江蘇省揚大附中東部分校2025屆數(shù)學高二上期末聯(lián)考模擬試題含解析

江蘇省揚大附中東部分校2025屆數(shù)學高二上期末聯(lián)考模擬試題注意事項：1．答卷前，考生務必將自己的姓名、準考證號填寫在答題卡上。2．回答選擇題時，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對應題目的答案標號涂黑，如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其它答案標號。回答非選擇題時，將答案寫在答題卡上，寫在本試卷上無效。3．考試結束后，將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．如圖，在棱長為的正方體中，為線段的中點，為線段的中點，則直線到直線的距離為（）A. B.C. D.2．若直線先向右平移一個單位，再向下平移一個單位，然后與圓相切，則c的值為（）A.8或-2 B.6或-4C.4或-6 D.2或-83．已知等比數(shù)列的公比q為整數(shù)，且，，則（）A.2 B.3C.-2 D.-34．在某次賽車中，名參賽選手的成績（單位：）全部介于到之間（包括和），將比賽成績分為五組：第一組，第二組，···，第五組，其頻率分布直方圖如圖所示.若成績在內(nèi)的選手可獲獎，則這名選手中獲獎的人數(shù)為A. B.C. D.5．紫砂壺是中國特有的手工制造陶土工藝品,其制作始于明朝正德年間.紫砂壺的壺型眾多,經(jīng)典的有西施壺、掇球壺、石瓢壺、潘壺等.其中,石瓢壺的壺體可以近似看成一個圓臺(即圓錐用平行于底面的平面截去一個錐體得到的).下圖給出了一個石瓢壺的相關數(shù)據(jù)(單位:cm),那么該壺的容量約為（）A.100 B.C.300 D.4006．已知等差數(shù)列的前n項和為，公差，若（，），則（）A.2023 B.2022C.2021 D.20207．若存在，使得不等式成立，則實數(shù)k的取值范圍為（）A. B.C. D.8．已知直線m經(jīng)過，兩點，則直線m的斜率為（）A.-2 B.C. D.29．在平行六面體中，點P在上，若，則（）A. B.C. D.10．（2017新課標全國Ⅲ理科）已知圓柱的高為1，它的兩個底面的圓周在直徑為2的同一個球的球面上，則該圓柱的體積為A. B.C. D.11．已知雙曲線的漸近線方程為，則該雙曲線的離心率等于（）A. B.C.2 D.412．設集合，集合，則“”是“”的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．如圖的形狀出現(xiàn)存南宋數(shù)學家楊輝所著的《詳解九章算法·商功》中，后人稱為“三角垛”.“三角垛”的最一上層有1個球，第二層有3個球，第三層有6個球……，設從上至下各層球數(shù)構成一個數(shù)列則___________.（填數(shù)字）14．將某校全體高一年級學生期末數(shù)學成績分為6組：[40，50)，[50，60)，[60，70)，[70，80)，[80，90)，[90，100]加以統(tǒng)計，得到如圖所示的頻率分布直方圖，現(xiàn)需要隨機抽取60名學生進行問卷調查，采用按成績分層隨機抽樣，則應抽取成績不少于60分的學生人數(shù)為_______________.15．命題“若，則二元一次不等式表示直線的右上方區(qū)域（包含邊界）”的條件：_________，結論:_____________，它是_________命題（填“真”或“假”）.16．若展開式的二項式系數(shù)之和是64，則展開式中的常數(shù)項的值是__________.三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）在等差數(shù)列中，，前10項和（1）求列通項公式；（2）若數(shù)列是首項為1，公比為2的等比數(shù)列，求的前8項和18．（12分）已知雙曲線的漸近線方程為，且過點（1）求雙曲線的方程；（2）過雙曲線的一個焦點作斜率為的直線交雙曲線于兩點，求弦長19．（12分）如圖，矩形和菱形所在的平面相互垂直，，為的中點.（1）求證：平面；（2）若，求二面角的余弦值.20．（12分）有三個條件：①數(shù)列的任意相鄰兩項均不相等，，且數(shù)列為常數(shù)列，②，③，，中，從中任選一個，補充在下面橫線上，并回答問題已知數(shù)列的前n項和為，______，求數(shù)列的通項公式和前n項和21．（12分）已知函數(shù).（1）求函數(shù)f(x)的單調區(qū)間；（2）若f(x)≥0對定義域內(nèi)的任意x恒成立，求實數(shù)a的取值范圍.22．（10分）已知雙曲線C：（，）的一條漸近線的方程為，雙曲線C的右焦點為，雙曲線C的左、右頂點分別為A，B（1）求雙曲線C的方程；（2）過右焦點F的直線l與雙曲線C的右支交于P，Q兩點（點P在x軸的上方），直線AP的斜率為，直線BQ的斜率為，證明：為定值

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、C【解析】連接，，，，在平面中，作，為垂足，將兩平行線的距離轉化成點到直線的距離，結合余弦定理即同角三角函數(shù)基本關系，求得，因此可得，進而可得直線到直線的距離；【詳解】解：如圖，連接，，，，在平面中，作，為垂足，因為，分別為，的中點，因為，，所以，所以，同理，所以四邊形是平行四邊形，所以，所以即為直線到直線的距離，在三角形中，由余弦定理得因為，所以是銳角，所以，在直角三角形中，，故直線到直線的距離為；故選：C2、A【解析】求出平移后的直線方程，再利用直線與圓相切并借助點到直線距離公式列式計算作答.【詳解】將直線先向右平移一個單位，再向下平移一個單位所得直線方程為，因直線與圓相切，從而得，即，解得或，所以c的值為8或-2.故選：A3、A【解析】由等比數(shù)列的性質有，結合已知求出基本量，再由即可得答案.【詳解】因為，，且q為整數(shù)，所以，，即q=2.所以.故選：A4、A【解析】先根據(jù)頻率分布直方圖確定成績在內(nèi)的頻率，進而可求出結果.【詳解】由題意可得：成績在內(nèi)的頻率為，又本次賽車中，共名參賽選手，所以，這名選手中獲獎的人數(shù)為.故選A【點睛】本題主要考查頻率分布直方圖，會根據(jù)頻率分布直方圖求頻率即可，屬于?？碱}型.5、B【解析】根據(jù)圓臺的體積等于兩個圓錐的體積之差，即可求出【詳解】設大圓錐的高為，所以，解得故故選：B【點睛】本題主要考查圓臺體積的求法以及數(shù)學在生活中的應用，屬于基礎題6、C【解析】根據(jù)題意令可得，結合等差數(shù)列前n項和公式寫出，進而得到關于的方程，解方程即可.【詳解】因為，令，得，又，，所以，有，解得.故選：C7、C【解析】根據(jù)題意和一元二次不等式能成立可得對于，成立，令，利用導數(shù)討論函數(shù)的單調性，即可求出.【詳解】存在，不等式成立，則，能成立，即對于，成立，令，，則，令，所以當，單調遞增，當，單調遞減，又，所以f(x)>-3，所以.故選：C8、A【解析】根據(jù)斜率公式求得正確答案.【詳解】直線的斜率為：.故選：A9、C【解析】利用空間向量基本定理，結合空間向量加法的法則進行求解即可.【詳解】因為，，所以有，因此，故選：C10、B【解析】繪制圓柱的軸截面如圖所示，由題意可得：，結合勾股定理，底面半徑，由圓柱的體積公式，可得圓柱的體積是，故選B.【名師點睛】涉及球與棱柱、棱錐的切、接問題時，一般過球心及多面體中的特殊點(一般為接、切點)或線作截面，把空間問題轉化為平面問題，再利用平面幾何知識尋找?guī)缀误w中元素間的關系，或只畫內(nèi)切、外接的幾何體的直觀圖，確定球心的位置，弄清球的半徑(直徑)與該幾何體已知量的關系，列方程(組)求解.11、A【解析】由雙曲線的漸近線方程，可得，再由的關系和離心率公式，計算即可得到所求值【詳解】解：雙曲線的漸近線方程為，由題意可得即，可得由可得，故選：A.12、A【解析】解不等式求集合，然后判斷兩個集合的關系【詳解】，解得，故，可化為或，解得或，故，故“”是“”的充分不必要條件故選：A二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解析】根據(jù)題中給出的圖形，結合題意找到各層球的數(shù)列與層數(shù)的關系，得到，即可得解【詳解】解：由題意可知，，，，，，故，所以，故答案為：14、48【解析】根據(jù)頻率分布直方圖，求出成績不少于分的頻率，然后根據(jù)頻數(shù)頻率總數(shù)，即可求出結果【詳解】根據(jù)頻率分布直方圖，成績不低于（分）的頻率為，由于需要隨機抽取名學生進行問卷調查，利用樣本估計總體的思想，則應抽取成績不少于60分的學生人數(shù)為人故答案為：15、①.②.二元一次不等式表示直線的右上方區(qū)域（包含邊界）③.真【解析】由二元一次不等式的意義可解答問題.【詳解】因為，二元一次不等式所表示的區(qū)域如下圖所示：所以在的條件下，二元一次不等式表示直線的右上方區(qū)域（包含邊界），此命題是真命題.故答案為：；二元一次不等式表示直線的右上方區(qū)域（包含邊界）；真16、【解析】首先利用展開式的二項式系數(shù)和是求出，然后即可求出二項式的常數(shù)項.【詳解】由題知展開式的二項式系數(shù)之和是，故有，可得，知當時有.故展開式中的常數(shù)項為.故答案為：.【點睛】本題考查了利用二項式的系數(shù)和求參數(shù)，求二項式的常數(shù)項，屬于基礎題.三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）；（2）347.【解析】（1）設等差數(shù)列的公差為，解方程組即得解；（2）先求出，再分組求和得解.【詳解】解：（1）設等差數(shù)列的公差為，則解得所以（2）由題意，，所以所以的前8項和為18、（1）；（2）.【解析】（1）根據(jù)雙曲線漸近線斜率、雙曲線過點可構造方程求得，由此可得雙曲線方程；（2）由雙曲線方程可得焦點坐標，由此可得方程，與雙曲線方程聯(lián)立后，利用弦長公式可求得結果.【小問1詳解】由雙曲線方程知：漸近線斜率，又漸近線方程為，；雙曲線過點，；由得：，雙曲線的方程為：；【小問2詳解】由（1）得：雙曲線的焦點坐標為；若直線過雙曲線的左焦點，則，由得：；設，，則，；由雙曲線對稱性可知：當過雙曲線右焦點時，；綜上所述：.19、（1）證明見解析；（2）.【解析】（1）利用面面垂直和線面垂直的性質定理可證得；由菱形邊長和角度的關系可證得；利用線面垂直的判定定理可證得結論；（2）以為坐標原點建立起空間直角坐標系，利用空間向量法可求得二面角的余弦值.詳解】（1）平面平面，平面平面，且平面，平面，平面，，四邊形為菱形且為中點，，又，，又，，平面，，平面.（2）以為坐標原點可建立如下圖所示的空間直角坐標系，設，則，，，，，，則，，，設平面的法向量，則，令，則，，，設平面的法向量，則，令，則，，，，二面角為鈍二面角，二面角的余弦值為.【點睛】本題考查立體幾何中線面垂直關系的證明、空間向量法求解二面角的問題；涉及到面面垂直的性質定理、線面垂直的判定與性質定理的應用，屬于常考題型.20、；【解析】選①，由數(shù)列為常數(shù)列可得，由此可求，根據(jù)任意相鄰兩項均不相等可得，由此證明數(shù)列為等比數(shù)列，并求出數(shù)列的通項公式，利用分組求和法求數(shù)列的前n項和為，選②由取可求，再取與原式相減可得，由此證明數(shù)列為等比數(shù)列，并求出數(shù)列的通項公式，利用分組求和法求數(shù)列的前n項和為，選③由取與原式相減可得，取可求，由此可得，故，由此證明數(shù)列為等比數(shù)列，并求出數(shù)列的通項公式，利用分組求和法求數(shù)列的前n項和為，【詳解】解：選①：因為，數(shù)列為常數(shù)列，所以，解得或，又因為數(shù)列的任意相鄰兩項均不相等，且，所以數(shù)列為2，-1，2，-1，2，-1……，所以，即，所以，又，所以是以為首項，公比為-1的等比數(shù)列，所以，即；所以選②：因為，易知，，所以兩式相減可得，即，以下過程與①相同；選③：由，可得，又，時，，所以，因為，所以也滿足上式，所以，即，以下過程與①相同21、（1）答案見解析（2）【解析】（1）求導數(shù)，然后對進行分類討論，利用導數(shù)的正負，可得函數(shù)的單調區(qū)間；（2）利用（1）中函數(shù)的單調性，求得函數(shù)在處取得最小值，即可求實數(shù)的取值范圍.【小問1詳解】解：求導可得①時，令可得，由于知；令，得∴函數(shù)在上單調遞減，在上單調遞增；②時，令可得；令，得或，由于知或；∴函數(shù)在上單調遞減，在上單調遞增；③時，，函數(shù)在上單調遞增；④時，令可得；令，得或，由于知或∴函數(shù)在上單調遞減，在上單調遞增；【小問2詳解】由（1）時，，（不符合，舍去）當時，在上單調遞減，在上單調遞增，故函數(shù)在處取得最小值，所以函數(shù)對定義域內(nèi)的任意x恒成立時，只需要即可∴.綜上，.22、（1）；（2）證明見解析.【解析】（1）由題可得，，即求