2025屆安徽省蚌埠市重點(diǎn)中學(xué)高二數(shù)學(xué)第一學(xué)期期末檢測(cè)試題含解析

2025屆安徽省蚌埠市重點(diǎn)中學(xué)高二數(shù)學(xué)第一學(xué)期期末檢測(cè)試題考生請(qǐng)注意：1．答題前請(qǐng)將考場(chǎng)、試室號(hào)、座位號(hào)、考生號(hào)、姓名寫在試卷密封線內(nèi)，不得在試卷上作任何標(biāo)記。2．第一部分選擇題每小題選出答案后，需將答案寫在試卷指定的括號(hào)內(nèi)，第二部分非選擇題答案寫在試卷題目指定的位置上。3．考生必須保證答題卡的整潔。考試結(jié)束后，請(qǐng)將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．已知P是直線上的動(dòng)點(diǎn)，PA，PB是圓的切線，A，B為切點(diǎn)，C為圓心，那么四邊形PACB的面積的最小值是（）A2 B.C.3 D.2．如圖①所示，將一邊長(zhǎng)為1的正方形沿對(duì)角線折起，形成三棱錐，其主視圖與俯視圖如圖②所示，則左視圖的面積為（）A. B.C. D.3．若雙曲線經(jīng)過點(diǎn)，且它的兩條漸近線方程是，則雙曲線的方程是（）A. B.C. D.4．已知數(shù)列滿足：，數(shù)列的前n項(xiàng)和為，若恒成立，則的取值范圍是（）A. B.C. D.5．下圖稱為弦圖，是我國(guó)古代三國(guó)時(shí)期趙爽為《周髀算經(jīng)》作注時(shí)為證明勾股定理所繪制，我們新教材中利用該圖作為“（）”的幾何解釋A.如果，，那么B.如果，那么C.對(duì)任意實(shí)數(shù)和，有，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立D.如果，那么6．命題“若，則”的否命題是（）A.若，則 B.若，則C.若，則 D.若，則7．命題“，”的否定形式是（）A.， B.，C.， D.，8．若雙曲線的一個(gè)焦點(diǎn)為，則的值為（）A. B.C.1 D.9．拋物線的焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離為（）A. B.C. D.10．已知F是拋物線的焦點(diǎn)，直線l是拋物線的準(zhǔn)線，則F到直線l的距離為（）A.2 B.4C.6 D.811．以原點(diǎn)為對(duì)稱中心的橢圓焦點(diǎn)分別在軸，軸，離心率分別為，直線交所得的弦中點(diǎn)分別為，，若，，則直線的斜率為()A. B.C. D.12．圓C：的圓心坐標(biāo)和半徑分別為（）A.和4 B.（－3，2）和4C.和 D.和二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．已知從某班學(xué)生中任選兩人參加農(nóng)場(chǎng)勞動(dòng)，選中兩人都是男生的概率是，選中兩人都是女生的概率是，則選中兩人中恰有一人是女生的概率為______14．若在數(shù)列的每相鄰兩項(xiàng)之間插入此兩項(xiàng)的和，形成新的數(shù)列，再把所得數(shù)列按照同樣的方法不斷構(gòu)造出新的數(shù)列，現(xiàn)將數(shù)列進(jìn)行構(gòu)造，第次得到數(shù)列；第次得到數(shù)列；依次構(gòu)造，第次得到數(shù)列；記，則(1)___________，(2)___________15．已知雙曲線的兩條漸近線的夾角為，則雙曲線的實(shí)軸長(zhǎng)為____16．如圖，四邊形為直角梯形，且，為正方形，且平面平面，，，，則______，直線與平面所成角的正弦值為______三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）設(shè)點(diǎn)P是曲線上的任意一點(diǎn)，k是該曲線在點(diǎn)P處的切線的斜率（1）求k的取值范圍；（2）求當(dāng)k取最大值時(shí)，該曲線在點(diǎn)P處的切線方程18．（12分）如圖，幾何體是圓柱的一部分，它是由矩形（及其內(nèi)部）以邊所在直線為旋轉(zhuǎn)軸旋轉(zhuǎn)得到的封閉圖形.（1）設(shè)，，求這個(gè)幾何體的表面積；（2）設(shè)G是弧DF的中點(diǎn)，設(shè)P是弧CE上的一點(diǎn)，且.求異面直線AG與BP所成角的大小.19．（12分）已知在等差數(shù)列中，，（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）若的前n項(xiàng)和為，且，，求數(shù)列的前n項(xiàng)和20．（12分）總書記指出：“我們既要綠水青山，也要金山銀山．”新能源汽車環(huán)保、節(jié)能，以電代油，減少排放，既符合我國(guó)的國(guó)情，也代表了世界汽車產(chǎn)業(yè)發(fā)展的方向．工業(yè)部表示，到2025年中國(guó)的汽車總銷量將達(dá)到3500萬輛，并希望新能源汽車至少占總銷量的五分之一．江蘇某新能源公司年初購(gòu)入一批新能源汽車充電樁，每臺(tái)16200元，第一年每臺(tái)設(shè)備的維修保養(yǎng)費(fèi)用為1100元，以后每年增加400元，每臺(tái)充電樁每年可給公司收益8100元（1）每臺(tái)充電樁第幾年開始獲利？（2）每臺(tái)充電樁在第幾年時(shí)，年平均利潤(rùn)最大21．（12分）在數(shù)列中，，是與的等差中項(xiàng)，（1）求證：數(shù)列是等差數(shù)列（2）令，求數(shù)列的前項(xiàng)的和22．（10分）噪聲污染已經(jīng)成為影響人們身體健康和生活質(zhì)量的嚴(yán)重問題，為了解聲音強(qiáng)度D（單位：）與聲音能量I（單位：）之間的關(guān)系，將測(cè)量得到的聲音強(qiáng)度D和聲音能量I的數(shù)據(jù)作了初步處理，得到如圖所示的散點(diǎn)圖：參考數(shù)據(jù)：其中，，，，，，，，（1）根據(jù)散點(diǎn)圖判斷，與哪一個(gè)適宜作為聲音強(qiáng)度D關(guān)于聲音能量I的回歸模型？（給出判斷即可，不必說明理由）（2）求聲音強(qiáng)度D關(guān)于聲音能量I回歸方程（3）假定當(dāng)聲音強(qiáng)度D大于時(shí)，會(huì)產(chǎn)生噪聲污染．城市中某點(diǎn)P處共受到兩個(gè)聲源的影響，這兩個(gè)聲通的聲音能量分別是和，且．已知點(diǎn)P處的聲音能量等于與之和．請(qǐng)根據(jù)（2）中的回歸方程，判斷點(diǎn)P處是否受到噪聲污染，并說明理由參考公式：對(duì)于一組數(shù)據(jù)，其回歸直線斜率和截距的最小二乘估計(jì)公式分別為：

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、D【解析】由圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程可得圓心為（1，1），半徑為1，根據(jù)切線的性質(zhì)可得四邊形PACB面積等于，，故求解最小時(shí)即可確定四邊形PACB面積的最小值.【詳解】圓C：x2+y2-2x-2y+1=0即，表示以C（1，1）為圓心，以1為半徑的圓，由于四邊形PACB面積等于2×××=，而，故當(dāng)最小時(shí)，四邊形PACB面積最小，又的最小值等于圓心C到直線l：的距離d，而，故四邊形PACB面積的最小值為，故選：D2、A【解析】由視圖確定該幾何體的特征，即可得解.【詳解】由主視圖可以看出，A點(diǎn)在面上的投影為的中點(diǎn)，由俯視圖可以看出C點(diǎn)在面上的投影為的中點(diǎn)，所以其左視圖為如圖所示的等腰直角三角形，直角邊長(zhǎng)為，于是左視圖的面積為故選：A.3、A【解析】根據(jù)雙曲線漸近線方程設(shè)出方程，再由其過的點(diǎn)即可求解.【詳解】漸近線方程是，設(shè)雙曲線方程為，又因?yàn)殡p曲線經(jīng)過點(diǎn)，所以有，所以雙曲線方程為，化為標(biāo)準(zhǔn)方程為.故選：A4、D【解析】由于，所以利用裂項(xiàng)相消求和法可求得，然后由可得恒成立，再利用基本不等式求出的最小值即可【詳解】，故，故恒成立等價(jià)于，即恒成立，化簡(jiǎn)得到，因?yàn)椋?dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取等號(hào)，所以故選：D5、C【解析】設(shè)圖中直角三角形邊長(zhǎng)分別為a，b，則斜邊為，則可表示出陰影面積和正方形面積，根據(jù)圖象關(guān)系，可得即可得答案.【詳解】設(shè)圖中全等的直角三角形的邊長(zhǎng)分別為a，b，則斜邊為，如圖所示：則四個(gè)直角三角形的面積為，正方形的面積為，由圖象可得，四個(gè)直角三角形面積之和小于等于正方形的面積，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，所以對(duì)任意實(shí)數(shù)和，有，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立.故選：C6、B【解析】根據(jù)原命題的否命題是條件結(jié)論都要否定【詳解】解：因?yàn)樵}的否命題是條件結(jié)論都要否定所以命題“若，則”的否命題是若，則；故選：B7、A【解析】特稱命題的否定是全稱命題【詳解】的否定形式是故選：A8、B【解析】由題意可知雙曲線的焦點(diǎn)在軸，從而可得，再列方程可求得結(jié)果【詳解】因?yàn)殡p曲線的一個(gè)焦點(diǎn)為，所以，，所以，解得，故選：B9、B【解析】根據(jù)拋物線的幾何性質(zhì)可得選項(xiàng).【詳解】由得，所以，所以拋物線的焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離為1，故選：B.10、B【解析】根據(jù)拋物線定義即可求解【詳解】由得，所以F到直線l的距離為故選：B11、A【解析】分類討論直線的斜率存在與不存在兩種情況，聯(lián)立直線與曲線方程，再根據(jù)，求解.【詳解】設(shè)橢圓的方程分別為，，由可知，直線的斜率一定存在，故設(shè)直線的方程為.聯(lián)立得，故，；聯(lián)立得，則，.因?yàn)?，所以，所?又，所以，所以，所以，.故選：A.【點(diǎn)睛】此題利用設(shè)而不求的方法，找出、、、之間的關(guān)系，化簡(jiǎn)即可得到的值.此題的難點(diǎn)在于計(jì)算量較大，且容易計(jì)算出錯(cuò).12、C【解析】先將方程化為一般形式，再根據(jù)公式計(jì)算求解即可.【詳解】解：可化為，由圓心為，半徑，易知圓心的坐標(biāo)為，半徑為故選：C二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解析】記“選中兩人都是男生”為事件，“選中兩人都是女生”為事件，“選中兩人中恰有一人是女生”為事件，根據(jù)為互斥事件，與為對(duì)立事件，從而可求出答案.【詳解】記“選中兩人都是男生”為事件，“選中兩人都是女生”為事件，“選中兩人中恰有一人是女生”為事件，易知為互斥事件，與為對(duì)立事件，又，所以.故答案為：.14、①.②.【解析】根據(jù)題意得到，再利用疊加法求解即可.【詳解】由題知：，，，所以，，，……，，所以，，……，，即，所以.故答案為：；15、【解析】根據(jù)已知條件求得，由此求得實(shí)軸長(zhǎng).【詳解】由于，雙曲線的漸近線方程為，所以雙曲線的漸近線與軸夾角小于，由得，實(shí)軸長(zhǎng)故答案為：16、①..②..【解析】以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，，，所在直線分別為軸，軸，軸建立空間直角坐標(biāo)系,根據(jù)空間向量的線性運(yùn)算求得向量的坐標(biāo)，由此求得，由線面角的空間向量求解方法求得答案.【詳解】解：以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，，，所在直線分別為軸，軸，軸建立空間直角坐標(biāo)系（如下圖所示）由題意可知，，，因?yàn)?，，所以，故設(shè)平面的法向量為，則，令，得因?yàn)?，所以直線與平面所成角的正弦值為故答案為：；.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）（2）【解析】（1）先求導(dǎo)數(shù)再求最值即可求解答案；（2）由（1）確定切點(diǎn)，從而也確定的斜率就可以求切線.【小問1詳解】設(shè)，因?yàn)椋?，所以k的取值范圍為【小問2詳解】由（1）知，此時(shí)，即，所以此時(shí)曲線在點(diǎn)P處的切線方程為18、（1）（2）【解析】（1）將幾何體的表面積分成上下兩個(gè)扇形、兩個(gè)矩形和一個(gè)圓柱形側(cè)面的一部分組成，分別求出后相加即可；（2）先根據(jù)條件得到面，通過平移將異面直線轉(zhuǎn)化為同一個(gè)平面內(nèi)的直線夾角即可【小問1詳解】上下兩個(gè)扇形的面積之和為：兩個(gè)矩形面積之和為：4側(cè)面圓弧段的面積為：故這個(gè)幾何體的表面積為：【小問2詳解】如下圖，將直線平移到下底面上為由，且，，可得：面則而G是弧DF的中點(diǎn)，則由于上下兩個(gè)平面平行且全等，則直線與直線的夾角等于直線與直線的夾角，即為所求，則則直線與直線的夾角為19、（1）；（2）.【解析】(1)根據(jù)給定條件求出數(shù)列的公差即可求解作答.(2)由已知條件求出數(shù)列的通項(xiàng)，再利用錯(cuò)位相減法計(jì)算作答.【小問1詳解】等差數(shù)列中，，解得，則公差，所以數(shù)列的通項(xiàng)公式為：.【小問2詳解】的前n項(xiàng)和為，，，則當(dāng)時(shí)，，于是得，即，而，即，，因此，數(shù)列是首項(xiàng)為2，公比為2的等比數(shù)列，，由(1)知，，則，因此，，，所以數(shù)列的前n項(xiàng)和.20、（1）公司從第3年開始獲利；（2）第9年時(shí)每臺(tái)充電樁年平均利潤(rùn)最大3600元【解析】（1）判斷已知條件是等差數(shù)列，然后求解利潤(rùn)的表達(dá)式，推出表達(dá)式求解n即可（2）利用基本不等式求解最大值即可【詳解】（1）每年的維修保養(yǎng)費(fèi)用是以1100為首項(xiàng)，400為公差的等差數(shù)列，設(shè)第n年時(shí)累計(jì)利潤(rùn)為f（n），f（n）=8100n-[1100+1500+…+（400n+700）]-16200=8100n-n（200n+900）-16200=-200n2+7200n-16200=-200（n2-36n+81），開始獲利即f（n）＞0，∴-200（n2-36n+81）＞0，即n2-36n+81＜0，解得，所以公司從第3年開始獲利；（2）每臺(tái)充電樁年平均利潤(rùn)為當(dāng)且僅當(dāng)，即n=9時(shí)，等號(hào)成立即在第9年時(shí)每臺(tái)充電樁年平均利潤(rùn)最大3600元【點(diǎn)睛】本題考查數(shù)列與函數(shù)的實(shí)際應(yīng)用，基本不等式的應(yīng)用，考查轉(zhuǎn)化思想以及計(jì)算能力，是中檔題21、（1）證明見解析；（2）.【解析】（1）求得，利用等差數(shù)列的定義可證得結(jié)論成立；（2）求出，可計(jì)算得出，利用并項(xiàng)求和法可求得數(shù)列的前項(xiàng)的和.小問1詳解】解：由題意知是與的等差中項(xiàng)，可得，可得，則，可得，所以，，又由，可得，所以數(shù)列是首項(xiàng)和公差均