八年級(jí)數(shù)學(xué)下冊 專題突破講練 借“數(shù)形結(jié)合思想”解題試題 （新版）青島版

1、學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精借“數(shù)形結(jié)合思想解題數(shù)形結(jié)合的經(jīng)典分類1. 利用函數(shù)圖象，尋找特殊圖形的構(gòu)成。（1）利用函數(shù)圖象，尋找等腰三角形的第三點(diǎn)坐標(biāo)。如：在平面直角坐標(biāo)系中,a(2，2），點(diǎn)p在x軸上，若apo是等腰在三角形，求坐標(biāo)？答案：(，0）,（，0）,(4，0），（2,0）.（2）利用函數(shù)圖象,構(gòu)造平行四邊行（或特殊平行四邊形）。如：函數(shù)y=x+與x軸y軸交于、兩點(diǎn)，在坐標(biāo)平面內(nèi)找一點(diǎn)，使、構(gòu)成平行四邊形，求坐標(biāo)。答案：（1，2），（-1,2）,(1，2)。2。 利用全等三角形及函數(shù)圖象解決問題。如圖所示，直線l:y=x+與軸負(fù)半軸、軸正半軸分別交于a、b兩點(diǎn).設(shè)q為ab延長線上一點(diǎn)

2、，作直線oq，過a、b兩點(diǎn)分別作amoq于m，bnoq于n，若am=4，bn=3,求mn的長。答案:7.3。 利用動(dòng)點(diǎn)及多函數(shù)交點(diǎn)坐標(biāo)解決與面積有關(guān)的問題。如圖，一次函數(shù)y=axb與正比例函數(shù)y=kx的圖象交于第三象限內(nèi)的點(diǎn)a,與y軸交于b（0，4），oab的面積為6，在y軸上是否存在一點(diǎn)e，使sabe=5，若存在，求e點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在,請說明理由.答案：（0，）,（0，）?？偨Y(jié)：綜合性問題涉及的內(nèi)容較多，解題根本是熟練掌握各知識(shí)點(diǎn)；以上所舉例子只是綜合性習(xí)題中的一小部分，往往要多個(gè)問題綜合到一起，難度較大.例題 如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，多邊形oabcde的頂點(diǎn)坐標(biāo)分別是o（0，0）,a（

3、0,6），b（4，6），c(4，4），d（6，4)，e（6，0).若直線l經(jīng)過點(diǎn)m（2，3），且將多邊形oabcde分割成面積相等的兩部分,則下列各點(diǎn)在直線l上的是（）a。 (4，3） b. （5,2) c. （6，2) d. （0，）解析：先延長bc交x軸于點(diǎn)f,連接ob,af,df,ce，df和ce相交于點(diǎn)n，由所給點(diǎn)的坐標(biāo)得出四邊形oabc，四邊形cdef都為矩形，并且點(diǎn)m（2，3）是矩形oabf對角線的交點(diǎn)，點(diǎn)n是矩形cdef的中心，得出直線l必過m和n點(diǎn)，再設(shè)直線l的解析式為y=kx+b，利用待定系數(shù)法即可求出直線l的函數(shù)表達(dá)式,然后把所給的點(diǎn)分別代入，即可求出答案。答案：如圖，延長

4、bc交x軸于點(diǎn)f，連接ob,af,df，ce，df和ce相交于點(diǎn)n，o（0，0)，a（0，6），b（4，6）,c(4，4）,d(6,4），e（6，0），四邊形oabf為矩形，四邊形cdef為矩形，點(diǎn)m（2，3）是矩形oabf對角線的交點(diǎn)，點(diǎn)m為矩形abfo的中心，直線l把矩形abfo分成面積相等的兩部分，同理可證：點(diǎn)n是矩形cdef的中心，點(diǎn)n（5，2），過點(diǎn)n（5,2）的直線把矩形cdef分成面積相等的兩部分,直線mn就是所求的直線l，設(shè)直線l的解析式為y=kx+b，把m（2,3）n（5，2)代入上式得:，解得：，所求直線l的函數(shù)表達(dá)式是：y=x+,當(dāng)x=4時(shí)，y=，則a不正確；當(dāng)x=5時(shí)，

5、y=2，則b正確;當(dāng)x=6時(shí)，y=，則c不正確；當(dāng)x=0時(shí)，y=，則d不正確;故選b。點(diǎn)撥:本題考查了一次函數(shù)的綜合,用到的知識(shí)點(diǎn)是矩形的性質(zhì)即過矩形對角線交點(diǎn)的直線平分矩形的面積和待定系數(shù)法求解析式，解題的關(guān)鍵是根據(jù)圖形作出輔助線，求證四邊形oabc和四邊形cdef都是矩形。 利用特殊圖形求解析式例題 如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，等腰直角abo的o點(diǎn)是坐標(biāo)原點(diǎn),a的坐標(biāo)是（4,0)，直角頂點(diǎn)b在第二象限，等腰直角bcd的c點(diǎn)在y軸上移動(dòng),我們發(fā)現(xiàn)直角頂點(diǎn)d點(diǎn)隨之在一條直線上移動(dòng),這條直線的解析式是（ ）a。 y=2x+1 b。 y=x+2 c。 y=3x2 d。 y=x+2解析:抓住兩個(gè)特殊位

6、置：當(dāng)bc與x軸平行時(shí)，求出d的坐標(biāo);c與原點(diǎn)重合時(shí)，d在y軸上，求出此時(shí)d的坐標(biāo)，設(shè)所求直線解析式為y=kx+b,將兩位置d坐標(biāo)代入得到關(guān)于k與b的方程組，求出方程組的解得到k與b的值，即可確定出所求直線解析式。答案：解：當(dāng)bc與x軸平行時(shí)，過b作bex軸，過d作dfx軸，交bc于點(diǎn)g，如圖1所示，等腰直角abo的o點(diǎn)是坐標(biāo)原點(diǎn)，a的坐標(biāo)是（4，0）,ao=4，bc=be=ae=eo=gf=oa=2，of=dg=bg=cg=bc=1，df=dg+gf=3，d坐標(biāo)為(1,3）；當(dāng)c與原點(diǎn)o重合時(shí),d在y軸上，此時(shí)od=be=2,即d(0,2）,設(shè)所求直線解析式為y=kx+b（k0），將兩點(diǎn)坐標(biāo)

7、代入得:，解得：。則這條直線解析式為y=x+2。故選d。點(diǎn)坐標(biāo)問題例題 （江東區(qū))如圖，矩形oabc的頂點(diǎn)b的坐標(biāo)為b（8,7)，動(dòng)點(diǎn)p從原點(diǎn)o出發(fā)，以每秒2個(gè)單位的速度沿折線oaab運(yùn)動(dòng)，到點(diǎn)b時(shí)停止，同時(shí)，動(dòng)點(diǎn)q從點(diǎn)c出發(fā)，以每秒1個(gè)單位的速度在線段co上運(yùn)動(dòng)，當(dāng)一個(gè)點(diǎn)停止時(shí),另一個(gè)點(diǎn)也隨之而停止.在運(yùn)動(dòng)過程中，當(dāng)線段pq恰好經(jīng)過點(diǎn)m（3,2)時(shí)，運(yùn)動(dòng)時(shí)間t的值是_。 。解析：設(shè)直線pq的方程為y=kx+b（k0).分類討論：當(dāng)點(diǎn)p在線段oa上和點(diǎn)p在線段ab上運(yùn)動(dòng)時(shí)兩種情況。把點(diǎn)p、q、m的坐標(biāo)分別代入函數(shù)解析式,通過方程組來求t的值。答案:解：設(shè)直線pq的方程為y=kx+b(k0)。矩

8、形oabc的頂點(diǎn)b的坐標(biāo)為b（8，7），oa=7，oc=8當(dāng)點(diǎn)p在線段oa上,即0t3。5時(shí)，如圖，p(0，2t）、q（8t，0）.直線pq經(jīng)過點(diǎn)m（3，2），。解得t=2;當(dāng)點(diǎn)p在線段ab上，即3。5t7時(shí)，如圖，p（2t-7，7）、q（8t，0）.直線pq經(jīng)過點(diǎn)m(3，2），。解得,t=5；綜上所述，t的值是2或5.故答案是：2或5。（答題時(shí)間：45分鐘）一、選擇題1. 如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，直線y=x與矩形abco的邊oc、bc分別交于點(diǎn)e、f，已知oa=3，oc=4，則cef的面積是（)a。 6 b。 3 c. 12 d. 2. 如圖，把rtabc放在平面直角坐標(biāo)系內(nèi)，其中cab=

9、90,bc=5,點(diǎn)a、b的坐標(biāo)分別為（1，0)、（4，0）,將abc沿x軸向右平移,當(dāng)點(diǎn)c落在直線y=2x6上時(shí),線段bc掃過的面積為（）a. 4 b。 8 c. 16 d. 8 3. 在平面直角坐標(biāo)系中，已知直線y=x+3與x軸、y軸分別交于a、b兩點(diǎn)，點(diǎn)c(0，n)是y軸正半軸上一點(diǎn).把坐標(biāo)平面沿直線ac折疊，使點(diǎn)b剛好落在x軸上，則點(diǎn)c的坐標(biāo)是（）a. （0，） b. （0，） c. （0，3） d。 (0，4)4。 如圖，一次函數(shù)y=x+3的圖象分別與x軸、y軸交于點(diǎn)a、b,以線段ab為邊在第一象限內(nèi)作等腰rtabc，bac=90。則過b、c兩點(diǎn)直線的解析式為（）a. y= x+3 b

10、. y= x+3 c。 y=x+3 d. y=x+3*5. 正方形a1b1c1o，a2b2c2c1，a3b3c3c2，按如圖所示的方式放置。點(diǎn)a1,a2，a3，和點(diǎn)c1，c2,c3,分別在直線y=kx+b（k0）和x軸上，已知點(diǎn)b1（1，1），b2(3，2），則bn的坐標(biāo)是（）a. （2n1，2n1） b. （2n1+1，2n1） c. （2n1,2n1) d. （2n1,n）二、填空題*6. 如圖，直線y=x+4與x軸、y軸分別交于a、b兩點(diǎn),點(diǎn)c在ob上,若將abc沿ac折疊，使點(diǎn)b恰好落在x軸上的點(diǎn)d處，則點(diǎn)c的坐標(biāo)是 .*7. 在平面直角坐標(biāo)系xoy中，已知點(diǎn)a（0,1），b(1,2）

11、，點(diǎn)p在x軸上運(yùn)動(dòng)，當(dāng)點(diǎn)p到a、b兩點(diǎn)距離之差的絕對值最大時(shí)，點(diǎn)p的坐標(biāo)是 。8. （鐵嶺）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，直線l經(jīng)過原點(diǎn)，且與y軸正半軸所夾的銳角為60，過點(diǎn)a（0,1）作y軸的垂線交l于點(diǎn)b，過點(diǎn)b作直線l的垂線交y軸于點(diǎn)a1，以a1b、ba為鄰邊作aba1c1；過點(diǎn)a1作y軸的垂線交直線l于點(diǎn)b1,過點(diǎn)b1作直線l的垂線交y軸于點(diǎn)a2，以a2b1、b1a1為鄰邊作a1b1a2c2；按此作法繼續(xù)下去，則cn的坐標(biāo)是 。*9. (攀枝花）如圖,已知直線l1：yx+與直線l2：y=2x+16相交于點(diǎn)c，直線l1、l2分別交x軸于a、b兩點(diǎn)，矩形defg的頂點(diǎn)d、e分別在l1、l2上,

12、頂點(diǎn)f、g都在x軸上，且點(diǎn)g與b點(diǎn)重合，那么s矩形defg:sabc= 。三、解答題10. 在平面直角坐標(biāo)系xoy中,a（2，m)，b（3,1）,c(6，0），且點(diǎn)a在函數(shù)y=x的圖象上，點(diǎn)p為x軸上一動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)oap與cbp的周長和最小時(shí),點(diǎn)p的坐標(biāo)為?*11。 圖所示，直線l：y=mx+5m與x軸負(fù)半軸、y軸正半軸分別交于a、b兩點(diǎn)。（1）當(dāng)oa=ob時(shí)，試確定直線l解析式；（2）在（1）的條件下，如圖所示，設(shè)q為ab延長線上一點(diǎn)，連接oq,過a、b兩點(diǎn)分別作amoq于m,bnoq于n,若am=4,mn=7，求bn的長;（3）當(dāng)m取不同的值時(shí)，點(diǎn)b在y軸正半軸上運(yùn)動(dòng)，分別以ob、ab為邊在第

13、一、第二象限作等腰直角obf和等腰直角abe，連ef交y軸于p點(diǎn)，問當(dāng)點(diǎn)b在y軸上運(yùn)動(dòng)時(shí)，試猜想pb的長是否為定值，若是，請求出其值；若不是，請求其取值范圍。*12. 直線ab：y=xb分別與x、y軸交于a（6，0）、b兩點(diǎn)，過點(diǎn)b的直線交x軸負(fù)半軸于c,且ob：oc=3：1。(1）求直線bc的解析式；（2）直線ef：y=2xk（k0）交ab于e，交bc于點(diǎn)f，交x軸于d,是否存在這樣的直線ef,使得sebd=sfbd？若存在，求出k的值；若不存在,說明理由;（3）如圖,p為a點(diǎn)右側(cè)x軸上一動(dòng)點(diǎn)，以p為直角頂點(diǎn)、bp為腰在第一象限內(nèi)作等腰直角三角形bpq，連接qa并延長交y軸于點(diǎn)k,當(dāng)p點(diǎn)運(yùn)動(dòng)

14、時(shí),k點(diǎn)的位置是否發(fā)生變化？如果不變請求出它的坐標(biāo)，如果變化，請說明理由。1。 b 解析：當(dāng)y=0時(shí),x=0,解得x=1,點(diǎn)e的坐標(biāo)是（1，0），即oe=1，oc=4，ec=ocoe=41=3，點(diǎn)f的橫坐標(biāo)是4，y=4=2，即cf=2，cef的面積=cecf=32=3。故選b。2。 c 解析:點(diǎn)a、b的坐標(biāo)分別為(1,0）、（4，0），ab=3,bc=5，cab=90，ac=4，點(diǎn)c的坐標(biāo)為（1,4），當(dāng)點(diǎn)c落在直線y=2x6上時(shí)，令y=4，得到4=2x6，解得x=5，平移的距離為51=4，線段bc掃過的面積為44=16,故選c。3. b 解析:過c作cdab于d，如圖，對于直線y=x+3，令

15、x=0，得y=3；令y=0，x=4，a（4，0),b(0,3),即oa=4,ob=3，ab=5，又坐標(biāo)平面沿直線ac折疊,使點(diǎn)b剛好落在x軸上，ac平分oab，cd=co=n，則bc=3n，da=oa=4，db=54=1,在rtbcd中，dc2+bd2=bc2，n2+12=（3n）2，解得n=,點(diǎn)c的坐標(biāo)為(0，）。故選b。4. a 解析：一次函數(shù)y=x+3中，令x=0得：y=3；令y=0，解得x=4，b的坐標(biāo)是（0，3)，a的坐標(biāo)是（4，0）.如圖,作cdx軸于點(diǎn)d。bac=90，oab+cad=90，又cad+acd=90，acd=bao.在abo與cad中，,abocad（aas），ob

16、=da=3，oa=dc=4，od=oa+ad=7.則c的坐標(biāo)是(7，4）。設(shè)直線bc的解析式是y=kx+b，根據(jù)題意得：，解得，直線bc的解析式是y=x+3。故選a。5。 c 解析：b1的坐標(biāo)為（1，1），點(diǎn)b2的坐標(biāo)為(3,2），正方形a1b1c1o1邊長為1,正方形a2b2c2c1邊長為2，a1的坐標(biāo)是（0，1），a2的坐標(biāo)是：（1，2)，設(shè)直線a1a2的解析式為：y=kx+b，解得：，直線a1a2的解析式是：y=x+1。點(diǎn)b2的坐標(biāo)為(3，2），點(diǎn)a3的坐標(biāo)為（3，4)，點(diǎn)b3的坐標(biāo)為(7，4），bn的橫坐標(biāo)是：2n1，縱坐標(biāo)是：2n1.bn的坐標(biāo)是（2n1,2n1）。故選a.6。 (0

17、，1。5） 解析：由題意得：a（3，0），b（0，4）;oa=3，ob=4。那么可得ab=5.易得abcadc，ad=ab=5，od=adoa=2。設(shè)oc為x.那么bc=cd=4x。那么x2+22=(4x)2，解得x=1.5，c（0，1.5)。7。 （1，0） 解析：由題意可知，當(dāng)點(diǎn)p到a、b兩點(diǎn)距離之差的絕對值最大時(shí)，點(diǎn)p在直線ab上。設(shè)直線ab的解析式為y=kx+b,a（0，1），b（1，2)，b1 k+b2， 解得。y=x+1,令y=0,得0=x+1，解得x=1。點(diǎn)p的坐標(biāo)是（1，0）。故答案為（1，0）。8. （4n1，4n) 解析:直線l經(jīng)過原點(diǎn),且與y軸正半軸所夾的銳角為60，易得

18、直線l的解析式為y=x.aby軸,點(diǎn)a（0,1），可設(shè)b點(diǎn)坐標(biāo)為(x，1），將b（x,1)代入y=x，得1=x,解得x=,b點(diǎn)坐標(biāo)為（,1），ab=.在rta1ab中，aa1b=9060=30，a1ab=90，aa1=ab=3，oa1=oa+aa1=1+3=4,aba1c1中，a1c1=ab=，c1點(diǎn)的坐標(biāo)為(，4）,即（40，41）;由x=4，解得x=4，b1點(diǎn)坐標(biāo)為（4,4）,a1b1=4。在rta2a1b1中，a1a2b1=30，a2a1b1=90，a1a2=a1b1=12，oa2=oa1+a1a2=4+12=16，a1b1a2c2中，a2c2=a1b1=4，c2點(diǎn)的坐標(biāo)為（4,16)，

19、即（41，42);同理,可得c3點(diǎn)的坐標(biāo)為（16，64),即（42，43）；以此類推，則cn的坐標(biāo)是（4n1，4n）.故答案為(4n1，4n）。9. 8:9 解析：由x+=0，得x=4.a點(diǎn)坐標(biāo)為（4，0)，由2x+16=0，得x=8b點(diǎn)坐標(biāo)為（8，0）,ab=8（4）=12。由,解得，c點(diǎn)的坐標(biāo)為（5，6),sabc= abyc=126=36。點(diǎn)d在l1上且xd=xb=8，yd=8+=8，d點(diǎn)坐標(biāo)為（8，8）,又點(diǎn)e在l2上且ye=yd=8，2xe+16=8,xe=4，e點(diǎn)坐標(biāo)為（4,8）,de=84=4，ef=8。矩形面積為：48=32，s矩形defg:sabc=32：36=8:9。故答案為：8：9。10. (2。5，0） 解：點(diǎn)a在函數(shù)y=x的圖象上，且a（2，m)，m=1，a（2,1），在平面直角坐標(biāo)系中描出a、b、c三點(diǎn),oap與cbp的周長和中oa，bc及op+pc的和都是定值，ap+bp最小就是oap與cbp的周長和最小。作b點(diǎn)關(guān)于x軸的對稱點(diǎn)d，連接ad交x軸于點(diǎn)p，連接ab，abx軸,且x軸平分bdx軸平分ad，de=be,ap=pd，pe是abd的中位線,pe=ab,且ab=1,pe=0。5，op=2.5，p（2.5，0