人教版八年級(jí)數(shù)學(xué)期末押題卷03

人教版八年級(jí)數(shù)學(xué)期末押題卷03考試時(shí)間：120分鐘試卷滿分：120分測(cè)試范圍：八上全部?jī)?nèi)容一．選擇題（共10小題，滿分30分，每小題3分）1．（3分）2020年春季，全球發(fā)生了新型冠狀病毒疫情，病毒直徑約在100﹣300納米之間，我們知道，1納米＝10﹣7cm，用科學(xué)記數(shù)法表示直徑為150納米的病毒相當(dāng)于（）A．150×10﹣7cm B．15×10﹣6cm C．1.5×10﹣5cm D．1.5×107cm【分析】科學(xué)記數(shù)法的表示形式為a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n為整數(shù)．確定n的值時(shí)，要看把原數(shù)變成a時(shí)，小數(shù)點(diǎn)移動(dòng)了多少位，n的絕對(duì)值與小數(shù)點(diǎn)移動(dòng)的位數(shù)相同．當(dāng)原數(shù)絕對(duì)值≥10時(shí)，n是正整數(shù)；當(dāng)原數(shù)的絕對(duì)值＜1時(shí)，n是負(fù)整數(shù)．【解答】解：150納米＝150×10﹣7cm＝1.5×10﹣5cm，故選：C．【點(diǎn)評(píng)】此題考查科學(xué)記數(shù)法的表示方法．科學(xué)記數(shù)法的表示形式為a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n為整數(shù)，表示時(shí)關(guān)鍵要確定a的值以及n的值．2．（3分）第24屆冬奧會(huì)將于2022年2月4日﹣2月20日在北京和張家口舉辦．下列四個(gè)圖分別是四屆冬奧會(huì)圖標(biāo)中的一部分，其中是軸對(duì)稱圖形的為（）A． B． C． D．【分析】根據(jù)軸對(duì)稱圖形的定義，如果一個(gè)圖形沿一條直線折疊，直線兩旁的部分能夠互相重合，這個(gè)圖形叫做軸對(duì)稱圖形，分別判斷得出答案．【解答】解：A．不是軸對(duì)稱圖形，故此選項(xiàng)不合題意；B．不是軸對(duì)稱圖形，故此選項(xiàng)不合題意；C．是軸對(duì)稱圖形，故此選項(xiàng)符合題意；D．不是軸對(duì)稱圖形，故此選項(xiàng)不合題意；故選：C．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了軸對(duì)稱圖形，軸對(duì)稱圖形的關(guān)鍵是尋找對(duì)稱軸，圖形兩部分折疊后可重合．3．（3分）在下列長(zhǎng)度的四根木棒中，能與3cm，8cm長(zhǎng)的兩根木棒釘成一個(gè)三角形的是（）A．3cm B．5cm C．7cm D．12cm【分析】首先設(shè)第三根木棒長(zhǎng)為xcm，根據(jù)三角形的三邊關(guān)系定理可得8﹣3＜x＜8+3，計(jì)算出x的取值范圍，然后可確定答案．【解答】解：設(shè)第三根木棒長(zhǎng)為xcm，由題意得：8﹣3＜x＜8+3，∴5＜x＜11，∴C選項(xiàng)7cm符合題意，故選：C．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了能夠組成三角形三邊的條件：用兩條較短的線段相加，如果大于最長(zhǎng)的那條線段就能夠組成三角形．4．（3分）如圖所示，蓋房子時(shí)，在窗框未安裝好之前，木工師傅常常先在窗框上斜釘一根木條，使其窗框不變形，這樣做的數(shù)學(xué)依據(jù)是（）A．兩點(diǎn)確定一條直線 B．兩點(diǎn)之間線段最短 C．三角形的穩(wěn)定性 D．垂線段最短【分析】用木條固定矩形門框，即是組成三角形，故可用三角形的穩(wěn)定性解釋．【解答】解：加上木條后，原不穩(wěn)定的四邊形中具有了穩(wěn)定的三角形，故這種做法根據(jù)的是三角形的穩(wěn)定性．故選：C．【點(diǎn)評(píng)】本題考查三角形穩(wěn)定性的實(shí)際應(yīng)用．三角形的穩(wěn)定性在實(shí)際生活中有著廣泛的應(yīng)用，如鋼架橋、房屋架梁等，因此要使一些圖形具有穩(wěn)定的結(jié)構(gòu)，往往通過連接輔助線轉(zhuǎn)化為三角形而獲得．5．（3分）下列各式中最簡(jiǎn)分式是（）A． B． C． D．【分析】一個(gè)分式的分子與分母沒有公因式時(shí)，叫最簡(jiǎn)分式，據(jù)此求解可得．【解答】解：A、，不是最簡(jiǎn)分式；B、是最簡(jiǎn)分式；C、，不是最簡(jiǎn)分式；D、，不是最簡(jiǎn)分式；故選：B．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查最簡(jiǎn)分式，解題的關(guān)鍵是掌握一個(gè)分式的分子與分母沒有公因式時(shí)，叫最簡(jiǎn)分式．6．（3分）下列計(jì)算正確的是（）A．x2+x3＝x5 B．2x3﹣x3＝1 C．x3?x4＝x7 D．（﹣2xy2）3＝﹣6x3y6【分析】分別根據(jù)合并同類項(xiàng)法則，同底數(shù)冪的乘法法則、積的乘方與冪的乘方運(yùn)算法則逐一判斷即可．【解答】解：A．x2+x3，不是同類項(xiàng)，不能合并，故本選項(xiàng)不合題意；B.2x3﹣x3＝x3，故本選項(xiàng)不合題意；C．x3?x4＝x7，故本選項(xiàng)符合題意；D．（﹣2xy2）3＝﹣8x3y6，故本選項(xiàng)不合題意；故選：C．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了合并同類項(xiàng)法則，同底數(shù)冪的乘法法則、積的乘方與冪的乘方運(yùn)算，掌握冪的運(yùn)算法則是解答本題的關(guān)鍵．7．（3分）若a＝0.32，b＝﹣32，c＝（﹣3）0，那么a、b、c三數(shù)的大小為（）A．a(chǎn)＞c＞b B．c＞a＞b C．a(chǎn)＞b＞c D．c＞b＞a【分析】先化簡(jiǎn)各式，然后再進(jìn)行比較，即可解答．【解答】解：∵a＝0.32＝0.09，b＝﹣32＝﹣9，c＝（﹣3）0＝1，∴1＞0.09＞﹣9，∴c＞a＞b，故選：B．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了零指數(shù)冪，有理數(shù)的乘方，有理數(shù)大小比較，準(zhǔn)確熟練地進(jìn)行計(jì)算是解題的關(guān)鍵．8．（3分）在△ABC中，作出AC邊上的高，正確的是（）A．① B．② C．③ D．④【分析】根據(jù)三角形的高的定義對(duì)各個(gè)圖形觀察后解答即可．【解答】解：根據(jù)三角形高線的定義，AC邊上的高是過點(diǎn)B向AC作垂線垂足為D，縱觀各圖形，①、②、③都不符合高線的定義，④符合高線的定義．故選：D．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了三角形的高線的定義：從三角形的一個(gè)頂點(diǎn)向它的對(duì)邊作垂線，垂足與頂點(diǎn)之間的線段叫做三角形的高．熟練掌握概念是解題的關(guān)鍵．9．（3分）等腰三角形的一個(gè)外角為70°，則它的底角是（）A．55°或70° B．55° C．35°或55° D．35°【分析】本題可先求出與70°角相鄰的三角形的內(nèi)角度數(shù)，然后分兩種情況求解即可．【解答】解：∵等腰三角形的一個(gè)外角為70°，∴與它相鄰的三角形的內(nèi)角為110°；①當(dāng)110°角為等腰三角形的底角時(shí)，兩底角和＝220°＞180°，不合題意，舍去；②當(dāng)110°角為等腰三角形的頂角時(shí)，底角＝（180°﹣110°）÷2＝35°．因此等腰三角形的底角為35°．故選：D．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了三角形的內(nèi)角和外角之間的關(guān)系以及等腰三角形的性質(zhì)．求角的度數(shù)常常要用到“三角形的內(nèi)角和是180°這一隱含的條件．10．（3分）在平面上給出七點(diǎn)A，B，C，D，E，F(xiàn)，G，聯(lián)結(jié)這些點(diǎn)形成七個(gè)角．在圖（a）中，這七點(diǎn)固定，且令∠C+∠D+∠E+∠F+∠G＝α，在圖（b），（c）中，A，B，C，G四點(diǎn)固定，D，E，E變動(dòng)，此時(shí)，令∠C+∠D+∠E+∠F+∠G＝β，則下述結(jié)論中正確的是（）A．α≥β B．α＝β C．α＜β D．α比β有時(shí)大有時(shí)小 E．無法確定【分析】根據(jù)多邊形內(nèi)角和的計(jì)算方法分別求出各個(gè)圖形中的α、β，再比較大小即可．【解答】解：如圖a，連接BE、AF，∵四邊形BCDE的內(nèi)角和為360°，∴∠BEF+∠ABE+∠DEF+∠ABC+∠C+∠D＝360°，又∵∠BEF+∠ABE＝∠BAF+∠AFE，而∠GAF+∠GFA+∠G＝180°，∴∠ABC+∠C+∠D+∠GAB+∠DEF+∠EFG+∠G＝360°+180°＝540°，即α＝540°，如圖b，連接BE，∵五邊形ABEFG的內(nèi)角和為（5﹣2）×180°＝540°，∴∠A+∠ABC+∠CBE+∠BED+∠DEF+∠F+∠G＝540°，又∵∠CBE+∠BED＝∠C+∠D，∴∠A+∠ABC+∠C+∠D+∠DEF+∠F+∠G＝540°，即β＝540°，如圖c，連接AE，由圖b可得，∠GAB+∠B+∠C+∠D+∠DEF+∠F+∠G＝540°，即β＝540°，∴α＝β，故選：B．【點(diǎn)評(píng)】本題考查多邊形的內(nèi)角和，掌握多邊形內(nèi)角和的計(jì)算方法是正確解答的前提．二．填空題（共5小題，滿分15分，每小題3分）11．（3分）小明在計(jì)算多邊形內(nèi)角和時(shí)，把其中一個(gè)內(nèi)角多加了一次，得到內(nèi)角和為500o，則多加的這個(gè)內(nèi)角的大小為140°．【分析】首先設(shè)多邊形的邊數(shù)為n，多加的內(nèi)角度數(shù)為α，則可得方程（n﹣2）?180°＝500°﹣α，由于多邊形內(nèi)角和應(yīng)是180°的倍數(shù)與500°＝2×180°+140°，即可求得答案．【解答】解：設(shè)多邊形的邊數(shù)為n，多加的內(nèi)角度數(shù)為α，則（n﹣2）?180°＝500°﹣α，∵500°＝2×180°+140°，多邊形內(nèi)角和應(yīng)是180°的倍數(shù)，∴同學(xué)多加的一個(gè)內(nèi)角為140°．故答案為：140°．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了多邊形的內(nèi)角和公式，根據(jù)多邊形的內(nèi)角和公式判斷出多邊形的內(nèi)角和公式是180°的倍數(shù)是解題的關(guān)鍵．12．（3分）若分式的值為零，則m，n滿足的條件是m＝n且m、n均不為零．【分析】分式值為零的條件是分子等于零且分母不等于零．【解答】解：∵分式的值為零，∴m﹣n＝0且m+n≠0．解得：m＝n且m、n均不為零．故答案為：m＝n且m、n均不為零．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查的是分式值為零的條件，熟練掌握分式值為零的條件是解題的關(guān)鍵．13．（3分）若2x+y＝4，x﹣＝1，則4x2﹣y2＝8．【分析】利用平方差公式分解因式，進(jìn)而把已知代入求出答案．【解答】解：∵x﹣＝1，∴2x﹣y＝2，則4x2﹣y2＝（2x+y）（2x﹣y）＝4×2＝8．故答案為：8．【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查了公式法分解因式，正確應(yīng)用公式是解題關(guān)鍵．14．（3分）如圖，∠1＝∠2，要使△ABC≌△ADC，還需添加條件：AB＝AC．（填寫一個(gè)你認(rèn)為正確的即可）【分析】根據(jù)題目中條件和圖形，可以得到∠1＝∠2，AC＝AC，然后即可得到使得△ABC≌△ADC需要添加的條件，本題得以解決．【解答】解：由已知可得，∠1＝∠2，AC＝AC，∴若添加條件AB＝AC，則△ABC≌△ADC（SAS）；若添加條件∠ACB＝∠ACD，則△ABC≌△ADC（ASA）；若添加條件∠ABC＝∠ADC，則△ABC≌△ADC（AAS）；故答案為：AB＝AC．【點(diǎn)評(píng)】本題考查全等三角形的判定，解答本題的關(guān)鍵是明確題意，利用數(shù)形結(jié)合的思想解答．15．（3分）已知△ABC與△A′B′C′關(guān)于直線L對(duì)稱，∠A＝60°，∠B′＝50°，則∠C＝70°．【分析】根據(jù)成軸對(duì)稱的兩個(gè)圖形全等求得未知角即可．【解答】解：∵△ABC與△A′B′C′關(guān)于直線l對(duì)稱，∴△ABC≌△A′B′C′，∴∠B＝∠B′＝50°，∵∠A＝60°，∴∠C＝180°﹣∠B﹣∠A＝180°﹣50°﹣60°＝70°，故答案為：70°．【點(diǎn)評(píng)】本題考查軸對(duì)稱的性質(zhì)，熟練掌握軸對(duì)稱的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．三．解答題（共3小題，滿分24分，每小題8分）16．（8分）計(jì)算題：（1）（﹣2m﹣1）（3m﹣2）．（2）（4a3b﹣6a2b2+12ab3）÷2ab．【分析】（1）利用多項(xiàng)式的乘法進(jìn)行計(jì)算即可；（2）利用多項(xiàng)式除以單項(xiàng)式的除法運(yùn)算法則進(jìn)行運(yùn)算即可．【解答】解：（1）原式＝﹣6m2+4m﹣3m+2＝﹣6m2+m+2；（2）原式＝4a3b÷2ab﹣6a2b2÷2ab+12ab3÷2ab＝2a2﹣3ab+6b2．【點(diǎn)評(píng)】考查了多項(xiàng)式的除法及乘法的運(yùn)算，解題的關(guān)鍵是了解有關(guān)運(yùn)算方法并正確的運(yùn)算，難度不大．17．（8分）化簡(jiǎn)求值：（﹣）÷；其中a2﹣a﹣1＝0．【分析】先把括號(hào)內(nèi)通分和除法運(yùn)算化為乘法運(yùn)算，再把分子分母因式分解后約分得到原式＝，然后把a(bǔ)2＝a+1代入計(jì)算即可．【解答】解：原式＝?＝?＝，∵a2﹣a﹣1＝0．∴a2＝a+1，∴原式＝＝1．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了分式的化簡(jiǎn)求值：先把分式化簡(jiǎn)后，再把分式中未知數(shù)對(duì)應(yīng)的值代入求出分式的值．在化簡(jiǎn)的過程中要注意運(yùn)算順序和分式的化簡(jiǎn)．化簡(jiǎn)的最后結(jié)果分子、分母要進(jìn)行約分，注意運(yùn)算的結(jié)果要化成最簡(jiǎn)分式或整式．18．（8分）如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，點(diǎn)O（0，0），A（﹣1，2），B（2，1）．（1）在圖中畫出△AOB關(guān)于y軸對(duì)稱的△A1OB1，并直接寫出點(diǎn)A1和點(diǎn)B1的坐標(biāo)；（不寫畫法，保留畫圖痕跡）（2）在x軸上畫出點(diǎn)P，使得PA+PB的值最?。?）求△AOB的面積．【分析】（1）利用關(guān)于y軸對(duì)稱的點(diǎn)的坐標(biāo)特征寫出點(diǎn)A1和點(diǎn)B1的坐標(biāo)，然后描點(diǎn)即可；（2）先作A點(diǎn)關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)A′，然后連接BA′交x軸于P點(diǎn)，由于PA＝PA′，則PA+PB＝PA′+PB＝BA′，所以利用兩點(diǎn)之間線段最短可判斷P點(diǎn)滿足條件；（3）用一個(gè)矩形的面積分別減去三個(gè)直角三角形的面積去計(jì)算△AOB的面積．【解答】解：（1）如圖，△A1OB1為所作，A1（1，2），B1（﹣2，1）；（2）如圖，點(diǎn)P為所作；（3）△AOB的面積＝3×2﹣×2×1﹣×2×﹣×3×1＝2.5．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了作圖﹣軸對(duì)稱變換：幾何圖形都可看作是由點(diǎn)組成，我們?cè)诋嬕粋€(gè)圖形的軸對(duì)稱圖形時(shí)，也是先從確定一些特殊的對(duì)稱點(diǎn)開始的．也考查了最短路徑問題．四．解答題（共3小題，滿分27分，每小題9分）19．（9分）對(duì)于一個(gè)平面圖形，通過兩種不同的方法計(jì)算它的面積，可以得到一個(gè)關(guān)于整式乘法的數(shù)學(xué)等式，例如圖1可以得到完全平方公式（a+b）2＝a2+2ab+b2，請(qǐng)利用這一方法解決下列問題：（1）觀察圖2，寫出所表示的數(shù)學(xué)等式：（a+2b）（a+b）＝a2+3ab+2b2．（2）觀察圖3，寫出所表示的數(shù)學(xué)等式：（a+b+c）2＝a2+b2+c2+2ab+2bc+2ac．（3）已知（2）的等式中的三個(gè)字母可以取任何數(shù)，若a＝7x﹣5，b＝﹣4x+2，c＝﹣3x+4，且a2+b2+c2＝37．請(qǐng)利用（2）中的結(jié)論求ab+bc+ac的值．【分析】（1）根據(jù)大矩形的面積＝各矩形的面積之和求解即可；（2）根據(jù)正方形的面積＝各矩形的面積之和求解即可；（3）先求出（a+b+c）2的值，再根據(jù)（2）中關(guān)系式求得結(jié)果．【解答】解：（1）大矩形的面積＝（a+2b）（a+b），各部分面積和＝a2+3ab+2b2，∴（a+2b）（a+b）＝a2+3ab+2b2，故答案為：（a+2b）（a+b）；a2+3ab+2b2；（2）正方形的面積可表示為（a+b+c）2；各個(gè)矩形的面積之和＝a2+b2+c2+2ab+2bc+2ca，∴（a+b+c）2＝a2+b2+c2+2ab+2bc+2ca．故答案為：（a+b+c）2；a2+b2+c2+2ab+2bc+2ac；（3）由（2）得（a+b+c）2＝a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc．∵（a+b+c）2＝（7x﹣5﹣4x+2﹣3x+4）2＝1，∴1＝a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc，∵a2+b2+c2＝37，∴1＝37+2（ab+bc+ac），∴2（ab+bc+ac）＝﹣36，∴ab+bc+ac＝﹣18．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了因式分解的應(yīng)用，完全平方公式的幾何背景，以及完全平方公式在幾何圖形相關(guān)計(jì)算中的應(yīng)用，本題具有一定的綜合性，難度中等略大．20．（9分）如圖，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝54°，AD平分∠CAB，AD交BC于點(diǎn)D．（1）求作AB的垂直平分線MN；（要求：尺規(guī)作圖，保留作圖痕跡，不寫作法）（2）在（1）的條件下，若MN交AD于點(diǎn)E，連接BE．求證：DE＝DB．【分析】（1）根據(jù)線段垂直平分線的作法即可作AB的垂直平分線MN；（2）在（1）的條件下，根據(jù)垂直平分線的性質(zhì)可得EA＝EB，從而證明∠BED＝∠EBD，進(jìn)而可得DE＝DB．【解答】解：（1）如圖，MN即為所求；（2）證明：∵∠C＝90°，∠ABC＝54°，∴∠BAC＝180°﹣∠C﹣∠ABC＝180°﹣90°﹣54°＝36°，∵AD是△ABC的角平分線，∴∠BAD＝BAC＝36°＝18°，∵M(jìn)N是AB的垂直平分線，∴AE＝BE，∴∠ABE＝∠BAE＝18°，∴∠EBD＝∠ABC﹣∠ABE＝54°﹣18°＝36°，又∵∠BED是△ABE的一個(gè)外角，∴∠BED＝∠BAD+∠EBA＝18°+18°＝36°，∴∠BED＝∠EBD，∴DE＝DB．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了作圖﹣基本作圖、線段垂直平分線的性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)，解決本題的關(guān)鍵是掌握線段垂直平分線的準(zhǔn)確畫法．21．（9分）為了響應(yīng)打贏“藍(lán)天保衛(wèi)戰(zhàn)”的號(hào)召，黃老師上下班的交通方式由駕車改為騎自行車，黃老師家距離學(xué)校的路程是9千米，在相同的路線上，駕車的平均速度是騎自行車的平均速度的3倍，所以黃老師每天上班要比開車早出發(fā)20分鐘，才能按原駕車的時(shí)間到達(dá)學(xué)校．（1）求黃老師駕車的平均速度；（2）據(jù)測(cè)算，黃老師的汽車在上下班行駛過程中平均每小時(shí)碳排放量約為2.4千克，按這樣計(jì)算，求黃老師一天（按一個(gè)往返計(jì)算）可以減少的碳排放量．【分析】（1）可設(shè)黃老師騎自行車的平均速度為x千米/小時(shí)，根據(jù)時(shí)間的等量關(guān)系列出方程即可求解；（2）先根據(jù)黃老師開車的平均速度求出與離學(xué)校的距離求出一天開車的時(shí)間，即可求出減少碳排放量多少千克．【解答】解：（1）設(shè)黃老師騎自行車的平均速度為x千米/小時(shí)，則駕車的平均速度是3x千米/小時(shí)，依題意有：﹣＝，解得x＝18，經(jīng)檢驗(yàn)，x＝18是原方程的解．3x＝54，答：黃老師駕車的平均速度是54千米/小時(shí)；（2）由（1）可知黃老師開車的平均速度是54千米/小時(shí)，×2×2.4＝0.8（千克）．答：黃老師一天可以減少的碳排放量0.8千克．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了分式方程的應(yīng)用，根據(jù)時(shí)間的等量關(guān)系列出方程是解決問題的關(guān)鍵．五．解答題（共2小題，滿分24分，每小題12分）22．（12分）已知△ABC中，AB＝AC，∠A＝90°，直線l經(jīng)過點(diǎn)A，作BD⊥l于D，CE⊥l于E．（1）當(dāng)直線l在∠BAC外部時(shí)（圖（a）），求證：BD+CE＝DE；（2）當(dāng)直線l在∠BAC內(nèi)部時(shí)（圖（b）），猜想線段BD，CE與DE之間又有怎樣的關(guān)系．證明你的結(jié)論；（3）在（2）的條件下，連接BE，若BD＝5，CE＝3，求四邊形ABEC的面積．【分析】（1）由平行線的判定與性質(zhì)可得∠ABD＝∠CAE．再根據(jù)全等三角形的判定與性質(zhì)可得結(jié)論；（2）由平行線的判定與性質(zhì)可得∠ABD＝∠CAE．再根據(jù)全等三角形的判定與性質(zhì)可得結(jié)論；（3）連接BE．根據(jù)三角形的面積之間關(guān)系可得答案．【解答】（1）證明：∵CE⊥l，BD⊥l，∴∠BDA＝∠CEA＝90°，∴∠ABD+∠DAB＝90°．∵∠BAC＝90°，∴∠DAB+∠CAE＝90°，∴∠CAE＝∠ABD．在△ABD和△CAE中，，∴△ABD≌△CAE（AAS），∴BD＝AE，AD＝CE．∵AD+AE＝DE，∴BD+CE＝DE．（2）解：BD﹣CE＝DE．理由如下：∵CE⊥l，BD⊥l，∴∠BDA＝∠CEA＝90°，∴∠ABD+∠DAB＝90°．∵∠BAC＝90°，∴∠DAB+∠CAE＝90°，∴∠CAE＝∠ABD．在△ABD和△CAE中，，∴△ABD≌△CAE（AAS），∴BD＝AE，AD＝CE．∵DE＝AE﹣AD，∴BD﹣CE＝DE．（3）解：連接BE．由（2）知，AE＝BD＝5．∵CE＝3，BD＝5，∴S四邊形ABEC＝S△ABE+S△AEC＝AE?BD+AE?EC＝20．【點(diǎn)評(píng)】本題側(cè)重考查全等三角形的判定與性質(zhì)、直角三角形的性質(zhì)等知識(shí)，正確作出輔助線是解決此題的關(guān)鍵．23．（12分）問題提出：（1）如圖1，已知Rt△ACB和Rt△ADB，∠ACB＝90°，∠ADB＝90°，其中CA＝CB，∠DAB＝30°，AB＝4，求△ACB和△ADB的面積分別是多少？問題探究：濱河學(xué)校初二年級(jí)小張是一名特別愛好專研數(shù)學(xué)的學(xué)生，他在數(shù)學(xué)老師的幫助下發(fā)現(xiàn)：對(duì)于任意三角形，其中一個(gè)內(nèi)角和其對(duì)邊都為定值時(shí)，當(dāng)另兩邊相等時(shí)，該三角形面積達(dá)到最大．例如，如圖2，在△ABC中，已知三角形內(nèi)角B和其對(duì)邊AC都為定值，當(dāng)BA＝BC時(shí)，△ACB的面積達(dá)到最大．請(qǐng)利用小張同學(xué)的發(fā)現(xiàn)完成以下問題．（2）如圖3，在△ACB中，∠BAC＝120°，點(diǎn)D為BC的中點(diǎn)，AD＝4，當(dāng)△ABD面積最大時(shí)，求線段AB的值．問題解決：（3）如圖4，已知等邊△ACB，∠ADB＝30°，CD＝4，求四邊形ADBC的面積的最小值．【分析】（1）由等腰直角三角形的性質(zhì)得CA＝CB＝2，再由含130°角的直角三角形的性質(zhì)得BD＝AB＝2，然后由勾股定理得AD＝6，最后由三角形面積公式求解即可；（2）延長(zhǎng)AD到M，使AD＝MD，連接BM，證△ACD≌△MBD（SAS），得∠MBD＝∠ACB，則∠ABM＝60°，當(dāng)△ABD面積最大時(shí)，△MBD面積最大，則△ABM面積最大，當(dāng)AB＝BM時(shí)，△ABD面積最大，由等邊三角形的性質(zhì)即可求解；（3）將△CBD繞點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°，得到△CAP，連接CP，證△CDP是等邊三角形，得PD＝CD＝4，求出∠PAD＝90°，則AP＝AD時(shí)，△PAD面積最大，當(dāng)△PAD面積最大時(shí)，四邊形ADBC的面積的最小值，即可解決問題．【解答】解：（1）∵∠ACB＝90°，CA＝CB，∴Rt△ACB是等腰直角三角形，∴CA＝CB＝AB＝×4＝2