)M，請(qǐng)計(jì)算的長度；(3)如圖3，在（2）的條件下，點(diǎn)P為線段上一動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)P作于點(diǎn)N，交的延長線于點(diǎn)G．在點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)的過程中，的長度是否為定值？如果是，請(qǐng)計(jì)算出這個(gè)定值；如果不是，請(qǐng)說明理由．【答案】(1)(2)的長度為；(3)的長度是定值，這個(gè)定值為．【分析】（1）作，在中，利用含30度角的直角三角形的性質(zhì)和勾股定理求得高的長，再根據(jù)平行四邊形的面積公式即可求解；（2）先證明，再在中，由勾股定理列式計(jì)算即可求解；（3）利用勾股定理求得，證明，求得，再求得，過點(diǎn)作交的延長線于點(diǎn)，得到的長度是的長度，據(jù)此求解即可．【解析】（1）解：作交延長線于點(diǎn)，∵四邊形是平行四邊形，∴，，，，在中，，，∴的面積為；（2）解：∵四邊形是平行四邊形，∴，∴，由折疊的性質(zhì)得，∴，∴，設(shè)，則，在中，由勾股定理得，解得：，即的長度為；（3）解：∵，，∴，∵，，∴，∴，∴，由折疊的性質(zhì)得，∵，∴，過點(diǎn)作交的延長線于點(diǎn)，∵，∴，，∴，，∴，∴的長度是的長度，過點(diǎn)作交的延長線于點(diǎn)，∴四邊形是矩形，∴，由折疊的性質(zhì)得，又，∴，∴．綜上，的長度是定值，這個(gè)定值為．【點(diǎn)睛】本題考查了平行四邊形的性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)，含30度角的直角三角形的性質(zhì)和勾股定理，第3問求得是解題的關(guān)鍵．題型9：情景探究題19．[問題情境]（1）王老師給愛好學(xué)習(xí)的小明和小穎提出這樣一個(gè)問題：如圖①，在中，，P為邊上的任一點(diǎn)，過點(diǎn)P作，垂足分別為D，E，過點(diǎn)C作，垂足為F．求證：．小明的證明思路是：如圖①，連接，由與面積之和等于的面積可以證得：．小穎的證明思路是：如圖②，過點(diǎn)P作，垂足為G，可以證得：，則．請(qǐng)你選擇小明、小穎兩種證明思路中的任意一種，寫出詳細(xì)的證明過程．[變式探究]（2）如圖③，當(dāng)點(diǎn)Р在延長線上時(shí)，問題情境中，其余條件不變，則之間的數(shù)量關(guān)系是______．[結(jié)論運(yùn)用]（3）如圖④，將矩形沿折疊，使點(diǎn)D落在點(diǎn)B上，點(diǎn)C落在點(diǎn)處，點(diǎn)P為折痕上的任一點(diǎn)，過點(diǎn)Р作，垂足分別為G，H，若，求的值．[遷移拓展]（4）圖⑤是一個(gè)機(jī)器模型的截面示意圖，在四邊形中，E為邊上的一點(diǎn)，，垂足分別為D，C，且，M、N分別為的中點(diǎn)，連接，請(qǐng)直接寫出與的周長之和___________．【答案】（1）見解析；（2）；（3）；（4）【分析】（1）根據(jù)小明的證明思路：連接，根據(jù)三角形的面積公式結(jié)合題意即可證明；根據(jù)小穎的證明思路：過點(diǎn)作，垂足為，根據(jù)矩形的判定和性質(zhì)可得，，根據(jù)平行線的判定和性質(zhì)可得，根據(jù)全等三角形的判定和性質(zhì)可得，即可證明．（2）根據(jù)小明的證明思路：連接，根據(jù)三角形的面積公式結(jié)合題意即可證明；根據(jù)小穎的證明思路：過點(diǎn)作，垂足為，根據(jù)矩形的判定和性質(zhì)可得，，根據(jù)平行線的判定和性質(zhì)可得，根據(jù)全等三角形的判定和性質(zhì)可得，即可證明．（3）過點(diǎn)作，垂足為，根據(jù)矩形的性質(zhì)可得，，，，推得，根據(jù)折疊的性質(zhì)可得，，根據(jù)平行線的性質(zhì)可得，推得，根據(jù)等角對(duì)等邊可得，推得，根據(jù)勾股定理求得，推得，根據(jù)矩形的判定和性質(zhì)可得，由問題情景中的結(jié)論即可求得：．（4）延長，交于點(diǎn)，過點(diǎn)作，垂足為，根據(jù)題意可得，，根據(jù)相似三角形的判定和性質(zhì)可得，根據(jù)等角對(duì)等邊可得，由問題情景中的結(jié)論可得：，設(shè)，則，根據(jù)勾股定理可得，即可求得，，根據(jù)直角三角形斜邊上中線的性質(zhì)可