福建省安溪八中2025屆數學高二上期末教學質量檢測試題含解析

福建省安溪八中2025屆數學高二上期末教學質量檢測試題注意事項:1．答題前，考生先將自己的姓名、準考證號碼填寫清楚，將條形碼準確粘貼在條形碼區(qū)域內。2．答題時請按要求用筆。3．請按照題號順序在答題卡各題目的答題區(qū)域內作答，超出答題區(qū)域書寫的答案無效；在草稿紙、試卷上答題無效。4．作圖可先使用鉛筆畫出，確定后必須用黑色字跡的簽字筆描黑。5．保持卡面清潔，不要折暴、不要弄破、弄皺，不準使用涂改液、修正帶、刮紙刀。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．若構成空間向量的一組基底，則下列向量不共面的是（）A.，， B.，，C.，， D.，，2．已知是空間的一個基底，若，，若，則（）A. B.C.3 D.3．若展開式的二項式系數之和為，則展開式的常數項為（）A. B.C. D.4．若拋物線上的點到其焦點的距離是到軸距離的倍，則等于A. B.1C. D.25．從橢圓的一個焦點發(fā)出的光線，經過橢圓反射后，反射光線經過橢圓的另一個焦點；從雙曲線的一個焦點發(fā)出的光線，經過雙曲線反射后，反射光線的反向延長線經過雙曲線的另一個焦點.如圖①，一個光學裝置由有公共焦點的橢圓與雙曲線構成，現一光線從左焦點發(fā)出，依次經與反射，又回到了點，歷時秒；若將裝置中的去掉，如圖②，此光線從點發(fā)出，經兩次反射后又回到了點，歷時秒；若，則的長軸長與的實軸長之比為（）A. B.C. D.6．如圖，在正方體中，點，分別是面對角線與的中點，若，，，則（）A. B.C. D.7．已知、是橢圓的兩個焦點，P為橢圓C上一點，且，若的面積為9，則的值為（）A.1 B.2C.3 D.48．已知函數的導函數的圖像如圖所示，則下列判斷正確的是（）A.在區(qū)間上，函數增函數 B.在區(qū)間上，函數是減函數C.為函數的極小值點 D.2為函數的極大值點9．中國古代數學名著九章算術中有這樣一個問題：今有牛、馬、羊食人苗，苗主責之栗五斗羊主曰：“我羊食半馬”馬主曰：“我馬食半?！苯裼斨瑔柛鞒鰩缀?？此問題的譯文是：今有牛、馬、羊吃了別人的禾苗，禾苗的主人要求賠償5斗栗羊主人說：“我羊所吃的禾苗只有馬的一半”馬主人說：“我馬所吃的禾苗只有牛的一半”打算按此比率償還，他們各應償還多少？已知牛、馬、羊的主人各應償還栗a升，b升，c升，1斗為10升，則下列判斷正確的是A.a，b，c依次成公比為2的等比數列，且B.a，b，c依次成公比為2的等比數列，且C.a，b，c依次成公比為的等比數列，且D.a，b，c依次成公比為的等比數列，且10．在數列中，，則等于A. B.C. D.11．已知f(x)＝x3＋(a－1)x2＋x＋1沒有極值，則實數a的取值范圍是（）A.[0，1] B.(－∞，0]∪[1，＋∞)C.[0，2] D.(－∞，0]∪[2，＋∞)12．若圓與圓相切，則的值為（）A. B.C.或 D.或二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．焦點在軸上的雙曲線的離心率為，則的值為___________.14．執(zhí)行如圖所示的程序框圖，則輸出的n的值為__.15．“五經”是《詩經》、《尚書》、《禮記》、《周易》、《春秋》的合稱，貴為中國文化經典著作，所載內容及哲學思想至今仍具有積極意義和參考價值.某校計劃開展“五經”經典誦讀比賽活動，某班有、兩位同學參賽，比賽時每位同學從這本書中隨機抽取本選擇其中的內容誦讀，則、兩位同學抽到同一本書的概率為______.16．雙曲線的焦距為____________三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）已知圓：和圓外一點，過點作圓的切線，切線長為.（1）求圓的標準方程；（2）若圓：，求證：圓和圓相交，并求出兩圓的公共弦長.18．（12分）已知數列滿足.（1）求數列的通項公式；（2）設，數列的前項和為，證明：當時，.19．（12分）如圖，在直三棱柱中，，，，點是的中點.（1）求證：；（2）求證：平面.20．（12分）某市為加強市民對新冠肺炎的知識了解，面向全市征召義務宣傳志愿者.現從符合條件的志愿者中隨機抽取100名按年齡分組：第1組[20，25），共5人，第2組[25，30），共35人，第3組[30，35），第4組[35，40），第5組[40，45]，得到的頻率分布直方圖如圖所示.（1）求a的值；（2）若從第3，4，5組中用分層抽樣的方法抽取6名志愿者參加廣場宣傳活動，且該市決定在第3，4組的志愿者中隨機抽取2名志愿者介紹宣傳經驗，求第3組至少有-名志愿者被抽中的概率.21．（12分）已知函數，當時，函數有極值1.（1）求函數的解析式；（2）若關于x的方程有一個實數根，求實數m的取值范圍.22．（10分）已知直線方程為（1）若直線的傾斜角為，求的值；（2）若直線分別與軸、軸的負半軸交于、兩點，為坐標原點，求面積的最小值及此時直線的方程

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、C【解析】根據空間向量共面的條件即可解答.【詳解】對于A，由，所以，，共面；對于B，由，所以，，共面；對于D，，所以，，共面，故選：C.2、C【解析】由，可得存在實數，使，然后將代入化簡可求得結果【詳解】，，因，所以存在實數，使，所以，所以，所以，得，，所以，故選：C3、C【解析】利用二項式系數的性質求得的值，再利用二項式展開式的通項公式，求得結果即可.【詳解】解：因為展開式的二項式系數之和為，則，所以，令，求得，所以展開式的常數項為.故選：C.4、D【解析】根據拋物線的定義及題意可知3x0=x0+,得出x0求得p，即可得答案【詳解】由題意，3x0=x0+，∴x0=∴∵p＞0，∴p=2.故選D【點睛】本題主要考查了拋物線的定義和性質．考查了考生對拋物線定義的掌握和靈活應用，屬于基礎題5、D【解析】在圖①和圖②中，利用橢圓和雙曲線的定義，分別求得和的周長，再根據光速相同，且求解.【詳解】在圖①中，由橢圓的定義得：，由雙曲線的定義得，兩式相減得，所以的周長為，在圖②中，的周長為，因為光速相同，且，所以，即，所以，即的長軸長與的實軸長之比為，故選：D6、D【解析】由空間向量運算法則得,利用向量的線性運算求出結果.【詳解】因為點，分別是面對角線與的中點，，，，所以故選:D.7、C【解析】根據橢圓定義，和條件列式，再通過變形計算求解.【詳解】由條件可知，，即，解得：.故選：C【點睛】本題考查橢圓的定義，焦點三角形的性質，重點考查轉化與變形，計算能力，屬于基礎題型.8、D【解析】根據導函數與原函數的關系可求解.【詳解】對于A，在區(qū)間，，故A不正確；對于B，在區(qū)間，，故B不正確；對于C、D，由圖可知在區(qū)間上單調遞增，在區(qū)間上單調遞減，且，所以為函數的極大值點，故C不正確，D正確.故選：D9、D【解析】由條件知，，依次成公比為的等比數列，三者之和為50升，根據等比數列的前n項和，即故答案為D.10、D【解析】分析：已知逐一求解詳解：已知逐一求解．故選D點睛：對于含有的數列，我們看作擺動數列，往往逐一列舉出來觀察前面有限項的規(guī)律11、C【解析】求導得，再解不等式即得解.【詳解】由得，根據題意得，解得故選：C12、C【解析】分類討論:當兩圓外切時，圓心距等于半徑之和；當兩圓內切時，圓心距等于半徑之差，即可求解.【詳解】圓的圓心為，半徑為，圓的圓心為，半徑為.①當兩圓外切時，有，此時.②當兩圓內切時，有，此時.綜上，當時兩圓外切；當時兩圓內切.故選：C【點睛】本題考查了圓與圓的位置關系，解答兩圓相切問題時易忽略兩圓相切包括內切和外切兩種情況.解答時注意分類討論，屬于基礎題.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解析】將雙曲線的方程化為標準式，可得出、，由此可得出關于的等式，即可解得的值.【詳解】雙曲線的標準方程為，由題意可得，則，，，所以，，解得.故答案為：.14、5【解析】明確程序運行的順序，寫出每次循環(huán)的m,n的值，直到判斷符合條件時結束，即可得到結果.【詳解】第一次循環(huán)，m＝3，n＝2；第二次循環(huán)，m＝6，n＝3；第三次循環(huán)，m＝9，n＝4；第四次循環(huán)，m＝12，n＝5，此時m+n＞15，跳出循環(huán)，故答案為：5.15、##【解析】計算出、兩位同學各隨機抽出一本書的結果種數，以及、兩位同學抽到同一本書的結果種數，利用古典概型的概率公式可求得所求事件的概率.【詳解】、兩位同學抽到的結果都有種，由分步乘法計數原理可知，、兩位同學各隨機抽出一本書，共有種結果，而、兩位同學抽到同一本書的結果有種，故所求概率為.故答案為：.16、【解析】根據雙曲線的方程求出，再求焦距的值.【詳解】因為雙曲線方程為，所以，.雙曲線的焦距為.故答案為：.三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）（2）證明見解析，公共弦長為【解析】（1）根據切線長公式計算即可得到，然后代入可得圓的方程.（2）聯立兩圓的方程作差可得直線的方程為，然后利用圓的弦長公式計算即可.【小問1詳解】圓的標準方程為，所以圓心為，半徑.由勾股定理可得，解得.所以圓的標準方程為.【小問2詳解】由題意得圓的圓心，半徑，圓的圓心，半徑，因為，，所以圓和圓相交.設兩圓相交于，兩點，則兩圓的方程相減得直線的方程為，圓心到直線的距離.所以，所以兩圓的公共弦長為.18、（1）；（2）證明見解析.【解析】（1）利用前n項和與的關系即求；（2）由題知，然后利用裂項相消法即證.【小問1詳解】由，可得，兩式相減可得，當時，，滿足，所以.【小問2詳解】∵，因為，所以當時，.19、（1）證明見解析；（2）證明見解析.【解析】（1）由直棱柱的性質可得，由勾股定理可得，由線面垂直判定定理即可得結果；（2）取的中點，連結和，通過線線平行得到面面，進而得結果.【詳解】（1）∵直三棱柱，∴面，∴，又∵，，，∴，∴，∵，∴面，∴（2）取的中點，連結和，∵，且，∴四邊形為平行四邊形，∴，面，∴面，∵，且，∴四邊形平行四邊形，∴，面，∴面，∵，∴面面，∴平面.【點睛】方法點睛：線面平行常見的證明方法：（1）通過構造相似三角形（三角形中位線），得到線線平行；（2）通過構造平行四邊形得到線線平行；（3）通過線面平行得到面面平行，再得線面平行.20、（1）0.04；（2）.【解析】（1）根據頻率的計算公式，結合概率之和為1，即可求得參數；（2）根據題意求得抽樣比以及第三組和第四組各抽取的人數，再列舉所有可能抽取的情況，找出滿足題意的情況，利用古典概型的概率計算公式即可求得結果.【小問1詳解】第一組頻率為，第二組的頻率為，則第一組與第二組的頻率之和為，又，故.【小問2詳解】第3組的人數為，第4組的人數為，第5組的人數為，因為第3，4，5組共有60名志愿者，所以利用分層抽樣的方法在60名志題者中抽收6名志愿者，每組抽取的人數分別為：第3組：；第4組：；第5組：.記第3組的3名志愿者為，第4組的2名志愿者為，則從5名志愿者中抽取2名志愿者有：，，共有10種其中第3組的3名志愿者至少有一名志愿者被抽中的有：，共9種.所以第3組至少有一名志愿者被抽中的概率為.21、（1）（2）【解析】（1）根據，可得可得結果.（2）根據等價轉換的思想，可得，利用導數研究函數的單調性，并比較的極值與的大小關系，可得結果.【詳解】（1）由，有，又有，解得：，，故函數的解析式為（2）由（1）有可知：故函數的增區(qū)間為，，減區(qū)間為，所以的極小值為，極大值為由關于x的方程有一個實數根，等價于方程有一個實數根，即等價于函數的圖像只有一個交點實數m的取值范圍為【點睛】本題考查