重慶市六校聯(lián)考2025屆數(shù)學(xué)高二上期末復(fù)習(xí)檢測模擬試題含解析

重慶市六校聯(lián)考2025屆數(shù)學(xué)高二上期末復(fù)習(xí)檢測模擬試題請考生注意：1．請用2B鉛筆將選擇題答案涂填在答題紙相應(yīng)位置上，請用0．5毫米及以上黑色字跡的鋼筆或簽字筆將主觀題的答案寫在答題紙相應(yīng)的答題區(qū)內(nèi)。寫在試題卷、草稿紙上均無效。2．答題前，認(rèn)真閱讀答題紙上的《注意事項(xiàng)》，按規(guī)定答題。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．已知等比數(shù)列滿足，則（）A.168 B.210C.672 D.10502．已知直線l的方向向量，平面α的一個法向量為，則直線l與平面α的位置關(guān)系是（）A.平行 B.垂直C.在平面內(nèi) D.平行或在平面內(nèi)3．若命題為“，”，則為（）A.， B.，C.， D.，4．在長方體中，，，則異面直線與所成角的正弦值是（）A. B.C. D.5．經(jīng)過點(diǎn)且與直線垂直的直線方程為（）A. B.C. D.6．函數(shù)的圖像在點(diǎn)處的切線方程為（）A. B.C. D.7．直線分別與曲線，交于，兩點(diǎn)，則的最小值為（）A. B.1C. D.28．圓與圓的位置關(guān)系為（）A.內(nèi)切 B.相交C.外切 D.外離9．已知動點(diǎn)滿足，則動點(diǎn)的軌跡是（）A.橢圓 B.直線C.線段 D.圓10．直線的傾斜角為（）A B.C. D.11．已知函數(shù)（其中）的部分圖像如圖所示，則函數(shù)的解析式為（）A. B.C. D.12．金剛石的成分為純碳，是自然界中存在的最堅(jiān)硬物質(zhì)，它的結(jié)構(gòu)是由8個等邊三角形組成的正八面體.若某金剛石的棱長為2，則它外接球的體積為（）A. B.C. D.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．一道數(shù)學(xué)難題，在半小時內(nèi)，甲能解決的概率是，乙能解決的概率是，兩人試圖獨(dú)立地在半小時內(nèi)解決它，則問題得到解決的概率是________.14．已知空間向量，則使成立的x的值為___________15．已知，命題p：，；命題q：，，且為真命題，則a的取值范圍為______16．關(guān)于曲線，則以下結(jié)論正確的個數(shù)有______個①曲線C關(guān)于原點(diǎn)對稱；②曲線C中，；③曲線C是不封閉圖形，且它與圓無公共點(diǎn)；④曲線C與曲線有4個交點(diǎn)，這4點(diǎn)構(gòu)成正方形三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）已知滿足，.（1）求證：是等差數(shù)列，求的通項(xiàng)公式；（2）若，的前項(xiàng)和是，求證：.18．（12分）已知橢圓()與橢圓的焦點(diǎn)相同，且橢圓C過點(diǎn)（1）求橢圓C的方程；（2）是否存在圓心在原點(diǎn)的圓，使得該圓的任意一條切線與橢圓C恒有兩個交點(diǎn)A，B，且，(O為坐標(biāo)原點(diǎn))，若存在，求出該圓的方程；若不存在，說明理由；（3）P是橢圓C上異于上頂點(diǎn)，下頂點(diǎn)的任一點(diǎn)，直線，，分別交x軸于點(diǎn)N，M，若直線OT與過點(diǎn)M，N的圓G相切，切點(diǎn)為T．證明：線段OT的長為定值，并求出該定值19．（12分）如圖，四棱錐P-ABCD的底面是矩形，底面ABCD，，M為BC中點(diǎn)，且.（1）求BC；（2）求二面角A-PM-B的正弦值.20．（12分）如圖，四棱錐中，平面、底面為菱形，為的中點(diǎn).（1）證明：平面；（2）設(shè)，菱形的面積為，求二面角的余弦值.21．（12分）已知數(shù)列滿足，（1）證明是等比數(shù)列，（2）求數(shù)列的前項(xiàng)和22．（10分）如圖，正方體的棱長為2，點(diǎn)，分別在棱，上運(yùn)動，且.（1）求證：；（2）求三棱錐的體積的最大值：（3）當(dāng)，分別是棱，的中點(diǎn)時，求平面與平面的夾角的正弦值.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、C【解析】根據(jù)等比數(shù)列的性質(zhì)求得，再根據(jù)，即可求得結(jié)果.【詳解】等比數(shù)列滿足,設(shè)等比數(shù)列的公比為q,所以,解得，故，故選：C2、D【解析】根據(jù)題意，結(jié)合線面位置關(guān)系的向量判斷方法，即可求解.【詳解】根據(jù)題意，因?yàn)?，所以，所以直線l與平面α的位置關(guān)系是平行或在平面內(nèi)故選：D3、B【解析】特稱命題的否定是全稱命題，把存在改為任意，把結(jié)論否定.【詳解】“，”的否命題為“，”，故選：B4、C【解析】連接，可得，得到異面直線與所成角即為直線與所成角，設(shè)，設(shè)，求得的值，在中，利用余弦定理，即可求解.【詳解】如圖所示，連接，在正方體中，可得，所以異面直線與所成角即為直線與所成角，設(shè)，由在長方體中，，，設(shè)，可得，在直角中，可得，在中，可得，所以，因?yàn)?，所?故選：C.5、A【解析】根據(jù)點(diǎn)斜式求得正確答案.【詳解】直線的斜率為，經(jīng)過點(diǎn)且與直線垂直的直線方程為，即.故選：A6、B【解析】求得函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，計(jì)算出和的值，可得出所求切線的點(diǎn)斜式方程，化簡即可.詳解】，，，，因此，所求切線的方程為，即.故選：B.【點(diǎn)睛】本題考查利用導(dǎo)數(shù)求解函圖象的切線方程，考查計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題7、B【解析】設(shè)，，，，得到，用導(dǎo)數(shù)法求解.【詳解】解：設(shè)，，，，則，，，令，則，函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，時，函數(shù)的最小值為1，故選：B8、C【解析】將圓的一般方程化為標(biāo)準(zhǔn)方程，根據(jù)圓心距和半徑的關(guān)系，判斷兩圓的位置關(guān)系.【詳解】圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為，圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為，兩圓的圓心距為，即圓心距等于兩圓半徑之和，故兩圓外切，故選：C.9、C【解析】根據(jù)兩點(diǎn)之間的距離公式的幾何意義即可判定出動點(diǎn)軌跡.【詳解】由題意可知表示動點(diǎn)到點(diǎn)和點(diǎn)的距離之和等于，又因?yàn)辄c(diǎn)和點(diǎn)的距離等于，所以動點(diǎn)的軌跡為線段.故選：10、C【解析】設(shè)直線傾斜角為，則，再結(jié)合直線的斜率與傾斜角的關(guān)系求解即可.【詳解】設(shè)直線的傾斜角為，則，∵，所以.故選：C11、B【解析】根據(jù)題圖有且，結(jié)合五點(diǎn)法求參數(shù)，即可得的解析式.【詳解】由圖知：且，則，所以，則，即，又，可得，，則，，又，即有.綜上，.故選：B12、A【解析】求得外接球的半徑，進(jìn)而計(jì)算出外接球體積.【詳解】設(shè)，正八面體的棱長為，根據(jù)正八面體的性質(zhì)可知：，所以是外接球的球心，且半徑，所以外接球的體積為.故選：A二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解析】分甲解決乙不能解決，甲不能解決乙能解決，甲能解決乙也能解決三類，利用獨(dú)立事件的概率求解.【詳解】因?yàn)榧啄芙鉀Q的概率是，乙能解決的概率是，所以問題得到解決的概率是，故答案為：14、##【解析】利用空間向量垂直的坐標(biāo)表示列方程求參數(shù)x的值.【詳解】由題設(shè)，，可得.故答案為：.15、【解析】先求出命題p,q為真命題時的a的取值范圍，根據(jù)為真可知p,q都是真命題,即可求得答案.【詳解】命題p：，為真時，有，命題q：，為真時，則有，即，故為真命題時，且，即，故a的取值范圍為，故答案為：16、2【解析】根據(jù)曲線的方程，以及曲線的對稱性、范圍，結(jié)合每個選項(xiàng)進(jìn)行逐一分析，即可判斷.【詳解】①將方程中的分別換為，方程不變，故該曲線關(guān)于原點(diǎn)對稱，故正確；②因?yàn)?，解得或，故，同理可得：，故錯誤；③根據(jù)②可知，該曲線不是封閉圖形；聯(lián)立與，可得：，將其視作關(guān)于的一元二次方程，故，所以方程無根，故曲線與沒有交點(diǎn)；綜上所述，③正確；④假設(shè)曲線C與曲線有4個交點(diǎn)且交點(diǎn)構(gòu)成正方形，根據(jù)對稱性，第一象限的交點(diǎn)必在上，聯(lián)立與可得：，故交點(diǎn)為，而此點(diǎn)坐標(biāo)不滿足，所以這樣的正方形不存在，故錯誤；綜上所述，正確的是①③.故答案為：.【點(diǎn)睛】本題考察曲線與方程中利用曲線方程研究曲線性質(zhì)，處理問題的關(guān)鍵是把握由曲線方程如何研究對稱性以及范圍問題，屬困難題.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）證明見解析，（2）證明見解析【解析】（1）在等式兩邊同時除以，結(jié)合等差數(shù)列的定義可證得數(shù)列為等差數(shù)列，確定該數(shù)列的首項(xiàng)和公差，可求得的表達(dá)式；（2）求得，利用裂項(xiàng)相消法求得，即可證得原不等式成立.【小問1詳解】解：在等式兩邊同時除以可得且，所以，數(shù)列是以為首項(xiàng)，以為公差的等差數(shù)列，則，因此，.【小問2詳解】證明：，所以，.故原不等式得證.18、（1）；（2）存在，；（3）證明見解析，定值2【解析】(1)根據(jù)已知條件，用待定系數(shù)解方程組即可得到C的方程；(2)設(shè)出AB的方程，與橢圓方程聯(lián)立，得到根與系數(shù)關(guān)系，代入由確定方程內(nèi)即可得到結(jié)果；(3)設(shè)P點(diǎn)坐標(biāo)，求出M和N坐標(biāo)，設(shè)出圓G的圓心坐標(biāo)，求得圓的半徑，由垂徑定理求得切線長|OT|，結(jié)合P在橢圓上可證|OT|為定值﹒【小問1詳解】設(shè)橢圓C的方程為將點(diǎn)代入橢圓方程有點(diǎn)解得，(舍)∴橢圓的方程為；【小問2詳解】設(shè)，當(dāng)AB斜率存在時，設(shè)，代入，整理得，由得，即，由韋達(dá)定理化簡得，即，設(shè)存在圓與直線相切，則，解得，∴圓的方程為；又若AB斜率不存在時，檢驗(yàn)知滿足條件，故存在圓心在原點(diǎn)的圓符合題意；【小問3詳解】如圖：，，設(shè)，直線，令，得；直線，令，得；解法一：設(shè)圓G的圓心為，則，，，而，∴，∴，∴，即線段OT長度為定值2解法二：，而，∴，∴由切割線定理得．∴，即線段OT的長度為定值219、（1）；（2）.【解析】(1)根據(jù)給定條件推導(dǎo)證得，再借助直角三角形中銳角的正切列式求解作答.(2)由給定條件建立空間直角坐標(biāo)系，借助空間向量求解面面角作答【小問1詳解】連結(jié)BD，如圖，因底面ABCD，且平面ABCD，則，又，，平面PBD，于是得平面PBD，又平面PBD，則，有，又，則有，有，則，解得，所以.【小問2詳解】依題意，DA，DC，DP兩兩垂直，以點(diǎn)D為坐標(biāo)原點(diǎn)建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，由(1)知，，，，，，，，設(shè)平面AMP的法向量為，則，令，得，設(shè)平面BMP的法向量為，則，令，得，設(shè)二面角A-PM-B的平面角為，則，因此，，所以二面角A-PM-B的正弦值為.20、（1）證明見解析；（2）.【解析】（1）連接交于點(diǎn)，連接，則，利用線面平行的判定定理，即可得證；（2）根據(jù)題意，求得菱形的邊長，取中點(diǎn)，可證，如圖建系，求得點(diǎn)坐標(biāo)及坐標(biāo)，即可求得平面的法向量，根據(jù)平面PAD，可求得面的法向量，利用空間向量的夾角公式，即可求得答案.【詳解】（1）連接交于點(diǎn)，連接，則、E分別為、的中點(diǎn)，所以，又平面平面所以平面（2）由菱形的面積為，，易得菱形邊長為，取中點(diǎn)，連接，因?yàn)椋?，以點(diǎn)為原點(diǎn)，以方向?yàn)檩S，方向?yàn)檩S，方向?yàn)檩S，建立如圖所示坐標(biāo)系.則所以設(shè)平面的法向量，由得，令，則所以一個法向量，因?yàn)?，，所以平面PAD，所以平面的一個法向量所以，又二面角為銳二面角，所以二面角的余弦值為【點(diǎn)睛】解題的關(guān)鍵是熟練掌握證明平行的定理，證明線面平行時，常用中位線法和平行四邊形法來證明；利用空間向量求解二面角為?？碱}型，步驟為建系、求點(diǎn)坐標(biāo)、求所需向量坐標(biāo)、求法向量、利用夾角公式求解，屬基礎(chǔ)題.21、（1）見解析；（2）【解析】（1）利用定義法證明是一個與n無關(guān)的非零常數(shù)，從而得出結(jié)論；（2）由（1）求出，利用分組求和法求【詳解】（1）由得，所以，所以是首項(xiàng)為，公比為的等比數(shù)列,，所以，（2）由（1）知的通項(xiàng)公式為；則所以【點(diǎn)睛】本題主要考查等比數(shù)列的證明以及分組求和法，屬于基礎(chǔ)題22、（