北京市豐臺(tái)區(qū)第二中學(xué)2024-2025學(xué)年高三上學(xué)期10月月考數(shù)學(xué)試題 含解析

2024北京豐臺(tái)二中高三10月月考數(shù)學(xué)學(xué)校:___________姓名：___________班級(jí)：___________考號(hào)：___________一、單選題（共10題，每小題4分）1.已知集合，，那么（）A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】求解一元二次不等式從而求解集合，再根據(jù)并集的定義求解.【詳解】由，得，結(jié)合，可知.故選：B.2.設(shè)復(fù)數(shù)z滿(mǎn)足，則z在復(fù)平面內(nèi)所對(duì)應(yīng)點(diǎn)位于（）A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限【答案】A【解析】【分析】利用復(fù)數(shù)的乘除法運(yùn)算法則化簡(jiǎn)，根據(jù)幾何意義確定在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)所在象限．【詳解】由，則在復(fù)平面內(nèi)所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)的坐標(biāo)為，位于第一象限．故選：A．3.已知角的終邊經(jīng)過(guò)點(diǎn)，則（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根據(jù)條件，利用三角函數(shù)的定義，即可求出結(jié)果.【詳解】因?yàn)榻堑慕K邊經(jīng)過(guò)點(diǎn)，所以，故選：C.4.下列函數(shù)中，既是偶函數(shù)又在單調(diào)遞增的函數(shù)是（

）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】分析各選項(xiàng)中函數(shù)的定義域、奇偶性、在上的單調(diào)性即可判斷作答.【詳解】對(duì)于A，函數(shù)定義域是，不是偶函數(shù)，A錯(cuò)誤；對(duì)于B，當(dāng)時(shí)，函數(shù)在上單調(diào)遞減，B錯(cuò)誤.對(duì)于C，函數(shù)在上單調(diào)遞減，C錯(cuò)誤；對(duì)于D，函數(shù)定義域?yàn)镽，，故是偶函數(shù)，當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增，D正確；故選：D5.設(shè)，則（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】借助指數(shù)函數(shù)與對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性可得、、范圍，即可得解.【詳解】由，，即，，故.故選：C.6.如圖，在中，點(diǎn)D是BC邊的中點(diǎn)，，則用向量，表示為（）A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】利用向量的線(xiàn)性運(yùn)算求解即可.【詳解】，故，則.故選：A7.若函數(shù)的部分圖象如圖所示，則的值是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】根據(jù)正弦型函數(shù)的對(duì)稱(chēng)性可得對(duì)稱(chēng)中心，即可求得最小正周期，從而可求的值，結(jié)合圖象代入已知點(diǎn)坐標(biāo)即可得的值.【詳解】由圖可知，所以是的一個(gè)對(duì)稱(chēng)中心，由圖象可得最小正周期滿(mǎn)足：，則，又，所以，則由圖象可得，，所以，，又，所以.故選：A.8.把物體放在冷空氣中冷卻，如果物體原來(lái)的溫度是，空氣的溫度是．那么后物體的溫（單位：℃）可由公式求得，其中k是一個(gè)隨著物體與空氣的接觸情況而定的常數(shù)．現(xiàn)有46℃的物體，放在10℃的空氣中冷卻，以后物體的溫度是38℃，則k的值約為（）A.0.25 B. C.0.89 D.【答案】A【解析】【分析】【詳解】由題意可知：當(dāng)，，時(shí)，，代入公式得：即，則.故選：A.【點(diǎn)睛】本題主要考查指數(shù)對(duì)數(shù)函數(shù)的運(yùn)算，屬于簡(jiǎn)單題.9.設(shè)是公比為的無(wú)窮等比數(shù)列，為其前n項(xiàng)和，，則“”是“存在最小值”的（）A.充分而不必要條件 B.必要而不充分條件 C.充分必要條件 D.既不充分也不必要條件【答案】A【解析】【分析】假設(shè)，借助等比數(shù)列的性質(zhì)可得其充分性，舉出反例可得其必要性不成立，即可得解.【詳解】若，由，則，故必有最小值，故“”是“存在最小值”的充分條件；當(dāng)，時(shí)，有，則有最小值，故“”不是“存在最小值”的必要條件；即“”是“存在最小值”的充分而不必要條件.故選：A.10.已知函數(shù)的定義域?yàn)?，存在常?shù)，使得對(duì)任意，都有，當(dāng)時(shí)，．若在區(qū)間上單調(diào)遞減，則t的最小值為（）A.3 B. C.2 D.【答案】B【解析】【分析】根據(jù)函數(shù)的周期性和絕對(duì)值型函數(shù)的單調(diào)性進(jìn)行求解即可.【詳解】因?yàn)榇嬖诔?shù)，使得對(duì)任意，都有，所以函數(shù)的周期為，當(dāng)時(shí)，函數(shù)在單調(diào)遞減，所以當(dāng)時(shí)，函數(shù)在上單調(diào)遞減，因?yàn)樵趨^(qū)間上單調(diào)遞減，所以有，故選：B【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：根據(jù)函數(shù)的周期的性質(zhì)，結(jié)合絕對(duì)值型函數(shù)的單調(diào)性是解題的關(guān)鍵.二、填空題（共5題，每題5分）11.函數(shù)的定義域是____________．【答案】【解析】【分析】由復(fù)合函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)以及冪函數(shù)的定義域即可求解.【詳解】要使函數(shù)有意義，當(dāng)且僅當(dāng)，解得，所以函數(shù)的定義域是.故答案為：.12.數(shù)列是公差為的等差數(shù)列，記的前項(xiàng)和為，且成等比數(shù)列，則_______；_______.【答案】①.8②.【解析】【分析】由等比數(shù)列的性質(zhì)得，解出的值，再結(jié)合等差數(shù)列的前項(xiàng)和公式可得結(jié)果.【詳解】因?yàn)閿?shù)列是公差為的等差數(shù)列，成等比數(shù)列，所以，即，解得；所以，故答案為：8，.13.已知菱形的邊長(zhǎng)為，，，則_________________.【答案】【解析】【分析】利用向量的線(xiàn)性運(yùn)算得到，，再利用數(shù)量積的定義及運(yùn)算，即可求出結(jié)果.【詳解】因，所以，又，所以，又菱形的邊長(zhǎng)為，，所以，故答案為：.14.設(shè)函數(shù)①給出一個(gè)的值，使得的圖像向右平移后得到的函數(shù)的圖像關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，______；②若在區(qū)間0,π上有且僅有兩個(gè)零點(diǎn)，則的取值范圍是______．【答案】①.（答案不唯一）②.【解析】【分析】根據(jù)變換法則得，則，取計(jì)算即可，確定，根據(jù)零點(diǎn)個(gè)數(shù)得到，解得答案.【詳解】由題意可得，因?yàn)榈膱D像關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，所以，即，當(dāng)時(shí)，；若x∈0,π，則，有且僅有兩個(gè)零點(diǎn)，則，解得，故的取值范圍為.故答案為：（答案不唯一）；15.已知函數(shù)給出下列四個(gè)結(jié)論：①當(dāng)時(shí)，存在最小值；②當(dāng)時(shí)，存在唯一的零點(diǎn)；③的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為，則函數(shù)的值域?yàn)?；④?dāng)時(shí)，對(duì)任意，，.其中所有正確結(jié)論的序號(hào)是______.【答案】②③【解析】【分析】①根據(jù)指數(shù)函數(shù)、二次函數(shù)性質(zhì)求最值判斷；②由函數(shù)零點(diǎn)概念求解零點(diǎn)判斷；③討論、、，分析各分段上零點(diǎn)的個(gè)數(shù)判斷；④用特殊值，得到即可判斷.【詳解】①當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增，故的值域?yàn)椋划?dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，，故的值域?yàn)?；由知，無(wú)最小值，故①錯(cuò)誤；②當(dāng)時(shí)，，令得，所以有唯一的零點(diǎn)0，故②正確；③至多一個(gè)零點(diǎn)，至多有兩個(gè)零點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，若，則由，可得或，故恒有兩個(gè)零點(diǎn)；時(shí)，若，則存在一個(gè)零點(diǎn)；若，不存在零點(diǎn)，所以時(shí)，零點(diǎn)個(gè)數(shù)可能為2或3個(gè)；若，則，此時(shí)，即上無(wú)零點(diǎn)，而，故有一個(gè)零點(diǎn)，即；若，則，此時(shí)上，無(wú)零點(diǎn)，時(shí)，也無(wú)解，故無(wú)零點(diǎn)，即；綜上，的值域?yàn)?，故③正確；④當(dāng)時(shí)，，則，所以，故④錯(cuò)誤.故答案為：②③.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：對(duì)于③，注意結(jié)合指數(shù)函數(shù)、二次函數(shù)性質(zhì)，應(yīng)用分類(lèi)討論分析各分段零點(diǎn)的可能情況.三、解答題（共6道題）16.已知，且.（1）求的值；（2）求的值.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）利用同角三角函數(shù)平方和商數(shù)關(guān)系可求得，根據(jù)兩角和差正切公式可求得結(jié)果；（2）利用二倍角正弦公式化簡(jiǎn)所求式子為正余弦的齊次式，由此可配湊成關(guān)于的式子來(lái)求解.【小問(wèn)1詳解】，，，，.【小問(wèn)2詳解】由（1）知：，.17.已知等比數(shù)列滿(mǎn)足，．（1）求的通項(xiàng)公式；（2）從條件①、條件②這兩個(gè)條件中選擇一個(gè)作為已知，求數(shù)列的前項(xiàng)和．條件①：設(shè)；條件②：設(shè)．【答案】（1）；（2）選擇條件①，；選擇條件②，.【解析】【分析】（1）根據(jù)條件列出關(guān)于首項(xiàng)與公比的方程，解出方程組即可求出通項(xiàng)；（2）若選擇條件①，利用等差數(shù)列的前項(xiàng)和公式求和，若選擇條件②，利用分組法求和.【詳解】（1）設(shè)等比數(shù)列的公比為，則，解得，所以；（2）選擇條件①：，所以；選擇條件②：，所以.18.已知函數(shù)．（1）求的最小正周期及單調(diào)遞增區(qū)間；（2）求在區(qū)間上的最值，并求出此時(shí)對(duì)應(yīng)的的值；（3）若在區(qū)間上有兩個(gè)零點(diǎn)，直接寫(xiě)出的取值范圍．【答案】（1）最小正周期為，單調(diào)遞增區(qū)間為；（2）時(shí)最小值為；時(shí)最大值為1；（3）.【解析】【分析】（1）由二倍角正余弦公式、輔助角公式化簡(jiǎn)函數(shù)式，根據(jù)正弦型函數(shù)性質(zhì)求最小正周期和遞增區(qū)間；（2）由（1）及正弦型函數(shù)性質(zhì)求最值即可；（3）問(wèn)題化為與在區(qū)間上有兩個(gè)交點(diǎn)，數(shù)形結(jié)合求參數(shù)范圍.【小問(wèn)1詳解】因?yàn)?，所以最小正周期為，又增區(qū)間為，令得：，所以單調(diào)遞增區(qū)間為．【小問(wèn)2詳解】因?yàn)?，所以．?dāng)，即時(shí)，取最小值；當(dāng)，即時(shí)，取最大值1．【小問(wèn)3詳解】由題意，與在區(qū)間上有兩個(gè)交點(diǎn)，而在上圖象如下：由圖知：，即.19.如圖，在四棱錐中，平面ABCD，PB與底面ABCD所成角為，底面ABCD為直角梯形，.（1）求PB與平面PCD所成角的正弦值；（2）求平面PCD與平面PBA所成角的余弦值；（3）N為AD中點(diǎn)，線(xiàn)段PC上否存在動(dòng)點(diǎn)M（不包括端點(diǎn)），使得點(diǎn)P到平面BMN距離為.【答案】（1）（2）（3）答案見(jiàn)解析【解析】【分析】（1）證明出，，，建立的空間直角坐標(biāo)系，求得向量，平面的一個(gè)法向量為，結(jié)合向量的夾角公式，即可求解；（2）由平面PBA的一個(gè)法向量，和平面的一個(gè)法向量為，結(jié)合向量的夾角公式，即可求解；（3）設(shè)，則，則可得平面的一個(gè)法向量，通過(guò)點(diǎn)到平面距離的公式，得到參數(shù)表示的一個(gè)代數(shù)式，則可得到點(diǎn)到平面BMN距離的范圍，即可得到最大值.【小問(wèn)1詳解】因?yàn)槠矫?，且平面，所以，，又因?yàn)?，所以，因?yàn)榕c底面所成角為，所以，故，以為坐標(biāo)原點(diǎn)，，，所在直線(xiàn)分別為軸，軸，軸建立的空間直角坐標(biāo)系，如圖所示，因?yàn)椋?，可得，，，，所以，，，設(shè)平面的一個(gè)法向量為，可得，取，則，可得，設(shè)PB與平面PCD所成的角為，則，所以PB與平面PCD所成角的正弦值為.【小問(wèn)2詳解】根據(jù)題意，平面PBA的一個(gè)法向量，由（1）知，平面的一個(gè)法向量為，則，所以平面PBA與平面所成的銳二面角的余弦值為.【小問(wèn)3詳解】因?yàn)镹為AD中點(diǎn)，所以，設(shè)，，則，解得，故，∴，設(shè)平面的法向量為，則，令，則，即，∵，∴點(diǎn)到平面距離為，當(dāng)時(shí)，則，∴，當(dāng)時(shí)取等號(hào)，則，綜上，點(diǎn)到平面距離的取值范圍的最大值為.20.已知二次函數(shù)滿(mǎn)足，且該函數(shù)的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)，在x軸上截得的線(xiàn)段長(zhǎng)為4，設(shè)gx=fx?ax（1）求的解析式；（2）求函數(shù)在區(qū)間0,2上的最小值；（3）設(shè)函數(shù)，若對(duì)于任意，總存在，使得成立，求a的取值范圍.【答案】（1）（2）答案見(jiàn)解析（3）【解析】【分析】（1）根據(jù)二次函數(shù)的對(duì)稱(chēng)性及過(guò)的點(diǎn)列式求解即可；（2）根據(jù)，，分類(lèi)討論求解即可；（3）由題意，利用換元法求解函數(shù)的最小值，結(jié)合（2）中的最小值列不等式求解即可.【小問(wèn)1詳解】因?yàn)?，則的圖象關(guān)于直線(xiàn)對(duì)稱(chēng)且在x軸上截得的線(xiàn)段長(zhǎng)為4，的圖象與x軸的交點(diǎn)分別為，，所以設(shè).該函數(shù)的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)，解得，所以.【小問(wèn)2詳解】因?yàn)?，其?duì)稱(chēng)軸方程為，當(dāng)，即時(shí)，.當(dāng)，即時(shí)，當(dāng)，即時(shí)，綜上所述，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，.【小問(wèn)3詳解】若對(duì)于任意，總存在，使得成立，等價(jià)于函數(shù)，因?yàn)?，所以，所以?dāng)時(shí)，取得最小值當(dāng)時(shí)，，所以，不成立當(dāng)時(shí)，，所以，解得或，所以當(dāng)時(shí)，，所以，解得，所以綜上所述，a的取值范圍是.【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：雙變量的任意、存在性問(wèn)題應(yīng)轉(zhuǎn)化成函數(shù)最值的大小比較問(wèn)題.21.已知為有窮整數(shù)數(shù)列．給定正整數(shù)m，若對(duì)任意的，在Q中存在，使得，則稱(chēng)Q為連續(xù)可表數(shù)列．（1）判斷是否為連續(xù)可表數(shù)列？是否為連續(xù)可表數(shù)列？說(shuō)明理由；（2）若為連續(xù)可表數(shù)列，求證：k的最小值為4；（3）若為連續(xù)可表數(shù)列，且，求證：．【答案】（1）是連續(xù)可表數(shù)列；不是連續(xù)可表數(shù)列．（2）證明見(jiàn)解析．（3）證明見(jiàn)解析．【解析】【分析】（1）直接利用定義驗(yàn)證即可；（2）先考慮不符合，再列舉一個(gè)合題即可；（3）時(shí)，根據(jù)和的個(gè)數(shù)易得顯然不行，再討論時(shí)，由可知里面必然有負(fù)數(shù)，再確定負(fù)數(shù)只能是，然后分類(lèi)討論驗(yàn)證不行即可．【小問(wèn)1詳解】，，，，，所以是連續(xù)可表數(shù)列；易知，不存在使得，所以不是連續(xù)可表數(shù)列．【小問(wèn)2詳解】若,設(shè)為,則至多，6個(gè)數(shù)字，沒(méi)有個(gè)，矛盾；當(dāng)時(shí),數(shù)列，滿(mǎn)足，，，，，，，，．【小問(wèn)3詳解】，若最多有種，若，最多有種，所以最多有種，若，則至多可表個(gè)數(shù)，矛盾,從而若,則，至多可表個(gè)數(shù)，而，所以其中有負(fù)的，從而可表1~20及那個(gè)負(fù)數(shù)（恰21個(gè)），這表明中僅一個(gè)負(fù)的，沒(méi)有0，且這個(gè)負(fù)的在中絕對(duì)值最小，同時(shí)中沒(méi)有兩數(shù)相同,設(shè)那個(gè)負(fù)數(shù)為，則所有數(shù)之和，，，再考慮排序，排序中不能有和相同，否則不足個(gè)，（僅一種方式），與2相鄰，若不在兩端,則