15全稱量詞與存在量詞講義-2024-2025學(xué)年高一上學(xué)期數(shù)學(xué)人教A版

1.5全稱量詞與存在量詞知識點梳理重點1全稱量詞和全稱量詞命題全稱量詞：短語“所有的”“任意一個”在邏輯中通常叫做全稱量詞，并用符號“?”表示.全稱量詞命題：含有全稱量詞的命題，叫作全稱量詞命題.符號語言：通常，將含有變量x的語句用p（x）、q（x）、r（x）……表示，變量x的取值范圍用M表示.那么，全稱量詞命題“對M中任意一個x，p（x）成立”可用符號簡記為?x∈M，p（x）.例1.下列命題中全稱量詞命題的個數(shù)是（）（1）所有的二次函數(shù)圖象與x軸都有兩個交點.（2）?x∈R，.（3）負(fù)數(shù)的平方都是正數(shù).A.0B.1C.2D.3解析：（1）中含有全稱量詞“所有的”，所以是全稱量詞命題（2）中含有全稱量詞符號“?”，所以是全稱量詞命題（3）中的“負(fù)數(shù)”指的是“所有的”負(fù)數(shù)，所以是全稱量詞命題答案：D歸納總結(jié)：判斷一個命題是否為全稱量詞命題，一是看該命題是否含有全稱量詞；二是看該命題是否為省去全稱量詞的命題.例2.用量詞符號表述下列全稱量詞命題（1）任意一個實數(shù)乘以1都等于它的相反數(shù).（2）對任意實數(shù)x，都有.（3）.解析：（1）?x∈R，x·（1）＝x.（2）?x∈R，.（3）?x∈R，.重點2存在量詞與存在量詞命題存在量詞：短語“存在一個”“至少有一個”在邏輯中通常叫作存在量詞，用符號“”表示.存在量詞命題：含有存在量詞的命題，叫作存在量詞命題.符號語言：存在量詞命題“存在M中的元素x，使p（x）成立”可用符號簡記為x∈M，p（x）.注意：（1）常見的存在量詞還有“有些”“有一個”“對某個”“對某些”“有的”等.（2）一個存在量詞命題中也可以包含多個變量，例如：存在a∈R,b∈R，使.（3）含有存在量詞“存在”“有一個”等命題，或者雖沒有寫出存在量詞，但其意義具備“存在”“有一個”等特征的命題，都是存在量詞命題.例3.用符號“?”表示下列存在量詞命題（1）存在一個實數(shù)對（x，y），使2x＋3y＋3＜0成立（2）至少有一個整數(shù)x，使2x1＝0.（3）有些整數(shù)既能被2整除，又能被3整除.（4）某個四邊形不是平行四邊形.解析：（1）?（x，y）∈｛（x，y）｜x∈R，y∈R｝，2x＋3y＋3＜0.（2）?x∈Z，2x1＝0.（3）?x∈Z，x既能被2整除，又能被3整除（4）?x∈｛x｜x是四邊形｝，x不是平行四邊形例4.判斷下列命題是全稱量詞命題還是存在量詞命題.（1）有一個實數(shù)a，a不能取倒數(shù).（2）所有不等式的解集A，都有A?R.（3）自然數(shù)的平方是正數(shù).解析：（1）含有存在量詞，所以命題（1）為存在量詞命題。（3）中“自然數(shù)的平方是整數(shù)”實質(zhì)是“任意一個自然數(shù)的平方是正數(shù)”，所以（2）和（3）中均含有全稱量詞，故為全稱量詞命題。重點3含有一個量詞命題的否定命題命題的否定結(jié)論?x∈M，p（x）?x∈M，全稱量詞命題的否定是存在量詞命題?x∈M，p（x）?x∈M，存在量詞命題的否定是全稱量詞命題注：通常，我們常用符號“”表示“p（x）不成立”.例5.寫出下列命題的否定（1）?x∈R，.（2）?x∈R，.解析：（1）命題的否定:?x∈R，.（2）命題的否定:?x∈R，.例6.寫出下列命題的否定，并判斷其真假.（1）p:每一個素數(shù)都是奇數(shù).（2）p:與同一平面所成的角相等的兩條直線平行.（3）p:有些實數(shù)的絕對值是正數(shù).（4）p:某些平行四邊形是菱形.解析：（1）由于全稱量詞“每一個”的否定為“存在一個”，因此，:存在一個素數(shù)不是奇數(shù)，是真命題.（2）是全稱量詞命題，省略了全稱量詞“任意”，即“任意兩條與同一平面所成的角相等的直線平行”，:存在兩條與同一平面所成的角相等的直線不平行，是真命題.（3）由于存在量詞“有些”的否定為“所有”，因此，:所有實數(shù)的絕對值都不是正數(shù)，是假命題.（4）由于存在量詞“某些”的否定為“每一個”，因此，:每一個平行四邊形都不是菱形，是假命題.補充習(xí)題利用全稱量詞和存在量詞命題求參數(shù)范圍例7.若“?x∈R，”是真命題，則實數(shù)a的取值范圍是___________.解析:若“?x∈R，”是真命題，則△＞0，即4＋4a＞0，解得a＞1.答案：｛a｜a＞1