小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中函數(shù)思維的滲透

【摘要】培養(yǎng)學(xué)生的函數(shù)思維有利于學(xué)生解決更復(fù)雜的數(shù)學(xué)問題，也能夠讓學(xué)生感受到數(shù)學(xué)知識的趣味性。文章以充分發(fā)揮小學(xué)數(shù)學(xué)課程的啟蒙、開智作用為目標，探討了將培養(yǎng)函數(shù)思維滲透到“數(shù)與代數(shù)”“圖形與幾何”“統(tǒng)計與概率”“綜合與實踐”教學(xué)的策略，以幫助廣大教師提升學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)能力、促進學(xué)生數(shù)學(xué)思維品質(zhì)進階?！娟P(guān)鍵詞】小學(xué)數(shù)學(xué)；數(shù)學(xué)教學(xué)；數(shù)學(xué)思想方法；函數(shù)思維函數(shù)思維，是一種以數(shù)學(xué)函數(shù)思想為核心，根據(jù)函數(shù)的概念和性質(zhì)去思考、探究量與量之間關(guān)聯(lián)的思維方式。在小學(xué)階段的數(shù)學(xué)課程中，函數(shù)思維以隱性、內(nèi)斂的形式廣泛存在于“數(shù)與代數(shù)”“圖形與幾何”“統(tǒng)計與概率”“綜合與實踐”四個數(shù)學(xué)領(lǐng)域之中。在具體的數(shù)學(xué)教學(xué)中，小學(xué)數(shù)學(xué)教師可以提升學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)品質(zhì)、發(fā)展學(xué)生數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)為目的，將培養(yǎng)函數(shù)思維以更為有機與靈活的方式滲透到學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過程中，讓學(xué)生進行更有深度、精度與效度的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)。一、立足規(guī)律探索，在“數(shù)與代數(shù)”教學(xué)中培養(yǎng)函數(shù)思維“數(shù)與代數(shù)”是義務(wù)教育階段數(shù)學(xué)課程的核心領(lǐng)域，主要由“數(shù)與運算”和“數(shù)量關(guān)系”兩個有內(nèi)在關(guān)聯(lián)的部分組成。教師可以通過教授“數(shù)與代數(shù)”領(lǐng)域的內(nèi)容，讓小學(xué)生挖掘與開發(fā)數(shù)量關(guān)系與運算規(guī)律，建立良好的數(shù)感與推理意識［1］。要在該領(lǐng)域的教學(xué)中培養(yǎng)學(xué)生的函數(shù)思維，小學(xué)數(shù)學(xué)教師可帶領(lǐng)學(xué)生探索數(shù)學(xué)知識的規(guī)律，根據(jù)量與量的關(guān)系進行推導(dǎo)與推理，使學(xué)生更為深刻地理解這部分數(shù)學(xué)知識，明白在數(shù)學(xué)運算中算理、算法以及數(shù)量關(guān)系之間的關(guān)聯(lián)。例如，在教授蘇教版四年級下冊數(shù)學(xué)教材中的“運算律”一課時，教師可設(shè)計帶領(lǐng)學(xué)生歸納加法運算律的數(shù)學(xué)教學(xué)活動。教師可以先展示一些加法算式，鼓勵學(xué)生完成這些算式并觀察這些算式的規(guī)律。在學(xué)生完成任務(wù)后，教師可鼓勵學(xué)生組成學(xué)習(xí)小組，在小組內(nèi)討論計算結(jié)果，交流發(fā)現(xiàn)的數(shù)學(xué)運算規(guī)律。在學(xué)生討論的過程中，小學(xué)數(shù)學(xué)教師需要及時觀察學(xué)生的討論情況，鼓勵學(xué)生在小組中分享自己的發(fā)現(xiàn)與見解，并引導(dǎo)學(xué)生合作構(gòu)建能夠體現(xiàn)加法運算規(guī)律的數(shù)學(xué)模型，幫助學(xué)生深入探究加法運算律，讓學(xué)生明確在加法算式中加數(shù)與和之間的關(guān)系。這樣的教學(xué)活動不僅能夠讓學(xué)生充分發(fā)揮主觀能動性，彰顯學(xué)生的自主性，還有利于學(xué)生進行深度學(xué)習(xí)。在自主探究時，學(xué)生可以根據(jù)自身學(xué)習(xí)情況進行觀察、分析；而在合作探究時，學(xué)生可以深入探究加法算式中加數(shù)與和之間的關(guān)系，學(xué)生的思維會由此得到鍛煉，他們會逐漸學(xué)會更為發(fā)散與多元的思考數(shù)學(xué)問題、發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)規(guī)律和數(shù)學(xué)原理的方法。二、專注關(guān)系推導(dǎo)，在“圖形與幾何”教學(xué)中培養(yǎng)函數(shù)思維“圖形與幾何”領(lǐng)域的教學(xué)對于培養(yǎng)小學(xué)生的數(shù)感和空間觀念有著重要作用［2］?！皥D形與幾何”領(lǐng)域由“圖形的認識與測量”“圖形的位置與運動”兩個部分構(gòu)成，其中“圖形的認識與測量”涵蓋了立體圖形和平面圖形的概念、特點等內(nèi)容以及對圖形面積、體積、周長等的計算，既是小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)的重難點，也是小學(xué)階段學(xué)生容易出現(xiàn)學(xué)習(xí)問題的關(guān)鍵內(nèi)容。在以培養(yǎng)學(xué)生核心素養(yǎng)為目標的小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)實踐中，教師可以培養(yǎng)學(xué)生的空間觀念為出發(fā)點，引導(dǎo)學(xué)生應(yīng)用函數(shù)解析式推導(dǎo)計算圖形周長、面積與體積的公式，讓學(xué)生由淺層學(xué)習(xí)逐步進入深度學(xué)習(xí)，從而掌握復(fù)雜的數(shù)學(xué)知識。例如，在教授蘇教版五年級上冊數(shù)學(xué)教材中的“多邊形的面積”一課時，教師可以引導(dǎo)學(xué)生由平行四邊形面積計算公式推導(dǎo)三角形面積計算公式，讓學(xué)生借助函數(shù)解析式了解“圖形與幾何”領(lǐng)域的知識。具體來說，教師可以帶領(lǐng)學(xué)生探究同底同高的平行四邊形與三角形的面積的關(guān)系，然后帶領(lǐng)學(xué)生據(jù)此推導(dǎo)計算未知三角形面積的公式。首先，小學(xué)數(shù)學(xué)教師可以提供一組平行四邊形（如圖1），讓學(xué)生測量圖中平行四邊形的底與高，再計算各個平行四邊形的面積。其次，教師可讓學(xué)生先將得到的數(shù)據(jù)填到如下表格（如表1）中，再沿這些平行四邊形的任意一條對角線剪下兩個三角形，并測量三角形的底和高，對照表格中的數(shù)據(jù)，思考這些三角形的面積與同底同高的平行四邊形面積的關(guān)系。最后，在學(xué)生推理出同底同高的平行四邊形與三角形面積的關(guān)系后，小學(xué)數(shù)學(xué)教師便可引導(dǎo)學(xué)生進一步推導(dǎo)未知三角形的面積計算公式。在這樣的教學(xué)活動中，教師借助函數(shù)解析式指導(dǎo)學(xué)生學(xué)習(xí)“圖形與幾何”領(lǐng)域的數(shù)學(xué)知識，學(xué)生可以順利地掌握圖形之間的邏輯關(guān)系，加深對圖形特征的認識。三、聚焦數(shù)據(jù)分析，在“統(tǒng)計與概率”教學(xué)中培養(yǎng)函數(shù)思維“統(tǒng)計與概率”也是義務(wù)教育階段數(shù)學(xué)教學(xué)的關(guān)鍵領(lǐng)域［3］。在小學(xué)階段，“統(tǒng)計與概率”領(lǐng)域的教學(xué)內(nèi)容包含“數(shù)據(jù)分類”“數(shù)據(jù)收集、整理與表達”“隨機現(xiàn)象發(fā)生的可能性”三個部分。教授“統(tǒng)計與概率”領(lǐng)域的重點是讓學(xué)生了解如何通過統(tǒng)計圖表等進行有效的數(shù)據(jù)分析，掌握有價值的數(shù)學(xué)規(guī)律，建立良好的數(shù)據(jù)意識。小學(xué)數(shù)學(xué)教師在指導(dǎo)學(xué)生學(xué)習(xí)“統(tǒng)計與概率”領(lǐng)域知識時，可帶領(lǐng)學(xué)生分析函數(shù)圖像，再讓學(xué)生通過繪制將數(shù)據(jù)分類展示的圖像發(fā)現(xiàn)數(shù)與形之間的關(guān)聯(lián)，并逐步理解函數(shù)思想的本質(zhì)，形成良好的數(shù)據(jù)分析意識與統(tǒng)計觀念。例如，在教授蘇教版五年級下冊數(shù)學(xué)教材中的“折線統(tǒng)計圖”一課時，教師就可以指導(dǎo)學(xué)生進行實踐探究，以培養(yǎng)學(xué)生的思維能力。教師可以布置“探究自己一天內(nèi)體溫變化情況”的任務(wù)，然后指導(dǎo)學(xué)生據(jù)此繪制函數(shù)圖像，有效分析自己收集的數(shù)據(jù)。首先，教師需要指導(dǎo)學(xué)生思考收集數(shù)據(jù)的方法和要點。小學(xué)數(shù)學(xué)教師可提出以下問題：“同學(xué)們，你們了解體溫變化的知識嗎？你們知道人的體溫一般保持在什么范圍內(nèi)嗎？你們知道怎么測量體溫嗎？如果需要探究自己一天內(nèi)體溫變化情況，你們認為需要收集哪些有價值的信息呢？又要如何繪制統(tǒng)計表呢？”這些問題可以激發(fā)學(xué)生的探究興趣，在問題的引導(dǎo)下，學(xué)生會將注意力集中在有效采集信息的方法和要點上。教師可以指導(dǎo)學(xué)生提取“一天”與“體溫”兩個關(guān)鍵詞，并據(jù)此找到需要收集的數(shù)據(jù)，繪制如表2的統(tǒng)計表。其次，教師需要指導(dǎo)學(xué)生有效收集數(shù)據(jù)。教師可為每名學(xué)生提供家用體溫計，介紹使用家用體溫計的方法，然后讓學(xué)生觀察家用體溫計的量程與分度值，并以此為培養(yǎng)學(xué)生函數(shù)思維的突破口，向?qū)W生講解“定義域”“值域”等函數(shù)中重要的概念。此后，教師可以鼓勵學(xué)生使用家用體溫計獲得所需數(shù)據(jù)，再結(jié)合數(shù)據(jù)自主繪制體現(xiàn)自己一天內(nèi)體溫變化情況的折線統(tǒng)計圖。最后，教師需要指導(dǎo)學(xué)生有效分析數(shù)據(jù)。小學(xué)數(shù)學(xué)教師可借助現(xiàn)代化教學(xué)軟件展示學(xué)生自主繪制的統(tǒng)計圖表，同時向?qū)W生提出相關(guān)的教學(xué)問題，驅(qū)使學(xué)生從函數(shù)的角度思考自己的體溫隨著時間變化的情況，得出有效的結(jié)論。在這樣的教學(xué)活動中，學(xué)生不僅可以掌握“統(tǒng)計與概率”領(lǐng)域的知識，學(xué)會根據(jù)實際需要確定統(tǒng)計數(shù)據(jù)、收集數(shù)據(jù)、分析數(shù)據(jù)的方法，深刻理解折線統(tǒng)計圖與統(tǒng)計表在表達數(shù)據(jù)變化趨勢、展示數(shù)據(jù)動態(tài)變化規(guī)律等方面的價值，學(xué)生的數(shù)據(jù)分析能力與統(tǒng)計觀念也會在活用函數(shù)思想的過程中得到增強。四、圍繞問題解決，在“綜合與實踐”教學(xué)中培養(yǎng)函數(shù)思維在義務(wù)教育階段的數(shù)學(xué)教學(xué)中，教師還應(yīng)該引導(dǎo)學(xué)生將數(shù)學(xué)知識與數(shù)學(xué)方法應(yīng)用到解決實際問題中，這樣的教學(xué)活動也是讓學(xué)生感悟數(shù)學(xué)知識與生活、社會、科技之間的關(guān)聯(lián)及發(fā)展數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的關(guān)鍵活動［4］。在小學(xué)階段的數(shù)學(xué)課程中，教師組織的綜合實踐活動多為主題式學(xué)習(xí)活動或項目式學(xué)習(xí)活動，學(xué)生可以在這些活動中親歷發(fā)現(xiàn)問題、提出問題、分析問題、解決問題的學(xué)習(xí)過程，從而持續(xù)積累解決問題的經(jīng)驗，了解相關(guān)的數(shù)學(xué)思想和方法，形成良好的建模意識以及一定的創(chuàng)新、創(chuàng)造能力。小學(xué)數(shù)學(xué)教師可以在組織綜合實踐活動時，引導(dǎo)學(xué)生聚焦解決問題的數(shù)學(xué)思想和方法，指導(dǎo)學(xué)生應(yīng)用函數(shù)思想去審視、分析、解決相關(guān)數(shù)學(xué)問題。例如，在教授蘇教版六年級下冊數(shù)學(xué)教材中的“正比例與反比例”一課時，教師可以指導(dǎo)學(xué)生以小組形式展開實踐，圍繞“大樹有多高”這一主題進行綜合探究。小學(xué)數(shù)學(xué)教師在幫助學(xué)生科學(xué)劃分學(xué)習(xí)小組后，可以利用多媒體設(shè)備展示我國古代發(fā)明——日晷的圖片、視頻資料，讓學(xué)生了解日晷的工作原理，以開闊學(xué)生的視野，激活學(xué)生思維。在此之后，教師便可以引導(dǎo)學(xué)生結(jié)合所學(xué)數(shù)學(xué)知識和科學(xué)知識設(shè)計實踐探究內(nèi)容。本次綜合實踐活動的核心問題是“如何測得大樹的高度”，教師可以引導(dǎo)學(xué)生轉(zhuǎn)換思路，轉(zhuǎn)而思考“如何利用樹高與影長之間的關(guān)系測出樹高”這一問題。在學(xué)生明確探究核心后，小學(xué)數(shù)學(xué)教師可鼓勵學(xué)生自主思考解決問題的思路，然后指導(dǎo)各個學(xué)習(xí)小組利用竹竿、卷尺等材料展開實踐探究。在學(xué)生測得數(shù)據(jù)后，教師還應(yīng)指導(dǎo)學(xué)生應(yīng)用圖像分析法計算竹竿長度與影長之間的比值。如果學(xué)生沒有思路，小學(xué)數(shù)學(xué)教師可提示學(xué)生應(yīng)用此前學(xué)過的正比例函數(shù)與反比例函數(shù)的知識推測竹竿長與影長之間的關(guān)系，然后畫出函數(shù)圖像，再具體分析竹竿長度及其影長的比例。至此，學(xué)生會逐漸掌握收集數(shù)據(jù)、整理數(shù)據(jù)與分析數(shù)據(jù)的方法，意識到在同一時刻、同一地點，物體的高度與其影長的比例，并能夠用函數(shù)表示物體的高度與物體的影長兩個量之間的關(guān)聯(lián)。小學(xué)數(shù)學(xué)教師還可以在此基礎(chǔ)上，引導(dǎo)學(xué)生進行更深一步的探究。教師可以組織討論活動，將學(xué)生的思維引回他們解決本次綜合實踐活動主要問題的過程，引導(dǎo)學(xué)生進行反思、總結(jié)，驅(qū)使學(xué)生分析自己如何有效遷移運用函數(shù)思想歸納出物高與影長的關(guān)系，如何測出大樹物體的高度，使其充分體驗應(yīng)用函數(shù)思維解決數(shù)學(xué)問題的樂趣。在這樣的教學(xué)活動中，學(xué)生可以學(xué)會從函數(shù)的角度觀察與分析不同物體的數(shù)量關(guān)系的方法，而在綜合運用圖像分析法、函數(shù)解析式研究物高與影長之間的定量關(guān)系與