2025屆重慶市七校聯(lián)盟數(shù)學(xué)高二上期末學(xué)業(yè)水平測試試題含解析

2025屆重慶市七校聯(lián)盟數(shù)學(xué)高二上期末學(xué)業(yè)水平測試試題注意事項(xiàng)1．考試結(jié)束后，請(qǐng)將本試卷和答題卡一并交回．2．答題前，請(qǐng)務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)用0．5毫米黑色墨水的簽字筆填寫在試卷及答題卡的規(guī)定位置．3．請(qǐng)認(rèn)真核對(duì)監(jiān)考員在答題卡上所粘貼的條形碼上的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)與本人是否相符．4．作答選擇題，必須用2B鉛筆將答題卡上對(duì)應(yīng)選項(xiàng)的方框涂滿、涂黑；如需改動(dòng)，請(qǐng)用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案．作答非選擇題，必須用05毫米黑色墨水的簽字筆在答題卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律無效．5．如需作圖，須用2B鉛筆繪、寫清楚，線條、符號(hào)等須加黑、加粗．一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．已知角的終邊經(jīng)過點(diǎn)，則，的值分別為A.， B.，C.， D.，2．以軸為對(duì)稱軸，頂點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離為4的拋物線方程是（）A. B.C.或 D.或3．據(jù)有關(guān)文獻(xiàn)記載：我國古代一座層塔共掛了盞燈，且相鄰兩層中的下一層燈數(shù)比上一層燈數(shù)都多為常數(shù)盞，底層的燈數(shù)是頂層的倍，則塔的底層共有燈（）A.盞 B.盞C.盞 D.盞4．設(shè)，則A.2 B.3C.4 D.55．在條件下，目標(biāo)函數(shù)的最大值為2，則的最小值是（）A.20 B.40C.60 D.806．若圓與圓相外切，則的值為（）A. B.C.1 D.7．若數(shù)列1，a，b，c，9是等比數(shù)列，則實(shí)數(shù)b的值為（）A.5 B.C.3 D.3或8．已知、，直線，，且，則的最小值為（）A. B.C. D.9．已知曲線，下列命題錯(cuò)誤的是（）A.若，則是橢圓，其焦點(diǎn)在軸上B.若，則是圓，其半徑為C.若，則是雙曲線，其漸近線方程為D.若，，為上任意一點(diǎn)，，為曲線的兩個(gè)焦點(diǎn)，則10．已知直線l：的傾斜角為，則（）A. B.1C. D.－111．“，”是“方程表示雙曲線”的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件12．若數(shù)列滿足，則數(shù)列的通項(xiàng)公式為（）A. B.C. D.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．如圖，在長方體ABCD—A1B1C1D1中，AB=3，AD=3，AA1=4，P是側(cè)面BCC1B1上的動(dòng)點(diǎn)，且AP⊥BD1，記點(diǎn)P到平面ABCD的距離為d，則d的最大值為____________.14．已知圓關(guān)于直線對(duì)稱，則________15．如圖所示，奧林匹克標(biāo)志由五個(gè)互扣的環(huán)圈組成，五環(huán)象征五大洲的團(tuán)結(jié).若從該奧林匹克標(biāo)志的五個(gè)環(huán)圈中任取2個(gè)，則這2個(gè)環(huán)圈恰好相交的概率為___________.16．經(jīng)過、兩點(diǎn)的直線斜率為______.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）從某居民區(qū)隨機(jī)抽取2021年的10個(gè)家庭，獲得第個(gè)家庭的月收入(單位：千元)與月儲(chǔ)蓄(單位：千元)的數(shù)據(jù)資料，計(jì)算得，，，（1）求家庭的月儲(chǔ)蓄對(duì)月收入的線性回歸方程；（2）判斷變量與之間是正相關(guān)還是負(fù)相關(guān)；（3）利用（1）中的回歸方程，分析2021年該地區(qū)居民月收入與月儲(chǔ)蓄之間的變化情況，并預(yù)測當(dāng)該居民區(qū)某家庭月收入為7千元，該家庭的月儲(chǔ)蓄額．附：線性回歸方程系數(shù)公式中，，，其中，為樣本平均值18．（12分）已知定義域?yàn)榈暮瘮?shù)是奇函數(shù)，其中為指數(shù)函數(shù)且的圖象過點(diǎn)（1）求的表達(dá)式；（2）若對(duì)任意的．不等式恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍；19．（12分）如圖所示，在四棱錐中，平面，底面是等腰梯形，．且（1）證明：平面平面；（2）若，求平面與平面的夾角的余弦值20．（12分）已知函數(shù)（1）求函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間；（2）在中，角，，所對(duì)的邊分別為，，，且滿足，，求面積的最大值21．（12分）已知斜率為的直線與橢圓：交于，兩點(diǎn)（1）若線段的中點(diǎn)為，求的值；（2）若，求證：原點(diǎn)到直線的距離為定值22．（10分）已知橢圓的離心率，過橢圓C的焦點(diǎn)且垂直于x軸的直線截橢圓所得到的線段的長度為1（1）求橢圓C的方程；（2）直線交橢圓C于A、B兩點(diǎn)，若y軸上存在點(diǎn)P，使得是以AB為斜邊的等腰直角三角形，求的面積的取值范圍

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、C【解析】利用任意角的三角函數(shù)的定義：，，，代入計(jì)算即可得到答案【詳解】由于角的終邊經(jīng)過點(diǎn)，則,，（為坐標(biāo)原點(diǎn)），所以由任意角的三角函數(shù)的定義：，.故答案選C【點(diǎn)睛】本題考查任意角的三角函數(shù)的定義，解決此類問題的關(guān)鍵是掌握牢記三角函數(shù)定義并能夠熟練應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題2、C【解析】根據(jù)拋物線的概念以及幾何性質(zhì)即可求拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程.【詳解】依題意設(shè)拋物線方程為因?yàn)榻裹c(diǎn)到準(zhǔn)線的距離為4，所以，所以，所以拋物線方程或故選：C3、C【解析】根據(jù)給定條件利用等差數(shù)列前n項(xiàng)和公式列式計(jì)算即可作答.【詳解】依題意，層塔從上層到下層掛燈盞數(shù)依次排成一列可得等差數(shù)列，，于是得，解得，，所以塔的底層共有燈盞.故選：C4、B【解析】利用復(fù)數(shù)的除法運(yùn)算求出，進(jìn)而可得到.【詳解】，則，故，選B.【點(diǎn)睛】本題考查了復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算，考查了復(fù)數(shù)的模，屬于基礎(chǔ)題5、C【解析】首先畫出可行域，找到最優(yōu)解，得到關(guān)系式作為條件，再去求的最小值.【詳解】畫出的可行域，如下圖：由得由得；由得；目標(biāo)函數(shù)取最大值時(shí)必過N點(diǎn)，則則（當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立）故選：C6、D【解析】確定出兩圓的圓心和半徑，然后由兩圓的位置關(guān)系建立方程求解即可.【詳解】由可得，所以圓的圓心為，半徑為，由可得，所以圓的圓心為，半徑為，因?yàn)閮蓤A相外切，所以，解得，故選：D7、C【解析】根據(jù)等比數(shù)列的定義，利用等比數(shù)列的通項(xiàng)公式求解【詳解】解：設(shè)該等比數(shù)列公比為q，∵數(shù)列1，a，b，c，9是等比數(shù)列，∴，，∴，故，解得，∴故選：C8、D【解析】先由，可得，變形得，所以，化簡后利用基本不等式求解即可【詳解】因?yàn)?、，直線，，且，所以，即，所以，所以，所以，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，取等號(hào)，所以的最小值為，故選：D9、D【解析】根據(jù)橢圓和雙曲線的性質(zhì)以及定義逐一判斷即可.【詳解】曲線，若，則是橢圓，其焦點(diǎn)在軸上，故A正確；若，則，即是圓，半徑為，故B正確；若，則是雙曲線，當(dāng)，則漸近線方程為，當(dāng)，則漸近線方程為，故C正確；若，，則是雙曲線，其焦點(diǎn)在軸上，由雙曲線的定義可知，，故D錯(cuò)誤；故選：D10、A【解析】由傾斜角求出斜率，列方程即可求出m.【詳解】因?yàn)橹本€l的傾斜角為，所以斜率.所以，解得：.故選：A11、A【解析】根據(jù)雙曲線的方程以及充分條件和必要條件的定義進(jìn)行判斷即可【詳解】由，可知方程表示焦點(diǎn)在軸上的雙曲線；反之，若表示雙曲線，則，即，或，所以“，”是“方程表示雙曲線”的充分不必要條件故選：A12、D【解析】由，分兩步，當(dāng)求出，當(dāng)時(shí)得到，兩式作差即可求出數(shù)列的通項(xiàng)公式；【詳解】解：因?yàn)棰?，?dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)②，①②得，所以，當(dāng)時(shí)也成立，所以；故選：D二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、##【解析】以為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立空間直角坐標(biāo)系，求得的坐標(biāo)之間的關(guān)系，以及坐標(biāo)的范圍，即可求得結(jié)果.【詳解】以D為原點(diǎn)，為x軸，為y軸，為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系如下所示：設(shè)，則，，∵，∴，解得，因?yàn)?，所以c的最大值為，即點(diǎn)P到平面的距離d的最大值為.故答案為：.14、1【解析】根據(jù)題意，圓心在直線上，進(jìn)而求得答案.【詳解】由題意，圓心在直線上，則.故答案為：1.15、【解析】利用古典概型求概率.【詳解】從該奧林匹克標(biāo)志的五個(gè)環(huán)圈中任取2個(gè)，共有10種情況，其中這2個(gè)環(huán)圈恰好相交的情況有4種，則所求的概率.故答案為：.16、【解析】利用斜率公式可求得結(jié)果.【詳解】由斜率公式可知，直線的斜率為.故答案為：.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）＝0.3x－0.4（2）正相關(guān)（3）1.7千元【解析】（1）由題意得到n＝10，求得，進(jìn)而求得，寫出回歸方程；.（2）由判斷；（3）將x＝7代入回歸方程求解.【小問1詳解】由題意知n＝10，，則，所以所求回歸方程為＝0.3x－0.4.【小問2詳解】因?yàn)?，所以變量y的值隨x的值增加而增加，故x與y之間是正相關(guān).【小問3詳解】將x＝7代入回歸方程可以預(yù)測該家庭的月儲(chǔ)蓄為＝0.3×7－0.4＝1.7(千元).18、（1）；（2）.【解析】（1）設(shè)（且），因?yàn)榈膱D象過點(diǎn)，求得a的值，再根據(jù)函數(shù)f(x)是奇函數(shù)，利用f(0)=0即可求得n的值，得到f(x)的解析式，檢驗(yàn)是奇函數(shù)即可；（2）將分式分離常數(shù)后，利用指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)可以判定f(x)在R上單調(diào)遞減，進(jìn)而結(jié)合奇函數(shù)的性質(zhì)將不等式轉(zhuǎn)化為二次不等式，根據(jù)二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，求得對(duì)于對(duì)任意的恒成立時(shí)a的取值范圍即可.【詳解】解：（1）由題意，設(shè)（且），因?yàn)榈膱D象過點(diǎn)，可得，解得，即，所以，又因?yàn)闉樯系钠婧瘮?shù)，可得，即，解得，經(jīng)檢驗(yàn)，符合，所以（2）由函數(shù)，可得在上單調(diào)遞減，又因?yàn)闉槠婧瘮?shù)，所以，所以，即，又因?yàn)閷?duì)任意的，不等式恒成立，令，即對(duì)任意的恒成立，可得，即，解得，所以實(shí)數(shù)的取值范圍為【點(diǎn)睛】本題考查函數(shù)的奇偶性，指數(shù)函數(shù)及其性質(zhì)和函數(shù)不等式恒成立問題，關(guān)鍵是利用函數(shù)的單調(diào)性和奇偶性將不等式轉(zhuǎn)化為二次不等式在閉區(qū)間上恒成立問題，然后利用二次函數(shù)的圖象轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)的端點(diǎn)值滿足的條件.另外注意，第一問中，利用特值f(0)=0求得解析式后，要注意檢驗(yàn)對(duì)于任意的實(shí)數(shù)x，f(x)=-f(-x)恒成立.19、（1）證明見解析（2）【解析】（1）由線面垂直的判定定理可得平面，再由面面垂直的判定定理可得平面平面；（2）以為坐標(biāo)原點(diǎn)，以，所在直線分別為，軸，以過點(diǎn)垂直于平面的直線為軸建立空間直角坐標(biāo)系．求出平面的一個(gè)法向量、平面的法向量，由二面角的空間向量求法可得答案.【小問1詳解】因?yàn)樗倪呅问堑妊菪?，，所以，所以，即因?yàn)槠矫?，所以，又因?yàn)椋云矫?，因?yàn)槠矫?，所以平面平面【小?詳解】以為坐標(biāo)原點(diǎn)，以，所在直線分別為，軸，以過點(diǎn)垂直于平面的直線為軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系設(shè)，則，所以，，，由（1）可知平面的一個(gè)法向量為設(shè)平面的法向量為，因?yàn)?，，所以得令，則，，所以，則，所以平面與平面的夾角的余弦值為.20、（1）（2）【解析】（1）由三角恒等變換公式化簡，根據(jù)三角函數(shù)性質(zhì)求解（2）由余弦定理與面積公式，結(jié)合基本不等式求解【小問1詳解】由己知可得，由，解得：，故的單調(diào)遞減區(qū)間是【小問2詳解】，，故，得，由余弦定理得：，得，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，故，面積最大值為21、（1）；（2）證明見解析.【解析】（1）設(shè)出兩點(diǎn)的坐標(biāo)，利用點(diǎn)差法即可求出的值；（2）設(shè)出直線的方程，與橢圓方程聯(lián)立，寫韋達(dá)；根據(jù)，求出，從而可證明原點(diǎn)到直線的距離為定值【小問1詳解】設(shè)，則，，兩式相減，得，即，所以，即，又因?yàn)榫€段的中點(diǎn)為，所以，即；