浙江省9+1高中聯(lián)盟2022-2023學年高三上學期11月期中聯(lián)考數(shù)學試題 含解析

浙江省9+1高中聯(lián)盟2022-2023學年高三上學期11月期中考試數(shù)學試題一?選擇題（本題共8小題，每小題5分，共40分）1.已知集合，，則（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】求出集合、，利用并集的定義可求得集合.【詳解】因為，，故.故選：A.2.已知復數(shù)滿足，則（）A. B. C. D.1【答案】D【解析】【分析】求出，再求.也可直接用復數(shù)模長性質求解.【詳解】解法一：由題意，易得：，∴.解法二：∴.故選：D3.過原點且傾斜角為的直線被圓所截得的弦長為（）A.1 B. C.2 D.【答案】B【解析】【分析】根據(jù)題意，求得直線的方程，根據(jù)圓的方程，可得圓心為（0,1），半徑，根據(jù)點到直線距離公式，可得圓心（0,1）到直線的距離d，代入公式，即可求得答案.【詳解】由題意得：直線的斜率，且直線過原點，所以直線的方程為，圓的方程化為：，即圓心為（0,1），半徑，所以圓心（0,1）到直線的距離，所以直線被圓所截得弦長為.故選：B4.從2位男生，4位女生中安排3人到三個場館做志愿者，每個場館各1人，且至少有1位男生入選，則不同安排方法有（）種.A.16 B.20 C.96 D.120【答案】C【解析】【分析】分一男兩女與兩男一女兩類討論.【詳解】若選一男兩女共有：；若選兩男一女共有：；因此共有96種，故選：C5.雷峰塔又名黃妃塔?西關磚塔，位于浙江省杭州市西湖區(qū)，地處西湖風景區(qū)南岸夕照山（海拔46米）之上.是吳越國王錢俶為供奉佛螺髻發(fā)舍利?祈求國泰民安而建.始建于北宋太平興國二年（977年），歷代屢加重修.現(xiàn)存建筑以原雷峰塔為原型設計，重建于2002年，是“西湖十景”之一，中國九大名塔之一，中國首座彩色銅雕寶塔.李華同學為測量塔高，在西湖邊相距的?兩處（海拔均約16米）各放置一架垂直于地面高為米的測角儀?（如圖所示）.在測角儀處測得兩個數(shù)據(jù)：塔頂仰角及塔頂與觀測儀點的視角在測角儀處測得塔頂與觀測儀點的視角，李華根據(jù)以上數(shù)據(jù)能估計雷鋒塔的高度約為（）（參考數(shù)據(jù)：，）A.70.5 B.71 C.71.5 D.72【答案】C【解析】【分析】在中由正弦定理求得，在直角中，，將平面畫成平面圖，以地平線為基準，根據(jù)各個高度關系求MN的高度.【詳解】在中，，，所以，由正弦定理得，所以，在直角中，，將平面畫成平面圖如圖所示：由題意知：，，，.故選：C.6.已知中，點為邊中點，點為所在平面內一點，則“”為“點為重心”（）條件A.充分不必要 B.必要不充分 C.充要 D.既不充分也不必要【答案】C【解析】【分析】等價于等價于點為重心.【詳解】充分性：等價于：等價于：等價于：所以為的靠近的三等分點，所以點為重心；必要性：若點為重心，由重心性質知，故故選：C7.已知函數(shù)的定義域為，且是偶函數(shù)，是奇函數(shù)，則（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】推導出函數(shù)的圖象關于直線對稱，關于點對稱，求得，結合對稱性可判斷各項的正誤.【詳解】因為函數(shù)為偶函數(shù)，則，令可得，所以，，因為函數(shù)為奇函數(shù)，則，所以，函數(shù)的圖象關于直線對稱，關于點對稱，又因為函數(shù)的定義域為，則，則，、、的值都不確定.故選：D.8.已知，，，則（）A. B. C. D..【答案】A【解析】【分析】利用的單調性比較的大小關系，利用的單調性證明即可比較出的大小關系.【詳解】令，，由得，，由得，，所以在上為增函數(shù)，在為減函數(shù).因，所以，即，故.因為，所以，所以，所以，所以，而，所以．故選：A【點睛】比較數(shù)值大小的方法：①根據(jù)函數(shù)的結構形式構造指對冪函數(shù)，利用它們的單調性比較大??；②采取與中間量比大小，通常與0，1，比較.③數(shù)值之間差距比較小時可以采用擴大倍數(shù)，或次方后再比較大??；④對形式結構從外觀上看不太統(tǒng)一的可以先變形后再構造函數(shù)并利用函數(shù)的單調性判斷函數(shù)值大小關系；⑤借助于函數(shù)不等式、切線不等式放縮比大小.二?多選題（本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分.）9.已知函數(shù)，其中，為實數(shù)，則下列條件能使函數(shù)僅有一個零點的是（）A.， B.， C.， D.，【答案】ACD【解析】【分析】將的值代入解析式，利用導數(shù)分析函數(shù)的單調性與極值，結合圖象及零點存在性定理，判斷零點個數(shù).【詳解】由已知可得的定義域為.對于A、當時，，則.當或時，;當時，，故在和上單調遞增，在上單調遞減，故在處取得極大值，在處取得極小值.因為且圖象連續(xù)不斷，故的圖象與軸有且只有一個交點，故此時有且只有一個零點，故該選項符合題意.對于B、當時，，則.當或時，;當時，，故在和上單調遞增，在上單調遞減，故在處取得極大值，在處取得極小值.又因為，且的圖象連續(xù)不斷，故的圖象與軸有且只有兩個交點，故此時有且只有兩個零點，故該選項不合題意.對于C、當時，，則在上恒成立，當且僅當時取等號，故在上單調遞增，又因為，且的圖象連續(xù)不斷，故的圖象與軸有且只有一個交點，故此時有且只有一個零點，故該選項符合題意.對于D、當時，，則在上恒成立，故在上單調遞增，又因為，且的圖象連續(xù)不斷，故的圖象與軸有且只有一個交點，故此時有且只有一個零點，故該選項符合題意.故選:ACD.10.已知函數(shù)，則（）A.函數(shù)的值域為B.點是函數(shù)的一個對稱中心C.函數(shù)在區(qū)間上是減函數(shù)D.若函數(shù)在區(qū)間上是減函數(shù)，則的最大值為【答案】ABD【解析】【分析】利用輔助角公式可得出，利用正弦型函數(shù)的值域可判斷A選項；利用正弦型函數(shù)的對稱性可判斷B選項；利用正弦型函數(shù)的單調性可判斷CD選項.【詳解】因為.對于A選項，函數(shù)的值域為，A對；對于B選項，，故點是函數(shù)的一個對稱中心，B對；對于C選項，當時，，故函數(shù)在區(qū)間上不單調，C錯；對于D選項，由題意且函數(shù)在上為減函數(shù)，當時，，且，所以，，則，解得，故的最大值為，D對.故選：ABD.11.已知袋子中有個紅球和個藍球，現(xiàn)從袋子中隨機摸球，則下列說法正確的是（）A.每次摸個球，摸出球觀察顏色后不放回，則第次摸到紅球的概率為B.每次摸個球，摸出的球觀察顏色后不放回，則第次摸到紅球的條件下，第次摸到紅球的概率為C.每次摸出個球，摸出的球觀察顏色后放回，連續(xù)摸次后，摸到紅球的次數(shù)的方差為D.從中不放回摸個球，摸到紅球的個數(shù)的概率是【答案】AD【解析】【分析】利用全概率公式可判斷A選項；利用條件概率公式可判斷B選項；利用二項分布的方差可判斷C選項；利用超幾何分布的概率可判斷D選項.【詳解】對于A選項，記事件第一次摸紅球，事件第一次摸藍球，事件第二次摸紅球，則，A對；對于B選項，每次摸個球，摸出的球觀察顏色后不放回，則第次摸到紅球的條件下，第次摸到紅球的概率為，B錯；對于C選項，由題意可知，則，C錯；對于D選項，從中不放回摸個球，摸到紅球的個數(shù)的概率是，D對.故選：AD.12.已知棱長為1的正方體，以正方體中心為球心的球與正方體的各條棱相切，點為球面上的動點，則下列說法正確的是（）A.球在正方體外部分的體積為B.若點在球的正方體外部（含正方體表面）運動，則C.若點在平面下方，則直線與平面所成角的正弦值最大為D.若點??在球的正方體外部（含正方體表面）運動，則最小值為【答案】BD【解析】【分析】對于A，結合球的體積和正方體體積公式或利用球缺的體積公式即可判斷；對于B，可取中點，可將利用向量運算轉化為，再結合的范圍即可判斷；對于C，直線與平面所成角最大時直線正好與平面ABCD下方球相切，根據(jù)幾何關系即可求出所成角的最大正弦值，即可判斷；對于D，可將轉化為，再利用不等式進行轉化求解，即可判斷.【詳解】對于A，正方體的棱切球的半徑，如下圖所示，球在正方體外部的體積，或者可根據(jù)球在平面上方球缺部分的體積，為球缺的高，所以球在正方體外部的體積為，A選項錯誤；對于B，取中點，可知在球面上，可得，所以，點在球的正方體外部（含正方體表面）運動，所以（當為直徑時，），所以，B選項正確；對于C，若正方體上底面字母為，則直線與平面所成角的正弦值最大時，如上圖所示點位置，此時正弦值最大為1，若正方體下底面字母為，設平面的中心為,直線與平面所成角即為直線與平面所成角，則直線與平面所成角最大時，直線正好與平面下方球相切，過作平面下方球的切線，切點為，將正方體及其棱切球的截面畫出，如下圖所示，可得，，，，，所以，，，所以直線與平面所成角最大時為，，C選項錯誤；對于D，，記向量與向量的夾角為，，因為，且，所以，令，所以上式可化為，當且僅當時等號成立，此時，即時等號成立，根據(jù)題意可知此條件顯然成立，D選項正確.故選：BD.【點睛】方法點睛：用向量方法解決立體幾何問題，應樹立“基底”意識，利用基向量進行線性運算，要理解空間向量概念、性質、運算，注意和平面向量類比.三?填空題（本題共4小題，每小題5分，共20分.）13.的展開式的中間一項的系數(shù)是___________.（用數(shù)字作答）.【答案】【解析】【分析】利用二項展開式通項可求得所求項的系數(shù).【詳解】由二項式展開式可知，的展開式的中間一項的系數(shù)為.故答案為：.14.已知正實數(shù)，滿足，則的最小值為______.【答案】【解析】【分析】由題意可得，，由基本不等式性質可得的最小值.【詳解】解：由，可得，可得，故的最小值為【點睛】本題主要考查基本不等式，注意靈活運用其性質進行求解.15.我們知道用平面截正方體可以得到不同形狀的截面，若棱長為的正方體被某平面截得的多邊形為正六邊形，以該正六邊形為底，此正方體的頂點為頂點的棱錐的最大體積是___________.【答案】##【解析】【分析】計算出正六邊形的面積，以及棱錐高的最大值，利用錐體的體積公式可求得結果.【詳解】在棱長為的正方體中，、、、、、分別為對應棱的中點，由正方體的幾何性質可知，六邊形為正六邊形，且其邊長為，正六邊形的面積為.以點為原點，、、所在直線分別為、、軸建立如下圖所示的空間直角坐標系，則、、、、，，，，，，，，，，、平面，平面，當棱錐的頂點為點或時，棱錐的高最大，且該棱錐高的最大值為，因此，此正方體的頂點為頂點的棱錐的最大體積是.故答案為：.16.已知橢圓上兩點，（為長半軸長），點為橢圓右焦點，點是線段中點，、、軸恰好圍成以為頂點的等腰三角形，則橢圓的離心率為___________.【答案】【解析】【分析】、、軸恰好圍成以為頂點的等腰三角形可知，即可找到的關系求出離心率.【詳解】由題意知，由??軸恰好圍成以為頂點的等腰三角形可知，所以整理得，故故答案為：四?解答題（本題共6小題，共70分.解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟.）17.已知數(shù)列的前項和為，若，（1）求數(shù)列的通項公式；（2）證明：.【答案】（1）（2）證明見解析【解析】【分析】（1）仿照與的關系，由求，再求，注意討論是否符合；（2）先裂項求和，再證明不等式.【小問1詳解】當時，相減得當時，符合上式所以.當時，當時，符合上式.故【小問2詳解】由（1）知：所以18.已知的內角、、所對的邊長分別為、、，且，若，，求：（1）求的值；（2）求的最大值.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）利用正弦定理結合余弦定理求出的值，再利用誘導公式可求得的值；（2）解法一：根據(jù)結合余弦定理可得出，利用基本不等式可求得的最大值；解法二：由向量線性運算可得出，利用平面向量數(shù)量積的運算可得出，利用基本不等式可求得的最大值.【小問1詳解】解：由已知和正弦定理得，由余弦定理可得，所以.【小問2詳解】解：法一：，則，由得，即，又中，從而，即，所以（當且僅當時取等號），故的最大值為.法二：由所以，，即，即，所以（當且僅當時取等號），故的最大值為.19.已知棱長均為2的平行六面體，，頂點的投影為棱中點.（1）求三棱錐的體積；（2）求平面與平面所成角的余弦值.【答案】（1）1（2）【解析】【分析】（1）等積轉化，點到面距離等于到面距離，可在等邊中求??；（2）建立空間直角坐標系，用空間向量求解.【小問1詳解】如圖，由底面為菱形，，得正，從而有，又平面，平面，得，又故平面，由已知得，平行六面體知：到面距離等于長因為為中點，，所以為正三角形，故也為正三角形，所以【小問2詳解】由底面為菱形，，得正，從而有，以為軸，為軸，為軸建立如圖所示的空間直角坐標系.則，，，，從而，設平面的法向量為，則，令，，平面平面，其一個法向量為.所以所以平面與平面所成角的余弦值為20.直播電商帶貨的模式近年來發(fā)展勢頭迅猛，我國直播電商模式不僅規(guī)模上實現(xiàn)增長，在影響力上也發(fā)展成為重要的電商消費模式，包括直播活躍程度、覆蓋商品類型、主播類型等都實現(xiàn)延展.每年的“雙十一”購物節(jié)成為各直播電商里關注的節(jié)點.某直播公司為增加銷售額，準備采取新舉措，將原本單一的直播團隊拆分為甲?乙兩個直播團隊，相互競爭.該公司記錄了新舉措實施前天的全公司的日均總銷售額和新舉措實施后天的日均總銷售額的天數(shù)頻數(shù)分布表，如表所示：新舉措實施前天全公司的日均總銷售額日均總銷售額（萬元）天數(shù)新舉措實施后天全公司的日均總銷售額日均總銷售額（萬元）天數(shù)（1）將下面的列聯(lián)表補充完整.并回答：在犯錯誤的概率不超過的前提下，能否判斷公司銷售額提高與采取新措施有關；日均總銷售額小于萬元的天數(shù)日均總銷售額不小于萬元的天數(shù)總計新舉措實施前天新舉措實施后天總計（2）后期該公司還打算對甲、乙兩個直播團隊的表現(xiàn)進行如下考核：選定某周周一至周五的天時間，兩隊進行當天銷售額的比較，若甲團隊的銷售額超過萬元且乙團隊的銷售額未超過萬元，則甲團隊得分，乙團隊得分；若乙團隊的銷售額超過萬元且甲團隊的銷售額未超過萬元，則乙團隊得分，甲團隊得分；若兩團隊的銷售額都超過萬元或都未超過萬元，則兩團隊均得分.根據(jù)以往數(shù)據(jù)，甲、乙兩團隊某天銷售額超過萬元的概率分別為和，某一天的考核中甲團隊的得分記為.（i）若，，求的分布列；（ii）若甲、乙兩團隊在考核開始時都賦予分，兩隊銷售額比較次算一輪，若經過輪比較，甲團隊得分的數(shù)學期望超過分，求的取值范圍（用表示）.參考公式及數(shù)據(jù)：，其中.【答案】（1）列聯(lián)表答案見解析，在犯錯誤的概率不超過的前提下，能判斷公司銷售額提高與采取新措施有關（2）（i）答案見解析；（ii）【解析】【分析】（1）根據(jù)題中信息完善列聯(lián)表，計算出觀測值，結合臨界值表可得出結論；（2）分析可知隨機變量的可能取值有、、，計算出隨機變量在不同取值下的概率，可得出隨機變量的分布列.（i）將，代入可得出隨機變量的分布列；（ii）計算出的值，利用期望的性質可得出，根據(jù)題意可得出關于、的不等式，結合概率的范圍可得出結果.【小問1詳解】解：列聯(lián)表如下：日均總銷售額小于萬元的天數(shù)日均總銷售額不小于萬元的天數(shù)總計新舉措實施前天新舉措實施后天總計因為，所以在犯錯誤的概率不超過的前提下，能判斷公司銷售額提高與采取新措施有關.【小問2詳解】解：的所有可能取值為、、，，，，（i）將已知值，代入，得隨機變量的分布列如下表所示：（ii）由上可知，，又概率，故.21.過雙曲線上一點作兩漸近線的垂線，垂足為、，且.（1）求雙曲線方程；（2）過點的直線與雙曲線右支交于、兩點，連接、，直線與、分別交于、，.（i）若，求的值；（ii）求的最小值.【答案】（1）（2）（i）；（ii）【解析】【分析】（1）由已知可得出，利用點到直線的距離公式可得出，再利用、、的關系求得的值，即可得出雙曲線的方程；（2）（i）設直線方程，則，設點、，將直線的方程與雙曲線的方程聯(lián)立，列出韋達定理，分析可知，可得出，由可求得的值；（ii）由已知可得，令，可得出，利用導數(shù)求出函數(shù)的值域，即可得出的最小值.【小問1詳解】解：雙曲線的漸近線方程為，由已知得，雙曲線上一點到漸近線距離之積，即，又，，所以雙曲線方程為.【小問2詳解】