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專題14不等式與參數(shù)方程一、解答題1.【2020屆湖南省長沙市長郡中學(xué)高三下學(xué)期第四次適應(yīng)性考試】已知函數(shù).(1)求不等式的解集;(2)若函數(shù)的最小值為,求證:,恒成立.【答案】(1)或:(2)證明見解析【解析】(1),若,則有或或,解得或或,因此不等式的解集為或;(2)由函數(shù)的解析式可知,在上單調(diào)遞減,在上單調(diào)遞增,因此,即證恒成立,即證恒成立,即證恒成立,而對,恒成立,因此,原不等式得證.2.【2020屆湖南省長沙市長郡中學(xué)高三下學(xué)期第四次適應(yīng)性考試】在平面直角坐標(biāo)系中,曲線的參數(shù)方程為(為參數(shù)),將直線上所有點的橫坐標(biāo)伸長到原來的2倍,縱坐標(biāo)縮短到原來的倍得到直線.(1)求直線的普通方程;(2)設(shè)為曲線上的動點,求點到直線的距離的最小值及此時點的坐標(biāo).【答案】(1)直線的普通方程為;(2)點到直線的距離的最小值為,此時點的坐標(biāo)為.【解析】(1)設(shè)直線上的點為,由題可知,又,所以,即,因此直線的普通方程為:;(2)點到直線的距離,所以當(dāng)時,,此時.3.【湖南省長沙市長郡中學(xué)2019-2020學(xué)年高三上學(xué)期第二次月考】在直角坐標(biāo)系中,曲線的參數(shù)方程為(為參數(shù)),以坐標(biāo)原點為極點,以軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系,曲線的極坐標(biāo)方程為(1)求曲線的普通方程與曲線的直角坐標(biāo)方程;(2)若與交于兩點,點的極坐標(biāo)為,求的值.【答案】(1)曲線的普通方程為;曲線的直角坐標(biāo)方程為:;(2).【解析】(1),所以所以曲線的普通方程為;所以曲線的直角坐標(biāo)方程為:.(2)的參數(shù)方程轉(zhuǎn)化為標(biāo)準(zhǔn)形式為(t為參數(shù)),代入得,點的直角坐標(biāo)為,設(shè),是A,B對應(yīng)的參數(shù),則,.∴4.【湖南省長沙市長郡中學(xué)2019-2020學(xué)年高三下學(xué)期2月質(zhì)量檢測】在平面直角坐標(biāo)系中,曲線的參數(shù)方程為(為參數(shù)),以坐標(biāo)原點為極點,軸的非負(fù)半軸為極軸且取相同的單位長度建立極坐標(biāo)系,直線的極坐標(biāo)方程為.(1)寫出曲線的普通方程和直線的直角坐標(biāo)方程;(2)若直線與曲線相交于、兩點,求的面積.【答案】(1),;(2).【解析】(1)由,得,故曲線的普通方程是.由,得,得,得,代入公式得.故直線的直角坐標(biāo)方程是;(2)因為原點到直線的距離為,曲線表示圓心為,半徑的圓.又到直線的距離,所以.所以.5.【湖南省長沙市長郡中學(xué)2019-2020學(xué)年高三下學(xué)期2月質(zhì)量檢測】已知函數(shù).(1)當(dāng)時,求不等式的解集;(2)若,,求實數(shù)的取值范圍.【答案】(1);(2).【解析】(1)當(dāng)時,即為.①當(dāng)時,不等式可化為,解得,故;②當(dāng)時,不等式可化為恒成立,故;③當(dāng)時,不等式可化為,解得,故.綜上所述,不等式的解集為;(2).因為,,所以只需,平方得,解得.所以實數(shù)的取值范圍是.6.【湖南省長沙市長郡中學(xué)2020屆高三下學(xué)期第一次高考模擬】已知實數(shù)正數(shù)x,y滿足.(1)解關(guān)于x的不等式;(2)證明:.【答案】(1);(2)證明見解析.【解析】(1)解得,所以不等式的解集為(2)且,.當(dāng)且僅當(dāng)時,等號成立.7.【湖南省長沙市長郡中學(xué)2020屆高三下學(xué)期第一次高考模擬】設(shè)為橢圓:上任意一點,以坐標(biāo)原點為極點,軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系,曲線的極坐標(biāo)方程為,為上任意一點.(Ⅰ)寫出參數(shù)方程和普通方程;(Ⅱ)求最大值和最小值.【答案】(Ⅰ)(為參數(shù)),(Ⅱ),【解析】(Ⅰ)由題意可得的參數(shù)方程為:(為參數(shù)),又∵,且,,∴的普通方程為,即.(Ⅱ)由(Ⅰ)得,設(shè),圓的圓心,則,∵,∴當(dāng)時,;當(dāng)時,.當(dāng)時,;當(dāng)時,.8.【湖南省長沙市長郡中學(xué)2020屆高三下學(xué)期高考模擬卷(二)】已知函數(shù)(1)求不等式的解集(2)設(shè),證明:.【答案】(1)或;(2)證明見解析.【解析】(1)∵,∴.當(dāng)時,不等式可化為,解得,∴;當(dāng),不等式可化為,解得,無解;當(dāng)時,不等式可化為,解得,∴.綜上所述,或.(2)∵,要證成立,只需證,即證,即證,即證.由(1)知,或,∵,∴,∴成立.綜上所述,對于任意的都有成立.9.【湖南省長沙市長郡中學(xué)2020屆高三下學(xué)期高考模擬卷(二)】在直角坐標(biāo)系中,曲線過點,其參數(shù)方程為(為參數(shù),),以為極點,軸非負(fù)半軸為極軸建立極坐標(biāo)系,曲線的極坐標(biāo)方程為.(1)求曲線的普通方程和曲線的直角坐標(biāo)方程;(2)求已知曲線和曲線交于兩點,且,求實數(shù)的值.【答案】(1),(2)或.【解析】(1)的
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