初中數(shù)學(xué)幾何輔助線秘籍答案

參考答案

第一章

例1

【解析】如下圖所示，延長(zhǎng)AD至點(diǎn)E,使得DE=AD,連接CE.

VAD=ED,ZADB=ZEDC,BD=CD,

AAABD^AECD.ACE=BA.

在AACE中，AC-CE<AE<AC+CE,即20—12VAEV20+12,

A8<AE<32.

??,AD=-AE

2f

A4<AD<16.

例2

【解析】證法一：如下圖（a）所示，延長(zhǎng)AD至點(diǎn)G,使DG=AD,連接BG.

VDB-DC,ZBDG-ZCDA,AD-GD.

/.△ADC^AGDB./.AC=GB.ZG=ZEAF.

又??，AF=EF,AZEAF=ZAEF.

VZAEF=ZBED,

AZG=ZBED,，BE=BG,，BE=AC.

證法二：如下圖（b）所示，延長(zhǎng)ED至點(diǎn)G,使得DG=DE.連接CG.

丁點(diǎn)D是BC中點(diǎn)，??.BD=CD.

VZBDE=ZCDG,/.ABED^ACGD.

AZG=ZBED,BE=CG.

VAF=EF,:.ZFAE=ZAEF=ZBEG,

AZG=ZDAC,即NG=NEAF,AAC=GC.

，AC=BE.

A

A

例2后變式1

【解析】答：AF=EF

如下圖所示，延長(zhǎng)AD至點(diǎn)G,使DG=AD,連接BG,

VBD=CD,ZBDG=ZCDA,AD=GD.

/.△ADC^AGDB(SAS).，AC=GB,ZG=ZEAF.

又???BE=AC,，BE=BG.

AZG=ZBED,VZBED=ZAEF.

???NAEF=NFAE,，F(xiàn)A=FE.

A

例2后變式2

【解析】證法一：如下圖（a）所示，延長(zhǎng)FE到點(diǎn)H,使HE=FE,連接BH.

VCE=BE,NCEF=NBEH,FE=HE,

/.△CEF^ABEH（SAS）.，NF=NH,CF=BH.

TAD平分NBAC,AZ1=Z2.

VAD#EF,AZ1=ZAGF=Z2=ZF=ZBGH.

/.ZBHG=ZBGH.，BG=BH.；?BG=CF.

證法二：如下圖（b）所示，取AB的中點(diǎn)Q,連接EQ,

則EQ」AC,EQ〃AC,AZQEC=ZF.

VEF//AD,AZF=Z2=Z1.

VZQGE=Z1,NQEG=NF,ZFCA=Z1,

???NF=NFGA,NQGE=NQEG,故EQ=GQ,AF=AG.

???BQ=AQ=GQ+AG,ABG=BQ+GQ=2GQ+AG.

V2GQ=2EQ=AC,??.BG=AC+AF=CF.

證法三：如下圖(c)所示，過(guò)B、C分別作EF的垂線BP、CQ,垂定為P、Q,

AZBPE=ZCQE.；?BP〃CQ,AZPBE=ZQCE.

又BE=CE,ARtABPF^RtACQE,ABP=CQ.

又<EF〃AD,Z1=Z2,AZF=Z2,ZBGP=Z1.

?,.NBCP=NF,又???NBPE=NFQC,

ARtABPG^RtACQF.；?BG=CF.

證法四：如下圖(d)所示，分別取AB、AC之中點(diǎn)Q、S,連接EQ、ES

?IE為BC的中點(diǎn)，，EQ=』AC,ES=-AB.貝I」BQ=ES,CS=EQ.

22

<EF〃AD,Z1=Z2,???NF=N2,而NFES=N1,AZFES=ZF./.ES=SF

又???NQEG-NF-N1,NQGE—Nl,，NQEG-NQGE,AEQ-QG.

，BG=BQ+QG=ES+EQ=SF+CS,即BG=CF.

證法五：如下圖（e）所示，由B向AD引垂線BQ,垂足為Q,延長(zhǎng)BQ交AC延長(zhǎng)線于S,

連接EQ.

VZ1=Z2,???△ABS為等腰三角形.

，AB=AS,BQ=QS.

又???BE=EC.

又?.?EF〃AQ,???四邊形EQAF為平行四邊形，AEQ=AF,ACS=2EQ=2AF.

又???/F=N2,ZFGA=Z1,N1=N2.r.ZFGA=ZF,，AG=AF.

VBG=AB-AG,AC=AS-CS=AB-2AF.

/.CF=AC+AF=AB-2AF+AF=AB-AF=AB-AG,故BG=CF.

證法六：如下圖(f),由C向AD作垂線交AB于點(diǎn)Q,垂足為H.

.\ZAHQ=ZAHC=90°,，N1+NAQC=N2+NACQ

VZ1=Z2,/.ZAQC=ZACQ,AAQ=AC,QH=HC.

連接EH,則EQ幺:3Q,VGE-7AH,

?二四邊形GEHA為平行四邊形.；.EH=AG.ABQ-2AG.

VEF//AD,Z1=Z2,

/.ZF=Z2,ZFGA=Z1.

AZFGA=ZF.

/.AG=AF,BQ=2AF.

VQG=AQ-AG=AC-AG=AC-AF,AG=AF.

???BG=BQ+QG=2AF+AC-AF=AC+AF=CF.即BG=CF.

證法七：如下圖（g）所示，延長(zhǎng)FE至點(diǎn)H,使EH=EF,連接BH、CH、BF,又BE=CE,

???四邊形BHCF為平行四邊形，；.BH=CF,ZBHG=ZHFC.

VEF^AD,Z1=Z2,AZBGH=Z1,ZBHG=ZHFC=Z2.AZBGH=ZBHG.故

BG=BH=CF.

例3

【解析】以線段BE、EF、FC為邊能構(gòu)成一個(gè)直角三角形.

證明：如下圖所示，延長(zhǎng)FD至點(diǎn)G,使GD=FD,連接EG、BG.

A

G

VCD=BD,ZCDF=ZBDG,FD=GD,

.,.△CDF^ABDG(SAS).

???CF=BG,ZFCD=ZGBD.AAC^BG.

VZBAC=90°,AZEBG=90°.

VGD=FD,ED1DF,.\EF=EG.

?.?在RtAEBG中，BE2+BG2=EG2,

ABE2+CF2=EF2.

故以線段BE、EF、FC為邊能構(gòu)成一個(gè)直角三角形.

例3后變式1

【解析】證明：如下圖所示，延長(zhǎng)EM至點(diǎn)D,使MD=EM.連接CD、FD.

VBM=CM,ZBME=ZCMD,EM=DM,

AABEM^ACDM.ABE=CD.

VZBME=ZEMA,NAMF=NFMC,

???NEMA+NAMF=NBME+NFMC=90°.

AFMXED,VEM=MD,，EF=FD.

在ACFD中，CF+CD>FD,/.BE+CF>EF.

A

例3后變式2

【解析】證明：如下圖所示，延長(zhǎng)MD至點(diǎn)E,使DE=DM.連接CE、NE,

VBD=CD,ZBDM=ZCDE,

/.△BMD^ACED.??.BM=CE,ZBMD=ZCED.

是ME的中點(diǎn)，BM2ZCN2=DM2+DN2,DM±DN,

JCE2+CN2=DE2+DN2=NE2.

AZNCE=90°.即ECJ_AC,

VZBMD=ZDEC,，AB〃CE.

AAB±AC.???NBAC=90°.

，］YI

AAD2=-BC=-(AB2+^C2).

12J4

例4

【解析】證明：如下圖所示，連接DF、DE.

「BE、CF分別為邊AC、AB上的高，

???NBEC=NBFC=90°,

在RtABFC和RtABEC中，

YD是BC邊中點(diǎn)，JOE=DF=-BC.

22

???DE=DF.

又?.?DM_LEF,，F(xiàn)M=EM.

例5

【解析】如下圖所示，延長(zhǎng)BM交CE于點(diǎn)N,

VZABD-ZACE-9O0,

???DB〃CE,AZMDB=ZMEN.

VMD=ME,ZBMD=ZNME,

/.△MBD^AMNE.AMB=MN,即M是BN中點(diǎn).

VZBCN=90°，???MC=MB.

例6

【解析】證明：(1)如下圖(a)所示，連接BD,取BD的中點(diǎn)H,連接HE、HF,

VAB=DC,F、F分別是BC,AD的中點(diǎn).

/.FH=-AB,FH〃MB.HE=-DC,HE〃NC.

22

，HE=HF,AZHFE=ZHEF.

???FH〃MB,HE〃NC.

AZBME=ZHFE,ZCNE=ZFEH.

AZBME=ZCNE.

（2）等腰三角形（提示：取AC中點(diǎn)H,連接FH、EH）.

（3）ZXAGD是直角三角形

證明：如下圖（b）所示，連接BD,取BD的中點(diǎn)H,連接HF、HE.

M

(a)(b)

???F是AD的中點(diǎn)，???HF〃AB,HF=-AB.

2

AZ1=Z3.

同理，HE〃CD,HE=-CD,AZ2=ZEFC.

2

VAB=CD,???HF=HE,/.Z1=Z2.

VZEFC=60°,/.Z3=ZEFC=ZAFG=60°.

???△AGF是等邊三角形.

AAF=FG,AGF=FD,AZFGD=ZFDG=30°，

，NAGD=90°,即ZXAGD是直角三角形.

例7

【解析】證法一：如下圖(a)所示，延長(zhǎng)CE到點(diǎn)F,使EF=CE,連接BF.

丁點(diǎn)E是AB的中點(diǎn)，???AE=EB.

：AE=BE,ZAEC=ZBEF,CE=FE,

AAEAC^AEBF(SAS).

，BF=AC=BD,ZEBF=ZA.

VAB=AC,AZABC=ZACB,

JNFBC=ZFBE+ZEBC=ZA+ZACB=ZDBC.

VFB=DB,ZFBC=ZDBC,BC=BC,

/.△FBC^ADBC(SAS).ACD=CF=2CE.

證法二：如下圖(b)所示，延長(zhǎng)CE到點(diǎn)H,使得EH=CE,連接AH.

YE是AB中點(diǎn)，???AE=EB.

VEH=EC,ZAEH=ZCEB,AE=EB,

???△AEH?△BEC.AZCBE=ZHAE.

又???AC=AB,.\ZBCA=ZABC.

'：ZCBD=ZCAB+ZBCA,ZCAH=ZCAB+ZHAE,

AZCBD=ZCAH.

VAB=BD,???AC=BD.

VAC=BD,ZCAH=ZDBC,AH=BC,

/.△CAH^ADBC.???DC=HC=2CE.

證法三：延長(zhǎng)BC到點(diǎn)F,使CF=CB,如下圖（c）所示.

VAE=EB,：.CE=-AF.

2

XVAB=AC,AZACB=ZABC.

VZFCA=180°-ZACB,ZCBD=180°-ZABC,

AZFCA=ZCBD.

VAB=AC,AB=BD,AAC=BD.

VFC=CB,ZFCA=ZCBD,AC=DB,

/.△FCA^ACBD.，AF=DC.

VCE=-AF,JCE=-CD,即CD=2CE.

22

證法四：如下圖(d)所示，取CD中點(diǎn)F,連接FB.

???點(diǎn)B為AD中點(diǎn)，AFB=-AC,FB〃AC.

2

VAC=AB,AE=EB,AFB=EB.

VAC=AB,.\ZABC=ZACB,

又???BF〃AC,AZACB=ZFBC.AZEBC=ZFBC.

VEB=BF,NEBC=NFBC,CB=CB,

AACEB^ACFB.ACF=CE.

*：CF=-CDt：,CE=-CD,即CD=2CE.

(C)(d)

證法五：如下圖(e)所示，延長(zhǎng)AC至點(diǎn)F,使CF=AC.連接BF、DF.

AF=2AC=2AB=AD.

VAC=AB,ZA=ZA,AD=AF,

AAABF^AACD..\BF=CD.

TE是AB中點(diǎn)，???CE是AABF的中位線.

/.CE=-BF=-CD.ACD=2CE.

22

證法六：如下圖(f)所示，取AC中點(diǎn)F,連接FB.

???點(diǎn)B為AD的中點(diǎn)，???FB〃CD,FB=-CD.

2

VAB=AC,.e.ZABC=ZACB,同JNEBC=NFCB.

丁點(diǎn)E為AB的中點(diǎn)，點(diǎn)F為AC的中點(diǎn)，???FC=EB.

VEB=FC,NEBC=NFCB,BC=BC,

AAEBC^AFCB.，CE=BF.

VFB=-CDf：.CE=-CD,即CD=2CE.

22

(e)⑴

例8

【解析】問(wèn)題1k的值為1.

問(wèn)題2證明：如下圖所示.

VCB=CA,AZCAB=ZCBA.

VZMAC=ZMBC,

:.ZCAB-ZMAC=ZCBA-ZMBC,即ZMAB=ZMBA.

AMA=MB.

VME±BC,MF_LAC,垂足分別為點(diǎn)E,F,

AZAFM=ZBEM=90°.

VZAFM=ZBEM,ZMAF=ZMBE,MA=MB,

/.△AFM^ABEM.AAF-BE.

???點(diǎn)D是AB邊的中點(diǎn)，???BD=AD.

VBD=AD,ZDBE=ZDAF,BE=AF,

/.△BDE^AADF.，DE=DF.

A

問(wèn)題3解：DE=DF.

證明：分別取AM,BM的中點(diǎn)G,H,連接DG、FG、DH.EH,如下圖所示.

丁點(diǎn)D,G,H分別是AB、AM、BM的中點(diǎn)，

???DG〃BM,DH〃AM,且DH=-AM.

22

J四邊形DHMG是平行四邊形，，NDHM=NDGM.

VME±BC,MF±AC,垂足分別為點(diǎn)E、F,

AZAFM=ZBEM=90°.

AFG=-AM=AG,EH=LBM=BH.

22

???FG=DH,DG=EH,ZGAF=ZGFA,ZHBE=ZHEB.

AZFGM=2ZFAM,ZEHM=2ZEBM.

VZFAM=ZEBM./.ZFGM=ZEHM.

AZDGM+ZFGM=NDHM+NEHM,即NDGF=ZDHE.

VEH=DG,NEHD=NDGF,HD=GF,

.,.△EHD^ADGF.，DE=DF.

小試1

【解析】解法一：

如下圖（a）所示，連接BD,YBD是Rt^ABC斜邊上的中線，

ABD=-AC=CD=AD..*.ZC=Z1=45°.

2

/.Z2=90°-Zl=90°-45°=45°./.ZC=Z2.

又???N3+N4=90°,N4+N5=90°,

AZ3=Z5.AABED^ACFD./.DE=DF.

VZ3+Z6=90°,N3+N4=90°,，N4=N6.

又???N1=NA=45°,

/.△AED^ABFD.AAE=BF=4.

又???AB=BC,，BE=FC=3.AEF=\lEB2-^-BF2=A/32+42=5.

解法二：如下圖（b）所示，延長(zhǎng)ED至點(diǎn)G,使得DG=DE,連接GF、GC.

VAD=CD,ZADE=ZCDG,AAAED^ACGD.

，CG=AE=4,CG〃AE.

VZB=90°,/.ZGCB=90°./.GF=y]cG2+CF2=5.

XDEIDF,DE=DG,I.DF是GE的垂直平分線.

，EF=GF=5.

小試2

【解析】證明：如下圖所示，延長(zhǎng)AC至點(diǎn)F,使CF=AC,連接BF,

VBC=CD,ZBCF=ZDCA,

AABCF^ADCA.，BF=AD.

VAD=BE,???BE=BF.VAE=2AC,AF=2AC,

/.AE=AF.

AAB±EF..,.ZBAC=90°.

?二△ABC是直角三角形.

E

小試3

【解析】證明：如下圖所示，延長(zhǎng)CF交DA延長(zhǎng)線于點(diǎn)N.

丁四邊形ABCD為正方形，???AD〃BC,ZN=ZMCB.

TF是AB中點(diǎn)，???AF=BF.

VZN=ZFCB,ZNFA=ZCFB,AF=BF.

AAANF^BCF.，AN=BC=AD.

???A是DN的中點(diǎn).

VDE±CF,.\ZNMD=90<>.AAM=-DN=AD.

2

小試4

【解析】證明：如下圖所示，

延長(zhǎng)AM至點(diǎn)F,使MF=AM.

連接BF交AD于點(diǎn)N,交CD于點(diǎn)O.

易證△AMEgZ\FMB,

???AE=FB,ZEAF=ZF,AAE//FB,ZANF=90°.

VZCAD+ZDAB=90°,ZDAB+ZABN=90°.

AZCAD=ZABN.

VAD=AE,???AD=BF.

/.△ACD^AABF,AZD=ZF.

VZD+ZDON=ZFOH+ZF=90°,AZAHD=90°,

即AM±CD.

A

D

小試5

【解析】證明：如下圖所示，連接BP、CR.

???四邊形ABCD是等腰梯形，

，AD=BC,OA=OB,OC=OD.

VZAOB=60°,??.△AOB、ACOD都是正三角形，

TP是OA的中點(diǎn)，R是OD的中點(diǎn)，

???BP_LOA,CR±OD.

???PQ、RQ分別是直角三角形△PBC、ARBC斜邊上的中線.

???PQ=；BC=QR,

TPR是△ODA的中位線，APR=-AD=-BC.

22

，PR=PQ=QR.

???△PQR是正三角形.

DC

小試6

【解析】證法一：如下圖（a）所示，取AC邊中點(diǎn)F,連接EF、DF,

由中位線定理可得，￡77=!AB且/B=NCEF.

2

VDF^jRtAADC斜邊上的中線，

???DF=CF./.ZCDF=ZC.

又VZDFE+ZFDE=ZCEF,即NC+ZDFE=2ZC,

:.ZDFE=ZEDF./.DE=EF=-AB.AB=2DE.

2

證法二：

如下圖（b）所示，取AB中點(diǎn)M,連接ME、MD.設(shè)NC=x,

VZB=2ZC,AZB=2x.

???點(diǎn)E是BC中點(diǎn),AME#AC./.ZMED=ZC=x.

在Rtz^XADB中，YM是AB中點(diǎn)，AMD-MB,

，NMDB=NB=2x.

VNMDB=NDME+ZMED,ZDME=x=ZMED.

ADE=DM.

DM=MB」AB,：.DE=-AB,即AB=2DE.

22

證法三：

如下圖（c）所示，延長(zhǎng)CB至點(diǎn)C',使C'D=CD.

設(shè)DC=a,BD=b,則C'B=a-b,BC=a+b.

,?,點(diǎn)E為BC中點(diǎn)，二"2.

2

???DE=BE-BD=^--b=^-=-C'B.

222

設(shè)NC=x,則NABC=2x.

VAD±C/C且C'D=CD,.*.AC/=AC.

/.ZCT=ZC=x.

YNABC是△ABC'的外角，/.ZCZAB=x=ZC

：,CB=AB.VDE=-AB,即AB=2DE.

2

小試7

證明；(1)如下圖所示，延長(zhǎng)AM至點(diǎn)N,使MN-AM,延長(zhǎng)MA交EG于點(diǎn)P,連接BN、

NC.

VBM=CM,.??四邊形ABNC是平行四邊形.

，BN=AC=AG.

VZEAG+ZBAC=180°,

NABN+NBAC=180°，AZEAG=ZABN.

VAE=AB,AAEAG^AABN./.ZAEG=ZBAN.

又?.?NEAB=90°，??.NEAP+/BAN=90°.

???NAEP+NEAP=90°./.MAIEG.

(2)證明：VAEAG^AABN,AEG=AN=2AM.

小試8

【解析】ANINQ是等腰直角三角形，如下圖所示，連接CE、BG,設(shè)CE交AB于點(diǎn)K,

交BG于點(diǎn)H,則MQ、QN分別是△BEC和4CGB的中位線.

???MQ〃CE,QN//BG.

在AAEC和4ABG中，

VAE=AB,AC=AG,

NEAB+NBAC=ZGAC+ZBAC,

AZEAC=ZBAG.

/.△AEC^AABG,/.ZAEC=ZABG,EC=BG.

又???NAEC+NAKE=90°,ZAKE=ZBKH,

???NABG+NBKH=90°,AZBHK=90°.

，CE_LBG,AMQ1QN.

VMQ=-CE,NQ=LBG..?.MQ=NQ..??△MQN是等腰直角三角形.

22

小試9

【解析】證法一：如下圖（a）所示，取AC中點(diǎn)M,AD中點(diǎn)N.連裝MF、NF、MB、NE

則根據(jù)直角三角形斜邊中線的性質(zhì)及中位線的性質(zhì)，有MF=-AD=NE,

2

NF=、AC=MB,MF〃AD,NF/7AC.

2

JNDNF=ZCAD=ZCMF.

VBM=AM,AZMBA=ZCAB.

???ZBMC=ZMBA+ZCAB=2ZCAB.

同理可證NDNE=2NDAE.

VZBAC=ZEAD,AZBMC=ZEND.

???ZBMC+ZCMF=ZFND+ZDNE.即ZBMF=ZFNE.

AAMBF^ANFE.ABF=EF.

證法二：如下圖（b）所示，延長(zhǎng)CB至點(diǎn)M,使得MB=BC,延長(zhǎng)DE至點(diǎn)N,使得NE

=DE.

連接AM、AN、MD、CN.VZABC=ZAED=90°，

△AMC、AADN是等腰三角形.

/.Z1=Z2,N3=N4.

VZ1=Z3,AZMAC=ZNAD.

VAM=AC,ZMAD=ZCAN,AD=AN.

AAMAD^ACAN.r.MD=CN.

???F是CD中點(diǎn)，

眺望中考

【解析】操作發(fā)現(xiàn)：①??④

數(shù)學(xué)思考：MD=ME,MD_LME.

先證：MD=ME；

如下圖所示，分別取AB,AC的中點(diǎn)F,G,連接DF,MF,MG,EG,

<M是BC的中點(diǎn)，，MF〃AC,MF=-AC.

2

又TEG是等腰RtZXAEC斜邊上的中線，，EGJ_AC且EG=，AC.，MF=EG.

2

同理可證DF=MG,

VMF77AC,.*.ZMFA4-ZBAC=180°，

同理可證NMGA+NBAC=180°,,NMFA=NMGA.

又「EG，AC,AZEGA=90°.

同理可證NDFA=90°,/.ZMFA+ZDFA=ZMGA+ZEGA.即/DFM=NMGE.

又MF=EG,DF=MG,/.△DFM^AMGE(SAS).

???MD=ME.

再證MD_LME；

證法一：VMG/ZAB,AZMFA-ZFMG=180°.

又???△DFM也AMGE,/.ZEMG=ZMDF.

AZMFA+ZFMD+ZDME+ZMDF=180°,

VZMFA+ZFMD+ZMDF=905,/.ZDME=90°.

即MD_LME；

證法二：MD與AB交于點(diǎn)H,

VAB^MG,/.ZDHA=ZDMC,

又丁NDHA=NFDM+NDFH,即NDHA=NFDM+90。

VZDMG=ZDME+ZGME,

/.ZDME-9O0即MDJ_ME；

?類(lèi)比探究

答：等腰直角三角形

第二章

例1

【解析】(1)2

(2)證明：如下圖所示，過(guò)P點(diǎn)分別作PM_LAB于點(diǎn)M,PN_LBC于點(diǎn)N,PQ_LAC于點(diǎn)Q.

VZ1=Z2,，PM=PN.

VZ3=Z4,??.PN=PQ.

，PM=PQ.，AP平分NBAC.

A

例2

【解析】(1)證明：VCD±AB,AZADC=900.

VZACB=90°,

/.ZCAF+ZCFA=90°,ZDAE+ZAED=90°.

YAF平分/CAB,AZCAF=ZDAE.

/.ZCFA=ZAED=ZCEF.r.CE=CF.

(2)解：BE'=CF.

證明：如下圖所示，過(guò)點(diǎn)E作EG_LAC于點(diǎn)G.

又〈AF平分NCAB,ED±AB,：?ED=EG.

由平移的性質(zhì)可知：D'E'=DE,JD'E'=GE.

VZACB=90°..\ZACD+ZDCB=90o.

VCD1AB于點(diǎn)D.

/.ZB+ZDCB=90°.AZACD=ZB.

在RtZXCEG與RtZ\BE'D'中，

VZGCE=ZB,ZCGE=ZBD;E',EG=E'D',

/.△CEG^ABE,D'.ACE-BE7.

由(1)可知CE=CF,???CF=BE'.

ADAfDfB

例3

【解析】(1)PB+PC>AB+AC,理由如下：

在BA的延長(zhǎng)線」.截取AE=AC,連接PE,如下圖所示，

VAD是ABAC的外角平分線，AZCAP=ZEAP.

在4ACP和4AEP中，AC=AE,ZCAP=ZEAP,AP=AP,

AAACP^AAEP,，PC=PE.

在ABPE中，PB+PE>BE,

???BE=BA+AE=AB+AC,，PB+PC>AB+AC.

BCD

(2)PC-PB<AC-AB,理由如下：

在AC上取一點(diǎn)E,使AE=AB,連接PE,如下圖所示.

TAD平分NBAC,.*.ZEAP=ZBAP.

VAE=AB,AP=AP,AAAPE^AAPB,，PE=PB.

在AEPC中，PC-PE<EC,即PC—PBVAC-AE,

APC-PB<AC-AB.

A

BDC

例4

【解析】證法一：如下圖(a)所示，延長(zhǎng)BA交CE延長(zhǎng)線于點(diǎn)F,

VBE1CF,???NBEC=NBEF.

VZFBE=ZCBE,BE=BE.

/.△BCE^ABFE.：.CE=EF=-CF.

2

VZFCA+ZF=90°,NDBA+NF=90°,

AZFCA=ZDBA.

XVAC=AB,ZFAC=ZDAB=90°，

AAFCA^ADBA,???CF=BD.

VCF=2CE,.*.BD=2CE.

證法二：如下圖(b)所示，過(guò)點(diǎn)D作DH〃BC交AB于點(diǎn)H.過(guò)點(diǎn)H作HFJ_BD,垂足為點(diǎn)

F.

???NAHD=NABC=45°,ZHDB=ZDBC=ZHBD,

???HB=HD....HF是BD的中垂線，BF=-BD.

2

又?.?AH=AD,AB=AC,；.HB=DC.

ZBHF=ZBDA=ZCDE,

/.RtABFH^RtACED.

，BF=CE,CE=-BD,即BD=2CE.

2

(a)(b)

證法三：如下圖(c)所示，作NACB的平分線CF,交AB于點(diǎn)F.

過(guò)D作DH_LCF,垂足為點(diǎn)H,連接FD.

VZABC=ZACB,BD平分NABC,CF平分NACB,

/.△BFC^ACDB.

ABD-CF,BF-CD,AF-AD.

???NAFD=NABC=45°.，F(xiàn)D〃BC.

???ZDFC=NBCF=-ZACB=22.5°.

2

AZDFC=ZDCF,，DF=DC..?.DH是CF的中垂線，

???HC=HF=-CF=-BD.

22

VZECD+ZCDE=900,ZABD+ZADB=90°,ZCDE=ZADB,

/.ZECD=ZABD=22.5°./.ZECD=ZHCD.

又???NDEC=NDHC=90°,DC為公共邊，

AADCE^ADCH.：.CE=CH=-BD,即BD=2CE.

2

證法四：如下圖(d)所示，作BD的中垂線GH交BC于點(diǎn)H,連接DH,則BH=DH,ZHDG

=ZHBG.

VZABG=ZHBG,

???NHDG=NABG,從而HD〃AB.

/.ZDHC=ZABC=45n,/.ZDHC=ZDCH.

，HD=CD,即BH=CD.

又?.?NECD+NCDE=90°,ZABD+ZADB=90°,

???NADB=NCDE.

AZECD=ZABD,即NECD=NGBH.

ARlACED^RlABGH.

：.CE=BG=-BD,故BD=2CE.

2

證法五：如下圖(e)所示，作BC的中線AM,則AM_LBC,AM平分/BAC,取CD的中點(diǎn)

F,連接MF、ME,則

2

VME是RtABCE斜邊上的中線，

???ME=BM,???/MEB=/EBM=-/ABC=22.5°.

2

/.ZCME=ZMEB+ZEBM=45°,

，NCMF=NMAF=45°.

又???NECB+NCBE=90°,NADB+NABD=90°,

ZCBE-ZABD,

，NECB=NADB.

VMF/7BD,AZMFA=ZADB.即NMFA=NECB.

/.△AMF^AMEC,???MF=CE,

即故BD=2CE.

2

A

BMC

例5

【解析】(1)證明：如下圖(a)所示，分別延長(zhǎng)AD、AE交直線BC于點(diǎn)F、G.

VAD±BD,/.ZADB=ZFDB=900.

VZABD=ZFBD,BD=BD,

AAABD^AFBD.；?AB=FB,AD=FD.

同理：AC=CG,AE=EG.

???DE是AAFG中位線.???DE〃BC.

：,DE=-FG,

2

：.DE=-FG=-{BF+BC+CG)=-{AB+BC-^AC).

222

A

證明：如下圖(b)所示，延長(zhǎng)AE交BC于點(diǎn)M,延長(zhǎng)AD交BC于點(diǎn)N,由(1)同理可得,

E是AM的中點(diǎn)，D是AN的中點(diǎn)，AB=BN,AC=CM.

???DE〃BC,DE=LMN=L(BN+CM-BC)=L(AB+AC-BC).

222

(3)DE與BC平行；DE=-(BC+AC-AB),輔助線如下圖(c)所示，證法類(lèi)似(2).

2

例5后變式

【解析】證明：如下圖所示，延長(zhǎng)BE交AC延長(zhǎng)線于點(diǎn)E取CF的中點(diǎn)M,連接EM.

TAD平分NBAC,AE1BE,AE=AE,

.,.△BAE^AFAE(ASA).

???E是BF的中點(diǎn)，AB=AF.

TM是CF的中點(diǎn)，???ME〃BC.

VAB=3AC,；?AF=3AC.

/.AC=CM,CD〃ME,

，D是AE的中點(diǎn).，AD=DE.

例6

【解析】(1)圖(a)中有兩個(gè)等腰三角形：aABC、ABCD.

(2)圖(b)中又增加了三個(gè)等腰三角形：Z\AEF、ABED>ACFD.

(3)圖⑹中有兩個(gè)等腰三角形：^BED、ACFD.

由于ED=BE,DF=CF,EF=ED+FD=BE+CF,故EF=BE+CF.

(4)圖(d)所示中仍有兩個(gè)等腰三角形4BED、ACDF.

證明：〈BD平分NABC,，NABD=NDBC,

VDE/7BC,AZEDB=ZDBC,工NABD=NEDB,

???DE=EB.

同理可證：CF=DF,???EF=DE=DF,

AEF=BE-CF.

(5)圖(e)所示與圖(c)類(lèi)似，EF=BE+CF.

例7

【解析】證法一：如下圖⑶所示，過(guò)點(diǎn)D作DE_LAB于點(diǎn)E.

VCD1AC,Z1=Z2,AD=AD.

ARtAACD^RtAAED,ACD=DE,AC=AE.

又???DEJ_BF.?.NB=45°,.'.△DEB為等腰直角三角形.

???DE=BE,???BE=CD.

AAB=AE+BE=AC+CD.

證法二：如下圖(b)所示，延長(zhǎng)AC至點(diǎn)E,使CE=CD,連接ED.

VZECD=90°,，NE=45°.

又???N1=N2,ZE=ZB=45°,AD是公共邊，

/.△ADE^AADB.??.AE=AB.

，AB=AC+CE=AC+CD.

例7后變式1

【解析】證法一：如下圖(a)所示，在BC上截取一點(diǎn)E,使BE=BA,連接DE.

TBD平分NABC,AZ1-Z2.

VBD=BD,

AABD^AEBD(SAS).

/.ZDEB=108°,???NDEC=72°.

VAB=AC,NC=36°,，NCDE=72°.ACD=CE.

???BC=BE+EC=AB+CD,

證法二：如下圖(b)所示，延長(zhǎng)BA至點(diǎn)E,使BE=BC.

VBE=BC,NEBD=/CBD,BD=BD,

/.△BED^ABCD.

AED=CD,ZBDE=ZBDC,ZE=ZC.

VZBAC=108°,/.ZEAD=72°.

iono_inoo

VAB=AC,AZC=ZABC=----------------=36。=NE.

2

AZADE=180°-ZEAD-ZE=180°-72°-36°=72°.

.\ZEAD=ZADE,EA=ED.

VED=CD,，EA=CD.

VBC=BE=AB+AE,；?BC=AB+CD.

例7后變式2

【解析】證法一：如下圖⑶所示，在BC上截取BE=BD,連接DE,過(guò)D作DF〃BC,交

AB于點(diǎn)F,

???N3=N2,ZADF=ZECD.

又〈N1=N2,/.Z1=Z3,??.DF=BF.二四邊形FBCD是等腰梯形.

???Z2=-ZABC=-xl(180o-ZA)=-x(180°-l00°)=20°，

2224

???/BED=ZBDE=i(l80°-Z2)=80°.

AZDEC=180°-ZBED=100°.

/.ZFAD=ZDEC=100°.

VBF=DC,DF=BF,，DF=DC.

/.△AFD^AEDC,AD=EC.

又：BE=BD,???BC=BD+EC=BD+AD.

證法二：如下圖(b)所示，延長(zhǎng)BD到E,使DE=AD,連接CE,在BC上截取BF=BA.

VZ1=Z2,BD為公共邊，

/.△BAD^ABFD,AAD-FD.ZADB—ZFDB.

，DE=DF.

VZ1=-ZX=-x1(180°-ZA)=-x(180°-100°)=20°.

2224

/.ZADB=180°一(ZA+Z1)=180°-(100°+20°)=60°.

，NFDB=60°，AZFDC=60o,NEDC=60°.

VDF=DE,/.ADFC^ADEC.

，NE=NDFC,N3=N4.

???/DFC=N2+NFDB=200+60°=80°,/.ZE=80°.

VZ4=40°,AZ3=40°.AZECB=Z3+Z4=80°.

，NECB=NE,ABC=BE.

VBE=BD+DE,，BC=BD+AD.

例8

【解析】圖略.

(DEF與FD之間的數(shù)量關(guān)系為FE=FD.

(2)(1)中的結(jié)論FE=FD仍然成立.

證法一：如下圖(a)所示，在AC上截取AG=AE,連接FG.

VZ1=Z2,AF=AF,

AAAEF^AAGF.AZAFE=ZAFG,FE=FG.

VZB=60°,AD、CE分別是NBAC、NBCA的平分線，

/.Z2+Z3=60°.

AZAFE=ZCFD=ZAFG=60°,/.ZCFG=60°.

VZ3=Z4,FC=FC,.*.△CFG^ACFD.

，F(xiàn)G=FD.，F(xiàn)E=FD.

證法二：如下圖(b)所示，過(guò)點(diǎn)F分別作FG_LAB于點(diǎn)G,

FH_LBC于點(diǎn)H,FM_LAC于點(diǎn)M.AZEGF=ZDHF,

VZB=60°,且AD、CE分別是NBAC、NBCA的平分線,

???N2+N3=60°,FG=FM=FH.

???NGEF=60°+N1,FG=FH.

VZHDF=ZB+Z1=6O°+ZL/.ZGEF=ZHDF,

???△EGF也△DHF.，F(xiàn)E=FD.

小試1

【解析】（1）9;（2）6.（過(guò)D作MN〃BC交AB、AC于點(diǎn)M、N.）

小試2

【解析】如下圖所示，延長(zhǎng)CD與AB交于點(diǎn)E.

VZBAD=ZCAD,CD±AD,AD=AD.

AAADE^AADC.，AE=AC,ED=CD.TH是BC的中點(diǎn),

:.DH=-BE=-(AB-AE)=-(AB-AC).

222

小試3

【解析】如下圖所示，過(guò)點(diǎn)C作CE_LAB交AB延長(zhǎng)線于點(diǎn)E,CF_LAD于點(diǎn)F,

VZABC4-ZD=180°,ZABC4-ZEBC=180°，/.ZEBC=ZD.

又???BC=CD,/.ACBE^ACDF.

ACE-CF,即AC平分NBAD.

小試4

【解析】由題意可證NBAC=2NBPC.又NBPC=40°,.\ZBAC=80°,如下圖所示，

過(guò)P分別作PE_LCD.PF±AC,PG±BA,垂足分別為E、F、G.日角平分線的性質(zhì)，得

PE=PF,PE=PG,，PF=PG.

???ZCAP=-ZCAG=-(l80°-80°)=-xl00o=50°.

222

G

八

BCED

小試5

【解析】證法一：如下圖(a)所示，過(guò)點(diǎn)D分別作BA、BC的垂線，垂足分別為E、F.

YBD平分NABC,，DE=DF.

VAD=DC.

ARtAADE^RtACDF(HL).ZEAD=ZC.

VZBAD+ZEAD=180°,/.ZBAD+ZC=180°,

AZA+ZC=180°,

證法二：如下圖(b)所示，在BC上截取BE=AB,連接DE,

VAB=EB,NABD=NEBD,BD=BD,

AAABD^AEBD.

AZA=ZBED,AD=ED.

VAD=CD,AED=CD.AZC=ZDEC.

/.ZA+ZC=ZBED+ZDEC=180°.

證法三：如下圖(c)所示，延長(zhǎng)BA到E,使BE=BC,連接ED.

VBD=BD,ZEBD=ZCBD,BE=BC,

AABDE^ABDC./.ZE=ZC,ED=CD.

VAD=CD.AAD=ED,

AZE=ZDAE,ZC=ZDAE.

/.ZBAD+ZC=ZBAD+ZDAE=180°.

E

(本題證明兩角和等于180°,實(shí)際是證明一個(gè)角是另一個(gè)角的鄰補(bǔ)角，很多證明線段、角

關(guān)系的問(wèn)題，往往是證線段、角相等.而證明兩個(gè)三角形全等，是證兩線段、角相等的重要

方法，有時(shí)要通過(guò)作輔助線，構(gòu)造全等三角形，將角或線段相對(duì)轉(zhuǎn)移，使問(wèn)題得以解決.)

小試6

【解析】解：(1)結(jié)論：DA=DC.

(2)(1)中的結(jié)論成立

證明：如下圖所示，在BA上截取BG=BC,連接DG,

rBD平分NABC,AZABD=ZCBD.

：BD=BD,AAGBD^ACBD.

???DG=DC,NBCD=NBGD.

VZADC+ZMBN=180°,

AZBAD-bZBCD-180°，

VZAGD+ZBGD=180°,

???NBAD=NAGD.，DA=DG.

VDG=DC,ADA=DC.

M

A

BCN

（此題也可以過(guò)點(diǎn)D作AB、BC邊上的垂線，然后證全等）

小試7

【解析】解：（1）結(jié)論：AC+CD=AB,（提示：過(guò)點(diǎn)D作AB的垂線，構(gòu)造全等三角形和等

腰三角形得出結(jié)論.）

（2）（1）中的結(jié)論仍然成立.

理由如下：

如下圖所示，在AB上截取AC'=AC,連接DC',

TAD是NCAB的角平分線，AZCAD=ZC;AD.

VAD=AD.

.,.△ACD^AAC7D.???CD=C'D,ZC=Z1=2ZB.

又???N1=N2+NB,AZ2=ZB.：.CrD=C'B.

，AB=AC'+BC'=AC+CD.即AB=AC+CD.

小試8

【解析】（1）證明：

TAF平分/BAD,AZBAF=ZDAF.

???四邊形ABCD是平行四邊形，；.AD〃BC,AB〃CD.

AZDAF=ZCEF,ZBAF=ZF.

/.ZCEF=ZF..?.CE=CF.

(2)NBDG=45°?

(3)分別連接GB、GE、GC,如下圖所示.

VAB/7DC,ZABC=120°,AZECF=ZABC=120°.

???FG〃CE且FG=CE,???四邊形CEGF是平行四邊形，

由(1)得CE=CF,???四邊形CEGF是菱形，

??.EG=EC,ZGCF=ZGCE=-NECF=60°.

2

??.△ECG是等邊三角形，???EG=CG,①

NGEC=NEGC=60°,

???NGEC=NGCF.AZBEG=ZDOG.②

由AD〃BC及AF平分NBAD可得NBAE=/AEB.

，AB=BE.

在平行四邊形ABCD中，AB=DC.ABE=DC.③

由@??得△BEGgZXDOG.???BG=DG,Z1=Z2.

，NBGD-N1+N3-N2+N3-NEGC-6O0.

Q

./Rnr_\S0-ZBGD_

??乙BDG-1-oU

2

小試9

【解析】猜想：