2025屆四川省樂(lè)山市峨眉山市第二中學(xué)高二上數(shù)學(xué)期末學(xué)業(yè)水平測(cè)試試題含解析

2025屆四川省樂(lè)山市峨眉山市第二中學(xué)高二上數(shù)學(xué)期末學(xué)業(yè)水平測(cè)試試題注意事項(xiàng)1．考生要認(rèn)真填寫(xiě)考場(chǎng)號(hào)和座位序號(hào)。2．試題所有答案必須填涂或書(shū)寫(xiě)在答題卡上，在試卷上作答無(wú)效。第一部分必須用2B鉛筆作答；第二部分必須用黑色字跡的簽字筆作答。3．考試結(jié)束后，考生須將試卷和答題卡放在桌面上，待監(jiān)考員收回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．在四棱錐中，底面為平行四邊形，為邊的中點(diǎn)，為邊上的一列點(diǎn)，連接，交于，且，其中數(shù)列的首項(xiàng)，則（）A. B.為等比數(shù)列C. D.2．已知點(diǎn)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，拋物線(xiàn)C：的焦點(diǎn)為F，點(diǎn)T在拋物線(xiàn)C的準(zhǔn)線(xiàn)上，線(xiàn)段FT與拋物線(xiàn)C的交點(diǎn)為W，，則（）A.1 B.C. D.3．已知直線(xiàn)與直線(xiàn)垂直，則實(shí)數(shù)a為（）A. B.或C. D.或4．已知兩直線(xiàn)與，則與間的距離為（）A. B.C. D.5．定義域?yàn)榈暮瘮?shù)滿(mǎn)足，且的導(dǎo)函數(shù)，則滿(mǎn)足的的集合為A. B.C. D.6．已知實(shí)數(shù)a，b滿(mǎn)足，則下列不等式中恒成立的是（）A. B.C. D.7．已知橢圓的左右焦點(diǎn)分別為，直線(xiàn)與C相交于M，N兩點(diǎn)（其中M在第一象限），若M，，N，四點(diǎn)共圓，且直線(xiàn)傾斜角不小于，則橢圓C的離心率e的取值范圍是（）A. B.C. D.8．已知直線(xiàn)m經(jīng)過(guò)，兩點(diǎn)，則直線(xiàn)m的斜率為（）A.-2 B.C. D.29．已知，，則下列結(jié)論一定成立的是（）A. B.C. D.10．設(shè)為橢圓上一點(diǎn)，，為左、右焦點(diǎn)，且，則（）A.為銳角三角形 B.為鈍角三角形C.為直角三角形 D.，，三點(diǎn)構(gòu)不成三角形11．下列命題中的假命題是（）A.，B.存在四邊相等的四邊形不是正方形C.“存在實(shí)數(shù)，使”的否定是“不存在實(shí)數(shù)，使”D.若且，則，至少有一個(gè)大于12．命題“若，則”的逆否命題是（）A.若，則 B.若，則C.若，則 D.若，則二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．已知數(shù)列滿(mǎn)足，定義使（）為整數(shù)的k叫做“幸福數(shù)”，則區(qū)間內(nèi)所有“幸福數(shù)”的和為_(kāi)____14．執(zhí)行如圖所示的程序框圖，則輸出的S＝__.15．已知圓錐的側(cè)面積為，若其過(guò)軸的截面為正三角形，則該圓錐的母線(xiàn)的長(zhǎng)為_(kāi)__________.16．已知函數(shù)，則f（e）＝__.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17．（12分）已知兩圓x2+y2-2x-6y-1=0．x2+y2-10x-12y+m=0（1）m取何值時(shí)兩圓外切？（2）m取何值時(shí)兩圓內(nèi)切？（3）當(dāng)m=45時(shí)，求兩圓公共弦所在直線(xiàn)的方程和公共弦的長(zhǎng)18．（12分）已知拋物線(xiàn)C：經(jīng)過(guò)點(diǎn)（1，-1）.（1）求拋物線(xiàn)C的方程及其焦點(diǎn)坐標(biāo)；（2）過(guò)拋物線(xiàn)C上一動(dòng)點(diǎn)P作圓M：的一條切線(xiàn)，切點(diǎn)為A，求切線(xiàn)長(zhǎng)|PA|的最小值.19．（12分）已知橢圓的焦距為，點(diǎn)在橢圓上.過(guò)點(diǎn)的直線(xiàn)l交橢圓于A，B兩點(diǎn).（1）求該橢圓的方程；（2）若點(diǎn)P為直線(xiàn)上的動(dòng)點(diǎn)，記直線(xiàn)PA，PM，PB的斜率分別為，，.求證：，，成等差數(shù)列.20．（12分）已知的頂點(diǎn)，邊上的中線(xiàn)所在直線(xiàn)方程為，邊上的高所在直線(xiàn)方程為.求：（1）頂點(diǎn)的坐標(biāo)；（2）直線(xiàn)的方程.21．（12分）某外語(yǔ)學(xué)校的一個(gè)社團(tuán)中有7名同學(xué)，其中2人只會(huì)法語(yǔ)；2人只會(huì)英語(yǔ)，3人既會(huì)法語(yǔ)又會(huì)英語(yǔ)，現(xiàn)選派3人到法國(guó)的學(xué)校交流訪問(wèn)（1）在選派的3人中恰有2人會(huì)法語(yǔ)的概率；（2）在選派的3人中既會(huì)法語(yǔ)又會(huì)英語(yǔ)的人數(shù)X的分布列和數(shù)學(xué)期望22．（10分）為了在夏季降溫和冬季供暖時(shí)減少能源損耗，房屋的屋頂和外墻需要建造隔熱層．某幢建筑物要建造可使用20年的隔熱層，每厘米厚的隔熱層建造成本為6萬(wàn)元．該建筑物每年的能源消耗費(fèi)用C（單位：萬(wàn)元）與隔熱層厚度x（單位：cm）滿(mǎn)足關(guān)系：C（x）=若不建隔熱層，每年能源消耗費(fèi)用為8萬(wàn)元．設(shè)f（x）為隔熱層建造費(fèi)用與20年的能源消耗費(fèi)用之和（Ⅰ）求k的值及f(x)的表達(dá)式（Ⅱ）隔熱層修建多厚時(shí)，總費(fèi)用f(x)達(dá)到最小，并求最小值

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、A【解析】由得，為邊的中點(diǎn)得，設(shè)，所以，根據(jù)向量相等可判斷A選項(xiàng)；由得是公比為的等比數(shù)列，可判斷B選項(xiàng)；代入可判斷C選項(xiàng)；當(dāng)時(shí)可判斷D選項(xiàng).【詳解】由得，因?yàn)闉檫叺闹悬c(diǎn)，所以，所以設(shè)，所以，所以，當(dāng)時(shí)，A選項(xiàng)正確；，由得，是公比為的等比數(shù)列，所以，所以，所以，不是常數(shù)，故B選項(xiàng)錯(cuò)誤；所以，由得，故C選項(xiàng)錯(cuò)誤；當(dāng)時(shí)，，所以，此時(shí)為的中點(diǎn)，與重合，即，，故D錯(cuò)誤.故選：A.2、B【解析】根據(jù)平面向量共線(xiàn)的性質(zhì)，結(jié)合拋物線(xiàn)的定義進(jìn)行求解即可.【詳解】由已知得：，該拋物線(xiàn)的準(zhǔn)線(xiàn)方程為：，所以設(shè)，因?yàn)?，所以，由拋物線(xiàn)的定義可知：，故選：B3、B【解析】由題可得，即得.【詳解】∵直線(xiàn)與直線(xiàn)垂直，∴，解得或.故選：B.4、B【解析】把直線(xiàn)的方程化簡(jiǎn)，再利用平行線(xiàn)間距離公式直接計(jì)算得解.【詳解】直線(xiàn)的方程化為：，顯然，，所以與間的距離為.故選：B5、B【解析】利用2f(x)<x＋1構(gòu)造函數(shù)g(x)＝2f(x)－x－1，進(jìn)而可得g′(x)＝2f′(x)－1>0．得出g(x)的單調(diào)性結(jié)合g(1)＝0即可解出【詳解】令g(x)＝2f(x)－x－1.因?yàn)閒′(x)>，所以g′(x)＝2f′(x)－1>0.所以g(x)單調(diào)增函數(shù)因?yàn)閒(1)＝1，所以g(1)＝2f(1)－1－1＝0.所以當(dāng)x<1時(shí)，g(x)<0，即2f(x)<x＋1.故選B.【點(diǎn)睛】本題主要考察導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算以及構(gòu)造函數(shù)利用其單調(diào)性解不等式．屬于中檔題6、D【解析】利用特殊值排除錯(cuò)誤選項(xiàng)，利用函數(shù)單調(diào)性證明正確選項(xiàng).【詳解】時(shí)，，但，所以A選項(xiàng)錯(cuò)誤.時(shí)，，但，所以B選項(xiàng)錯(cuò)誤.時(shí)，，但，所以C選項(xiàng)錯(cuò)誤.在上遞增，所以，即D選項(xiàng)正確.故選：D7、B【解析】設(shè)橢圓的半焦距為c，由橢圓的中心對(duì)稱(chēng)性和圓的性質(zhì)得以為直徑的圓與橢圓C有公共點(diǎn)，則有以，再根據(jù)直線(xiàn)傾斜角不小于得，由橢圓的定義得，由此可求得橢圓離心率的范圍.【詳解】解：設(shè)橢圓的半焦距為c，由橢圓的中心對(duì)稱(chēng)性和M，，N，四點(diǎn)共圓得，四邊形必為一個(gè)矩形，即以為直徑的圓與橢圓C有公共點(diǎn)，所以，所以，所以，因?yàn)橹本€(xiàn)傾斜角不小于，所以直線(xiàn)傾斜角不小于，所以，化簡(jiǎn)得，，因?yàn)?，所以，所以，，又，因?yàn)椋?，所以，所以，所?故選：B.8、A【解析】根據(jù)斜率公式求得正確答案.【詳解】直線(xiàn)的斜率為：.故選：A9、B【解析】根據(jù)不等式的同向可加性求解即可.【詳解】因?yàn)椋?，又，所?故選：B.10、D【解析】根據(jù)橢圓方程求出，然后結(jié)合橢圓定義和已知條件求出并求出，進(jìn)而判斷答案.【詳解】由題意可知，，由橢圓的定義可知，而，聯(lián)立方程解得，且，則6+2=8，即不構(gòu)成三角形.故選：D.11、C【解析】利用簡(jiǎn)易邏輯的知識(shí)逐一判斷即可.【詳解】，故A正確；菱形的四邊相等，但不一定是正方形，故B正確；“存在實(shí)數(shù)，使”的否定是“對(duì)任意的實(shí)數(shù)都有”，故C錯(cuò)誤；假設(shè)且，則，與矛盾，故D正確；故選：C12、C【解析】根據(jù)逆否命題的定義寫(xiě)出逆否命題即得【詳解】解：以否定的結(jié)論作條件、否定的條件作結(jié)論得出的命題為原命題的逆否命題，即“若，則”的逆否命題是“若，則”故選：C二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、2036【解析】先用換底公式化簡(jiǎn)之后，將表示出來(lái)，找出滿(mǎn)足條件的“幸福數(shù)”，然后求和即可.【詳解】當(dāng)時(shí)，，所以，若滿(mǎn)足正整數(shù)，則，即，所以在內(nèi)的所有“幸福數(shù)”的和為：,故答案為：2036.14、【解析】該程序的功能是利用循環(huán)結(jié)構(gòu)計(jì)算并輸出變量S的值，模擬程序的運(yùn)行過(guò)程，即可求解得答案【詳解】解：S＝S+＝S+，第一次循環(huán)，S＝1+1﹣，k＝2；第二次循環(huán)，S=1+1﹣，k＝3；第三次循環(huán)，S＝1+1，k＝4；第四次循環(huán)，S＝1，k＝5；第五次循環(huán)，S＝1+1，k＝6，循環(huán)停止，輸出；故答案為：.15、【解析】利用圓錐的結(jié)構(gòu)特征及側(cè)面積公式即得.【詳解】設(shè)圓錐的底面半徑為r，圓錐的母線(xiàn)為l,又圓錐過(guò)軸的截面為正三角形，圓錐的側(cè)面積為，∴，∴.故答案為：.16、【解析】由導(dǎo)數(shù)得出，再求.【詳解】∵，∴，，解得，，，故答案為：.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17、（1）（2）（3）直線(xiàn)方程為4x+3y-23=0，弦長(zhǎng)為【解析】（1）先把兩個(gè)圓的方程化為標(biāo)準(zhǔn)形式，求出圓心和半徑，再根據(jù)兩圓的圓心距等于兩圓的半徑之和，求得m的值；（2）由兩圓的圓心距等于兩圓的半徑之差為，求得m的值．（3）當(dāng)m=45時(shí)，把兩個(gè)圓的方程相減，可得公共弦所在的直線(xiàn)方程．求出第一個(gè)圓的圓心（1，3）到公共弦所在的直線(xiàn)的距離d，再利用弦長(zhǎng)公式求得弦長(zhǎng)試題解析：（1）由已知可得兩個(gè)圓的方程分別為（x-1）2+（y-3）2=11、（x-5）2+（y-6）2=61-m，兩圓的圓心距d==5，兩圓的半徑之和為+，由兩圓的半徑之和為+=5，可得m=（2）由兩圓的圓心距d=="5"等于兩圓的半徑之差為|-|，即|-|=5，可得-="5"（舍去），或-=-5，解得m=（3）當(dāng)m=45時(shí)，兩圓的方程分別為（x-1）2+（y-3）2=11、（x-5）2+（y-6）2=16，把兩個(gè)圓的方程相減，可得公共弦所在的直線(xiàn)方程為4x+3y-23=0第一個(gè)圓的圓心（1，3）到公共弦所在的直線(xiàn)的距離為d==2，可得弦長(zhǎng)為考點(diǎn)：1．兩圓相切的位置關(guān)系；2．兩圓相交的公共弦問(wèn)題18、（1），焦點(diǎn)坐標(biāo)為；（2）【解析】（1）將點(diǎn)代入拋物線(xiàn)方程求解出的值，則拋物線(xiàn)方程和焦點(diǎn)坐標(biāo)可知；（2）設(shè)出點(diǎn)坐標(biāo)，根據(jù)切線(xiàn)垂直于半徑，根據(jù)點(diǎn)到點(diǎn)距離公式表示出，然后結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)求解出的最小值.【小問(wèn)1詳解】解：因?yàn)閽佄锞€(xiàn)過(guò)點(diǎn)，所以，解得，所以?huà)佄锞€(xiàn)的方程為：，焦點(diǎn)坐標(biāo)為；【小問(wèn)2詳解】解：設(shè)，因?yàn)闉閳A的切線(xiàn)，所以，，所以，所以當(dāng)時(shí)，四邊形有最小值且最小值為.19、（1）;（2）證明見(jiàn)解析.【解析】（1）根據(jù)焦點(diǎn)坐標(biāo)及橢圓上的點(diǎn)，利用橢圓的定義求出a，再由關(guān)系求b，即可得解；（2）分直線(xiàn)斜率存在與不存在兩種情況討論，利用斜率公式計(jì)算出，根據(jù)等差中項(xiàng)計(jì)算，即可證明成等差數(shù)列.【小問(wèn)1詳解】∵橢圓的焦距，橢圓的兩焦點(diǎn)坐標(biāo)分別為，又點(diǎn)在橢圓上，，即.該橢圓方程為.【小問(wèn)2詳解】設(shè).當(dāng)直線(xiàn)l的斜率為0時(shí)，其方程為，代入，可得.不妨取，則，成等差數(shù)列.當(dāng)直線(xiàn)l的斜率不為0時(shí)，設(shè)其方程為，由，消去x得.即，成等差數(shù)列，綜上可得，，成等差數(shù)列.20、（1）；（2）.【解析】（1）求出直線(xiàn)的方程，然后聯(lián)立直線(xiàn)、的方程，即可求得點(diǎn)的坐標(biāo)；（2）設(shè)，可求得線(xiàn)段的中點(diǎn)的坐標(biāo)，將點(diǎn)的坐標(biāo)代入直線(xiàn)的方程，可求得的值，可得出點(diǎn)的坐標(biāo)，進(jìn)而利用直線(xiàn)的斜率和點(diǎn)斜式可得出直線(xiàn)的方程.【小問(wèn)1詳解】解：，所以，而，則，所以直線(xiàn)的方程為，由，解得，所以頂點(diǎn)的坐標(biāo)為.【小問(wèn)2詳解】解：因?yàn)樵谥本€(xiàn)，所以可設(shè)，由為線(xiàn)段的中點(diǎn)，所以，將的坐標(biāo)代入直線(xiàn)的方程，所以，解得，所以.故，故直線(xiàn)的方程為，即.21、（1）（2）分布列見(jiàn)解析；【解析】（1）利用組合的知識(shí)計(jì)算出基本事件總數(shù)和滿(mǎn)足題意的基本事件數(shù)，根據(jù)古典概型概率公式求得結(jié)果；（2）確定所有可能的取值，根據(jù)超幾何分布概率公式可計(jì)算出每個(gè)取值對(duì)應(yīng)的概率，進(jìn)而得到分布列和數(shù)學(xué)期望.【小問(wèn)1詳解】名同學(xué)