通分問題解題技巧

通分問題解題技巧通分問題解題技巧在數(shù)學(xué)中，通分問題是一種常見的題型，不僅出現(xiàn)在小學(xué)數(shù)學(xué)中，也在中學(xué)、高中乃至大學(xué)數(shù)學(xué)中都有涉及。通分問題涉及到分?jǐn)?shù)的加減乘除，因此在日常生活和求職面試等方面也有一定的實(shí)用價(jià)值。掌握通分問題解題技巧，不僅能夠幫助你更好地理解數(shù)學(xué)知識(shí)，更能提高數(shù)學(xué)解題能力和思維能力。一、分?jǐn)?shù)的基本知識(shí)在解決通分問題之前，我們需要掌握分?jǐn)?shù)的基本知識(shí)。分?jǐn)?shù)是由分子和分母構(gòu)成的，分子表示被分成的份數(shù)，分母表示總份數(shù)。分?jǐn)?shù)除了加減乘除之外，還有約分、化簡(jiǎn)等基本知識(shí)。1.約分約分是指將分?jǐn)?shù)的分子和分母同時(shí)除以同一個(gè)數(shù)，使得分?jǐn)?shù)等值但是表示形式更簡(jiǎn)潔。例如：$$6\frac{4}{6}=6+\frac{4}{6}=6+\frac{2}{3}$$這里將$\frac{4}{6}$約分為$\frac{2}{3}$，表示相同的分?jǐn)?shù)，但第二種形式更簡(jiǎn)潔明了。2.化簡(jiǎn)化簡(jiǎn)是指將分?jǐn)?shù)的分子分母進(jìn)行相同的乘除運(yùn)算，使分?jǐn)?shù)等值但是表示形式更簡(jiǎn)潔。例如：$$\frac{8}{12}=\frac{2\times4}{2\times6}=\frac{2}{3}$$這里將分子和分母同時(shí)除以2，得到化簡(jiǎn)后的簡(jiǎn)潔形式。二、通分問題的解決步驟通分問題的解決步驟是先將分?jǐn)?shù)化為相同的分母，然后再進(jìn)行加減或比較大小。通分問題解題技巧如下：1.將分?jǐn)?shù)化為相同的分母將分?jǐn)?shù)化為相同的分母有兩種方法：一種是分別求分?jǐn)?shù)的最小公倍數(shù)，然后將分?jǐn)?shù)的分子和分母乘以相應(yīng)的倍數(shù)，使得分?jǐn)?shù)的分母相同；另一種是直接將兩個(gè)分?jǐn)?shù)的分母相乘得到通分分母，然后將各自的分子乘以相應(yīng)的倍數(shù)，這兩種方法本質(zhì)上是一樣的，只是運(yùn)算步驟有所不同。例如：$$\frac{2}{3}+\frac{5}{6}$$第一種方法是分別求出分?jǐn)?shù)2/3和5/6的最小公倍數(shù)，即6，然后將分?jǐn)?shù)的分子和分母分別乘以相應(yīng)的倍數(shù)得：$$\frac{2}{3}\times\frac{2}{2}=\frac{4}{6}$$$$\frac{5}{6}\times\frac{1}{1}=\frac{5}{6}$$這時(shí)，兩個(gè)分?jǐn)?shù)部分化為相同的分母，即：$$\frac{4}{6}+\frac{5}{6}$$第二種方法是直接將兩個(gè)分?jǐn)?shù)的分母相乘得到通分分母，即3×6=18，然后將各自的分子乘以相應(yīng)的倍數(shù)得：$$\frac{2}{3}\times\frac{6}{6}=\frac{12}{18}$$$$\frac{5}{6}\times\frac{3}{3}=\frac{15}{18}$$兩個(gè)分?jǐn)?shù)部分化為相同的分母，即：$$\frac{12}{18}+\frac{15}{18}$$2.進(jìn)行加減或比較大小運(yùn)算將分?jǐn)?shù)化為相同的分母之后，可以進(jìn)行加減或比較大小運(yùn)算，從而得到最終的結(jié)果。例如：$$\frac{2}{3}+\frac{5}{6}=\frac{4}{6}+\frac{5}{6}=\frac{9}{6}$$因?yàn)榉謹(jǐn)?shù)9/6可以化簡(jiǎn)為分?jǐn)?shù)3/2，所以最終結(jié)果為：$$\frac{9}{6}=\frac{3}{2}$$注意到這里得到的結(jié)果是帶分?jǐn)?shù)，即$3\frac{1}{2}$。如果需要求出不帶分?jǐn)?shù)的結(jié)果，可以繼續(xù)使用化簡(jiǎn)的技巧。例如：$$3\frac{1}{2}=3+\frac{1}{2}=\frac{6}{2}+\frac{1}{2}=\frac{7}{2}$$因此，$3\frac{1}{2}$和$\frac{7}{2}$是等價(jià)的。三、常見的通分問題類型通分問題的類型有很多，我們只介紹常見的幾種類型。1.兩個(gè)分?jǐn)?shù)相加或相減例如：$$\frac{1}{2}+\frac{1}{3}$$根據(jù)前面的通分問題解決步驟，我們將兩個(gè)分?jǐn)?shù)分別化為相同的分母，得到：$$\frac{1}{2}\times\frac{3}{3}=\frac{3}{6}$$$$\frac{1}{3}\times\frac{2}{2}=\frac{2}{6}$$將兩個(gè)分?jǐn)?shù)相加得到：$$\frac{3}{6}+\frac{2}{6}=\frac{5}{6}$$因此，$\frac{1}{2}+\frac{1}{3}=\frac{5}{6}$。同樣地，如果是兩個(gè)分?jǐn)?shù)相減，也是采用這個(gè)方法進(jìn)行解決。2.分?jǐn)?shù)與整數(shù)相加或相減例如：$$1\frac{3}{4}+2$$我們可以先將整數(shù)2化簡(jiǎn)成分?jǐn)?shù)$\frac{4}{4}$，然后將它和分?jǐn)?shù)$1\frac{3}{4}$化為相同的分母，得到：$$1\frac{3}{4}+\frac{4}{4}$$再將兩個(gè)分?jǐn)?shù)相加，得到：$$1\frac{3}{4}+\frac{4}{4}=2\frac{3}{4}$$因此，$1\frac{3}{4}+2=2\frac{3}{4}$。如果是分?jǐn)?shù)與整數(shù)相減，也是采用這個(gè)方法進(jìn)行解決。3.分?jǐn)?shù)乘法例如：$$\frac{2}{3}\times\frac{3}{4}$$將兩個(gè)分?jǐn)?shù)相乘，得到：$$\frac{2}{3}\times\frac{3}{4}=\frac{2\times3}{3\times4}=\frac{6}{12}$$注意到分?jǐn)?shù)$\frac{6}{12}$可以化簡(jiǎn)為$\frac{1}{2}$，因此：$$\frac{2}{3}\times\frac{3}{4}=\frac{1}{2}$$4.分?jǐn)?shù)除法例如：$$\frac{2}{3}\div\frac{3}{4}$$我們可以將除號(hào)改為乘號(hào)，然后將被除數(shù)乘以除數(shù)的倒數(shù)，得到：$$\frac{2}{3}\div\frac{3}{4}=\frac{2}{3}\times\frac{4}{3}$$將兩個(gè)分?jǐn)?shù)相乘，得到：$$\frac{2}{3}\times\frac{4}{3}=\frac{8}{9}$$因此，$$\frac{2}{3}\div\frac{3}{4}=\frac{8}{9}$$四、總結(jié)通分問題是數(shù)學(xué)中的一類重要問題，掌握通分問題解題技巧能夠幫助我們更好地理解數(shù)學(xué)