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第2節(jié)&第3節(jié)一、利用直角坐標計算二重積分二、利用極坐標計算二重積分二重積分的計算法

第7章設曲頂柱的底為任取平面故曲頂柱體體積為截面積為截柱體的記作曲頂柱體的體積同樣,曲頂柱的底為則其體積可按如下兩次積分計算記作且在D上連續(xù)時,由曲頂柱體體積的計算可知,若D為

X-

型區(qū)域

則若D為Y-型區(qū)域則一、利用直角坐標計算二重積分當被積函數(shù)均非負在D上變號時,因此上面討論的累次積分法仍然有效.由于說明:(1)若積分區(qū)域既是X-型區(qū)域又是Y

-型區(qū)域,為計算方便,可選擇積分序,必要時還可以交換積分序.則有(2)若積分域較復雜,可將它分成若干X-

型域或Y-

型域,則例1.

計算其中D是直線y＝1,x＝2,及y＝x

所圍的閉區(qū)域.解法1.

將D看作X-型區(qū)域,則解法2.

將D看作Y-型區(qū)域,

則例2.計算其中D是拋物線所圍成的閉區(qū)域.解:為計算簡便,先對x后對y積分,及直線則例3.計算其中D是直線所圍成的閉區(qū)域.解:

由被積函數(shù)可知,因此取D為X-

型域:先對x

積分不行,說明:

有些二次積分為了積分方便,還需交換積分順序.例4.交換下列積分順序解:

積分域由兩部分組成:視為Y-型區(qū)域,則例5.交換積分順序計算解.

積分域如圖.例6.

計算其中D由所圍成.解:

令(如圖所示)顯然,例7.求拋物線所圍區(qū)域

D的面積A.解:如圖所示注:則也可利用上述方法簡化計算.上可積,例8.求兩個底圓半徑為R的直交圓柱面所圍的體積.解:

設兩個直圓柱方程為利用對稱性,考慮第一卦限部分,其曲頂柱體的頂為則所求體積為例9.證明證:左端=右端=二、利用極坐標計算二重積分對應有在極坐標系下,用同心圓r=常數(shù)則除包含邊界點的小區(qū)域外,小區(qū)域的面積在內(nèi)取點及射線

=常數(shù),分劃區(qū)域D為即設則特別,對此時若f≡1則可求得D的面積思考:

下列各圖中域D

分別與x,y軸相切于原點,試答:問

的變化范圍是什么?(1)(2)例11.計算其中解:

在極坐標系下原式的原函數(shù)不是初等函數(shù),故本題無法用直角由于故坐標計算.注:利用上題可得一個在概率論與數(shù)理統(tǒng)計及工程上非常有用的反常積分公式事實上,①故①式成立.又例7.

計算二重積分其中:(1)D為圓域(2)D由直線解:(1)

利用對稱性.圍成.(2)

積分域如圖:將D分為添加輔助線利用對稱性,得例12.

求球體被圓柱面所截得的(含在柱面內(nèi)的)立體的體積.解:

設由對稱性可知內(nèi)容小結(1)二重積分化為二次積分的方法直角坐標系情形:

若積分區(qū)域為則

若積分區(qū)域為則則(2)一般換元公式且則極坐標系情形:若積分區(qū)域為在變換下(3)計算步驟及注意事項?

畫出積分域?選擇坐標系?確定積分序?寫出積分限?計算要簡

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