2023高考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)專(zhuān)項(xiàng)訓(xùn)練《平面向量的應(yīng)用》(含答案)

2023高考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)專(zhuān)項(xiàng)訓(xùn)練《平面向量的應(yīng)用》

一、單選題（本大題共12小題，共60分）

1.（5分）如圖，平行四邊形ABCD中，AB=4,AD=2,4DAB=60。，M在線(xiàn)段DC

上，且滿(mǎn)足DM"而，若N為平行四邊形ABCD內(nèi)任意一點(diǎn)（含邊界），則局?尿的

最大值為（）

n

A.13B.0C.8D.5

2.（5分）半圓的直徑AB=4,。為圓心，。是半圓上不同于A、B的任意一點(diǎn)，若P為

半徑OC上的動(dòng)點(diǎn)，則（PX+屆）.命的最小值是（）

A.2B.0C.-2D.4

3.（5分）如圖所示，邊長(zhǎng)為2的菱形ABCD中，NBAD=120。，點(diǎn)E,F分別為對(duì)角線(xiàn)

BD上兩個(gè)三等分點(diǎn)，則贏?&=（）

A—B,C,-^Df

3333

4.（5分）.將等腰直角三角板ADC與一個(gè)角為30。的直角三角板ABC拼在一起組成如

圖所示的平面四邊形ABCD,其中NDAC=45。，NB=30。.若,貝

A.小+3B.b一1

C.2D.

5.(5分)如圖，已知力B=a,47=b,BD=3DC,用a,b表示AD,則AD=()

A.Z+於B..+於

C.-a+-bD.-a+-b

4444

6.（5分）在平面內(nèi)，定點(diǎn)A,B,C,D滿(mǎn)足15M=|晶|=|辰|,DA.DB=DB.DC=

DC.DA=-2,動(dòng)點(diǎn)P,M滿(mǎn)足|R|=1,PM=MC,則|尿4『的最大值是（）

八八、病

A.—43B.—49—C.-37-+-6-b-D.3-7-+2---

4444

7.（5分）已知48,C為不共線(xiàn)的三點(diǎn)，則“Xk8>0”是“AABC是鈍角三角畛，的（）

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

8.（5分）如圖，四邊形OABC是邊長(zhǎng)為1的正方形，0D=3,點(diǎn)P為4BCD內(nèi)（含邊界）

的動(dòng)點(diǎn)，則|6k+H|的取值范圍為（）

A.[等,5]B.[V2,4]

C.[V2,V5]D.[華,4]

9.（5分）向量：，b,K在正方形網(wǎng)絡(luò)中的位置如圖所示，若K=入。+曲（入口€R）,則

?。?/p>

A.-8B.-4C.4D.2

10.（5分）已知4ABC的外接圓半徑為1,圓心為。，且36k+4&+5&：=G,則

的值為（）

A.B.-C.--D.-

5555

11.（5分）點(diǎn)P是△45C所在平面內(nèi)一點(diǎn)，若8=+而，其中則點(diǎn)P一定

在（）

A.△ABC的內(nèi)部B.4C邊所在直線(xiàn)上

C.48邊所在直線(xiàn)上D.8C邊所在直線(xiàn)上

12.（5分）已知4（一3,0）,8（0,2）,。為坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)C在4AOB內(nèi)，|OC|=2迎，且

ZAOC=\設(shè)tOC=X->OA+TOB0WR）,則入的值為（）

112

A.1B.-C.-D.-

323

二、填空題（本大題共5小題，共25分）

13.（5分）若點(diǎn)P為/ABC的外心，且&+病=%，WUACB=.

14.（5分）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，A為直線(xiàn)2：y=2x上在第一象限內(nèi)的點(diǎn)，8（5,0）,

以AB為直徑的圓C與直線(xiàn)/交于另一點(diǎn)。.若八.&>=0,則點(diǎn)4的橫坐標(biāo)為.

15.（5分）已知點(diǎn)4（4,0）,。為總點(diǎn)，對(duì)于圓0：M+y2=4上的任意一點(diǎn)p,直線(xiàn)1：

y=kx-1L總存在點(diǎn)Q滿(mǎn)足條件后+OA=20Q,則實(shí)數(shù)k的取值范圍是.

16.（5分）已知正方形ABCD的邊長(zhǎng)為2,P是正方形ABCD的外接圓上的動(dòng)點(diǎn)，MAB-

6的范圍是.

17.（5分）在平面內(nèi)，已知AB1AC,且DB=DC=2,BP=AC,若14DP<2,則

DA的取值范圍是.

三、解答題（本大題共6小題，共72分）

18.（12分）在/ABC中，角力，B,C的對(duì)邊分別為a,b,c.已知4=45。，cosB=g.

（1）求cosC的值；

（2）若BC=20,。為AB的中點(diǎn)，求CD的長(zhǎng).

19.（12分）如圖,已知橢圓盤(pán)+9=19>/>>0）的離心率6=手,過(guò)點(diǎn)4（0,-b）和

B（a,0）的直線(xiàn)與原點(diǎn)的距離為*

（1）求橢圓的方程.

（2）已知定點(diǎn)E（-l,0）,若直線(xiàn)、=1?+2（4工0）與橢圓交于。、。兩點(diǎn).問(wèn)：是否

存在々值，使以CD為直徑的圓過(guò)E點(diǎn)?請(qǐng)說(shuō)明理由.

20.（12分）如圖，在△ABC中,Z.BAC=60°,2B4C的平分線(xiàn)交BC于點(diǎn)D.若AB=4,

且石=：幾ICZ?）,求|G|.

21.（12分）銳角三角形ABC中，角4B,C所對(duì)的邊分別為a,b,c,且二空=

c-cosB

tanB4-tanC.

（1）求角C的值；

（2）若C=2V5,。為的中點(diǎn)，求中線(xiàn)CO的范圍.

22.（12分）一艘船從南岸出發(fā)，向北岸橫渡.根據(jù)測(cè)量，水流速度為弘m/九，方向正東,

風(fēng)的方向?yàn)楸逼?0。，受風(fēng)力影響，靜水中船的漂行速度為3km".為了要使該船由

南向北沿垂直于河岸的方向以26km/九的速度橫渡，求船本身的速度大小及方向.

23.（12分）如圖，為了防止電線(xiàn)桿傾斜，在兩側(cè)對(duì)稱(chēng)地用鋼絲繩把它拉緊.已知每條鋼

絲繩的拉力都是500N,每條鋼吆繩與電線(xiàn)桿的夾角都是，兩條鋼絲繩拉力的合力大小

為尸.

（1）如果8=30。，求產(chǎn)的大小；

（2）試研究：當(dāng)0。V6<90。時(shí)，隨著的增大，尸的變化趨勢(shì).

四、多選題（本大題共5小題，共25分）

24.（5分）團(tuán)ABC中，BC=2,BC邊上的中線(xiàn)AD=2,則下列說(shuō)法正確的有（）

A.AB?辰為定值B.AC2+AB2=10

C.1<coszBAC<;1D.NBAD的最大值為60°

25.（5分）點(diǎn)。是平面a上一定點(diǎn)，A,B,C是平面a上/ABC的三個(gè)頂點(diǎn)，乙B,/C分

別是邊AC,AB的對(duì)角.以下五個(gè)命題正確的是（）：

T-?

A.動(dòng)點(diǎn)P滿(mǎn)足=OA+M——+>0）,貝必ABC的重心一定在滿(mǎn)足

|AB|sinB|AC|sinC

條件的P點(diǎn)集合中

TT

B.動(dòng)點(diǎn)P滿(mǎn)足&=OA+從"+工）（九>0）,則/ABC的內(nèi)心一定在滿(mǎn)足條件的

|AB||AC|

P點(diǎn)集合中

C.動(dòng)點(diǎn)P滿(mǎn)足&=OA+M-AB+-AC）Q>0）,貝必ABC的垂心一定在滿(mǎn)足

|AB|cosB|AC|co$C

條件的P點(diǎn)集合中

D.動(dòng)點(diǎn)P滿(mǎn)足&=OA+PB+PC,則/ABC的外心一定在滿(mǎn)足條件的P點(diǎn)集合中

26.（5分）已知△4BC中，內(nèi)集4,B,C所對(duì)的邊分別為Q,b,c,且c=9,

bcosC4-ccosB=2,若點(diǎn)P是邊BC上一點(diǎn)，Q是4c的中點(diǎn)，點(diǎn)。是AABC所在平面內(nèi)一

點(diǎn)，OA+2OB+3OC=Q,則下列說(shuō)法正確的是。

A.若（6+ACyBC=Q,則+AC\=6

B.若21在后方向上的投影向量為后，則|m|的最小值為當(dāng)

C.若點(diǎn)P為BC的中點(diǎn)，則2命+訪=6

TT

D.若（當(dāng)+當(dāng)）.局=0,則第（AB+品1）為定值18

\AB\\AC\

27.（5分）八卦是中國(guó)文化的基本哲學(xué)概念，如圖1是八卦模型圖，其平面圖形記為圖

2中的正八邊形ABCDEFGH,其中OA=1,則以下結(jié)論正確的是（）.

C.OB+OH=-V2OED.|AH-FH|=12-/

28.（5分）在日常生活中，我們會(huì)看到兩人共提一個(gè)行李包的情境〔如圖）.假設(shè)行李包

所受重力為G,兩個(gè)拉力分別為尸1，F(xiàn)2,若下,|=|F2|,F1與尸2的夾角

為依則以下結(jié)論正確的是（）

A.|尸J的最小值為：|G|B.8的范圍為［0,捫

C.當(dāng)8=］時(shí)，|FJ=y|G|D.當(dāng)。=.時(shí)，|FJ=\G\

答案和解析

1.【答案】A;

【解析】解：如圖所示，建立直角坐標(biāo)系.

可得4(0,0),B(4,0),D(l,V3),C(5,V3).

vDM=^DC,M(2,V3).

設(shè)N(%,y),xG[0,5],yG[0,V5].

則尿I-AN=2x+V3y,

令2x+V5y=3可得y=一尋+/

???當(dāng)且僅當(dāng)上述直線(xiàn)經(jīng)過(guò)點(diǎn)(5,通)時(shí)t取得最大值，

t=2x5+V3x>/3=13.

故選：A.

如圖所示，建立直角坐標(biāo)系.利用向量數(shù)量積運(yùn)算的有關(guān)知識(shí)即可得出.

此題主要考查了向量數(shù)量積運(yùn)算的有關(guān)知識(shí),考查了數(shù)形結(jié)合的思想方法.屬于基礎(chǔ)

題.

2.【答案】C;

【解析】

此題主要考查了向量在幾何中的應(yīng)用，結(jié)合圖形分析是解決問(wèn)題的關(guān)鍵，屬于中檔題.

根據(jù)圖形知。是線(xiàn)段AB的中點(diǎn)，所以晶+帝=2%，再根據(jù)向量的點(diǎn)乘積運(yùn)算分析方向

與大小即可求出.

解：如圖：

???。為AB的中點(diǎn)，

TT

PA+PB=20verrightarrowPO>

(PA+PB)-PC=20verrightarrowPO-PC=-2IPOIIPCI，

由條件知當(dāng)PO=PC=1時(shí)，最小值為一2x1x1=-2.

故選C.

3.【答案】A;

【解析】

此題主要考查的是平面向量中向量的加法，減法，及向量的數(shù)量積，

因?yàn)槠?/+而=A+1BD=AB+1(AD-AB)=1(AD+20verrightarrowAB),

又屆=-CF,所以屆CF=-^(20verrightarrowAB+AD)2.

因?yàn)锳B=AD=2,ZBAD=120°,

所以AB?Ab=-2.

所以AE=AB+BE=AB4-，BD=AB4-，(AD-AB)=g(AD4-20verrightarrowAB).

又屆=-CF,

T[T1T2

所以AE-CF=--(20vcrrightarrowAB+AD)2=--(4AB+4ovcnightarrowAB?

——24

AD+AD)=—.

73

故選4

4.【答案】A;

【解析】

該題考查了共面向量基本定理、含30。與45。角的直角三角形的性質(zhì)，考查了推理能力

和計(jì)算能力，屬于中檔題.

解：如圖所示，

不妨取DA=1,則DC=LAC=V2,AB=2y[2,BC=V6.

=DA+ABcos75°=1+2V2x^?=巾,

yB=ABsin75°=V3+1.

B(AV3+1).

DB=V3DA+(V5+1)DC

???x=V5,y=V34-1，

xy=3+V3.

故選A.

5.【答案】B;

【解析】【分析】

本題為向量的加，減運(yùn)算的簡(jiǎn)單應(yīng)用，結(jié)合圖形容易得出答案，題中由訪=3辰，由

向量的減法法則：BD=AD-AB,DC=前-n，代入上式計(jì)算可以得出結(jié)果.

【解答】

解：如圖,

A

BD=AD-AB,DC=AC-AD,

且訪=3DC,(AD-AB)=3(AC-AD).

即：4AD=AB+3AC,

T1-*2T1T2T

所以AD=二48+三4C

4444

故選艮

6.【答案】B;

【解析】

此題主要考查向量的幾何應(yīng)用，屬于中檔題.

由15M=|而|=|a|,可得D為』ABC的外心，又6k.而=品.玄=辰叢,可

得。為/ABC的垂心，則。為/ABC的中心，即AABC為正三角形，可得4ABe的邊長(zhǎng)，

以A為坐標(biāo)原點(diǎn)建立直角坐標(biāo)系，求得B,C的坐標(biāo)，再設(shè)P(cosRsine),(048<2兀)，

由中點(diǎn)坐標(biāo)公式可得M的坐標(biāo)，運(yùn)用三角函數(shù)的恒等變換公式，結(jié)合正弦函數(shù)的值域,

即可■得到最大值.

解：由|DA|=|DB|=|DC|,可得。為4ABC的外心,

XDA-DB=DBDC=E)C-DA,可得

DB(E)A-DC)=O,DC(DB-DA)=O,

gPDBCA=DCAB=O,

即有DC1AB,可得。為/ABC的垂心，

則。為4ABe的中心，即4ABe為正三角形.

由6k?品二-2,BP<|DA|?|DA|cosl20°=-2,

解得|6人|=2,AABC的邊長(zhǎng)為4cos30。=273,

以力為坐標(biāo)原點(diǎn)，AD所在直線(xiàn)為%軸建立直角坐標(biāo)系xOy,

則8(3,一次)，C(3,V3),D(2,0),

由&|=1,可設(shè)P(cosO,sinO),(0<0<2n)f

由加4=&，可得M為PC的中點(diǎn)，即有M(亨，駕與，

milirvx?i2m3+COS0、2./6+sinO,局、2(3-cos9)2.(3>/3+sin0)237-6cos0+6V3sin0

則|BM「=(3—Y+(―^―+V3)2=---+=--------;---------

37+12sin(e-^)

4，

當(dāng)sin(0=1,即0=g時(shí)，取得最大值，且為今

故選B.

7.【答案】A;

【解析】由Ak&>o,得到Ak￡2vo,W|AB|.|AC|COS^BAC<0,即

coszBAC<0,可以得到2BAC為鈍角，即AABC是鈍角三角形；但AABC是鈍角三角

形時(shí)，角4可能是鈍角或銳角，不一定得到Xk&>0；所以“啟.&>0”是“AABC

是鈍角三角形”的充分不必要條件.

8.【答案】B;

【解析】

該題考查了平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算，向量的幾何運(yùn)用，屬于中檔題.

以。為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立平面直角坐標(biāo)系，設(shè)P(%y),用，y表示出|OA+OP|,利用兩

點(diǎn)間的距離公式轉(zhuǎn)化為P點(diǎn)到點(diǎn)的距離，由此即可得解.

設(shè)P(%y)，則益+0P=(x+l,y),

|OA+OP|=J(x+l)2+y2,

設(shè)M(-1,0),M|OA+OP|=|MP|,

由圖可知當(dāng)P與C重合時(shí)，|詁|取得最小值夜，

當(dāng)P與。重合時(shí)，|詁|取得最大值4,

二|公+晶|的取值范圍是[企,4].

故選B.

9.【答案】C;

【解析】

該題考查了平面向量的坐標(biāo)表示及應(yīng)用，考查了轉(zhuǎn)化思想，屬基礎(chǔ)題.

設(shè)正方形的邊長(zhǎng)為1,則易知京=(一1,一3),2=(-1,1),b=(6,2),可得(-1,-3)=

X(-l,l)+p(6,2),從而求得結(jié)果.

設(shè)小正方形格子的邊長(zhǎng)為1,建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系，

TTr

c=Xa+[ib,

(-1,-3)=X(-l,1)+^2),

解得，X=-2,Ji=—去

故乙=4；

p

故選C.

10.【答案】A;

【解析】解：因?yàn)?6X+4&+56b=6,

所以36k4-4OB=-5OC,

TTTTT

所以90A2+24OA.OB+16OB2=25OC2,

因?yàn)锳,B,C在圓上，所以|&|=|&|=|&|=1.

代入原式得6k.&=0,

所以a.AB=-1(3OA+4OB).(OB-OA)

[一?TTTTT

=-1(3OA.OB+4OB2-3OA2-4OA.OB)

=—1.

5

故選：A.

先將一個(gè)向量用其余兩個(gè)向量表示出來(lái)，然后借助于平方使其出現(xiàn)向量模的平方，用

上外接圓半徑，然后進(jìn)一步分析結(jié)論，化簡(jiǎn)出要求的結(jié)果.

該題考查了平面向量在幾何問(wèn)題中的應(yīng)用.要利用向量的運(yùn)算結(jié)合基底意識(shí)，將結(jié)論

進(jìn)行化歸，從而將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為基底間的數(shù)量積及其它運(yùn)算問(wèn)題.

II.【答案】B;

【解析】【分析】

本題主要考查向量的共線(xiàn)定理，要證明三點(diǎn)共線(xiàn)時(shí)一般轉(zhuǎn)化為證明向量的共線(xiàn)問(wèn)題，

根據(jù)后=崩-無(wú)，代入a=2以+前，根據(jù)共線(xiàn)定理可知兄與以共線(xiàn)，從而可

確定P點(diǎn)一定在AC邊所在直線(xiàn)上，屬于中檔題.

【解答】

解：-CB=PB-PC,CB=APA+PB,PB-PC=APA+PB,則一命二2易，:.

PC//PA,即無(wú)與易共線(xiàn)，二P點(diǎn)一定在力C邊所在直線(xiàn)上，

故選8.

12.【答案】D:

【解析】

此題主要考查平面向量的幾何表示和線(xiàn)性運(yùn)算，，屬基礎(chǔ)題.

依題意，結(jié)合圖形，由坐標(biāo)相同易得答案.

則(-2,2),

又T0C=…OA+->OB(Xe/?),

所以一31二一2,解得入=23,

故選。.

13.【答案】120。;

【解析】解：為/ABC的外心，二線(xiàn)段長(zhǎng)PA=PB=PC,

又PX+晶=PC,結(jié)合平面向量加法的平行四邊形法則可知四邊形PABC是平行四邊

形，

四邊形PABC是菱形，且/PAC與4PBC是全等的等邊三角形，

乙ACB=ZPCA+ZPCB=120c.

故答案為120。

由外心的性質(zhì)可知，線(xiàn)段長(zhǎng)PA=PB=PC,結(jié)合向量加法的平行四邊形法則可知，四

邊形PABC是平行四邊形，所以該四邊形是有一對(duì)內(nèi)角為60。的菱形，所以2ACB=

120°.

此題重點(diǎn)考查平面向量加法的幾何意義，三角形外心的性質(zhì)以及菱形的性質(zhì)，注意結(jié)

合圖形分析.

14.【答案】3;

【解析】

此題主要考查向量的數(shù)量積，向量的幾何運(yùn)用，屬于中檔題.

根據(jù)點(diǎn)。為以AB為直徑的圓上的點(diǎn)，所以ADJLBD,又AB1CD得4ADB為等腰直角

三角形.由此來(lái)求得點(diǎn)4的坐標(biāo).

解：設(shè)A(a,2a),0(d,2d),其中a>0,且d手a,

則加=(5-d,-2d),DA=(a-d,2a-2d).

由直徑所對(duì)圓周角為直角，及AB1CD,得/ADB是等腰直角三角形.

所以6k與晶垂直且模相等，

所以｛&a-d=2d,2a-2d=5-d或｛&5-d=2d-2a,-2d=a-d,

解得｛&a=3,d=1,或｛&a=-1,d=1,

所以a=3.

故答案為3.

15.【答案】［0,芻;

【解析】【試題解析】

【分析】

本題考查直線(xiàn)與圓的位置關(guān)系，涉及向量的三角形法則以及直線(xiàn)的斜率公式，屬于綜

合題.

根據(jù)題意，設(shè)設(shè)P(2cos8,2sin8),由向量的三角形法則分析可得Q是PA的中點(diǎn)，即可

得Q的坐標(biāo)，將Q的坐標(biāo)代入直線(xiàn)，的方程，變形可得女=黑荒，分析k的幾何意義，

結(jié)合直線(xiàn)與圓的位置關(guān)系，分析可得答案.

【解答】

解：根據(jù)題意，P是圓0：M+y2=4上任意一點(diǎn)，

則設(shè)P(2cosB,2sin。)，

若點(diǎn)Q滿(mǎn)足條件。3+。7=20。，則Q是PA的中點(diǎn)，

則Q的坐標(biāo)為(2+cos。,sin。)，

若Q在直線(xiàn)I：y=kx-l_t,貝！sin。=k(2+cos。)-1,

變形可得k=警%

2+cos0

即k表示單位圓上的點(diǎn)(cos。,sin。)

與點(diǎn)M(-2,-1)連線(xiàn)的斜率，如圖所示：

設(shè)過(guò)點(diǎn)M的宜線(xiàn)y+1=m(x4-2)與圓％?+y2=1相切,

則有震4=1,

vl+m2

解可得m=0或g,

則有04黑器4,即上的取值范圍為［0,J

故答案為：［0彳］.

16.【答案】［-2&+2,2V2+2］;

【解析】解：如圖所示，4(-1,-1),8(1,-1).

設(shè)P(&cosG,企sin8).

???AB?AP=(2,0)?(V2cos0+1,V2sin0+1)

=2V2cos0+2?

—1<cosO<1,

AB?仆的范圍是［-2夜+2,2魚(yú)+2］,

故答案為：［一2e+2,2魚(yú)+2］.

如圖所示，4(-1,-1),B(l,-1).aP(V2cos9,V2sinG),可得屆?d=(2,0)?

(V2cos0+1,V2sin0+1)=2>/2cos0+2,利用余弦函數(shù)的單調(diào)性即可得出.

此題主要考查了向量的坐標(biāo)運(yùn)算、數(shù)量積運(yùn)算、余弦函數(shù)的單調(diào)性，屬于基礎(chǔ)題.

17.【答案】[2,V7];

【解析】解：由ABJ.AC,BP=AC,

可得四邊形ABPC為矩形，

在矩形ABPC中，有|DA『+|DP|2=|DC|2+|DB|2

貝|J|DA|2=8-|DP|2

又1VDP<2,

所以IDA-w[4,7],即24|DA]<夕,

故答案為：[2,夕].

根據(jù)條件有四邊形ABPC為矩形，根據(jù)矩形中的一個(gè)特殊性質(zhì)，平面內(nèi)任一點(diǎn)0,有

|DA|2+|DP|2=|DC|2+|DB|2可得答案.

該題考查向量的幾何性質(zhì)，向量運(yùn)算，屬于難題.

18.【答案】解：⑴在/ABC中，由cosB=g,BG(0,K),得sin8=g,

則cosC=COS(7C—A—B)=—cos(y4+B)

=~coSi4cosB+sinAsinB

(2)在4ABe中，???sinB=￡A=45°,BC=20,

?.?。為AB的中點(diǎn)，???&=：(&+&),

T2T2T2T

???CD=-(CA+CB+20verrightarrowCA?CB)

=[288+400+2x1272x20x(--^)]=148,

CD=2V37.;

【解析】該題考查了正弦定理，向量的數(shù)量積以及兩角和的余弦公式，考查了計(jì)算能

力，屬于中檔題.

(1)利用cosC=—cosAcosB+sim4sinB即可求解；

(2)由正弦定理得AC=12遮，由。為AB的中點(diǎn)，利用向量的數(shù)量積，即可求得CD的

長(zhǎng).

19.【答案】解：(1)由已知直線(xiàn)AB方程為：bx-ay-ab=0,

—C=—y/6

a3

依題意&#%007Bab=遺，

Va2+d2—~2

c2=a2—b2

a=V3

解得&#%0078b=1,

c=y/2

???橢圓方程為?+y2=i；

22

(2)假若存在這樣的k值，由｛孑x+丫2=1得：

y=kx+2

(1+3/C2)X2+12kx+9=0,

???△=(12k)2-36(1+3k2)>o,①解得：k<-1或k>1,

設(shè)。(%2，%)，

則｛產(chǎn)3k2,②

1%2L=--l-+-37k72

2

而％及=(kx1+2)(kx24-2)=kxrx2+2k(/+x2)+4,

要使以CD為直徑的圓過(guò)點(diǎn)E(—1,0),

當(dāng)且僅當(dāng)CEIDE時(shí)，則&.而=0,CE=(-l-Xp-yJ,DE=(-1-x2,-y2)?

即為為+(%1+1)(%2+1)=0，

2

???(k+1)%17+(2k+1)(^1+x2)+5=0,③

將②式代入③整理解得

經(jīng)驗(yàn)證，左一;>1.滿(mǎn)足題意.

6

綜上可知，存在k=g使得以CD為直徑的圓過(guò)點(diǎn)E.;

【解析】此題主要考查橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程及簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)，同時(shí)考查直線(xiàn)與橢圓的位置

關(guān)系及平面向量的幾何運(yùn)用，屬于較難題.

(1)由已知得關(guān)于Q，b,C的方程組，求出Q,b,C即可求解；

(2)聯(lián)立直線(xiàn)與橢圓的方程，然后利用韋達(dá)定理及向量的數(shù)量積求解即可.

20.【答案】解：因?yàn)?,D,C三點(diǎn)共線(xiàn)，所以;+4=1,解得2=；,

44

如圖，過(guò)點(diǎn)。分別作力C,48的平行線(xiàn)交AB,AC于點(diǎn)M,N,則/而二；前，AM=

4

三Zk經(jīng)計(jì)算得力N==3,AD=3?,BP|AD|=373?C.

4

【解析】本題主要考查向量的線(xiàn)性運(yùn)算和平行四邊形法則，以及平面幾何知識(shí)求解線(xiàn)

段的長(zhǎng).

21.【答案】解：(1)由=tanB+tanC,得

V3sin4sinB.sinCsinScosC+cosBsinCsin(B+C)sinA

---------1---------=--------------------------------

sinCcosfiCOSBCOSCCOSF-COSCCOSB-COSCcosficosC

所以sinC=V3cosC,CE(0,n),

tanC=V5,。=g；

(2)CD=^(CA+CB),

222

CD=：(CA+CB)2=^a+b+ab),

由余弦定理有：c2=a24-b2—ab,HP12=a2+b2-ab,

所以亦=；(i2+2ab)=3+1ab,

由正弦定理=-AT=￡：=等=4,a=4sinAb=4sinB,

sinAsinBslnC空

2

CD2=3+-ab=3+8sinAsinB

2

=3+8sin4sin(Y—A)

=34-8sinA號(hào)cosA+gsinA)

=3+4V5sin4cos4+4sin2^

=3+2V3sin2/l+2(1—cos2i4)=5+4(與sin24—|cos2/l)

=5+4sin(2i4--),

6

因?yàn)椤?BC為銳角三角形，

所以0<A且A+C>*

則力6麻》24Y嗚金,

則sin(2A

ttCD2e(7,9],CDe(V7,3].;

【解析】

此題主要考查正弦定理、余弦定理，考查同角三角函數(shù)的基本關(guān)系，考查三角函數(shù)的

性質(zhì)，屬于中檔題.

(1)由正弦定理及同角三角函數(shù)的基本關(guān)系化簡(jiǎn)，可求出tan。，進(jìn)而得角C的值；

(2)由余弦定理及向量知識(shí)得。加=3+再由正弦定理可得CD?=3+1ab=3+

SsinAsinB,化簡(jiǎn)后求解即可.

22.【答案】解：如圖，設(shè)水的速度為云，風(fēng)的速度為E，說(shuō)+E=Z-

易求得a的方向是北偏東30。，a的大小是3km/h.

設(shè)船的實(shí)際航行速度為立方向由南向北，

大小為26km/h.

船本身的速度為E，則。+%="，即i?3=i;-a,

由數(shù)形結(jié)合知，R的方向是北偏西60。，大小是V5km//i.;

【解析】此題主要考查向量在物理中的應(yīng)用，向量加減混合運(yùn)算以及幾何意義，屬于

中檔題.

根據(jù)題意設(shè)水的速度為風(fēng)的速度為房，船的實(shí)際航行速度為由向量的物理運(yùn)

用即可求得結(jié)果.

23.【答案】解：(1)把兩根繩的拉力看成沿繩方向的兩個(gè)分力，

以它們?yōu)猷忂叜?huà)出一個(gè)平行四邊形，其對(duì)角線(xiàn)就表示它們的合力，

由圖根據(jù)幾何關(guān)系知，兩繩拉力的合力F=2x500cos30°=5006N：

(2)F=2x5OOcos0=lOOOcos。，

V00<6<90°,???當(dāng)。增大時(shí),cos。在減小，

故當(dāng)0。<8<90。時(shí)，F(xiàn)隨8的增大而減少.

【解析】此題主要考查向量的物理應(yīng)用，屬于中檔題.

(1)已知兩分力的大小和方向，艱據(jù)平行四邊形定則做出合力，根據(jù)幾何關(guān)系求出合力

大小和方向；

(2)根據(jù)角度變化分析，力的變化.

24.【答案】ABC;

【解析】此題主要考查了向量數(shù)量積的運(yùn)算，正弦定理，考查了計(jì)算能力，屬于中檔

題.

可畫(huà)出圖形，根據(jù)題意可得出2.詬=八+/，BC=AC-AB,兩邊平方聯(lián)立即可

判斷4B兩個(gè)選項(xiàng)，由數(shù)量積公式判斷C選項(xiàng)，由正弦定理即可判斷出。選項(xiàng).解：如

圖，???△口是BC邊上的中線(xiàn)，

A

2AD=AB+AC,且AD=2,

T2TTT2

???AB+2AB-AC+AC=16,①

vBC=AC-B且BC=2.

2—2

AB-2AB-AC+AC=4,②

22

①+②得，AC4-AB=10,^AC2+AB2=10,故B正確.

①一②得，AB-AC=3,故A正確.

由AC?+AB2=10得出10>2|AC||AB|,貝“AC||AB|45,

當(dāng)且僅當(dāng)|AC|=|AB|時(shí)等號(hào)成立，

則|AB||AC|cos4BAC=3<5cosZBAC,

所以：(cosZBAC<;1.故C正確；

在團(tuán)ABD中，由正弦定理得：型等=等4(

所以0<;NBAD43

故匕BAD的最大值為30。，故D錯(cuò)誤.

故選ABC.

25.【答案】ABC;

【解析】

又根據(jù)正弦定理，有瞿=粵，則府卜in。=|AB|sinfi,

所以口二尸二（公+/），

ABsinB'/

所以AP與overrightarrowAB+AC共線(xiàn),

又因?yàn)锽+辰經(jīng)過(guò)線(xiàn)段BC的中點(diǎn)0,

所以AP也經(jīng)過(guò)線(xiàn)段BC的中點(diǎn)D,

所以點(diǎn)P的軌跡也經(jīng)過(guò)線(xiàn)段BC的中點(diǎn)D,

所以/ABC的重心一定在滿(mǎn)足條件的尸點(diǎn)集合中，故4正確；

—一

對(duì)于8,因?yàn)樯心芘c分別表示AB與overrightarrowAC方向上的單位向量,

Ml|AC|

一一

所以得+篙的方向與NBAC的角平分線(xiàn)一致，

lABlIACI

又因?yàn)镺P=0A+X.|pr;+告j）,

\|AB||AC|/

所以R=6i>—=九（得+手i）,

\IABIlACl/

所以G的方向與NBAC的角平分線(xiàn)一致，

所以/ABC的內(nèi)心一定在滿(mǎn)足條件的P點(diǎn)集合中，故B正確：

對(duì)于C,因?yàn)?>=&+人（1半一+『^）,

\ABcosBACcosC/

所以G=G?_6k=九（尸半一十|一牛）,

\ABcosBACcosC/

所以晶命=九（圖￡+器更j=X（|BC|-|BC|）=o,

y|ABcosBACcosCJKl1117

所以小1代:，

所以/ABC的垂心一定在滿(mǎn)足條件的P點(diǎn)集合中，故C正確；

對(duì)于0,設(shè)BC的中點(diǎn)為D,連接PD,

—?T

則20verrightarrowPD=PB+PC,

又因?yàn)?=OA+PB+PC,

所以AP=OP-OA=PB+PC.

所以AP=20verrightarrowPD,

所以力、P、。三點(diǎn)共線(xiàn)，且P為AABC的重心，所以。錯(cuò)誤；

故選ABC.

此題主要考查向量的幾何運(yùn)用問(wèn)題，

分別根據(jù)向量平行、垂直的判斷與證明，向量的數(shù)量積，根據(jù)三角形的重心、內(nèi)心、

垂心的定義，逐項(xiàng)判斷即可，屬于中檔題.

26.【答案】ACD;

【解析】

本題考向平面向量的綜合運(yùn)用，屬于難題.解：對(duì)于4設(shè)BC中點(diǎn)為D,由（應(yīng)+公）?

BC=?？芍狟C上的中線(xiàn)AO與BC垂直，

所以△ABC是等腰三角形，AB=AC=b=c,B=C,

所以bco