2024年華東師范大學(xué)第二附中自主招生數(shù)學(xué)試卷真題（含答案詳解）

試卷第=page11頁(yè)，共=sectionpages33頁(yè)試卷第=page11頁(yè)，共=sectionpages33頁(yè)華東東師大二附中初三年級(jí)自招考試數(shù)學(xué)試題

60分鐘一、填空題1．為不相等的實(shí)數(shù)，滿足，且，則．2．如圖，有一系列正方形，則的坐標(biāo)為．3．有11個(gè)女孩，個(gè)男孩，每個(gè)孩子摘得相同數(shù)目的桃子，共摘個(gè)桃子，則男孩有個(gè)．4．對(duì)一切實(shí)數(shù)，有成立，則的最大值為．5．設(shè)二次函數(shù)與軸的交點(diǎn)為、，已知、到原點(diǎn)的距離均小于1，且、、為正整數(shù)，則的最小值為．6．一個(gè)邊形的一個(gè)外角為，與這個(gè)外角不相鄰的所有內(nèi)角和為，則與的關(guān)系是．7．已知在中，無(wú)論取任何實(shí)數(shù)，均滿足，則的形狀為．8．如圖，矩形ABCD中，AB=2，BC=3，點(diǎn)E為AD上一點(diǎn)，且∠ABE=30°，將△ABE沿BE翻折，得到△A′BE，連接CA′并延長(zhǎng)，與AD相交于點(diǎn)F，則DF的長(zhǎng)為．二、解答題9．已知拋物線，為常數(shù)，)的頂點(diǎn)為，與軸相交于，兩點(diǎn)(點(diǎn)在點(diǎn)的左側(cè))，與軸相交于點(diǎn)，拋物線上的點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，且，過(guò)點(diǎn)作，垂足為．(1)若．①求點(diǎn)和點(diǎn)的坐標(biāo)；②當(dāng)時(shí)，求點(diǎn)的坐標(biāo)；(2)若點(diǎn)的坐標(biāo)為，且，當(dāng)時(shí)，求點(diǎn)的坐標(biāo)．10．如圖，在△ABC中，∠C＝90°，∠ABC的平分線交AC于點(diǎn)E，過(guò)點(diǎn)E作BE的垂線交AB于點(diǎn)F，⊙O是△BEF的外接圓．(1)求證：AC是⊙O的切線；(2)過(guò)點(diǎn)E作EH⊥AB，垂足為H，求證：CD＝HF；(3)若CD＝1，EH＝3，求BF及AF長(zhǎng)．11．已知為正整數(shù)，且滿足．(1)對(duì)于所有滿足條件的，求的最大值；(2)若滿足：恰有個(gè)使不等式成立，則稱為“階好數(shù)”，所有“階好數(shù)”的個(gè)數(shù)記為，求函數(shù)的解析式．答案第=page11頁(yè)，共=sectionpages22頁(yè)答案第=page11頁(yè)，共=sectionpages22頁(yè)1．4【分析】本題考查了二次函數(shù)的性質(zhì)，先根據(jù)求出，進(jìn)而可求出的值．【詳解】解：∵，∴與關(guān)于拋物線的對(duì)稱軸對(duì)稱．∵拋物線的對(duì)稱軸是直線，∴，∴，∴．故答案為：4．2．【分析】本題考查了圖形的坐標(biāo)規(guī)律變化類問(wèn)題，根據(jù)圖形可得，，，，即得圓心的序號(hào)為偶數(shù)時(shí)，橫坐標(biāo)為，縱坐標(biāo)為，據(jù)此即可求解，根據(jù)圖形找到變化規(guī)律是解題的關(guān)鍵．【詳解】解：由圖得到，，，，，即圓心的序號(hào)為偶數(shù)時(shí)，橫坐標(biāo)為，縱坐標(biāo)為，∴的坐標(biāo)為，故答案為：．3．19或4【分析】本題主要考查因式分解的應(yīng)用．根據(jù)題意，先寫(xiě)出的形式，再根據(jù)30能被整除，即可得出答案．【詳解】解：，能被整除，能被整除，或，或，答：有19個(gè)或4個(gè)男孩．故答案為：19或4．4．【分析】本題主要考查了二次函數(shù)．熟練掌握二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，建立函數(shù)模型，求出函數(shù)的最大值和最小值，是解決問(wèn)題的關(guān)鍵．設(shè)，則，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)或8時(shí)，，得到，根據(jù)，即得k的最大值為．【詳解】設(shè)，則，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)或8時(shí)，，∵，∴，由題意，∴k的最大值為．故答案為：．5．11【分析】本題考查了拋物線與軸的交點(diǎn)．掌握拋物線的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．先根據(jù)題意得到方程的兩根都在到0之間，進(jìn)而得到，，且，再由不等式的基本性質(zhì)可求出的取值范圍，再根據(jù)、、之間的關(guān)系即可求解．【詳解】解：∵、、為正整數(shù)，∴，∴拋物線對(duì)稱軸在y軸左邊，且與y軸交于正半軸，∵二次函數(shù)與軸的交點(diǎn)為、，已知、到原點(diǎn)的距離均小于1，∴方程的兩根都在到0之間，∴當(dāng)時(shí)，，則，一元二次方程的兩根，且①，可見(jiàn)②，且，∴，可得③，由③得，，故，又∵，分別取、、的最小整數(shù)5、5、1．經(jīng)檢驗(yàn)，符合題意，所以最?。蚀鸢笧椋?1．6．【分析】此題考查了多邊形的內(nèi)角與外角，熟記多邊形的內(nèi)角和公式是解題的關(guān)鍵．根據(jù)多邊形的內(nèi)角和公式求解即可．【詳解】解：根據(jù)題意得，，解得，故答案為：．7．直角三角形【分析】本題主要考查了平面向量，三角形的加法，垂線段最短，利用幾何法構(gòu)造是解題的關(guān)鍵．作，恒成立，則即可．【詳解】解：作，如圖：∴恒成立，當(dāng)時(shí)，取得最小值，∴為直角三角形．故答案為：直角三角形．8．6﹣2【分析】如圖作A′H⊥BC于H．由△CDF∽△A′HC，可得，延長(zhǎng)構(gòu)建方程即可解決問(wèn)題.【詳解】如圖作A′H⊥BC于H．∵∠ABC＝90°，∠ABE＝∠EBA′＝30°，∴∠A′BH＝30°，∴A′H＝BA′＝1，BH＝3A′H＝3，∴CH＝3?3，∵△CDF∽△A′HC，∴，∴，∴DF＝6?3故答案為6?3．【點(diǎn)睛】：本題考查翻折變換、矩形的性質(zhì)、勾股定理、直角三角形30度角性質(zhì)、相似三角形的判定和性質(zhì)等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是學(xué)會(huì)添加常用輔助線，構(gòu)造直角三角形解決問(wèn)題，屬于中考?？碱}型．9．(1)①點(diǎn)的坐標(biāo)為；點(diǎn)的坐標(biāo)為；②點(diǎn)的坐標(biāo)為(2)【分析】（1）①待定系數(shù)法求解析式，然后化為頂點(diǎn)式，即可求得的坐標(biāo)，令，解方程，即可求得的坐標(biāo)；②過(guò)點(diǎn)作軸于點(diǎn)，與直線相交于點(diǎn)．得出．可得中，．中，．設(shè)點(diǎn)，點(diǎn)．根據(jù)，解方程即可求解；（2）根據(jù)題意得出拋物線的解析式為．得點(diǎn)，其中．則頂點(diǎn)的坐標(biāo)為，對(duì)稱軸為直線．過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)，則，點(diǎn)．由，得．于是．得出(舍)．，同(Ⅰ)，過(guò)點(diǎn)作軸于點(diǎn)，與直線相交于點(diǎn)，則點(diǎn)，點(diǎn)，點(diǎn)．根據(jù)已知條件式，建立方程，解方程即可求解．【詳解】（1）解：①由，得拋物線的解析式為．∵，∴點(diǎn)的坐標(biāo)為．當(dāng)時(shí)，．解得．又點(diǎn)在點(diǎn)的左側(cè)，∴點(diǎn)的坐標(biāo)為．②過(guò)點(diǎn)作軸于點(diǎn)，與直線相交于點(diǎn)．

∵點(diǎn)，點(diǎn)，∴．可得中，．∴中，．∵拋物線上的點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，其中，∴設(shè)點(diǎn)，點(diǎn)．得．即點(diǎn)．∴．中，可得．∴．又，得．即．解得(舍)．∴點(diǎn)的坐標(biāo)為．（2）∵點(diǎn)在拋物線上，其中，∴．得．∴拋物線的解析式為．得點(diǎn)，其中．∵，∴頂點(diǎn)的坐標(biāo)為，對(duì)稱軸為直線．過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)，則，點(diǎn)．由，得．于是．∴．即．解得(舍)．同(Ⅰ)，過(guò)點(diǎn)作軸于點(diǎn)，與直線相交于點(diǎn)，則點(diǎn)，點(diǎn)，點(diǎn)．∵，∴．即．解得(舍)．∴點(diǎn)的坐標(biāo)為．

【點(diǎn)睛】本題考查了二次函數(shù)的綜合運(yùn)用，角度問(wèn)題，線段問(wèn)題，待定系數(shù)法求解析式，熟練掌握二次函數(shù)的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．10．（1）證明見(jiàn)解析；（2）證明見(jiàn)解析；（3）【分析】（1）連接OE，由于BE是角平分線，則有∠CBE=∠OBE；而OB=OE，就有∠OBE=∠OEB，等量代換有∠OEB=∠CBE，可得OE∥BC；又∠C=90°，所以∠AEO=90°，即AC是⊙O的切線；（2）連接DE，先根據(jù)AAS證明△CDE≌△HFE，再由全等三角形的對(duì)應(yīng)邊相等即可得出CD=HF；（3）由（2）中CD=HF，即可求出HF的值，先求OA和OF的長(zhǎng)度，再由AF＝OA-OF求出AF的值；【詳解】證明：（1）如圖，連接OE．∵BE平分∠ABC，∴∠CBE=∠OBE，∵OB=OE，∴∠OBE=∠OEB，∴∠OEB=∠CBE，∴OE∥BC，∴∠AEO=∠C=90°，∴AC是⊙O的切線；（2）如圖，連接DE．∵∠CBE=∠OBE，EC⊥BC于C，EH⊥AB于H，∴EC=EH．∵∠CDE+∠BDE=180°，∠HFE+∠BDE=180°，∴∠CDE=∠HFE．在△CDE與△HFE中，∴△CDE≌△HFE（AAS），∴CD=HF．（3）由（2）得，CD=HF．又CD=1∴HF＝1在Rt△HFE中，EF=＝∵EF⊥BE∴∠BEF=90°∴∠EHF=∠BEF=90°∵∠EFH=∠BFE∴△EHF∽△BEF∴，即∴BF=10∴,,∴在Rt△OHE中，,∴在Rt△EOA中，,∴∴∴.11．(1)(2)【分析】（1）由可得，且，再經(jīng)過(guò)枚舉法得到：當(dāng)時(shí)，存在符合條件的，再由，進(jìn)一步解答即可；（2）由為正整數(shù)，，可得，記，可得，可得只需要考慮所對(duì)應(yīng)的值即可，由，可得或，當(dāng)時(shí)，，再通過(guò)枚舉法可得，，再進(jìn)一步可得答案．【詳解】（1）解：，，，即，又由，得．當(dāng)時(shí)，，沒(méi)有符合條件的整數(shù)，當(dāng)時(shí)，，也沒(méi)有符合條件的整數(shù)．當(dāng)時(shí)，分別有：，，均不符合條件．當(dāng)時(shí)，，存在符合條件的．為符合條件的最小值．∵，∴當(dāng)時(shí)，取最大值，∴當(dāng)，時(shí)，的最大值為：；（2）解：∵為正整