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轉(zhuǎn)化一階微分方程第2節(jié)解分離變量方程可分離變量方程

第9章一、可分離變量的一階微分方程設(shè)y＝

(x)

是方程①的解,兩邊積分,得①則有恒等式②當(dāng)G(y)與F(x)可微且G

(y)

g(y)

0時,的隱函數(shù)y＝

(x)是①的解.則有稱②為方程①的隱式通解,或通積分.同樣,當(dāng)F

(x)=f(x)≠0

時,由②確定的隱函數(shù)x＝

(y)也是①的解.設(shè)左右兩端的原函數(shù)分別為G(y),F(x),說明由②確定例1.求微分方程的通解.解:

分離變量得兩邊積分得即(C

為任意常數(shù))或說明:

在求解過程中每一步不一定是同解變形,因此可能增、減解.(此式含分離變量時丟失的解y=0)例2.

解初值問題解:

分離變量得兩邊積分得即由初始條件得C=1,(C

為任意常數(shù))故所求特解為例3.

求下述微分方程的通解:解:

令則故有即解得(C為任意常數(shù)

)所求通解:練習(xí):解法1分離變量即(C<0

)解法2故有積分(C

為任意常數(shù))所求通解:積分二、一階齊次微分方程形如的方程叫做齊次方程

.令代入原方程得兩邊積分,得積分后再用代替u,便得原方程的通解.解法:分離變量:例4.解微分方程解:代入原方程得分離變量兩邊積分得故原方程的通解為(

當(dāng)C=0

時,

y=0

也是方程的解)(C

為任意常數(shù))此處例5.解微分方程解:則有分離變量積分得代回原變量得通解即說明:

顯然

x=0,y=0,y=x

也是原方程的解,但在(C

為任意常數(shù))求解過程中丟失了.三、一階線性微分方程一階線性微分方程標(biāo)準(zhǔn)形式:若Q(x)

0,若Q(x)

0,稱為非齊次線性方程

.1.解齊次方程分離變量兩邊積分得故通解為稱為齊次線性方程

;對應(yīng)齊次方程通解齊次方程通解非齊次方程特解2.解非齊次方程用常數(shù)變易法:則故原方程的通解即即作變換兩端積分得例6.解方程

解:先解即積分得即用常數(shù)變易法求特解.則代入非齊次方程得解得故原方程通解為令例7.

求方程的通解.解:注意x,y

同號,由一階線性方程通解公式

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