專題14 不等式與參數(shù)方程（老師版）

專題14不等式與參數(shù)方程一、解答題1.【2020屆湖南省長沙市長郡中學(xué)高三下學(xué)期第四次適應(yīng)性考試】已知函數(shù).（1）求不等式的解集；（2）若函數(shù)的最小值為，求證：，恒成立.【答案】（1）或：（2）證明見解析【解析】(1)，若,則有或或,解得或或,因此不等式的解集為或;(2)由函數(shù)的解析式可知,在上單調(diào)遞減,在上單調(diào)遞增,因此,即證恒成立,即證恒成立,即證恒成立,而對,恒成立,因此,原不等式得證.2.【2020屆湖南省長沙市長郡中學(xué)高三下學(xué)期第四次適應(yīng)性考試】在平面直角坐標(biāo)系中，曲線的參數(shù)方程為（為參數(shù)），將直線上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)伸長到原來的2倍，縱坐標(biāo)縮短到原來的倍得到直線.（1）求直線的普通方程；（2）設(shè)為曲線上的動(dòng)點(diǎn)，求點(diǎn)到直線的距離的最小值及此時(shí)點(diǎn)的坐標(biāo).【答案】（1）直線的普通方程為；（2）點(diǎn)到直線的距離的最小值為，此時(shí)點(diǎn)的坐標(biāo)為.【解析】(1)設(shè)直線上的點(diǎn)為,由題可知,又,所以,即,因此直線的普通方程為:;(2)點(diǎn)到直線的距離,所以當(dāng)時(shí),,此時(shí).3.【湖南省長沙市長郡中學(xué)2019-2020學(xué)年高三上學(xué)期第二次月考】在直角坐標(biāo)系中，曲線的參數(shù)方程為（為參數(shù)），以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，以軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，曲線的極坐標(biāo)方程為（1）求曲線的普通方程與曲線的直角坐標(biāo)方程；（2）若與交于兩點(diǎn)，點(diǎn)的極坐標(biāo)為，求的值．【答案】（1）曲線的普通方程為；曲線的直角坐標(biāo)方程為：；（2）．【解析】（1），所以所以曲線的普通方程為；所以曲線的直角坐標(biāo)方程為：．（2）的參數(shù)方程轉(zhuǎn)化為標(biāo)準(zhǔn)形式為（t為參數(shù)），代入得，點(diǎn)的直角坐標(biāo)為，設(shè)，是A，B對應(yīng)的參數(shù)，則，．∴4.【湖南省長沙市長郡中學(xué)2019-2020學(xué)年高三下學(xué)期2月質(zhì)量檢測】在平面直角坐標(biāo)系中，曲線的參數(shù)方程為（為參數(shù)），以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，軸的非負(fù)半軸為極軸且取相同的單位長度建立極坐標(biāo)系，直線的極坐標(biāo)方程為.（1）寫出曲線的普通方程和直線的直角坐標(biāo)方程；（2）若直線與曲線相交于、兩點(diǎn)，求的面積.【答案】（1），；（2）.【解析】（1）由，得，故曲線的普通方程是.由，得，得，得，代入公式得.故直線的直角坐標(biāo)方程是；（2）因?yàn)樵c(diǎn)到直線的距離為，曲線表示圓心為，半徑的圓.又到直線的距離，所以.所以.5.【湖南省長沙市長郡中學(xué)2019-2020學(xué)年高三下學(xué)期2月質(zhì)量檢測】已知函數(shù).（1）當(dāng)時(shí)，求不等式的解集；（2）若，，求實(shí)數(shù)的取值范圍.【答案】（1）；（2）.【解析】（1）當(dāng)時(shí)，即為.①當(dāng)時(shí)，不等式可化為，解得，故；②當(dāng)時(shí)，不等式可化為恒成立，故；③當(dāng)時(shí)，不等式可化為，解得，故.綜上所述，不等式的解集為；（2）.因?yàn)?，，所以只需，平方得，解?所以實(shí)數(shù)的取值范圍是.6.【湖南省長沙市長郡中學(xué)2020屆高三下學(xué)期第一次高考模擬】已知實(shí)數(shù)正數(shù)x，y滿足.（1）解關(guān)于x的不等式；（2）證明：.【答案】（1）；（2）證明見解析.【解析】（1）解得，所以不等式的解集為（2）且，.當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立.7.【湖南省長沙市長郡中學(xué)2020屆高三下學(xué)期第一次高考模擬】設(shè)為橢圓：上任意一點(diǎn)，以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，曲線的極坐標(biāo)方程為，為上任意一點(diǎn).（Ⅰ）寫出參數(shù)方程和普通方程；（Ⅱ）求最大值和最小值.【答案】（Ⅰ）(為參數(shù)),（Ⅱ），【解析】（Ⅰ）由題意可得的參數(shù)方程為：（為參數(shù)），又∵，且，，∴的普通方程為，即.（Ⅱ）由（Ⅰ）得，設(shè)，圓的圓心，則，∵，∴當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，.當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，.8.【湖南省長沙市長郡中學(xué)2020屆高三下學(xué)期高考模擬卷（二）】已知函數(shù)（1）求不等式的解集（2）設(shè)，證明：.【答案】(1)或；(2)證明見解析.【解析】（1）∵，∴.當(dāng)時(shí)，不等式可化為，解得，∴；當(dāng),不等式可化為，解得，無解；當(dāng)時(shí)，不等式可化為，解得，∴.綜上所述，或.（2）∵，要證成立，只需證，即證，即證,即證.由（1）知，或，∵，∴，∴成立.綜上所述，對于任意的都有成立.9.【湖南省長沙市長郡中學(xué)2020屆高三下學(xué)期高考模擬卷（二）】在直角坐標(biāo)系中，曲線過點(diǎn)，其參數(shù)方程為（為參數(shù)，），以為極點(diǎn)，軸非負(fù)半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，曲線的極坐標(biāo)方程為.（1）求曲線的普通方程和曲線的直角坐標(biāo)方程；（2）求已知曲線和曲線交于兩點(diǎn)，且，求實(shí)數(shù)的值.【答案】（1）,（2）或.【解析】（1）的