四川省眉山市2025屆高二數(shù)學第一學期期末學業(yè)質量監(jiān)測模擬試題含解析

四川省眉山市2025屆高二數(shù)學第一學期期末學業(yè)質量監(jiān)測模擬試題請考生注意：1．請用2B鉛筆將選擇題答案涂填在答題紙相應位置上，請用0．5毫米及以上黑色字跡的鋼筆或簽字筆將主觀題的答案寫在答題紙相應的答題區(qū)內。寫在試題卷、草稿紙上均無效。2．答題前，認真閱讀答題紙上的《注意事項》，按規(guī)定答題。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．定義焦點相同，且離心率互為倒數(shù)的橢圓和雙曲線為一對相關曲線.已知，是一對相關曲線的焦點，Р是這對相關曲線在第一象限的交點，則點Р與以為直徑的圓的位置關系是（）A.在圓外 B.在圓上C.在圓內 D.不確定2．若函數(shù)有零點，則實數(shù)的取值范圍是（）A. B.C. D.3．為調查參加考試的高二級1200名學生的成績情況，從中抽查了100名學生的成績，就這個問題來說，下列說法正確的是（）A.1200名學生是總體 B.每個學生是個體C.樣本容量是100 D.抽取的100名學生是樣本4．已知空間向量，則（）A. B.C. D.5．已知雙曲線的右焦點為F,雙曲線C的右支上有一點P滿是(點O為坐標原點),那么雙曲線C的離心率為()A. B.C. D.6．已知橢圓與雙曲線有相同的焦點，且它們的離心率之積為1，則橢圓的標準方程為（）A. B.C. D.7．南北朝時期杰出的數(shù)學家祖沖之的兒子祖暅在數(shù)學上也有很多創(chuàng)造，其最著名的成就是祖暅原理：夾在兩個平行平面之間的幾何體，被平行于這兩個平面的任意平面所截，如果截得的兩個截面的面積總相等，那么這兩個幾何體的體積相等，現(xiàn)有一個圓柱體和一個長方體，它們的底面面積相等，高也相等，若長方體的底面周長為，圓柱體的體積為，根據(jù)祖暅原理，可推斷圓柱體的高（）A.有最小值 B.有最大值C.有最小值 D.有最大值8．已知命題：，；命題：在中，若，則，則下列命題為真命題的是（）A. B.C. D.9．已知橢圓的離心率為.雙曲線的漸近線與橢圓有四個交點，以這四個焦點為頂點的四邊形的面積為16，則橢圓的方程為A. B.C. D.10．已知雙曲線的右焦點為，漸近線為，，過的直線與垂直，且交于點，交于點，若，則雙曲線的離心率為（）A. B.C.2 D.11．“且”是“”的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件12．將上各點的縱坐標不變，橫坐標變?yōu)樵瓉淼?倍，得到曲線C，若直線l與曲線C交于A，B兩點，且AB中點坐標為M（1，），那么直線l的方程為（）A. B.C. D.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．已知某地區(qū)內貓的壽命超過10歲的概率為0.9，超過12歲的概率為0.6，那么該地區(qū)內，一只壽命超過10歲的貓的壽命超過12歲的概率為___________.14．已知，點在軸上，且，則點的坐標為____________.15．已知等比數(shù)列的各項均為實數(shù)，其前項和為，若，，則__________.16．如圖，把正方形紙片沿對角線折成直二面角，則折紙后異面直線，所成的角為___________.三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）某外語學校的一個社團中有7名同學，其中2人只會法語；2人只會英語，3人既會法語又會英語，現(xiàn)選派3人到法國的學校交流訪問（1）在選派的3人中恰有2人會法語的概率；（2）在選派的3人中既會法語又會英語的人數(shù)X的分布列和數(shù)學期望18．（12分）已知等比數(shù)列的公比，，.（1）求數(shù)列的通項公式；（2）令，若，求滿足條件的最大整數(shù)n.19．（12分）已知函數(shù)（1）討論函數(shù)的單調性；（2）若函數(shù)有兩個零點，，證明：20．（12分）某校高二年級共有男生490人和女生510人，現(xiàn)采用分層隨機抽樣的方法從該校高二年級中抽取100名學生，測得他們的身高數(shù)據(jù)（1）男生和女生應各抽取多少人？（2）若樣本中男生和女生的平均身高分別為173.6、162.2厘米，請估計該校高二年級學生的平均身高21．（12分）已知橢圓：的離心率為，且經(jīng)過點.（1）求的方程；（2）設的右焦點為F，過F作兩條互相垂直的直線AB和DE，其中A，B，D，E都在橢圓上，求的取值范圍.22．（10分）已知數(shù)列滿足，，，.從①，②這兩個條件中任選一個填在橫線上，并完成下面問題.（1）寫出、，并求數(shù)列的通項公式；（2）求數(shù)列的前項和.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、A【解析】設橢圓的長軸長為，橢圓的焦距為，雙曲線的實軸長為，根據(jù)題意可得，設，根據(jù)橢圓與雙曲線的定義將分別用表示，設，再根據(jù)兩點的距離公式將點的坐標用表示，從而可判斷出點與圓的位置關系.【詳解】解：設橢圓的長軸長為，橢圓的焦距為，雙曲線的實軸長為，設橢圓和雙曲線的離心率分別為，則，所以，以為直徑的圓的方程為，設，則有，所以，設，，所以①，②，則①②得，所以，所以，將代入②得，所以，，則點到圓心的距離為，所以點Р在以為直徑的圓外.故選：A.2、A【解析】設，則函數(shù)有零點轉化為函數(shù)的圖象與直線有交點，利用導數(shù)判斷函數(shù)的單調性，即可求出【詳解】設，定義域為，則，易知為單調遞增函數(shù)，且所以當時，，遞減；當時，，遞增，所以所以，即故選：A【點睛】本題主要考查根據(jù)函數(shù)有零點求參數(shù)的取值范圍，意在考查學生的轉化能力，屬于基礎題3、C【解析】根據(jù)總體、個體、樣本容量、樣本的定義，結合題意，即可判斷和選擇.【詳解】根據(jù)題意，總體是名學生的成績；個體是每個學生的成績；樣本容量是，樣本是抽取的100名學生的成績；故正確的是C.故選：C.4、C【解析】A利用向量模長的坐標表示判斷；B根據(jù)向量平行的判定，是否存在實數(shù)使即可判斷；C向量數(shù)量積的坐標表示求即可判斷；D利用向量坐標的線性運算及數(shù)量積的坐標表示求即可.【詳解】因為，所以A不正確：因為不存在實數(shù)使，所以B不正確；因為，故，所以C正確；因為，所以，所以D不正確故選：C5、D【解析】分析焦點三角形即可【詳解】如圖,設左焦點為,因為,所以不妨設,則離心率故選:D6、A【解析】計算雙曲線的焦點為，離心率，得到橢圓的焦點為，離心率，計算得到答案.【詳解】雙曲線的焦點為，離心率，故橢圓的焦點為，離心率，即.解得，故橢圓標準方程為：.故選：.【點睛】本題考查了橢圓和雙曲線的離心率，焦點，橢圓的標準方程，意在考查學生的計算能力.7、C【解析】由條件可得長方體的體積為，設長方體的底面相鄰兩邊分別為，根據(jù)基本不等式，可求出底面面積的最大值，進而求出高的最小值，得出結論.【詳解】依題意長方體的體積為，設圓柱的高為長方體的底面相鄰兩邊分別為，，當且僅當時，等號成立，.故選:C.【點睛】本題以數(shù)學文化為背景，考查基本不等式求最值，要認真審題，理解題意，屬于基礎題.8、C【解析】分別求得的真假性，從而確定正確答案.【詳解】對于，由于，所以為假命題，為真命題.對于，在三角形中，，由正弦定理得，所以為真命題，為假命題.所以為真命題，、、為假命題.故選：C9、D【解析】由題意，雙曲線的漸近線方程為，∵以這四個交點為頂點的四邊形為正方形，其面積為16，故邊長為4，∴（2，2）在橢圓C：上，∴，∵，∴，∴，∴∴橢圓方程為：.故選D.考點：橢圓的標準方程及幾何性質；雙曲線的幾何性質.10、C【解析】由題設易知是的中垂線，進而可得，結合雙曲線參數(shù)關系及離心率公式求雙曲線的離心率即可.【詳解】由題意，是的中垂線，故，由對稱性得，則，故，∴.故選：C.11、A【解析】按照充分必要條件的判斷方法判斷，“且”能否推出“”，以及“”能否推出“且”，判斷得到正確答案，【詳解】當且時，成立，反過來，當時，例：，不能推出且.所以“且”是“”的充分不必要條件.故選：A【點睛】本題考查充分不必要條件的判斷，重點考查基本判斷方法，屬于基礎題型.12、A【解析】先根據(jù)題意求出曲線C的方程，然后利用點差法求出直線l的斜率，從而可求出直線方程【詳解】設點為曲線C上任一點，其在上對應在的點為，則，得，所以，所以曲線C的方程為，設，則，兩方程相減整理得，因為AB中點坐標為M（1，），所以，即，所以，所以，所以直線l的方程為，即，故選：A二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解析】根據(jù)條件概率公式求解即可.【詳解】設事件A：貓的壽命超過10歲，事件B：貓的壽命超過12歲.依題意有，，則一只壽命超過10歲貓的壽命超過12歲的概率.故答案為：14、【解析】設P(0,0,z),由|PA|=|PB|,得1+4+(z?1)2=4+4+(z?2)2，解得z=3，故點P的坐標為(0,0,3).15、1【解析】分公比和兩種情況討論，結合，，即可得出答案.【詳解】解：設等比數(shù)列的公比為，當，由，，不合題意，當，由，得，綜上所述.故答案為：1.16、##30°【解析】過點E作CE∥AB，且使得CE=AB，則四邊形ABEC是平行四邊形，進而（或其補角）是所求角，算出答案即可.【詳解】過點E作CE∥AB，且使得CE=AB，則四邊形ABEC是平行四邊形，設所求角為，于是.設原正方形ABCD邊長為2，取AC的中點O，連接DO,BO，則且，而平面平面，且交于AC，所以平面ABEC，則.易得，，，而則于是，,.在中，，取DE的中點F，則，所以，即，于是.故答案為：.三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）（2）分布列見解析；【解析】（1）利用組合的知識計算出基本事件總數(shù)和滿足題意的基本事件數(shù)，根據(jù)古典概型概率公式求得結果；（2）確定所有可能的取值，根據(jù)超幾何分布概率公式可計算出每個取值對應的概率，進而得到分布列和數(shù)學期望.【小問1詳解】名同學中，會法語的人數(shù)為人，從人中選派人，共有種選法；其中恰有人會法語共有種選法；選派的人中恰有人會法語的概率.【小問2詳解】由題意可知：所有可能的取值為，；；；；的分布列為：數(shù)學期望為18、（1）（2）【解析】(1)由等比數(shù)列的性質可得，結合條件求出，得出公比，從而得出通項公式.(2)由（1）可得，再求出的前項和，從而可得出答案.【小問1詳解】由題意可知，有，，得或∴或又，∴∴【小問2詳解】，∴∴，又單調遞增,所以滿足條件的的最大整數(shù)為19、（1）函數(shù)的單調性見解析；（2）證明見解析.【解析】(1)求出函數(shù)的導數(shù)，按a值分類討論判斷的正負作答.(2)將分別代入計算化簡變形，再對所證不等式作等價變形，構造函數(shù)，借助函數(shù)導數(shù)推理作答.【小問1詳解】已知函數(shù)的定義域為，，當時，恒成立，所以在區(qū)間上單調遞增；當時，由，解得，由，解得，的單調遞增區(qū)間為，單調遞減區(qū)間為，所以，當時，在上單調遞增，當時，在上單調遞增，在上單調遞減.【小問2詳解】依題意，不妨設，則，，于是得，即，亦有，即，因此，，要證明，即證，即證，即證，即證，令，，，則有在上單調遞增，，，即成立，所以.【點睛】思路點睛：涉及雙變量的不等式證明問題，將所證不等式等價轉化，構造新函數(shù)，再借助導數(shù)探討函數(shù)的單調性、極(最)值問題處理.20、（1）應抽取男生49人，女生51人；（2）.【解析】（1）利用分層抽樣計算男生和女生應抽取的人數(shù)；（2）利用平均數(shù)的計算公式計算求解.【小問1詳解】解：應抽取男生人，女生應抽取100-49=51人.【小問2詳解】解：估計該校高二年級學生的平均身高為.21、（1）（2）【解析】（1）根據(jù)橢圓的離心率為，及經(jīng)過點建立等式可求解；（2）分斜率存在與不存在兩種情況進行討論，當斜率存在時，計算與后再求范圍即可.【小問1詳解】由題意知的離心率為，整理得，又因為經(jīng)過點，所以，解得，所以，因此，的方程為.小問2詳解】由已知可得，當直線AB或DE有一條的斜率不存在時，可得，或，，此時有或.當AB和DE的斜率都存在時且不為0時，設直線：，直線：，，，，由得，所以，，所以，用替換可得.所以，綜上所述，的取值范圍為.22、（1