廣東汕頭潮陽區(qū)2025屆高二數(shù)學(xué)第一學(xué)期期末質(zhì)量檢測模擬試題含解析

廣東汕頭潮陽區(qū)2025屆高二數(shù)學(xué)第一學(xué)期期末質(zhì)量檢測模擬試題注意事項(xiàng)：1．答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)填寫在答題卡上。2．回答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑，如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其它答案標(biāo)號(hào)?；卮鸱沁x擇題時(shí)，將答案寫在答題卡上，寫在本試卷上無效。3．考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．設(shè)是定義在R上的可導(dǎo)函數(shù)，若（為常數(shù)），則（）A. B.C. D.2．已知命題：，，命題：，，則（）A.是假命題 B.是真命題C.是真命題 D.是假命題3．設(shè)是函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，的圖象如圖所示，則的解集是（）A. B.C. D.4．在等比數(shù)列{an}中，a3，a15是方程x2+6x+2=0的根，則的值為（）A. B.C. D.或5．已知函數(shù)f(x)＝x(lnx－ax)有兩個(gè)極值點(diǎn)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是()A.(－∞，0) B.C.(0,1) D.(0，＋∞)6．已知，，若不等式恒成立，則正數(shù)的最小值是（）A.2 B.4C.6 D.87．已知矩形，，，沿對角線將折起，若二面角的余弦值為，則與之間距離為（）A. B.C. D.8．已知定義在區(qū)間上的函數(shù)，，若以上兩函數(shù)的圖像有公共點(diǎn)，且在公共點(diǎn)處切線相同，則m的值為（）A.2 B.5C.1 D.09．從0，1，2，3，4，5這六個(gè)數(shù)字中，任取兩個(gè)不同數(shù)字構(gòu)成平面直角坐標(biāo)系內(nèi)點(diǎn)的橫、縱坐標(biāo)，其中不在軸上的點(diǎn)有（）A.36個(gè) B.30個(gè)C.25個(gè) D.20個(gè)10．已知正的邊長為，那么的平面直觀圖的面積為（）A. B.C. D.11．拋物線準(zhǔn)線方程為()A. B.C. D.12．在公比為的等比數(shù)列中，前項(xiàng)和，則（）A.1 B.2C.3 D.4二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．?dāng)?shù)據(jù)：1，1，3，4，6的方差是______.14．已知空間向量，則向量在坐標(biāo)平面上的投影向量是__________15．已知空間向量，，則向量在向量上的投影向量的坐標(biāo)是___________.16．已知正項(xiàng)數(shù)列的前n項(xiàng)和為，且，則__________，滿足不等式的最大整數(shù)為__________三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）已知斜率為1的直線交拋物線：（）于，兩點(diǎn)，且弦中點(diǎn)的縱坐標(biāo)為2.（1）求拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）記點(diǎn)，過點(diǎn)作兩條直線，分別交拋物線于，（，不同于點(diǎn)）兩點(diǎn)，且的平分線與軸垂直，求證：直線的斜率為定值.18．（12分）已知函數(shù)在處的切線方程為.（1）求的解析式；（2）求函數(shù)圖象上的點(diǎn)到直線的距離的最小值.19．（12分）已知三點(diǎn)共線，其中是數(shù)列中的第n項(xiàng).（1）求數(shù)列的通項(xiàng)；（2）設(shè)，求數(shù)列的前n項(xiàng)和.20．（12分）已知橢圓的離心率為，短軸端點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離為2（1）求橢圓的方程；（2）設(shè)為橢圓上任意兩點(diǎn)，為坐標(biāo)原點(diǎn)，且以為直徑的圓經(jīng)過原點(diǎn)，求證：原點(diǎn)到直線的距離為定值，并求出該定值21．（12分）如圖，四棱錐中，是邊長為4的正三角形，為正方形，平面平面，、分別為、中點(diǎn).（1）證明：平面；（2）求直線EP與平面AEF所成角的正弦值.22．（10分）已知直線，拋物線.（1）與有公共點(diǎn)，求的取值范圍；（2）是坐標(biāo)原點(diǎn)，過的焦點(diǎn)且與交于兩點(diǎn)，求的面積.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、C【解析】根據(jù)導(dǎo)數(shù)的定義即可求解.【詳解】.故選：C.2、C【解析】先分別判斷命題、的真假，再利用邏輯聯(lián)結(jié)詞“或”與“且”判斷命題的真假.【詳解】由題意，，所以，成立，即命題為真命題，，所以不存在，使得，即命題為假命題，所以是假命題，為真命題，所以是真命題，是假命題，是假命題，是真命題.故選：C3、C【解析】先由圖像分析出的正負(fù)，直接解不等式即可得到答案.【詳解】由函數(shù)的圖象可知,在區(qū)間上單調(diào)遞減,在區(qū)間(0,2)上單調(diào)遞增，即當(dāng)時(shí),;當(dāng)x∈(0,2)時(shí),.因?yàn)榭苫癁榛颍獾茫?<x<2或x<0,所以不等式的解集為.故選:C4、B【解析】由韋達(dá)定理得a3a15=2，由等比數(shù)列通項(xiàng)公式性質(zhì)得：a92=a3a15=a2a16=2，由此求出答案【詳解】解：∵在等比數(shù)列{an}中，a3，a15是方程x2-6x+2=0的根，∴a3a15=2＞0，a3+a15=-6<0∴a2a16=a3a15=2，a92=a3a15=2，∴a9=，∴，故選B【點(diǎn)睛】本題考查等比數(shù)列中兩項(xiàng)積與另一項(xiàng)的比值的求法，是基礎(chǔ)題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意等比數(shù)列的性質(zhì)的合理運(yùn)用5、B【解析】函數(shù)f（x）=x（lnx﹣ax），則f′（x）=lnx﹣ax+x（﹣a）=lnx﹣2ax+1，令f′（x）=lnx﹣2ax+1=0得lnx=2ax﹣1，函數(shù)f（x）=x（lnx﹣ax）有兩個(gè)極值點(diǎn)，等價(jià)于f′（x）=lnx﹣2ax+1有兩個(gè)零點(diǎn)，等價(jià)于函數(shù)y=lnx與y=2ax﹣1的圖象有兩個(gè)交點(diǎn)，在同一個(gè)坐標(biāo)系中作出它們的圖象（如圖）當(dāng)a=時(shí)，直線y=2ax﹣1與y=lnx的圖象相切，由圖可知，當(dāng)0＜a＜時(shí)，y=lnx與y=2ax﹣1的圖象有兩個(gè)交點(diǎn)則實(shí)數(shù)a的取值范圍是（0，）故選B6、B【解析】由基本不等式求出的最小值，只需最小值大于等于18，得到關(guān)于的不等式，求解，即可得出結(jié)論.【詳解】，因?yàn)椴坏仁胶愠闪?，所以，即，解得，所?故選:B.【點(diǎn)睛】本題考查基本不等式的應(yīng)用，考查一元二次不等式的解法，屬于基礎(chǔ)題.7、C【解析】過點(diǎn)在平面內(nèi)作，過點(diǎn)在平面內(nèi)作，以、為鄰邊作平行四邊形，連接，分析可知二面角的平面角為，利用余弦定理求出，證明出，再利用勾股定理可求得的長.【詳解】過點(diǎn)在平面內(nèi)作，過點(diǎn)在平面內(nèi)作，以、為鄰邊作平行四邊形，連接，因?yàn)?，，，則，因?yàn)?，由等面積法可得，同理可得，由勾股定理可得，同理可得，，因?yàn)樗倪呅螢槠叫兴倪呅危?，故四邊形為矩形，所以，，因?yàn)?，所以，二面角的平面角為，在中，，，由余弦定理可得，，，，則，，因?yàn)椋矫?，平面，則，，由勾股定理可得.故選：C.8、C【解析】設(shè)兩曲線與公共點(diǎn)為，分別求得函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，根據(jù)兩函數(shù)的圖像有公共點(diǎn)，且在公共點(diǎn)處切線相同，列出等式，求得公共點(diǎn)的坐標(biāo)，代入函數(shù)，即可求解.【詳解】根據(jù)題意，設(shè)兩曲線與公共點(diǎn)為，其中，由，可得，則切線的斜率為，由，可得，則切線斜率為，因?yàn)閮珊瘮?shù)的圖像有公共點(diǎn)，且在公共點(diǎn)處切線相同，所以，解得或（舍去），又由，即公共點(diǎn)的坐標(biāo)為，將點(diǎn)代入，可得.故選：C.9、C【解析】根據(jù)點(diǎn)不在y軸上，分2類根據(jù)分類加法計(jì)數(shù)原理求解.【詳解】因?yàn)辄c(diǎn)不在軸上，所以點(diǎn)的橫坐標(biāo)不能為0，分兩類考慮，第一類含0且為點(diǎn)的縱坐標(biāo)，共有個(gè)點(diǎn)，第二類坐標(biāo)不含0的點(diǎn)，共有個(gè)點(diǎn)，根據(jù)分類加法計(jì)數(shù)原理可得共有個(gè)點(diǎn).故選：C10、D【解析】作出正的實(shí)際圖形和直觀圖，計(jì)算出直觀圖的底邊上的高，由此可求得的面積.【詳解】如圖①②所示的實(shí)際圖形和直觀圖.由斜二測畫法可知，，，在圖②中作于，則.所以.故選：D.【點(diǎn)睛】本題考查直觀圖面積的計(jì)算，考查計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題.11、D【解析】由拋物線的準(zhǔn)線方程即可求解【詳解】由拋物線方程得：．所以，拋物線的準(zhǔn)線方程為故選D【點(diǎn)睛】本題主要考查了拋物線的準(zhǔn)線方程，屬于基礎(chǔ)題12、C【解析】先利用和的關(guān)系求出和，再求其公比.【詳解】由，得，，所以，，則.故選：C.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、##3.6【解析】先計(jì)算平均數(shù)，再計(jì)算方差.【詳解】該組數(shù)據(jù)的平均數(shù)為，方差為故答案為：14、【解析】根據(jù)投影向量的知識(shí)求得正確答案.【詳解】空間向量在坐標(biāo)平面上的投影向量是.故答案為：15、【解析】根據(jù)投影向量的計(jì)算公式，計(jì)算出正確答案.【詳解】向量在向量上的投影向量的坐標(biāo)是.故答案為：16、①.##②.【解析】由得到，即可得到數(shù)列是首項(xiàng)為1，公差為1的等差數(shù)列，從而求出，再根據(jù)求出，令，利用裂項(xiàng)相消法求出，即可求出的取值范圍，從而得解；【詳解】解：由，令，得，，解得；當(dāng)時(shí)，，即因此，數(shù)列是首項(xiàng)為1，公差為1的等差數(shù)列，，即所以，令，所以，所以，則最大整數(shù)為；故答案為：；；三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、(1);(2)見解析.【解析】(1)涉及中點(diǎn)弦,用點(diǎn)差法處理即可求得,進(jìn)而求得拋物線方程;(2)由的平分線與軸垂直,可知直線，的斜率存在,且斜率互為相反數(shù),且不等于零,設(shè),直線,則直線分別和拋物線方程聯(lián)立,解得利用,結(jié)合直線方程,即可證得直線的斜率為定值.【詳解】(1)設(shè),則,兩式相減,得:由弦中點(diǎn)縱坐標(biāo)為2,得,故.所以拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程.(2)由的平分線與軸垂直,可知直線，的斜率存在,且斜率互為相反數(shù),且不等于零,設(shè)直線由得由點(diǎn)在拋物線上,可知上述方程的一個(gè)根為.即,同理.直線的斜率為定值.【點(diǎn)睛】本題考查應(yīng)用點(diǎn)差法處理中點(diǎn)弦問題,直線與拋物線中,斜率為定值問題,考查分析問題的能力,考查學(xué)生的計(jì)算能力,難度較難.18、（1）；（2）.【解析】（1）由題可得，然后利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義即求；（2）由題可得切點(diǎn)到直線的距離最小，即得.【小問1詳解】∵函數(shù)，∴的定義域?yàn)?，，∴在處切線的斜率為，由切線方程可知切點(diǎn)為，而切點(diǎn)也在函數(shù)圖象上，解得，∴的解析式為；【小問2詳解】由于直線與直線平行，直線與函數(shù)在處相切，所以切點(diǎn)到直線的距離最小，最小值為，故函數(shù)圖象上的點(diǎn)到直線的距離的最小值為.19、（1）（2）【解析】(1)由三點(diǎn)共線可知斜率相等，即可得出答案；(2)由題可得，利用錯(cuò)位相減法即可求出答案.【小問1詳解】三點(diǎn)共線，【小問2詳解】①②①—②得20、（1）（2）證明見解析，定值為【解析】（1）根據(jù)題意得到，，得到橢圓方程.（2）考慮直線斜率存在和不存在兩種情況，聯(lián)立方程，根據(jù)韋達(dá)定理得到根與系數(shù)的關(guān)系，將題目轉(zhuǎn)化為，化簡得到，代入計(jì)算得到答案.【小問1詳解】橢圓的離心率為，短軸端點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離為，故，，故橢圓方程為.【小問2詳解】當(dāng)直線斜率存在時(shí)，設(shè)直線方程為，，，則，即，，以為直徑的圓經(jīng)過原點(diǎn)，故，即，即，化簡整理得到：，原點(diǎn)到直線的距離為.當(dāng)直線斜率不存在時(shí)，為等腰直角三角形，設(shè)，則，解得，即直線方程為，到原點(diǎn)的距離為.綜上所述：原點(diǎn)到直線的距離為定值.【點(diǎn)睛】本題考查了橢圓方程，橢圓中的定值問題，意在考查學(xué)生的計(jì)算能力，轉(zhuǎn)化能力和綜合應(yīng)用能力，其中將圓過原點(diǎn)轉(zhuǎn)化為是解題的關(guān)鍵.21、（1）見解析（2）【解析】（1）連接，證明，即可證明平面；（2）取的中點(diǎn)，連接，由平面平面，得平面，建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系，利用向量法即可求得答案.【小問1詳解】證明：連接，是正方形，是的中點(diǎn)，是的中點(diǎn)，是的中點(diǎn)，，平面，平面，平面；【小問2詳解】取的中點(diǎn)，連接，則，因?yàn)槭沁呴L為4的正三角形，