等差數(shù)列課件

第2講等差數(shù)列（1）

學(xué)習(xí)目標(biāo)1.理解等差數(shù)列的概念.2.掌握等差數(shù)列的通項(xiàng)公式與前n項(xiàng)和公式.3.能在具體的問(wèn)題情境中識(shí)別數(shù)列的等差關(guān)系，并能用等差數(shù)列的有關(guān)知識(shí)解決相應(yīng)的問(wèn)題.4.了解等差數(shù)列與一次函數(shù)的關(guān)系．1．等差數(shù)列的有關(guān)概念(1)定義：符號(hào)表示為：

(2)等差中項(xiàng)：數(shù)列a，A，b成等差數(shù)列，則A＝________，知識(shí)梳理an＋1－an＝d(n∈N*，d為常數(shù))．2．等差數(shù)列的有關(guān)公式(1)通項(xiàng)公式：an＝_______________．

(2)前n項(xiàng)和公式：Sn＝____________________＝_____________．3．等差數(shù)列的性質(zhì)(1)若{an}為等差數(shù)列，且k＋l＝m＋n(k，l，m，n∈N*)，則___________________．(2)若{an}是等差數(shù)列，公差為d，則ak，ak＋m，ak＋2m，…(k，m∈N*)是公差為_(kāi)_____的等差數(shù)列．(3)若Sn為等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和，則數(shù)列Sm，S2m－Sm，S3m－S2m，…也是________數(shù)列．4．等差數(shù)列與函數(shù)的關(guān)系(1)等差數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式可寫(xiě)成an＝_______________，當(dāng)d≠0時(shí)，它是關(guān)于n的____________，它的圖象是直線y＝

上橫坐標(biāo)為正整數(shù)的均勻分布的一系列________的點(diǎn)．（2）當(dāng)d>0時(shí)；

當(dāng)d<0時(shí)，

當(dāng)d＝0時(shí)，dx＋(a1－d){an}是遞增數(shù)列{an}是遞減數(shù)列；{an}是常數(shù)列1．?dāng)?shù)列{an}為等差數(shù)列的充要條件是____________2．若數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，則“數(shù)列{an}為等差數(shù)列”的充要條件是_________3．在等差數(shù)列{an}中，若____________，則Sn存在最大值；

若_____________則Sn存在最小值．重要結(jié)論an＝kn＋b(k，b∈R)．“Sn＝an2＋bn(a，b∈R)”．a(chǎn)1>0，d<0a1<0，d>0，1．思考辨析(在括號(hào)內(nèi)打“

√”或“×”)(1)等差數(shù)列{an}的單調(diào)性是由公差d決定的．(

)(2)等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式是常數(shù)項(xiàng)為0的二次函數(shù)．(

)(3)已知等差數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式an＝3－2n，則它的公差為－2.(

)(4)數(shù)列{an}為等差數(shù)列的充要條件是?n∈N*，都有2an＋1＝an＋an＋2.(

)夯基診斷√

×

√

√

第2講等差數(shù)列（2）

學(xué)習(xí)目標(biāo)1.理解等差數(shù)列的概念.2.掌握等差數(shù)列的通項(xiàng)公式與前n項(xiàng)和公式.3.能在具體的問(wèn)題情境中識(shí)別數(shù)列的等差關(guān)系，并能用等差數(shù)列的有關(guān)知識(shí)解決相應(yīng)的問(wèn)題.4.了解等差數(shù)列與一次函數(shù)的關(guān)系．(1)已知在等差數(shù)列{an}中，a4＋a8＝20，a7＝12，則a4＝________．答案：6(2)等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，且S10＝2，S20＝8，則S30＝______．答案：18(3)等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，且S6＝3(a5＋3)，a4＝－1，則其公差d＝________．答案：－2等差數(shù)列基本量的運(yùn)算考點(diǎn)一考點(diǎn)一1．等差數(shù)列的通項(xiàng)公式及前n項(xiàng)和公式共涉及五個(gè)量a1，n，d，an，Sn，知道其中三個(gè)就能求出另外兩個(gè)(簡(jiǎn)稱“知三求二”)．2．確定等差數(shù)列通項(xiàng)公式的關(guān)鍵是求出兩個(gè)最基本的量，即首項(xiàng)a1和公差d.3、等差數(shù)列的性質(zhì)反思感悟(1)(2023全國(guó)甲卷)記Sn為等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和．若a2＋a6＝10，a4a8＝45，則S5＝(

)A．25

B．22

C．20

D．15C

(2)(2024·重慶一診)設(shè)等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，5S9＝9a9－36，則a4＝(

)A．－2

B．－1C．1

D．2B

課堂練習(xí)17．(2022·全國(guó)乙卷)記Sn為等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和．若2S3＝3S2＋6，則公差d＝________．5．(2024·濟(jì)南萊蕪一中階段考)設(shè)等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，若S3＝16，S6＝8，則S12＝(

)A．－50

B．－60

C．－70

D．－802D訓(xùn)練1

(1)(2024·北京通州區(qū)期末)在等差數(shù)列{an}中，a2＋a6＝8，a3＋a4＝3，則an＝(

)A．5n－16

B．5n－11C．3n－8

D．3n－5A

(2)《周髀算經(jīng)》有這樣一個(gè)問(wèn)題：從冬至日起，依次為小寒、大寒、立春、雨水、驚蟄、春分、清明、谷雨、立夏、小滿、芒種十二個(gè)節(jié)氣日影長(zhǎng)減等寸，冬至、立春、春分日影長(zhǎng)之和為三丈一尺五寸，前九個(gè)節(jié)氣日影長(zhǎng)之和為八丈五尺五寸，問(wèn)芒種日影長(zhǎng)為(一丈＝十尺＝一百寸)(

)A．一尺五寸 B．二尺五寸C．三尺五寸 D．四尺五寸B

課堂小結(jié)布置作業(yè)：限時(shí)訓(xùn)練P3231、2、3第2講等差數(shù)列（3）

學(xué)習(xí)目標(biāo)1.理解等差數(shù)列的概念.2.掌握等差數(shù)列的通項(xiàng)公式與前n項(xiàng)和公式.3.能在具體的問(wèn)題情境中識(shí)別數(shù)列的等差關(guān)系，并能用等差數(shù)列的有關(guān)知識(shí)解決相應(yīng)的問(wèn)題.4.了解等差數(shù)列與一次函數(shù)的關(guān)系．考點(diǎn)二等差數(shù)列的判定與證明訓(xùn)練2

已知在數(shù)列{an}中，a1＝1，an＝2an－1＋1(n≥2，n∈N*)，記bn＝log2(an＋1)．(1)判斷{bn}是否為等差數(shù)列，并說(shuō)明理由；(2)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式．判斷數(shù)列{an}是等差數(shù)列的常用方法(1)定義法．(2)等差中項(xiàng)法．(3)通項(xiàng)公式法．(4)前n項(xiàng)和公式法．反思感悟例2

(2021·全國(guó)甲卷)已知數(shù)列{an}的各項(xiàng)均為正數(shù)，記Sn為{an}的前n項(xiàng)和，從下面①②③中選取兩個(gè)作為條件，證明另外一個(gè)成立．1010．已知等差數(shù)列的前三項(xiàng)依次為a，4，3a，前n項(xiàng)和為Sn，且Sk＝110.(1)求a及k的值；12131411134567892課堂練習(xí)11(1)證明：{an}是等差數(shù)列；(2)若a4，a7，a9成等比數(shù)列，求Sn的最小值．12131413456789102課堂練習(xí)第2講等差數(shù)列（4）

學(xué)習(xí)目標(biāo)1.理解等差數(shù)列的概念.2.掌握等差數(shù)列的通項(xiàng)公式與前n項(xiàng)和公式.3.能在具體的問(wèn)題情境中識(shí)別數(shù)列的等差關(guān)系，并能用等差數(shù)列的有關(guān)知識(shí)解決相應(yīng)的問(wèn)題.4.了解等差數(shù)列與一次函數(shù)的關(guān)系．1．項(xiàng)的性質(zhì)：在等差數(shù)列{an}中，若m＋n＝p＋q(m，n，p，q∈N*)，則am＋an＝ap＋aq.2．和的性質(zhì)：在等差數(shù)列{an}中，Sn為其前n項(xiàng)和，則(1)S2n＝n(a1＋a2n)＝…＝n(an＋an＋1)．(2)S2n－1＝(2n－1)an.(3)依次k項(xiàng)和成等差數(shù)列，即Sk，S2k－Sk，S3k－S2k，…成等差數(shù)列．反思感悟3．求等差數(shù)列前n項(xiàng)和的最值，常用的方法：(1)鄰項(xiàng)變號(hào)法，利用等差數(shù)列的單調(diào)性，求出其正負(fù)轉(zhuǎn)折項(xiàng)，或者利用性質(zhì)求其正負(fù)轉(zhuǎn)折項(xiàng)，便可求得和的最值．(2)函數(shù)法，利用公差不為零的等差數(shù)列的前n項(xiàng)和Sn＝An2＋Bn(A≠0)為二次函數(shù)，通過(guò)二次函數(shù)的性質(zhì)求最值．例3

(2024·湖北聯(lián)考)已知{an}是各項(xiàng)均為正數(shù)的等差數(shù)列，Sn為其前n項(xiàng)和，且a6＋2a7＋a10＝20，則當(dāng)a7·a8取最大值時(shí)，S10＝(

)A．10

B．20

C．25

D．50考點(diǎn)三等差數(shù)列性質(zhì)的應(yīng)用考向1項(xiàng)的性質(zhì)D

C

例5

等差數(shù)列{an}中，設(shè)Sn為其前n項(xiàng)和，且a1＞0，S3＝S11，則當(dāng)n為多少時(shí)，Sn最大？考向3前n項(xiàng)和的最值(3)(2024·河南名校第四次聯(lián)考)在等差數(shù)列{an}中，a1－2a2＝6，S3＝－27，當(dāng)Sn取得最小值時(shí)，n的值為(

)A．4或5

B．5或6C．4

D．5A

例4

(2024·廣州天河區(qū)期末)北京天壇的圜丘壇為古代祭天的場(chǎng)所，分上、中、下三層，上層地面的中心有一塊圓形石板(稱為天心石)，環(huán)繞天心石砌9塊扇面形石板構(gòu)成第一環(huán)，向外每環(huán)依次增加9塊．下一層的第一環(huán)比上一層的最后一環(huán)多9塊，向外每環(huán)依次也增加9塊．已知每層環(huán)數(shù)相同，且上、中、下三層共有扇面形石板(不含天心石)3402塊，則中層共有扇面形石板(

)A．1125塊 B．1134塊C．1143塊 D．1152塊考向2和的性質(zhì)B

B記從中間向外每環(huán)扇面形石板數(shù)為{an}，則{an}是等差數(shù)列，且公差d＝9，a1＝9.設(shè)每層有k環(huán)，則n＝3k，Sn＝3402，{an}是等差數(shù)列，則Sk，S2k－Sk，S3k－S2k也成等差數(shù)列，所以2(S2k－Sk)＝Sk＋(S3k－S2k)，所以Sn＝3(S2k－Sk)＝3402，則S2k－Sk＝1134.C

11(1)證明：{an}是等差數(shù)列；(2)若a4，a7，a9成等比數(shù)列，求Sn的最小值．12131413456789102課堂練習(xí)03限時(shí)規(guī)范訓(xùn)練(四十一)

A級(jí)基礎(chǔ)落實(shí)練

1．(2024·河南名校聯(lián)考)已知數(shù)列{an}是各項(xiàng)均為正數(shù)的等差數(shù)列，a5＝10，且a4·a6＝96，則公差為(

)A．－2

B．2C．－2或2

D．43456789101213141112B

B設(shè)等差數(shù)列{an}的公差為d，∵a4·a6＝(a5－d)(a5＋d)＝(10－d)(10＋d)＝96，∴d＝2或d＝－2，∵an＞0，∴d＞0，∴d＝2，故選B．212．(2023·咸陽(yáng)質(zhì)量檢測(cè))在等差數(shù)列{an}中，若a2＋2a6＋a10＝120，則a3＋a9＝(

)A．30

B．40

C．60

D．8034567891012131411C

C由等差數(shù)列的性質(zhì)可得a2＋2a6＋a10＝4a6＝120，所以a6＝30，所以a3＋a9＝2a6＝60，故選C．2313．(2024·臺(tái)州第一次質(zhì)量評(píng)估)已知數(shù)列{an}滿足對(duì)于?m，n∈N*，am＋n＝am＋an.若a2023＝2023，則a1＝(

)A．1

B．2

C．3

D．20234567891012131411A

A令m＝1，則an＋1＝a1＋an，故an＋1－an＝a1，∵a1為常數(shù)，故數(shù)列{an}是等差數(shù)列，公差為a1，∴a2023＝a1＋(2023－1)a1＝2023a1＝2023，則a1＝1，故選A．23414．(2024·三明一中期中)《九章算術(shù)》是我國(guó)古代的一本數(shù)學(xué)名著．全書(shū)有方田、粟米、衰分、少?gòu)V、商功、均輸、盈不足、方程、勾股九章，收有246個(gè)與生產(chǎn)、生活實(shí)踐有聯(lián)系的應(yīng)用問(wèn)題．書(shū)中有這樣一道題目“今有五人分五錢(qián)，令上二人所得與下三人等，問(wèn)各得幾何？”其意思為“現(xiàn)有五個(gè)人分5錢(qián)，且較多的兩份之和等于較少的三份之和，問(wèn)五人各得多少？”在此題中，若每人分得錢(qián)數(shù)成等差數(shù)列，則任意兩人分得的最大差值為(

)567891012131411B

2345678910121314111234515．(2024·濟(jì)南萊蕪一中階段考)設(shè)等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，若S3＝16，S6＝8，則S12＝(

)A．－50

B．－60

C．－70

D．－8067891012131411D

2345167891012131411D由等差數(shù)列的性質(zhì)可知，S3，S6－S3，S9－S6，S12－S9成等差數(shù)列，且該數(shù)列的公差為(S6－S3)－S3＝－8－16＝－24，則S9－S6＝(S6－S3)－24＝－32，所以S12－S9＝(S9－S6)－24＝－56，因此S12＝S3＋(S6－S3)＋(S9－S6)＋(S12－S9)＝－80.2345616．(2023·合肥期末)等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，公差不為0，若S5＝S10，則(

)A．S5＝0

B．S8＝0C．S15＝0

D．S17＝07891012131411C

234561789101213141177．(2022·全國(guó)乙卷)記Sn為等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和．若2S3＝3S2＋6，則公差d＝________．891012131411134562由2S3＝3S2＋6，可得2(a1＋a2＋a3)＝3(a1＋a2)＋6，化簡(jiǎn)得2a3＝a1＋a2＋6，即2(a1＋2d)＝2a1＋d＋6，解得d＝2.答案：28910121314111345672答案：899．(2024·棗莊期末)已知等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，若a1＝2，且S1000＝S1023，則S2022＝________．101213141113456782答案：21010．已知等差數(shù)列的前三項(xiàng)依次為a，4，3a，前n項(xiàng)和為Sn，且Sk＝110.(1)求a及k的值；12131411134567892解：(1)設(shè)該等差數(shù)列為{an}，則a1＝a，a2＝4，a3＝3a，由已知有a＋3a＝8，得a1＝a＝2，公差d＝4－2＝2，1012131411134567892101213141113456789211(1)證明：{an}是等差數(shù)列；(2)若a4，a7，a9成等比數(shù)列，求Sn的最小值．121314