2024-2025學(xué)年高中數(shù)學(xué)第二章空間向量與立體幾何2.1從平面向量到空間向量學(xué)案含解析北師大版選修2-11

PAGE其次章空間向量與立體幾何本章學(xué)問要覽本章是在平面對(duì)量的基礎(chǔ)上，通過類比的方法，學(xué)習(xí)空間向量的概念、性質(zhì)和運(yùn)算，并以向量為工具探討立體幾何中的一些問題．主要包括兩個(gè)方面：一是關(guān)于空間向量及其運(yùn)算，這是立體幾何的基礎(chǔ)，也是重點(diǎn)內(nèi)容；二是關(guān)于空間向量的應(yīng)用，即用向量探討垂直與平行，夾角的計(jì)算和距離的計(jì)算．本章的重點(diǎn)是：空間向量及其運(yùn)算，以空間向量為工具通過空間向量的運(yùn)算證明空間直線與直線、直線與平面、兩個(gè)平面的平行和垂直，求空間兩條直線、直線與平面所成的角、二面角的大小，求空間點(diǎn)到平面的距離；難點(diǎn)是：以空間向量為工具證明空間的位置關(guān)系，求空間角和空間距離；易錯(cuò)點(diǎn)是求空間角時(shí)，對(duì)角的范圍的推斷．(1)解決問題要從圖形入手，分析已知條件在圖形中的向量表示，由已知到圖形、由圖形到已知的基本訓(xùn)練，有序地建立圖形、文字、符號(hào)三種語言間的聯(lián)系．(2)適時(shí)地聯(lián)系平面對(duì)量的學(xué)問及平面幾何的學(xué)問，采納聯(lián)想對(duì)比、引申等方法相識(shí)平面對(duì)量與空間向量、平面幾何與立體幾何學(xué)問的異同，并找出兩者之間的內(nèi)在聯(lián)系，逐步培育能將立體幾何問題轉(zhuǎn)化為平面幾何問題的實(shí)力．(3)由空間向量解決立體幾何問題時(shí)，要留意在空間直角坐標(biāo)系下，通過轉(zhuǎn)化將圖形的關(guān)系轉(zhuǎn)化為坐標(biāo)系中數(shù)的運(yùn)算，并可以敏捷地運(yùn)用空間向量基本定理進(jìn)行轉(zhuǎn)化．§1從平面對(duì)量到空間向量學(xué)問點(diǎn)一向量的概念[填一填](1)向量既有大小又有方向的量叫作向量．在物理中，有很多量可以用向量來表示，如位移、速度、加速度、力等，這些量不但有大小，而且還具有方向．(2)空間向量在空間中，既有大小又有方向的量叫作空間向量．過空間隨意一點(diǎn)O作向量a，b的相等向量eq\o(OA,\s\up6(→))和eq\o(OB,\s\up6(→))，則∠AOB叫作向量a，b的夾角，記作〈a，b〉，規(guī)定0≤〈a，b〉≤π.[答一答]1．向量a，b的夾角是eq\f(π,2)，0或π時(shí)，向量a，b應(yīng)具備什么條件？提示：當(dāng)〈a，b〉＝eq\f(π,2)時(shí)，向量a與b垂直，當(dāng)〈a，b〉＝0或π時(shí)，向量a與b平行．2．思索與溝通：仿照平面對(duì)量的有關(guān)概念，請(qǐng)分別給出下列定義：?jiǎn)挝幌蛄?、零向量、相等向量、相反向量、平行向量．提示：在空間中，模為1的向量叫單位向量；模為0的向量叫零向量；模相等，方向相同的向量叫相等向量；模相等，方向相反的向量叫相反向量；方向相同或相反的向量叫平行向量．學(xué)問點(diǎn)二向量與直線[填一填](1)l是空間始終線，A，B是直線l上的隨意兩點(diǎn)，則稱eq\o(AB,\s\up6(→))為直線l的方向向量．與eq\o(AB,\s\up6(→))平行的隨意非零向量a也是直線l的方向向量，直線的方向向量平行于該直線．(2)依據(jù)立體幾何學(xué)問，我們知道，給定空間中隨意一點(diǎn)A和非零向量a，就可以確定唯一一條過點(diǎn)A且平行于向量a的直線．[答一答]探討：直線的方向向量是唯一確定的嗎？提示：不是，只要是平行于直線的非零向量均可成為直線的方向向量，正是由于直線的方向向量的隨意性，才可便于選取方向向量，才具有可操作性．學(xué)問點(diǎn)三向量與平面[填一填](1)假如直線l垂直于平面α，那么把直線l的方向向量a叫作平面α的法向量．全部與直線l平行的非零向量都是平面α的法向量．平面的法向量垂直于該平面．(2)給定空間中隨意一點(diǎn)A和非零向量a，可以確定唯一一個(gè)過點(diǎn)A且垂直于向量a的平面．[答一答]想一想：要想在空間中確定一個(gè)平面須要哪些條件？提示：須要有一點(diǎn)和一個(gè)非零向量．過這一點(diǎn)且垂直于已知向量就可確定一個(gè)平面．1．向量無法比較大?。P(guān)于向量的比較，我們只限于探討它們是否相等，而不是探討它們誰大誰?。话銇碚f，向量不能比較大?。蛄康哪？梢员容^大小，應(yīng)留意a＝b?|a|＝|b|，但反之不成立．2．(1)〈a，b〉表示a與b的夾角，書寫肯定要規(guī)范，不能誤寫為(a，b)．(2)在圖甲中，〈eq\o(OA,\s\up6(→))，eq\o(OB,\s\up6(→))〉＝∠AOB，而圖乙中，〈eq\o(AO,\s\up6(→))，eq\o(OB,\s\up6(→))〉＝π－∠AOB.向量夾角與向量大小無關(guān)，只與方向有關(guān)．3．平行向量所在的直線可能平行也可能重合，與兩直線平行不同；平行向量的方向可能同向，也可能反向．4．零向量與隨意向量共線．5．平面法向量的性質(zhì)：(1)若直線l⊥平面α，則全部與直線l平行的非零向量都是平面α的法向量，故平面α的法向量不唯一，有無限多個(gè)，但它們相互平行．(2)一個(gè)平面的單位法向量只有兩個(gè)．(3)平面α的一個(gè)法向量垂直于與平面α共面的全部向量，也就是平面的法向量垂直于該平面．題型一向量的有關(guān)概念【例1】給出下列五個(gè)命題：①兩個(gè)空間向量相等，則它們的起點(diǎn)相同，終點(diǎn)也相同；②若空間兩向量a，b滿意|a|＝|b|，則a＝b；③在正方體ABCD-A1B1C1D1中必有eq\o(AC,\s\up6(→))＝eq\o(A1C1,\s\up6(→))；④若空間向量m，n，p滿意m＝n，n＝p，則m＝p；⑤空間中隨意兩個(gè)單位向量必相等．其中正確命題的個(gè)數(shù)為()A．4 B．3C．2 D．1【解析】當(dāng)空間兩個(gè)向量的起點(diǎn)、終點(diǎn)分別相同時(shí)，這兩個(gè)向量必相等，但兩個(gè)相等向量的起點(diǎn)不肯定相同，終點(diǎn)也不肯定相同，故①錯(cuò)；依據(jù)向量相等的定義，要保證兩向量相等，不僅它們的模要相等，而且方向也要相同，但②中向量a與b的方向不肯定相同，故②不對(duì)；依據(jù)正方體的性質(zhì)，在正方體ABCD-A1B1C1D1中，向量eq\o(AC,\s\up6(→))和eq\o(A1C1,\s\up6(→))不但方向相同而且長(zhǎng)度相等，故應(yīng)有eq\o(AC,\s\up6(→))＝eq\o(A1C1,\s\up6(→))，所以③正確；④明顯正確；對(duì)于⑤，空間隨意兩個(gè)單位向量的模均為1，但方向不肯定相同，故不肯定相等，所以⑤不對(duì)．【答案】C規(guī)律方法(1)只要兩個(gè)向量的方向相同，模相等，這兩個(gè)向量就相等，與起點(diǎn)和終點(diǎn)位置無關(guān)．(2)嫻熟駕馭空間向量的有關(guān)概念是解決這類問題的關(guān)鍵．下列命題錯(cuò)誤的是(B)A．空間向量eq\o(AB,\s\up6(→))與eq\o(BA,\s\up6(→))的長(zhǎng)度相等B．零向量沒有長(zhǎng)度，所以它不是空間向量C．同向且等長(zhǎng)的有向線段表示同一向量或相等的向量D．若a＝b，b＝c，則a＝c解析：概念的理解是解決本題的關(guān)鍵．A選項(xiàng)中的兩個(gè)向量互為相反向量，所以它們長(zhǎng)度相等；空間向量并不是一個(gè)立體圖形，只要是存在于立體空間內(nèi)的向量都是空間向量，所以B選項(xiàng)錯(cuò)誤；C選項(xiàng)是相等向量定義的另外一個(gè)說法；我們探討的向量是自由向量，只要向量相等都可以移動(dòng)到同一起點(diǎn)，所以D選項(xiàng)正確．題型二向量的夾角【例2】如圖，在正方體ABCD-A′B′C′D′中，求：(1)〈eq\o(AB,\s\up6(→))，eq\o(A′B′,\s\up6(→))〉，〈eq\o(AD,\s\up6(→))，eq\o(D′C′,\s\up6(→))〉，〈eq\o(AB,\s\up6(→))，eq\o(C′D′,\s\up6(→))〉．(2)〈eq\o(AD′,\s\up6(→))，eq\o(BC,\s\up6(→))〉，〈eq\o(AD′,\s\up6(→))，eq\o(D′C,\s\up6(→))〉．【思路探究】按空間向量夾角的定義求解，空間向量a，b夾角范圍是[0，π]．【解】(1)∵在正方體ABCD-A′B′C′D′中，AB∥A′B′，AD⊥D′C′，AB∥C′D′.∴〈eq\o(AB,\s\up6(→))，eq\o(A′B′,\s\up6(→))〉＝0，〈eq\o(AD,\s\up6(→))，eq\o(D′C′,\s\up6(→))〉＝eq\f(π,2)，〈eq\o(AB,\s\up6(→))，eq\o(C′D′,\s\up6(→))〉＝π.(2)∵在正方體ABCD-A′B′C′D′中，AD∥BC.∴〈eq\o(AD′,\s\up6(→))，eq\o(BC,\s\up6(→))〉＝〈eq\o(AD′,\s\up6(→))，eq\o(AD,\s\up6(→))〉＝eq\f(π,4).連接AC，則△ACD′為等邊三角形．∴〈eq\o(AD′,\s\up6(→))，eq\o(D′C,\s\up6(→))〉＝eq\f(2π,3).規(guī)律方法與求平面內(nèi)兩向量夾角類似，求空間兩向量夾角時(shí)，實(shí)行平移的方法，把空間兩向量的夾角轉(zhuǎn)化為平面內(nèi)某兩條相交直線的角，進(jìn)而用解三角形的學(xué)問求解．必需留意兩向量夾角應(yīng)保證兩向量移至共同起點(diǎn)處，比如若〈eq\o(AB,\s\up6(→))，eq\o(AC,\s\up6(→))〉＝eq\f(π,4)，而〈eq\o(AB,\s\up6(→))，eq\o(CA,\s\up6(→))〉＝eq\f(3π,4).如圖，棱長(zhǎng)都相等的平行六面體ABCD-A1B1C1D1中，已知∠A1AB＝60°，則〈eq\o(AA1,\s\up6(→))，eq\o(CC1,\s\up6(→))〉＝0°，〈eq\o(AB,\s\up6(→))，eq\o(C1D1,\s\up6(→))〉＝180°，〈eq\o(BA,\s\up6(→))，eq\o(DD1,\s\up6(→))〉＝120°.解析：在平行六面體ABCD-A1B1C1D1中，eq\o(AA1,\s\up6(→))∥eq\o(CC1,\s\up6(→))，且方向相同，所以〈eq\o(AA1,\s\up6(→))，eq\o(CC1,\s\up6(→))〉＝0°.因?yàn)锳B∥CD，CD∥C1D1，所以AB∥C1D1，所以eq\o(AB,\s\up6(→))∥eq\o(C1D1,\s\up6(→))，但方向相反，所以〈eq\o(AB,\s\up6(→))，eq\o(C1D1,\s\up6(→))〉＝180°.因?yàn)閑q\o(AA1,\s\up6(→))＝eq\o(DD1,\s\up6(→))，所以〈eq\o(BA,\s\up6(→))，eq\o(DD1,\s\up6(→))〉＝〈eq\o(BA,\s\up6(→))，eq\o(AA1,\s\up6(→))〉＝180°－∠A1AB＝120°.題型三向量與平面【例3】如圖，四棱錐P-ABCD中，PD⊥平面ABCD，底面ABCD為正方形且PD＝AD＝CD，E，F(xiàn)分別是PC，PB的中點(diǎn)．(1)試以F為起點(diǎn)作直線DE的一個(gè)方向向量；(2)試以F為起點(diǎn)作平面PBC的一個(gè)法向量．【思路探究】(1)只要作出過F與DE平行的直線即可．(2)作出過F與平面PBC垂直的直線即可．【解】(1)如圖，連接EF.∵E，F(xiàn)分別是PC，PB的中點(diǎn)．∴EF綊eq\f(1,2)BC.又BC綊AD，∴EF綊eq\f(1,2)AD.取AD的中點(diǎn)M，連接MF，則由EF綊DM知四邊形DEFM是平行四邊形，∴MF∥DE.∴eq\o(FM,\s\up6(→))就是直線DE的一個(gè)方向向量．(2)∵PD⊥平面ABCD，∴PD⊥BC.又BC⊥CD，∴BC⊥平面PCD.∵DE平面PCD，∴DE⊥BC.又PD＝CD，E為PC中點(diǎn)，∴DE⊥PC.從而DE⊥平面PBC.∴eq\o(DE,\s\up6(→))是平面PBC的一個(gè)法向量．由(1)可知eq\o(FM,\s\up6(→))＝eq\o(ED,\s\up6(→))，∴eq\o(FM,\s\up6(→))就是平面PBC的一個(gè)法向量．規(guī)律方法直線的方向向量有多數(shù)個(gè)，它們之間相互平行；平面的法向量也有多數(shù)個(gè)，它們之間也都相互平行且都垂直于平面．而過空間某點(diǎn)作直線的方向向量或平面的法向量時(shí)，可利用線面平行及線面垂直等相關(guān)學(xué)問，在該點(diǎn)處作出直線的平行線或平面的垂線即可．如圖，在正方體ABCD-A1B1C1D1中，E，F(xiàn)分別是棱AB，AA1的中點(diǎn)．(1)分別給出平面ABCD，平面ADD1A1的一個(gè)法向量；(2)寫出平面AB1C1D的法向量，你能寫出幾個(gè)？(3)圖中與向量eq\o(EF,\s\up6(→))共線的向量有哪些？解：(1)平面ABCD的法向量可以是：eq\o(AA1,\s\up6(→))，eq\o(BB1,\s\up6(→))，eq\o(CC1,\s\up6(→))，eq\o(DD1,\s\up6(→))或eq\o(A1A,\s\up6(→))，eq\o(B1B,\s\up6(→))，eq\o(C1C,\s\up6(→))，eq\o(D1D,\s\up6(→))這8個(gè)向量中的隨意一個(gè)．平面ADD1A1的法向量可以是：eq\o(AB,\s\up6(→))，eq\o(DC,\s\up6(→))，eq\o(A1B1,\s\up6(→))，eq\o(D1C1,\s\up6(→))或eq\o(BA,\s\up6(→))，eq\o(CD,\s\up6(→))，eq\o(B1A1,\s\up6(→))，eq\o(C1D1,\s\up6(→))這8個(gè)向量中的隨意一個(gè)．(2)由正方體的性質(zhì)可知EF∥CD1，EF⊥平面AB1C1D，CD1⊥平面AB1C1D，平面AB1C1D的法向量可以是：eq\o(D1C,\s\up6(→))，eq\o(CD1,\s\up6(→))，eq\o(EF,\s\up6(→))，eq\o(FE,\s\up6(→)).(3)題圖中與向量eq\o(EF,\s\up6(→))共線的向量有：eq\o(CD1,\s\up6(→))，eq\o(D1C,\s\up6(→))，eq\o(FE,\s\up6(→)).——易錯(cuò)警示——對(duì)向量概念理解的錯(cuò)誤【例4】下列命題中正確的是()A．若a與b共線，b與c共線，則a與c共線B．向量a，b，c共面即它們所在的直線共面C．零向量沒有確定的方向D．若a∥b，則存在唯一的實(shí)數(shù)λ，使a＝λb【誤會(huì)】A(或B或D)【正解】在選項(xiàng)A中，若b＝0，則結(jié)論不成立；在選項(xiàng)B中，向量共面與直線共面的不同點(diǎn)在于三個(gè)向量中的一個(gè)向量所在直線與另兩個(gè)向量所在平面平行時(shí)，三個(gè)向量所在的直線雖然不共面，但這三個(gè)向量是共面的；選項(xiàng)D中，若a＝b＝0時(shí)，有多數(shù)個(gè)λ滿意等式，而不是唯一一個(gè)；若b＝0，a≠0，則不存在λ使a＝λb.【答案】C下列說法中正確的是(B)A．若|a|＝|b|，則a、b的長(zhǎng)度相同，方向相同或相反B．若向量a是向量b的相反向量，則|a|＝|b|C．假如兩向量平行，則向量相等D．在四邊形ABCD中，肯定有eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AD,\s\up6(→))＝eq\o(AC,\s\up6(→))解析：A項(xiàng)，|a|＝|b|，只表示a，b的長(zhǎng)度相同，而方向不確定；C項(xiàng)，兩向量平行，不能說明兩向量相等；D項(xiàng)，在平行四邊形中具有該項(xiàng)結(jié)論．【例5】下列命題是真命題的序號(hào)是________．①向量eq\o(AB,\s\up6(→))與eq\o(CD,\s\up6(→))是共線向量，則A、B、C、D四點(diǎn)必在一條直線上；②向量eq\o(AB,\s\up6(→))與eq\o(AC,\s\up6(→))是共線向量，則A、B、C必在一條直線上．【誤會(huì)】①②【正解】命題①為假命題，因?yàn)閑q\o(AB,\s\up6(→))、eq\o(CD,\s\up6(→))兩個(gè)向量所在的直線可能沒有公共點(diǎn)，所以四點(diǎn)不肯定在一條直線上；命題②為真命題，因?yàn)閑q\o(AB,\s\up6(→))、eq\o(AC,\s\up6(→))兩個(gè)向量所在的直線有公共點(diǎn)A，所以三點(diǎn)共線．故填②.【答案】②下列命題是真命題的是(D)A．分別表示空間向量的有向線段所在的直線是異面直線，則這兩個(gè)向量不是共面對(duì)量B．方向相反的向量是相反向量C．若向量eq\o(AB,\s\up6(→))，eq\o(CD,\s\up6(→))滿意|eq\o(AB,\s\up6(→))|>|eq\o(CD,\s\up6(→))|，且eq\o(AB,\s\up6(→))與eq\o(CD,\s\up6(→))同向，則eq\o(AB,\s\up6(→))>eq\o(CD,\s\up6(→))D．若兩個(gè)非零向量eq\o(AB,\s\up6(→))與eq\o(CD,\s\up6(→))滿意eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(CD,\s\up6(→))＝0，則eq\o(AB,\s\up6(→))∥eq\o(CD,\s\up6(→))解析：A項(xiàng)向量可以平移到一個(gè)平面；B項(xiàng)方向相反，大小相等的向量為相反向量；C項(xiàng)，向量不能比較大小.1.eq\o(AB,\s\up6(→))＝eq\o(CD,\s\up6(→))的一個(gè)必要不充分條件是(C)A．A與C重合 B．A與C重合，B與D重合C．|eq\o(AB,\s\up6(→))|＝|eq\o(CD,\s\up6(→))| D．A、B、C、D四點(diǎn)共線解析：向量相等只需方向相同，長(zhǎng)度相等，而與表示向量的有向線段的起點(diǎn)、終點(diǎn)位置無關(guān)．表示兩個(gè)共線向量的兩個(gè)有向線段所在的直線平行或重合，不能得到四點(diǎn)共線．2．在等腰直角三角形ABC中，角B為直角，則〈eq\o(BC,\s\up6(→))，eq\o(CA,\s\up6(→))〉等于(B)A．45°B．135°C．45°或135°D．不確定解析：如圖，嚴(yán)格利用向量夾角定義，過空間一點(diǎn)作出兩向量，明確夾角．3．在正方體ABCD-A1B1C1D1中，平面ACC1A1的法向量是(A)A.eq\o(BD,\s\up6(→)) B.eq\o(BC1,\s\up6(→))C.eq