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黑龍江哈三中2025屆高二上數(shù)學(xué)期末聯(lián)考模擬試題考生請注意:1.答題前請將考場、試室號、座位號、考生號、姓名寫在試卷密封線內(nèi),不得在試卷上作任何標(biāo)記。2.第一部分選擇題每小題選出答案后,需將答案寫在試卷指定的括號內(nèi),第二部分非選擇題答案寫在試卷題目指定的位置上。3.考生必須保證答題卡的整潔??荚嚱Y(jié)束后,請將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的。1.若數(shù)列是等比數(shù)列,且,則()A.1 B.2C.4 D.82.等差數(shù)列中,若,,則等于()A. B.C. D.3.已知函數(shù)f(x)的圖象如圖所示,則導(dǎo)函數(shù)f(x)的圖象可能是()A. B.C. D.4.空氣質(zhì)量指數(shù)大小分為五級指數(shù)越大說明污染的情況越嚴(yán)重,對人體危害越大,指數(shù)范圍在:,,,,分別對應(yīng)“優(yōu)”、“良”、“輕中度污染”、“中度重污染”、“重污染”五個等級,如圖是某市連續(xù)14天的空氣質(zhì)量指數(shù)趨勢圖,下面說法錯誤的是().A.這14天中有4天空氣質(zhì)量指數(shù)為“良”B.從2日到5日空氣質(zhì)量越來越差C.這14天中空氣質(zhì)量的中位數(shù)是103D.連續(xù)三天中空氣質(zhì)量指數(shù)方差最小是9日到11日5.已知直線和互相平行,則實數(shù)的取值為()A或3 B.C. D.1或6.如圖,在長方體中,若,,則異面直線和所成角的余弦值為()A. B.C. D.7.已知橢圓上一點到左焦點的距離為,是的中點,則()A.1 B.2C.3 D.48.已知m,n表示兩條不同的直線,表示平面,則下列說法正確的是()A.若,,則 B.若,,則C.若,,則 D.若,,則9.雙曲線型自然通風(fēng)塔外形是雙曲線的一部分繞其虛軸旋轉(zhuǎn)所成的曲面,如圖所示,它的最小半徑為米,上口半徑為米,下口半徑為米,高為24米,則該雙曲線的離心率為()A.2 B.C. D.10.在正方體中,分別為的中點,為側(cè)面的中心,則異面直線與所成角的余弦值為()A. B.C. D.11.已知等比數(shù)列滿足,,則數(shù)列前6項的和()A.510 B.126C.256 D.51212.古希臘著名數(shù)學(xué)家阿波羅尼斯與歐幾里得、阿基米德齊名.他發(fā)現(xiàn):“平面內(nèi)到兩個定點A,B的距離之比為定值的點的軌跡是圓”.后來,人們將這個圓以他的名字命名,稱為阿波羅尼斯圓,簡稱阿氏圓.在平面直角坐標(biāo)系中,,點P滿足,設(shè)點P的軌跡為C,下列結(jié)論正確的是()A.C的方程為B.當(dāng)A,B,P三點不共線時,面積的最大值為24C.當(dāng)A,B,P三點不共線時,射線是的角平分線D.在C上存在點M,使得二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13.某射箭運動員在一次射箭訓(xùn)練中射靶10次,命中環(huán)數(shù)如下:8,9,8,10,6,7,9,10,8,5,則命中環(huán)數(shù)的平均數(shù)為___________.14.在平面幾何中有如下結(jié)論:若正三角形的內(nèi)切圓周長為,外接圓周長為,則.推廣到空間幾何可以得到類似結(jié)論:若正四面體的內(nèi)切球表面積為,外接球表面積為,則__________15.某位同學(xué)參加物理、化學(xué)、政治科目的等級考,依據(jù)以往成績估算該同學(xué)在物理、化學(xué)、政治科目等級中達(dá)的概率分別為假設(shè)各門科目考試的結(jié)果互不影響,則該同學(xué)等級考至多有1門學(xué)科沒有獲得的概率為___________.16.若函數(shù)處取極值,則___________三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17.(12分)已知圓C的圓心為,一條直徑的兩個端點分別在x軸和y軸上(1)求圓C的方程;(2)直線l:與圓C相交于M,N兩點,P(異于點M,N)為圓C上一點,求△PMN面積的最大值18.(12分)已知雙曲線,直線l與交于P、Q兩點(1)若點是雙曲線的一個焦點,求的漸近線方程;(2)若點P的坐標(biāo)為,直線l的斜率等于1,且,求雙曲線的離心率19.(12分)已知數(shù)列是公差為2的等差數(shù)列,且滿足,,成等比數(shù)列(1)求數(shù)列的通項公式;(2)求數(shù)列的前n項和20.(12分)如圖,拋物線的頂點在原點,圓的圓心恰是拋物線的焦點.(1)求拋物線的方程;(2)一條直線的斜率等于2,且過拋物線焦點,它依次截拋物線和圓于、、、四點,求的值.21.(12分)已知等差數(shù)列的前項和為,.(1)求數(shù)列的通項公式;(2)求的最大值及相應(yīng)的的值.22.(10分)設(shè)函數(shù)過點(1)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間和極值(要列表);(2)求函數(shù)在上的最大值和最小值.
參考答案一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的。1、C【解析】根據(jù)等比數(shù)列的性質(zhì),由題中條件,求出,即可得出結(jié)果.【詳解】因為數(shù)列是等比數(shù)列,由,得,所以,因此.故選:C.2、C【解析】由等差數(shù)列下標(biāo)和性質(zhì)可得.【詳解】因為,,所以.故選:C3、D【解析】根據(jù)導(dǎo)函數(shù)正負(fù)與原函數(shù)單調(diào)性關(guān)系可作答【詳解】原函數(shù)在上先減后增,再減再增,對應(yīng)到導(dǎo)函數(shù)先負(fù)再正,再負(fù)再正,且原函數(shù)在處與軸相切,故可知,導(dǎo)函數(shù)圖象為D故選:D4、C【解析】根據(jù)題圖分析數(shù)據(jù),對選項逐一判斷【詳解】對于A,14天中有1,3,12,13共4日空氣質(zhì)量指數(shù)為“良”,故A正確對于B,從2日到5日空氣質(zhì)量指數(shù)越來越高,故空氣質(zhì)量越來越差,故B正確對于C,14個數(shù)據(jù)中位數(shù)為:,故C錯誤對于D,觀察折線圖可知D正確故選:C5、B【解析】利用兩直線平行的等價條件求得實數(shù)m的值.【詳解】∵兩條直線x+my+6=0和(m﹣2)x+3y+2m=0互相平行,∴解得m=﹣1,故選B【點睛】已知兩直線的一般方程判定兩直線平行或垂直時,記住以下結(jié)論,可避免討論:已知,,則,6、D【解析】根據(jù)長方體中,異面直線和所成角即為直線和所成角,再結(jié)合余弦定理即可求解.【詳解】解:連接、,如下圖所示由圖可知,在長方體中,且,所以,所以異面直線和所成角即為,又,,由余弦定理可得∶故選:D.7、A【解析】由橢圓的定義得,進(jìn)而根據(jù)中位線定理得.【詳解】解:由橢圓方程得,即,因為由橢圓的定義得,,所以,因為是的中點,是的中點,所以.故選:A8、D【解析】根據(jù)空間直線與平面間的位置關(guān)系判斷【詳解】若,,也可以有,A錯;若,,也可以有,B錯;若,,則或,C錯;若,,則,這是線面垂直的判定定理之一,D正確故選:D9、A【解析】以的中點О為坐標(biāo)原點,建立平面直角坐標(biāo)系,設(shè)雙曲線的方程為,設(shè),,代入雙曲線的方程,求得,得到,進(jìn)而求得雙曲線的離心率.【詳解】以的中點О為坐標(biāo)原點,建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系,則,設(shè)雙曲線的方程為,則,可設(shè),,又由,在雙曲線上,所以,解得,,即,所以該雙曲線的離心率為.故選:A.第II卷10、A【解析】建立空間直角坐標(biāo)系,用空間向量求解異面直線夾角的余弦值.【詳解】如圖,以D為坐標(biāo)原點,DA所在直線為x軸,DC所在直線為y軸,所在直線為z軸建立空間直角坐標(biāo)系,設(shè)正方體棱長為2,則,,,,則,,設(shè)異面直線與所成角為(),則.故選:A11、B【解析】設(shè)等比數(shù)列的公比為,由題設(shè)條件,求得,再結(jié)合等比數(shù)列的求和公式,即可求解.【詳解】設(shè)等比數(shù)列的公比為,因為,,可得,解得,所以數(shù)列前6項的和.故選:B.【點睛】本題主要考查了等比數(shù)列的通項公式,以及等比數(shù)列的前項和公式的應(yīng)用,其中解答中熟記等比數(shù)列的通項公式和求和公式,準(zhǔn)確計算是解答的關(guān)鍵,著重考查推理與運算能力.12、C【解析】根據(jù)題意可求出C的方程為,即可根據(jù)題意判斷各選項的真假【詳解】對A,由可得,化簡得,即,A錯誤;對B,當(dāng)A,B,P三點不共線時,點到直線的最大距離為,所以面積的最大值為,B錯誤;對C,當(dāng)A,B,P三點不共線時,因為,所以射線是的角平分線,C正確;對D,設(shè),由可得點的軌跡方程為,而圓與圓的圓心距為,兩圓內(nèi)含,所以這樣的點不存在,D錯誤故選:C二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13、【解析】直接利用求平均數(shù)的公式即可求解.【詳解】由已知得數(shù)據(jù)的平均數(shù)為,故答案為:.14、【解析】分析:平面圖形類比空間圖形,二維類比三維得到,類比平面幾何的結(jié)論,確定正四面體的外接球和內(nèi)切球的半徑之比,即可求得結(jié)論.詳解:平面幾何中,圓的周長與圓的半徑成正比,而在空間幾何中,球的表面積與半徑的平方成正比,因為正四面體的外接球和內(nèi)切球的半徑之比是,,故答案為.點睛:本題主要考查類比推理,屬于中檔題.類比推理問題,常見的類型有:(1)等差數(shù)列與等比數(shù)列的類比;(2)平面與空間的類比;(3)橢圓與雙曲線的類比;(4)復(fù)數(shù)與實數(shù)的類比;(5)向量與數(shù)的類比.15、【解析】考慮3門或者2門兩種情況,計算概率得到答案.【詳解】.故答案為:.16、3【解析】=.因為f(x)在1處取極值,所以1是f′(x)=0的根,將x=1代入得a=3.故答案為3.考點:利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、(1);(2).【解析】(1)設(shè)直徑兩端點分別為,,由中點公式求參數(shù)a、b,進(jìn)而求半徑,即可得圓C的方程;(2)利用弦心距、半徑、弦長的幾何關(guān)系求,再由圓心到直線l的距離求P到直線l的距離的最大值,即可得△PMN面積的最大值【小問1詳解】設(shè)直徑兩端點分別為,,則,,所以,,則圓C半徑,所以C的方程為【小問2詳解】圓心C到直線l的距離,則,點P到直線l的距離的最大值為,所以,△PMN面積的最大值為18、(1)(2)或【解析】(1)根據(jù)題意可得,又因為且,解得,可得雙曲線方程,進(jìn)而可得的漸近線方程(2)設(shè)直線的方程為:,,,聯(lián)立直線與雙曲線方程,可得關(guān)于的一元二次方程,由韋達(dá)定理可得,,再由兩點之間距離公式得,解得,進(jìn)而由可求出,即可求得離心率.【小問1詳解】∵點是雙曲線的一個焦點,∴,又∵且,解得,∴雙曲線方程為,∴的漸近線方程為:;小問2詳解】設(shè)直線的方程為,且,,聯(lián)立,可得,則,∴,即,∴,解得或,即由可得或,故雙曲線的離心率或.19、(1)(2)【解析】(1)由成等比數(shù)列得首項,從而得到通項公式;(2)利用裂項相消求和可得答案.【小問1詳解】設(shè)數(shù)列的公差為,∵成等比數(shù)列,∴,即,∴,由題意故,得,即.【小問2詳解】,∴20、(1)圓的圓心坐標(biāo)為,即拋物線的焦點為,……3分∴∴拋物線方程為……6分
由題意知直線AD的方程為…7分即代入得=0設(shè),則,……11分∴【解析】(1)設(shè)拋物線方程為,由題意求出其焦點坐標(biāo),進(jìn)而可求出結(jié)果;(2)先由題意得出直線的方程,聯(lián)立直線與拋物線方程,求出,再由為圓的直徑,即可求出結(jié)果.【詳解】(1)設(shè)拋物線方程為,圓的圓心恰是拋物線的焦點,∴.拋物線方程為:;(2)依題意直線的方程為設(shè),,則,得,,.【點睛】本題主要考查拋物線的方程,以及直線與拋物線的位置關(guān)系;由拋物線的焦點坐標(biāo)可直接求出拋物線的方程;聯(lián)立直線與拋物線方程,結(jié)合韋達(dá)定理和拋物線定義可求出弦長,進(jìn)而可求出結(jié)果,屬于??碱}型.21、(1)(2)當(dāng)或時,有最大值是20【解析】(1)用等差數(shù)列的通項公式即可.(2)用等差數(shù)列的求和公式即可.【小問1詳解】在等差數(shù)列中,∵,∴,解得,∴;【小問2詳解】∵,∴,∴當(dāng)或時,有最大值是2022、(1)增區(qū)間,,減區(qū)間,極大值,極小值(2)最大值,
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