2025屆高考數(shù)學(xué)二輪考前復(fù)習(xí)第二篇破解中檔大題保提分必須錘煉的7個(gè)熱點(diǎn)專題專題4統(tǒng)計(jì)與概率學(xué)案文含解析

PAGE專題4統(tǒng)計(jì)與概率1.頻率分布直方圖中的數(shù)字特征(1)最高的小長(zhǎng)方形底邊中點(diǎn)的橫坐標(biāo)即是眾數(shù);(2)中位數(shù)左邊和右邊的小長(zhǎng)方形的面積和是相等的;(3)平均數(shù)等于頻率分布直方圖中每個(gè)小長(zhǎng)方形的面積乘以小長(zhǎng)方形底邊中點(diǎn)的橫坐標(biāo)之和.2.古典概型的兩個(gè)特征(1)試驗(yàn)的全部可能結(jié)果只有有限個(gè),每次試驗(yàn)只出現(xiàn)其中的一個(gè)結(jié)果;(2)每一個(gè)試驗(yàn)結(jié)果出現(xiàn)的可能性相同.3.互斥事務(wù)概率的加法公式(1)假如事務(wù)A與事務(wù)B互斥,則PQUOTE=PQUOTE+PQUOTE.(2)若事務(wù)B與事務(wù)A互為對(duì)立事務(wù),則PQUOTE=1-PQUOTE.4.互斥事務(wù)與對(duì)立事務(wù)的概念(1)互斥事務(wù)是不行能同時(shí)發(fā)生的事務(wù),但可以同時(shí)不發(fā)生;(2)對(duì)立事務(wù)是特別的互斥事務(wù),特別在對(duì)立的兩個(gè)事務(wù)不行能都不發(fā)生(或都發(fā)生),即有且僅有一個(gè)發(fā)生.5.求困難的互斥事務(wù)的概率的兩種方法(1)干脆求解法:將所求事務(wù)的概率分解為一些彼此互斥的事務(wù)的概率,再求和;(2)間接法:先求該事務(wù)的對(duì)立事務(wù)的概率,再由PQUOTE=1-PQUOTE求解.當(dāng)題目涉及“至多”“至少”型問(wèn)題時(shí),多考慮間接法.求古典概型概率的基本步驟第一步:將題目條件中的相關(guān)內(nèi)容轉(zhuǎn)化為事務(wù);其次步:推斷事務(wù)是否為古典概型;第三步:選用合適的方法確定基本領(lǐng)件個(gè)數(shù);第四步:代入古典概型的概率公式求解.1.步驟分:(1)由頻數(shù)求頻率公式不能缺少;(2)平均值的公式不能少.2.關(guān)鍵分:解題過(guò)程的關(guān)鍵點(diǎn),有則給分,無(wú)則沒(méi)分.如平均值公式,不能缺少.3.計(jì)算分:概率計(jì)算要保證正確.【典例】(12分)(2024·全國(guó)Ⅰ卷)某廠接受了一項(xiàng)加工業(yè)務(wù),加工出來(lái)的產(chǎn)品(單位:件)按標(biāo)準(zhǔn)分為A,B,C,D四個(gè)等級(jí).加工業(yè)務(wù)約定:對(duì)于A級(jí)品、B級(jí)品、C級(jí)品,廠家每件分別收取加工費(fèi)90元,50元,20元;對(duì)于D級(jí)品,廠家每件要賠償原料損失費(fèi)50元.該廠有甲、乙兩個(gè)分廠可承接加工業(yè)務(wù).甲分廠加工成本費(fèi)為25元/件,乙分廠加工成本費(fèi)為20元/件.廠家為確定由哪個(gè)分廠承接加工業(yè)務(wù),在兩個(gè)分廠各試加工了100件這種產(chǎn)品,并統(tǒng)計(jì)了這些產(chǎn)品的等級(jí),整理如下:甲分廠產(chǎn)品等級(jí)的頻數(shù)分布表等級(jí)ABCD頻數(shù)40202020乙分廠產(chǎn)品等級(jí)的頻數(shù)分布表等級(jí)ABCD頻數(shù)28173421(1)分別估計(jì)甲、乙兩分廠加工出來(lái)的一件產(chǎn)品為A級(jí)品的概率;(2)分別求甲、乙兩分廠加工出來(lái)的100件產(chǎn)品的平均利潤(rùn),以平均利潤(rùn)為依據(jù),廠家應(yīng)選哪個(gè)分廠承接加工業(yè)務(wù)?(1)A級(jí)品的概率?頻數(shù)分布表;(2)方案選擇?平均利潤(rùn)?甲、乙兩分廠分別加工100件產(chǎn)品的總利潤(rùn).【標(biāo)準(zhǔn)答案】(1)由表可知,甲分廠加工出來(lái)的一件產(chǎn)品為A級(jí)品的概率估計(jì)值為QUOTE=0.4, 3分乙分廠加工出來(lái)的一件產(chǎn)品為A級(jí)品的概率估計(jì)值為QUOTE=0.28. 6分(2)甲分廠加工100件產(chǎn)品總利潤(rùn)為40×QUOTE+20×QUOTE+20×QUOTE-20×QUOTE=1500元,所以甲分廠加工100件產(chǎn)品的平均利潤(rùn)為15元/件; 9分乙分廠加工100件產(chǎn)品的總利潤(rùn)為28×QUOTE+17×QUOTE+34×QUOTE-21×QUOTE=1000元,所以乙分廠加工100件產(chǎn)品的平均利潤(rùn)為10元/件. 11分故廠家應(yīng)選擇甲分廠承接加工任務(wù). 12分測(cè)試目標(biāo)(1)干脆運(yùn)用公式解決問(wèn)題;(2)平均值的求法.測(cè)試目標(biāo)數(shù)據(jù)分析:通過(guò)分析數(shù)據(jù)求出平均值;數(shù)學(xué)運(yùn)算:運(yùn)用公式,由頻數(shù)估計(jì)概率.疫情期間,為支持學(xué)校隔離用餐的支配,保證同學(xué)們的用餐平安,食堂為同學(xué)們供應(yīng)了送餐盒到班級(jí)用餐的服務(wù).運(yùn)營(yíng)一段時(shí)間后,食堂為了調(diào)研同學(xué)們對(duì)送餐服務(wù)的滿足程度,從高三年級(jí)500名同學(xué)中抽取了20名同學(xué)代表對(duì)送餐服務(wù)進(jìn)行打分,滿分100分,同學(xué)們打分的頻率分布直方圖如圖:(1)求頻率分布直方圖中a的值;(2)從成果在QUOTE的學(xué)生中任選2人,求此2人的成果都在QUOTE中的概率;(3)若打分不低于60分可視為對(duì)送餐服務(wù)滿足,用樣本的統(tǒng)計(jì)結(jié)果估計(jì)總體,請(qǐng)估計(jì)全年級(jí)有多少同學(xué)對(duì)送餐服務(wù)滿足.1.(方案設(shè)計(jì))某企業(yè)對(duì)某種產(chǎn)品的生產(chǎn)線進(jìn)行了改造升級(jí),已知該種產(chǎn)品的質(zhì)量以其質(zhì)量指標(biāo)值m衡量,并依據(jù)質(zhì)量指標(biāo)值m劃分等級(jí)如表:質(zhì)量指標(biāo)值m300≤m<350250≤m<300或350≤m<400150≤m<250或400≤m<450等級(jí)一等品二等品三等品該企業(yè)從生產(chǎn)的這種產(chǎn)品中隨機(jī)抽取100件產(chǎn)品作為樣本,檢測(cè)其質(zhì)量指標(biāo)值,得到如圖的頻率分布直方圖.(1)依據(jù)頻率分布直方圖估計(jì)這100件產(chǎn)品的質(zhì)量指標(biāo)值m的平均數(shù)QUOTE(同一區(qū)間數(shù)據(jù)用該區(qū)間數(shù)據(jù)的中點(diǎn)值代表);(2)用分層抽樣的方法從樣本質(zhì)量指標(biāo)值m在區(qū)間QUOTE和QUOTE內(nèi)的產(chǎn)品中隨機(jī)抽取4件,再?gòu)倪@4件中任取2件進(jìn)一步探討,求這2件都取自區(qū)間QUOTE內(nèi)的概率;(3)該企業(yè)統(tǒng)計(jì)了近100天中每天的生產(chǎn)件數(shù),得下面的頻數(shù)分布表:件數(shù)[5500,6500)[6500,7500)[7500,8500)[8500,9500]天數(shù)20304010該企業(yè)支配引進(jìn)新的設(shè)備對(duì)該產(chǎn)品進(jìn)行進(jìn)一步加工,有A,B兩種設(shè)備可供選擇.A設(shè)備每臺(tái)每天最多可以加工30件,每天維護(hù)費(fèi)用為500元/臺(tái);B設(shè)備每臺(tái)每天最多可以加工4件,每天維護(hù)費(fèi)用為80元/臺(tái).該企業(yè)現(xiàn)有兩種購(gòu)置方案:方案一:購(gòu)買100臺(tái)A設(shè)備和800臺(tái)B設(shè)備;方案二:購(gòu)買200臺(tái)A設(shè)備和450臺(tái)B設(shè)備.假設(shè)進(jìn)一步加工后每件產(chǎn)品可以增加25元的收入,在抽取的這100天的生產(chǎn)件數(shù)(同一組數(shù)據(jù)用該區(qū)間數(shù)據(jù)的中點(diǎn)值代表)的前提下,試依據(jù)運(yùn)用A,B兩種設(shè)備后的日增加的利潤(rùn)(日增加的利潤(rùn)=日增加的收入-日維護(hù)費(fèi)用)的均值為該公司決策,選擇哪種方案更好?2.(成果分析)參與市數(shù)學(xué)調(diào)研抽測(cè)的某校高三學(xué)生成果分析的莖葉圖和頻率分布直方圖均受到不同程度的破壞,但可見部分信息如下,據(jù)此解答如下問(wèn)題:(1)求參與數(shù)學(xué)抽測(cè)的人數(shù)n、抽測(cè)成果的中位數(shù)及分?jǐn)?shù)分別在QUOTE,QUOTE內(nèi)的人數(shù);(2)若從分?jǐn)?shù)在QUOTE內(nèi)的學(xué)生中任選兩人進(jìn)行調(diào)研談話,求恰好有一人分?jǐn)?shù)在QUOTE內(nèi)的概率.3.(運(yùn)動(dòng)狀況)某校高一、高二兩個(gè)年級(jí)共336名學(xué)生同時(shí)參與了跳繩、踢毽兩項(xiàng)健身活動(dòng),為了了解學(xué)生的運(yùn)動(dòng)狀況,采納樣本按比例安排的分層抽樣方法,從高一、高二兩個(gè)年級(jí)的學(xué)生中分別抽取7名和5名學(xué)生進(jìn)行測(cè)試,如表是高二年級(jí)的5名學(xué)生的測(cè)試數(shù)據(jù)(單位:個(gè)/分鐘)學(xué)生編號(hào)12345跳繩個(gè)數(shù)179181170177183踢毽個(gè)數(shù)8276797380(1)求高一、高二兩個(gè)年級(jí)各有多少人?(2)從高二年級(jí)的學(xué)生中任選一人,試估計(jì)該學(xué)生每分鐘跳繩個(gè)數(shù)超過(guò)175且踢毽個(gè)數(shù)超過(guò)75的概率;(3)高二年級(jí)學(xué)生的兩項(xiàng)運(yùn)動(dòng)的成果哪項(xiàng)更穩(wěn)定?4.(節(jié)約用水)我國(guó)是世界上嚴(yán)峻缺水的國(guó)家,城市缺水問(wèn)題較為突出.某市政府為了激勵(lì)居民節(jié)約用水,支配在本市試行居民生活用水定額管理,即確定一個(gè)合理的居民月用水量標(biāo)準(zhǔn)x(噸),月用水量不超過(guò)x的部分按平價(jià)收費(fèi),超出x的部分按議價(jià)收費(fèi).為了了解全市居民用水量的分布狀況,通過(guò)抽樣,獲得了100位居民某年的月均用水量(單位:噸),將數(shù)據(jù)依據(jù)[0,0.5),[0.5,1),…,[4,4.5]分成9組,制成了如圖所示的頻率分布直方圖.(1)求頻率分布直方圖中a的值.(2)已知該市有80萬(wàn)居民,估計(jì)全市居民中月均用水量不低于3噸的人數(shù),并說(shuō)明理由.(3)若該市政府希望使85%的居民每月的用水量不超過(guò)標(biāo)準(zhǔn)x(噸),估計(jì)x的值,并說(shuō)明理由.5.(文化自信)某動(dòng)漫影視制作公司長(zhǎng)期堅(jiān)持文化自信,不斷挖掘中華優(yōu)秀傳統(tǒng)文化中的動(dòng)漫題材,創(chuàng)作出一批又一批的優(yōu)秀動(dòng)漫影視作品,獲得市場(chǎng)和廣闊觀眾的一樣好評(píng),同時(shí)也為公司贏得豐厚的利潤(rùn).該公司2013年至2024年的年利潤(rùn)y關(guān)于年份代號(hào)x的統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)如表(已知該公司的年利潤(rùn)與年份代號(hào)線性相關(guān)):年份2013201420152024202420242024年份代號(hào)x1234567年利潤(rùn)y(單位:億元)29333644485259(1)求y關(guān)于x的線性回來(lái)方程,并預(yù)料該公司2024年(年份代號(hào)記為8)的年利潤(rùn);(2)當(dāng)統(tǒng)計(jì)表中某年年利潤(rùn)的實(shí)際值大于由(1)中線性回來(lái)方程計(jì)算出該年利潤(rùn)的估計(jì)值時(shí),稱該年為A級(jí)利潤(rùn)年,否則稱為B級(jí)利潤(rùn)年.將(1)中預(yù)料的該公司2024年的年利潤(rùn)視作該年利潤(rùn)的實(shí)際值,現(xiàn)從2015年至2024年這6年中隨機(jī)抽取2年,求恰有1年為A級(jí)利潤(rùn)年的概率.6.(成果分析)某校高一年級(jí)1000名學(xué)生期中考試生物學(xué)科成果的頻率分布直方圖如圖所示,其中成果分組狀況如表:組號(hào)第一組其次組第三組第四組第五組分組[50,60)[60,70)[70,80)[80,90)[90,100](1)求生物成果在[50,60)內(nèi)的人數(shù);(2)若同組中的每個(gè)數(shù)據(jù)用該組區(qū)間中點(diǎn)值代替,依據(jù)頻率分布直方圖,估計(jì)這1000名學(xué)生生物成果的平均分;(3)現(xiàn)有5名同學(xué),其中3人的成果在第三組內(nèi),2人的成果在第四組內(nèi),從這5名同學(xué)中隨機(jī)抽取2名,求這2名同學(xué)來(lái)自不同組的概率.專題4統(tǒng)計(jì)與概率【模擬考場(chǎng)】【解析】(1)因?yàn)?a+2a+3a+6a+7a=20a,所以20a×10=1,所以a=0.005.(2)成果在QUOTE的人數(shù)=2×0.005×10×20=2,成果在QUOTE中的學(xué)生人數(shù)=3×0.005×10×20=3,用a,b表示成果在QUOTE的2名學(xué)生,用c,d,e表示成果在QUOTE的3名學(xué)生,從5人中任取2人,有ab,ac,ad,ae,bc,bd,be,cd,ce,de,共10種情形.符合條件的有3種(cd,ce,de),所以概率P=QUOTE.(3)樣本20人中有18人打分成果不低于60分,即有QUOTE的學(xué)生對(duì)送餐服務(wù)滿足.用樣本的統(tǒng)計(jì)結(jié)果估計(jì)總體,則估計(jì)全年級(jí)500人中,有500×QUOTE=450人對(duì)送餐服務(wù)滿足.///高考演兵場(chǎng)·檢驗(yàn)考試力///1.【解析】(1)由題意得QUOTE=175×0.05+225×0.15+275×0.2+325×0.3+375×0.2+425×0.1=312.5.(2)因?yàn)閰^(qū)間QUOTE和QUOTE內(nèi)的產(chǎn)品的頻率之比為1∶3,所以應(yīng)從區(qū)間QUOTE內(nèi)抽取1件,記為A1,從區(qū)間QUOTE內(nèi)抽取3件,記為B1,B2,B3,則從中任取2件的狀況有QUOTE,QUOTE,QUOTE,QUOTE,QUOTE,QUOTE共6種,其中2件都取自區(qū)間QUOTE內(nèi)的狀況有QUOTE,QUOTE,QUOTE,共3種,所以其概率P=QUOTE=QUOTE.(3)每天生產(chǎn)件數(shù)的頻數(shù)分布表為:件數(shù)6000700080009000天數(shù)20304010若采納方案一,運(yùn)用100臺(tái)A設(shè)備和800臺(tái)B設(shè)備每天可進(jìn)一步加工的件數(shù)為30×100+4×800=6200,可得實(shí)際加工件數(shù)的頻數(shù)分布表為實(shí)際加工件數(shù)60006200頻數(shù)2080所以方案一中運(yùn)用A,B設(shè)備進(jìn)一步加工后的日增加的利潤(rùn)均值為25×QUOTE-500×100-80×800=40000;若采納方案二,運(yùn)用200臺(tái)A設(shè)備和450臺(tái)B設(shè)備每天可進(jìn)一步加工的件數(shù)為30×200+4×450=7800,可得實(shí)際加工件數(shù)的頻數(shù)分布表為實(shí)際加工件數(shù)600070007800頻數(shù)203050所以方案二中運(yùn)用A,B設(shè)備進(jìn)一步加工后的日增加的利潤(rùn)均值為25×QUOTE-500×200-80×450=44000.綜上所述,公司應(yīng)當(dāng)選擇方案二更好.2.【解析】(1)分?jǐn)?shù)在QUOTE內(nèi)的頻數(shù)為2,由頻率分布直方圖可以看出,分?jǐn)?shù)在QUOTE內(nèi)同樣有2人.由QUOTE=10×0.008,得n=25,由莖葉圖可知抽測(cè)成果的中位數(shù)為73.分?jǐn)?shù)在QUOTE內(nèi)的人數(shù)為25-QUOTE=4,參與數(shù)學(xué)抽測(cè)的人數(shù)n=25,中位數(shù)為73,分?jǐn)?shù)在QUOTE,QUOTE內(nèi)的人數(shù)分別為4人、2人.(2)設(shè)“從分?jǐn)?shù)在QUOTE內(nèi)的學(xué)生中任選兩人,恰好有一人分?jǐn)?shù)在QUOTE內(nèi)”為事務(wù)M,將QUOTE內(nèi)的4人編號(hào)為a,b,c,d;QUOTE內(nèi)的2人編號(hào)為A,B,在QUOTE內(nèi)任取兩人的基本領(lǐng)件為:ab,ac,ad,aA,aB,bc,bd,bA,bB,cd,cA,cB,dA,dB,AB,共15個(gè),其中,恰好有一人分?jǐn)?shù)在QUOTE內(nèi)的基本領(lǐng)件有aA,aB,bA,bB,cA,cB,dA,dB,共8個(gè),故所求的概率P(M)=QUOTE.3.【解析】(1)高一年級(jí)的學(xué)生人數(shù)為336×QUOTE=196.高二年級(jí)的學(xué)生人數(shù)為336×QUOTE=140.(2)設(shè)“該學(xué)生每分鐘跳繩個(gè)數(shù)超過(guò)175且踢毽個(gè)數(shù)超過(guò)75”為事務(wù)A,由表中的數(shù)據(jù)可知:高二年級(jí)選出的5名學(xué)生中每分鐘跳繩個(gè)數(shù)超過(guò)175且踢毽個(gè)數(shù)超過(guò)75的共有3人,所以從5人中任選一人,事務(wù)A發(fā)生的概率為QUOTE,由此估計(jì)從高二年級(jí)的學(xué)生中任選一人,事務(wù)A發(fā)生的概率為QUOTE.(3)由表中的數(shù)據(jù)可以估計(jì):高二年級(jí)的學(xué)生每分鐘跳繩的個(gè)數(shù)的平均數(shù)為QUOTE×(179+181+170+177+183)=178.高二年級(jí)的學(xué)生每分鐘跳繩的個(gè)數(shù)的方差為QUOTE=QUOTE×[(179-178)2+(181-178)2+(170-178)2+(177-178)2+(183-178)2]=20.高二年級(jí)的學(xué)生每分鐘踢毽的個(gè)數(shù)的平均數(shù)為QUOTE×(82+76+79+73+80)=78.高二年級(jí)的學(xué)生每分鐘踢毽的個(gè)數(shù)的方差為QUOTE=QUOTE×[(82-78)2+(76-78)2+(79-78)2+(73-78)2+(80-78)2]=10,由于QUOTE>QUOTE,所以高二年級(jí)學(xué)生的踢毽的成果更穩(wěn)定.4.【解析】(1)由頻率分布直方圖,可得(0.08+0.16+a+0.40+0.52+a+0.12+0.08+0.04)×0.5=1,解得a=0.30.(2)用頻率估計(jì)概率,由題可知80×0.5×(0.04+0.08+0.12)=9.6,所以全市居民中月均用水量不低于3噸的約為9.6萬(wàn)人.(3)因?yàn)榍?組的頻率之和為(0.08+0.16+0.30+0.40+0.52+0.30)×0.5=0.88>0.85,而前5組的頻率之和為(0.08+0.16+0.30+0.40+0.52)×0.5=0.73<0.85,所以2.5≤x<3.由0.3×(x-2.5)=0.85-0.73,解得x=2.9.因此,估計(jì)月用水量標(biāo)準(zhǔn)為2.9噸時(shí),85%的居民每月的用水量不超過(guò)標(biāo)準(zhǔn).5.【解析】(1)依據(jù)表中數(shù)據(jù),計(jì)算可得QUOTE=4,QUOTE=43,QUOTE=140,又QUOTE=28,所以=QUOTE=5,因?yàn)?QUOTE-QUOTE,所以=43-5×4=23,所以y關(guān)于x的線性回來(lái)方程為=5x+23.將x=8代入,得=5×8+23=63.所以該公司2024年的年利潤(rùn)的預(yù)料值為63億元.QUOTE由QUOTE可知2015年至2024年的年利潤(rùn)的估計(jì)值分別為38,43,48,53,58,63(單位:億元),其中實(shí)際利潤(rùn)大于相應(yīng)估計(jì)值的有2年.故這6年中,被評(píng)為A級(jí)利潤(rùn)年的有2年,分別記為A1,A2;評(píng)為B級(jí)利