2024-2025學(xué)年新教材高中數(shù)學(xué)4指數(shù)函數(shù)與對(duì)數(shù)函數(shù)4.4.3不同函數(shù)增長(zhǎng)的差異課后素養(yǎng)落實(shí)含解析新人教A版必修第一冊(cè)

課后素養(yǎng)落實(shí)(三十四)不同函數(shù)增長(zhǎng)的差異(建議用時(shí)：40分鐘)一、選擇題1．(多選)當(dāng)a>1時(shí)，下列結(jié)論正確的有()A．指數(shù)函數(shù)y＝ax，當(dāng)a越大時(shí)，其函數(shù)值的增長(zhǎng)越快B．指數(shù)函數(shù)y＝ax，當(dāng)a越小時(shí)，其函數(shù)值的增長(zhǎng)越快C．對(duì)數(shù)函數(shù)y＝logax，當(dāng)a越大時(shí)，其函數(shù)值的增長(zhǎng)越快D．對(duì)數(shù)函數(shù)y＝logax，當(dāng)a越小時(shí)，其函數(shù)值的增長(zhǎng)越快AD[結(jié)合指數(shù)函數(shù)及對(duì)數(shù)函數(shù)的圖象可知AD正確．故選AD.]2．y1＝2x，y2＝x2，y3＝log2x，當(dāng)2<x<4時(shí)，有()A．y1>y2>y3 B．y2>y1>y3C．y1>y3>y2 D．y2>y3>y1B[在同一平面直角坐標(biāo)系內(nèi)畫出這三個(gè)函數(shù)的圖象(圖略)，在區(qū)間(2,4)內(nèi)，從上到下圖象依次對(duì)應(yīng)的函數(shù)為y2＝x2，y1＝2x，y3＝log2x，故y2>y1>y3.]3．某地區(qū)植被被破壞，土地沙漠化越來越嚴(yán)峻，最近三年測(cè)得沙漠增加值分別為0.2萬(wàn)公頃、0.4萬(wàn)公頃和0.76萬(wàn)公頃，則沙漠增加數(shù)y公頃關(guān)于年數(shù)x的函數(shù)關(guān)系較為近似的是()A．y＝0.2x B．y＝eq\f(1,10)(x2＋2x)C．y＝eq\f(2x,10) D．y＝0.2＋log16xC[用解除法，當(dāng)x＝1時(shí)，解除B項(xiàng)；當(dāng)x＝2時(shí)，解除D項(xiàng)；當(dāng)x＝3時(shí)，解除A項(xiàng)．]4．在某試驗(yàn)中，測(cè)得變量x和變量y之間對(duì)應(yīng)數(shù)據(jù)，如表．x0.500.992.013.98y－1.010.010.982.00則x，y最合適的函數(shù)是()A．y＝2x B．y＝x2－1C．y＝2x－2 D．y＝log2xD[依據(jù)x＝0.50，y＝－1.01，代入計(jì)算，可以解除A；依據(jù)x＝2.01，y＝0.98，代入計(jì)算，可以解除B、C；將各數(shù)據(jù)代入函數(shù)y＝log2x，可知滿意題意．故選D.]5．四人賽跑，假設(shè)他們跑過的路程fi(x)(其中i∈{1,2,3,4})和時(shí)間x(x>1)的函數(shù)關(guān)系分別是f1(x)＝x2，f2(x)＝4x，f3(x)＝log2x，f4(x)＝2x，假如他們始終跑下去，最終跑在最前面的人具有的函數(shù)關(guān)系是()A．f1(x)＝x2 B．f2(x)＝4xC．f3(x)＝log2x D．f4(x)＝2xD[明顯四個(gè)函數(shù)中，指數(shù)函數(shù)是增長(zhǎng)最快的，故最終跑在最前面的人具有的函數(shù)關(guān)系是f4(x)＝2x，故選D.]二、填空題6．函數(shù)y＝x2與函數(shù)y＝xlnx在區(qū)間(0，＋∞)上增長(zhǎng)較快的一個(gè)是________.y＝x2[當(dāng)x變大時(shí)，x比lnx增長(zhǎng)要快，∴x2要比xlnx增長(zhǎng)的要快．]7．下列各項(xiàng)是四種生意預(yù)期的收益y關(guān)于時(shí)間x的函數(shù)，從足夠長(zhǎng)遠(yuǎn)的角度看，更為有前途的生意是________．①y＝10×1.05x；②y＝20＋x1.5；③y＝30＋lg(x－1)；④y＝50.①[結(jié)合三類函數(shù)的增長(zhǎng)差異可知①的預(yù)期收益最大，故填①.]8．若已知16<x<20，利用圖象可推斷出x和log2x的大小關(guān)系為________．x>log2x[作出f(x)＝x和g(x)＝log2x的圖象，如圖所示：由圖象可知，在(0,4)內(nèi)，x>log2x；x＝4或x＝16時(shí)，x＝log2x；在(4,16)內(nèi)，x<log2x；在(16,20)內(nèi)，x>log2x.]三、解答題9．畫出函數(shù)f(x)＝eq\r(x)與函數(shù)g(x)＝eq\f(1,4)x2－2的圖象，并比較兩者在[0，＋∞)上的大小關(guān)系．[解]函數(shù)f(x)與g(x)的圖象如圖所示．依據(jù)圖象易得：當(dāng)0≤x<4時(shí)，f(x)>g(x)；當(dāng)x＝4時(shí)，f(x)＝g(x)；當(dāng)x>4時(shí)，f(x)<g(x)．10．某人對(duì)東北一種松樹的生進(jìn)步行了探討，收集了其高度h(米)與生長(zhǎng)時(shí)間t(年)的相關(guān)數(shù)據(jù)，選擇h＝mt＋b與h＝loga(t＋1)來刻畫h與t的關(guān)系，你認(rèn)為哪個(gè)符合？并預(yù)料第8年的松樹高度．t(年)123456h(米)0.611.31.51.61.7[解]據(jù)表中數(shù)據(jù)作出散點(diǎn)圖如圖：由圖可以看出用一次函數(shù)模型不吻合，選用對(duì)數(shù)型函數(shù)比較合理．將(2,1)代入到h＝loga(t＋1)中，得1＝loga3，解得a＝3.即h＝log3(t＋1)．當(dāng)t＝8時(shí)，h＝log3(8＋1)＝2，故可預(yù)料第8年的松樹高度為2米．1．函數(shù)y＝2x－x2的圖象大致是()ABCDA[分別畫出y＝2x，y＝x2的圖象，由圖象可知(圖略)，有3個(gè)交點(diǎn)，∴函數(shù)y＝2x－x2的圖象與x軸有3個(gè)交點(diǎn)，故解除B，C；當(dāng)x<－1時(shí)，y<0，故解除D，故選A.]2．當(dāng)0＜x≤eq\f(1,2)時(shí)，4x＜logax，則a的取值范圍是()A．(eq\r(2)，2) B．(1，eq\r(2))C．eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(2),2)，1)) D．eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(\r(2),2)))C[當(dāng)0＜x≤eq\f(1,2)時(shí)，函數(shù)y＝4x的圖象如圖所示，若不等式4x＜logax恒成立，則y＝logax的圖象恒在y＝4x的圖象的上方(如圖中虛線所示)，∵y＝logax的圖象與y＝4x的圖象交于eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，2))點(diǎn)時(shí)，a＝eq\f(\r(2),2)，故虛線所示的y＝logax的圖象對(duì)應(yīng)的底數(shù)a應(yīng)滿意eq\f(\r(2),2)＜a＜1，故選C.]3．(多選)下面是一幅統(tǒng)計(jì)圖，依據(jù)此圖得到的以下說法中正確的是()A．這幾年生活水平逐年得到提高B．生活費(fèi)收入指數(shù)增長(zhǎng)最快的一年是2024年C．生活價(jià)格指數(shù)上漲速度最快的一年是2024年D．雖然2024年生活費(fèi)收入增長(zhǎng)緩慢，但生活價(jià)格指數(shù)也略有降低，因而生活水平有較大的改善ABD[由題意知，“生活費(fèi)收入指數(shù)”減去“生活價(jià)格指數(shù)”的差是逐年增大的，故A正確；“生活費(fèi)收入指數(shù)”在2024～2024年最陡，故B正確；“生活價(jià)格指數(shù)”在2024～2024年最平緩，故C不正確；“生活價(jià)格指數(shù)”略呈下降，而“生活費(fèi)收入指數(shù)”呈上升趨勢(shì)，故D正確．]4．某商場(chǎng)2024年一月份到十二月份銷售額呈現(xiàn)先下降后上升的趨勢(shì)，現(xiàn)有三種函數(shù)模型：①f(x)＝p·qx(q>0，q≠1)；②f(x)＝logpx＋q(p>0，p≠1)；③f(x)＝x2＋px＋q.(1)能較精確反映商場(chǎng)月銷售額f(x)與月份x關(guān)系的函數(shù)模型為________(填寫相應(yīng)函數(shù)的序號(hào))；(2)若所選函數(shù)滿意f(1)＝10，f(3)＝2，則f(x)＝________.(1)③(2)x2－8x＋17[(1)①②均單調(diào)，③先減后增，故能較精確反映商場(chǎng)月銷售額f(x)與月份x關(guān)系的函數(shù)模型為③.(2)由f(1)＝10，f(3)＝2，得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(1＋p＋q＝10，,9＋3p＋q＝2，))解得p＝－8，q＝17，所以，f(x)＝x2－8x＋17.]小明在調(diào)查某班小學(xué)生每月的人均零花錢時(shí)，得到了下列一組數(shù)據(jù)：x/月份23456…y/元1.402.565.311121.30…小明選擇了模型y＝x，他的同學(xué)卻認(rèn)為模型y＝eq\f(2x,3)更合適．(1)你認(rèn)為誰(shuí)選擇的模型較好？并簡(jiǎn)潔說明理由；(2)試用你認(rèn)為較好的數(shù)學(xué)模型來分析大約在幾月份小學(xué)生的平均零花錢會(huì)超過100元？(參考數(shù)據(jù)lg2＝0.3010，lg3＝0.4771)[解](1)依據(jù)表格供應(yīng)的數(shù)據(jù)，畫出散點(diǎn)圖，并結(jié)合y＝x及y＝eq\f(2x,3)的圖象(如圖所示)，視察可知，這些