2024-2025學(xué)年新教材高中數(shù)學(xué)第2章等式與不等式2.22.2.1第2課時(shí)不等式的證明學(xué)案新人教B版必修第一冊(cè)

PAGE第2課時(shí)不等式的證明學(xué)習(xí)任務(wù)核心素養(yǎng)1．駕馭綜合法、分析法證明問題的過程和推理特點(diǎn)，能敏捷選用綜合法、分析法證明簡(jiǎn)潔問題．(重點(diǎn)、難點(diǎn))2．了解反證法的定義，駕馭反證法的推理特點(diǎn)，駕馭反證法證明問題的一般步驟，能用反證法證明一些簡(jiǎn)潔的命題．(難點(diǎn)、易錯(cuò)點(diǎn))1．通過綜合法、分析法的證明，提升邏輯推理實(shí)力．2．通過反證法的學(xué)習(xí)，提升數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理實(shí)力.學(xué)問點(diǎn)一綜合法從已知條件動(dòng)身，綜合利用各種結(jié)果，經(jīng)過逐步推導(dǎo)最終得到結(jié)論的方法，在數(shù)學(xué)中通常稱為綜合法．綜合法最重要的推理形式為p?q，其中p是已知或者已得出的結(jié)論，所以綜合法的實(shí)質(zhì)就是不斷找尋必定成立的結(jié)論．學(xué)問點(diǎn)二分析法從要證明的結(jié)論動(dòng)身，逐步尋求使它成立的充分條件，直到最終，把要證明的結(jié)論歸結(jié)為判定一個(gè)明顯成立的條件(已知條件、公理、定理等)為止．分析法最重要的推理形式為p?q，其中p是須要證明的結(jié)論，所以分析法的實(shí)質(zhì)就是不斷找尋結(jié)論成立的充分條件．學(xué)問點(diǎn)三反證法首先假設(shè)結(jié)論的否定成立，然后由此進(jìn)行推理得到?jīng)_突，最終得出假設(shè)不成立．這種得到數(shù)學(xué)結(jié)論的方法通常稱為反證法．1．思索辨析(正確的打“√”，錯(cuò)誤的打“×”)(1)綜合法是從結(jié)論向已知的逆推證法． ()(2)綜合法的推理過程事實(shí)上是找尋它的必要條件的過程．分析法的推理過程事實(shí)上是尋求使結(jié)論成立的充分條件的過程． ()(3)用反證法證明結(jié)論“a＞b”時(shí)，應(yīng)假設(shè)“a≤b”． ()(4)用反證法證明時(shí)，推出的沖突不能與假設(shè)沖突． ()[答案](1)×(2)√(3)√(4)×2.將下面用分析法證明eq\f(a2＋b2,2)≥ab的步驟補(bǔ)充完整：要證eq\f(a2＋b2,2)≥ab，只需證a2＋b2≥2ab，也就是證________，即證________，由于________明顯成立，因此原不等式成立．a(chǎn)2＋b2－2ab≥0(a－b)2≥0(a－b)2≥0[用分析法證明eq\f(a2＋b2,2)≥ab的步驟為：要證eq\f(a2＋b2,2)≥ab成立，只需證a2＋b2≥2ab，也就是證a2＋b2－2ab≥0，即證(a－b)2≥0.由于(a－b)2≥0明顯成立，所以原不等式成立．]類型1綜合法的應(yīng)用綜合法證明不等式的基本思路是什么？[提示]從已知條件動(dòng)身，綜合利用各種結(jié)果，經(jīng)逐步推導(dǎo)，最終得出結(jié)論．【例1】若a＞b＞0，c＜d＜0，e＜0，求證：eq\f(e,a－c2)＞eq\f(e,b－d2).[思路點(diǎn)撥]可結(jié)合不等式的基本性質(zhì)，分析所證不等式的結(jié)構(gòu)，有理有據(jù)地導(dǎo)出證明結(jié)果．[證明]∵c＜d＜0，∴－c＞－d＞0.又∵a＞b＞0，∴a－c＞b－d＞0.∴(a－c)2＞(b－d)2＞0.兩邊同乘以eq\f(1,a－c2b－d2)，得eq\f(1,a－c2)＜eq\f(1,b－d2).又e＜0，∴eq\f(e,a－c2)＞eq\f(e,b－d2).本例條件不變的狀況下，求證：eq\f(e,a－c)＞eq\f(e,b－d).[證明]∵c＜d＜0，∴－c＞－d＞0.∵a＞b＞0，∴a－c＞b－d＞0，∴0＜eq\f(1,a－c)＜eq\f(1,b－d).又∵e＜0，∴eq\f(e,a－c)＞eq\f(e,b－d).綜合法證明不等式綜合法證明不等式就是從已知條件動(dòng)身，利用定義、公理、定理、性質(zhì)等，經(jīng)過一系列的推理、論證．而得出命題成立，它是順推的證法或由因?qū)Ч甧q\o([跟進(jìn)訓(xùn)練])1．若bc－ad≥0，bd＞0，求證：eq\f(a＋b,b)≤eq\f(c＋d,d).[證明]∵bc－ad≥0，∴ad≤bc，∵bd＞0，∴eq\f(a,b)≤eq\f(c,d)，∴eq\f(a,b)＋1≤eq\f(c,d)＋1，∴eq\f(a＋b,b)≤eq\f(c＋d,d).類型2分析法的應(yīng)用【例2】已知a＞0，證明：eq\r(a2＋\f(1,a2))－eq\r(2)≥a＋eq\f(1,a)－2.[證明]要證eq\r(a2＋\f(1,a2))－eq\r(2)≥a＋eq\f(1,a)－2，只需證eq\r(a2＋\f(1,a2))≥eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(a＋\f(1,a)))－(2－eq\r(2))．因?yàn)閍＞0，所以eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(a＋\f(1,a)))－(2－eq\r(2))＝eq\f(a－12,a)＋eq\r(2)＞0，所以只需證eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\r(a2＋\f(1,a2))))eq\s\up12(2)≥eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(a＋\f(1,a)))－2－\r(2)))2，即2(2－eq\r(2))eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(a＋\f(1,a)))≥8－4eq\r(2)，只需證a＋eq\f(1,a)≥2.因?yàn)閍＞0，所以a＋eq\f(1,a)－2＝eq\f(a2－2a＋1,a)＝eq\f(a－12,a)≥0，所以a＋eq\f(1,a)≥2明顯成立(當(dāng)a＝1時(shí)等號(hào)成立)，所以要證的不等式成立．分析法證明不等式分析法證明命題時(shí)，就是從要證的結(jié)論動(dòng)身，逐步尋求使它成立的充分條件，直至所需條件為已知條件或一個(gè)明顯成立的事實(shí)，這是一種執(zhí)果索因的思索和證明方法．eq\o([跟進(jìn)訓(xùn)練])2．若a，b∈(1，＋∞)，證明：eq\r(a＋b)＜eq\r(1＋ab).[證明]要證eq\r(a＋b)＜eq\r(1＋ab)，只需證(eq\r(a＋b))2＜(eq\r(1＋ab))2，只需證a＋b－1－ab＜0，即證(a－1)(1－b)＜0.因?yàn)閍＞1，b＞1，所以a－1＞0,1－b＜0，即(a－1)(1－b)＜0成立，所以原不等式成立．類型3反證法的應(yīng)用【例3】已知x∈R，a＝x2＋eq\f(1,2)，b＝2－x，c＝x2－x＋1，試證明a，b，c至少有一個(gè)不小于1．[證明]假設(shè)a，b，c均小于1，即a＜1，b＜1，c＜1，則有a＋b＋c＜3，而a＋b＋c＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x2＋\f(1,2)))＋(2－x)＋(x2－x＋1)＝2x2－2x＋eq\f(7,2)＝2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(1,2)))eq\s\up12(2)＋3≥3.這與a＋b＋c＜3沖突，假設(shè)不成立，故a，b，c至少有一個(gè)不小于1．反證法證明問題的一般步驟eq\o([跟進(jìn)訓(xùn)練])3．若x＞0，y＞0，且x＋y＞2，求證：eq\f(1＋y,x)與eq\f(1＋x,y)至少有一個(gè)小于2.[證明]假設(shè)eq\f(1＋y,x)與eq\f(1＋x,y)都不小于2，即eq\f(1＋y,x)≥2，eq\f(1＋x,y)≥2.∵x＞0，y＞0，∴1＋y≥2x,1＋x≥2y，兩式相加得2＋(x＋y)≥2(x＋y)．∴x＋y≤2，這與已知中x＋y＞2沖突．∴假設(shè)不成立，原命題成立．故eq\f(1＋y,x)與eq\f(1＋x,y)至少有一個(gè)小于2.1．用反證法證明某命題時(shí)，對(duì)結(jié)論“自然數(shù)a，b，c中恰有一個(gè)偶數(shù)”正確的反設(shè)是()A．自然數(shù)a，b，c中至少有兩個(gè)偶數(shù)B．自然數(shù)a，b，c中至少有兩個(gè)偶數(shù)或都是奇數(shù)C．自然數(shù)a，b，c都是奇數(shù)D．自然數(shù)a，b，c都是偶數(shù)B[反證法證明命題時(shí)，反設(shè)是設(shè)結(jié)論的反面成立，即否定結(jié)論，故B正確．]2．求證：eq\r(7)－1＞eq\r(11)－eq\r(5).證明：要證eq\r(7)－1＞eq\r(11)－eq\r(5)，只需證eq\r(7)＋eq\r(5)＞eq\r(11)＋1，即證7＋2eq\r(7×5)＋5＞11＋2eq\r(11)＋1，即證eq\r(35)＞eq\r(11)，∵35＞11，∴原不等式成立．以上證明應(yīng)用了()A．分析法B．綜合法C．分析法與綜合法協(xié)作運(yùn)用D．反證法A[證明過程用的是分析法．]3．(多選題)應(yīng)用反證法推出沖突的推導(dǎo)過程中，可以把下列哪些作為條件運(yùn)用()A．結(jié)論的反設(shè) B．已知條件C．定義、公理、定理等 D．原結(jié)論ABC[反證法推沖突的過程中，可以把結(jié)論的反設(shè)，已知條件，定義、定理、公理等作為已知條件運(yùn)用，故選ABC．]4．(多選題)下列命題中，不正確的是()A．若a＜b＜0，則eq\f(1,a－b)＞eq\f(1,a)B．若ac＞bc，則a＞bC．若eq\f(a,c2)＜eq\f(b,c2)，則a＜bD．若a＞b，c＞d，則a－c＞b－dABD[由不等式的性質(zhì)可知選項(xiàng)