高考真題與模擬訓(xùn)練專題練習(xí)專題04函數(shù)的應(yīng)用(原卷版+解析)

專題4函數(shù)的應(yīng)用第一部分真題分類一、單選題1．（2020·海南高考真題）基本再生數(shù)R0與世代間隔T是新冠肺炎的流行病學(xué)基本參數(shù).基本再生數(shù)指一個(gè)感染者傳染的平均人數(shù)，世代間隔指相鄰兩代間傳染所需的平均時(shí)間.在新冠肺炎疫情初始階段，可以用指數(shù)模型：描述累計(jì)感染病例數(shù)I(t)隨時(shí)間t(單位:天)的變化規(guī)律，指數(shù)增長(zhǎng)率r與R0，T近似滿足R0=1+rT.有學(xué)者基于已有數(shù)據(jù)估計(jì)出R0=3.28，T=6.據(jù)此，在新冠肺炎疫情初始階段，累計(jì)感染病例數(shù)增加1倍需要的時(shí)間約為(ln2≈0.69)（）A．1.2天 B．1.8天C．2.5天 D．3.5天2．（2020·全國(guó)高考真題（理））若，則（）A． B． C． D．3．（2020·全國(guó)高考真題（理））在新冠肺炎疫情防控期間，某超市開通網(wǎng)上銷售業(yè)務(wù)，每天能完成1200份訂單的配貨，由于訂單量大幅增加，導(dǎo)致訂單積壓.為解決困難，許多志愿者踴躍報(bào)名參加配貨工作.已知該超市某日積壓500份訂單未配貨，預(yù)計(jì)第二天的新訂單超過1600份的概率為0.05，志愿者每人每天能完成50份訂單的配貨，為使第二天完成積壓訂單及當(dāng)日訂單的配貨的概率不小于0.95，則至少需要志愿者（）A．10名 B．18名 C．24名 D．32名4．關(guān)于函數(shù)有下述四個(gè)結(jié)論：①f(x)是偶函數(shù)②f(x)在區(qū)間（,）單調(diào)遞增③f(x)在有4個(gè)零點(diǎn)④f(x)的最大值為2其中所有正確結(jié)論的編號(hào)是（）A．①②④ B．②④ C．①④ D．①③5．函數(shù)在的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為（）A．2 B．3 C．4 D．56．已知，函數(shù)，若函數(shù)恰有三個(gè)零點(diǎn)，則（）A． B．C． D．7．2019年1月3日嫦娥四號(hào)探測(cè)器成功實(shí)現(xiàn)人類歷史上首次月球背面軟著陸，我國(guó)航天事業(yè)取得又一重大成就，實(shí)現(xiàn)月球背面軟著陸需要解決的一個(gè)關(guān)鍵技術(shù)問題是地面與探測(cè)器的通訊聯(lián)系．為解決這個(gè)問題，發(fā)射了嫦娥四號(hào)中繼星“鵲橋”，鵲橋沿著圍繞地月拉格朗日點(diǎn)的軌道運(yùn)行．點(diǎn)是平衡點(diǎn)，位于地月連線的延長(zhǎng)線上．設(shè)地球質(zhì)量為M１，月球質(zhì)量為M２，地月距離為R，點(diǎn)到月球的距離為r，根據(jù)牛頓運(yùn)動(dòng)定律和萬(wàn)有引力定律，r滿足方程：.設(shè)，由于的值很小，因此在近似計(jì)算中，則r的近似值為（）A． B．C． D．8．已知函數(shù)．若g（x）存在2個(gè)零點(diǎn)，則a的取值范圍是（）A．[–1，0） B．[0，+∞） C．[–1，+∞） D．[1，+∞）二、填空題9．（2021·北京高考真題）已知函數(shù)，給出下列四個(gè)結(jié)論：①若，則有兩個(gè)零點(diǎn)；②，使得有一個(gè)零點(diǎn)；③，使得有三個(gè)零點(diǎn)；④，使得有三個(gè)零點(diǎn)．以上正確結(jié)論得序號(hào)是_______．10．設(shè)是定義在上的兩個(gè)周期函數(shù)，的周期為4，的周期為2，且是奇函數(shù).當(dāng)時(shí)，，，其中.若在區(qū)間上，關(guān)于的方程有8個(gè)不同的實(shí)數(shù)根，則的取值范圍是_____.11．函數(shù)在的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為________．12．已知，函數(shù)若關(guān)于的方程恰有2個(gè)互異的實(shí)數(shù)解，則的取值范圍是______________.13．李明自主創(chuàng)業(yè)，在網(wǎng)上經(jīng)營(yíng)一家水果店，銷售的水果中有草莓、京白梨、西瓜、桃，價(jià)格依次為60元/盒、65元/盒、80元/盒、90元/盒．為增加銷量，李明對(duì)這四種水果進(jìn)行促銷：一次購(gòu)買水果的總價(jià)達(dá)到120元，顧客就少付x元．每筆訂單顧客網(wǎng)上支付成功后，李明會(huì)得到支付款的80%．①當(dāng)x=10時(shí)，顧客一次購(gòu)買草莓和西瓜各1盒，需要支付__________元；②在促銷活動(dòng)中，為保證李明每筆訂單得到的金額均不低于促銷前總價(jià)的七折，則x的最大值為__________．14．我國(guó)古代數(shù)學(xué)著作《張邱建算經(jīng)》中記載百雞問題：“今有雞翁一，值錢五；雞母一，值錢三；雞雛三，值錢一，凡百錢，買雞百只，問雞翁、母、雛各幾何？”設(shè)雞翁，雞母，雞雛個(gè)數(shù)分別為，，，則當(dāng)時(shí)，___________，___________．15．已知λ∈R，函數(shù)f(x)=，當(dāng)λ=2時(shí)，不等式f(x)<0的解集是___________．若函數(shù)f(x)恰有2個(gè)零點(diǎn)，則λ的取值范圍是___________．三、解答題16．如圖，一個(gè)湖的邊界是圓心為O的圓，湖的一側(cè)有一條直線型公路l，湖上有橋AB（AB是圓O的直徑）．規(guī)劃在公路l上選兩個(gè)點(diǎn)P、Q，并修建兩段直線型道路PB、QA．規(guī)劃要求:線段PB、QA上的所有點(diǎn)到點(diǎn)O的距離均不小于圓O的半徑．已知點(diǎn)A、B到直線l的距離分別為AC和BD（C、D為垂足），測(cè)得AB=10，AC=6，BD=12（單位:百米）．（1）若道路PB與橋AB垂直，求道路PB的長(zhǎng)；（2）在規(guī)劃要求下，P和Q中能否有一個(gè)點(diǎn)選在D處？并說明理由；（3）對(duì)規(guī)劃要求下，若道路PB和QA的長(zhǎng)度均為d（單位：百米）.求當(dāng)d最小時(shí)，P、Q兩點(diǎn)間的距離．17．某群體的人均通勤時(shí)間，是指單日內(nèi)該群體中成員從居住地到工作地的平均用時(shí)．某地上班族中的成員僅以自駕或公交方式通勤．分析顯示：當(dāng)中（）的成員自駕時(shí)，自駕群體的人均通勤時(shí)間為（單位：分鐘），而公交群體的人均通勤時(shí)間不受影響，恒為分鐘，試根據(jù)上述分析結(jié)果回答下列問題：（1）當(dāng)在什么范圍內(nèi)時(shí)，公交群體的人均通勤時(shí)間少于自駕群體的人均通勤時(shí)間？（2）求該地上班族的人均通勤時(shí)間的表達(dá)式；討論的單調(diào)性，并說明其實(shí)際意義．18．已知函數(shù)．（1）若，求的單調(diào)區(qū)間；（2）證明：只有一個(gè)零點(diǎn)．19．已知函數(shù)．（1）若，證明：當(dāng)時(shí)，；（2）若在只有一個(gè)零點(diǎn)，求的值.第二部分模擬訓(xùn)練一、單選題1．定義在R上的函數(shù)滿足，且時(shí)，；時(shí)，.令，，則函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為（）A．7 B．8 C．9 D．102．定義：如果函數(shù)在區(qū)間上存在，滿足，，則稱函數(shù)是在區(qū)間上的一個(gè)雙中值函數(shù)，已知函數(shù)是區(qū)間上的雙中值函數(shù)，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（）A． B． C． D．3．已知偶函數(shù)滿足，且當(dāng)時(shí)，，關(guān)于的不等式在區(qū)間上有且只有300個(gè)整數(shù)解，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（）A． B．C． D．4．已知，其中，若對(duì)任意的實(shí)數(shù)b，c都有不等式成立，則方程的根的可能性為（）A．有一個(gè)實(shí)數(shù)根 B．兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根C．至少一個(gè)負(fù)實(shí)數(shù)根 D．沒有正實(shí)數(shù)根5．已知函數(shù)，若方程有四個(gè)不同的解，，，，且，則的取值范圍是（）A． B． C． D．二、填空題6．已知函數(shù)，若函數(shù)的所有零點(diǎn)依次記為且，，若，則__________.7．已知函數(shù)，①若a＝1，f（x）的最小值是_____；②若f（x）恰好有2個(gè)零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是_____．三、解答題8．某公司利用線上、實(shí)體店線下銷售產(chǎn)品，產(chǎn)品在上市天內(nèi)全部售完.據(jù)統(tǒng)計(jì)，線上日銷售量、線下日銷售量（單位：件）與上市時(shí)間天的關(guān)系滿足：，產(chǎn)品每件的銷售利潤(rùn)為(單位：元)（日銷售量線上日銷售量線下日銷售量）.（1）設(shè)該公司產(chǎn)品的日銷售利潤(rùn)為，寫出的函數(shù)解析式；（2）產(chǎn)品上市的哪幾天給該公司帶來(lái)的日銷售利潤(rùn)不低于元？專題4函數(shù)的應(yīng)用第一部分真題分類一、單選題1．（2020·海南高考真題）基本再生數(shù)R0與世代間隔T是新冠肺炎的流行病學(xué)基本參數(shù).基本再生數(shù)指一個(gè)感染者傳染的平均人數(shù)，世代間隔指相鄰兩代間傳染所需的平均時(shí)間.在新冠肺炎疫情初始階段，可以用指數(shù)模型：描述累計(jì)感染病例數(shù)I(t)隨時(shí)間t(單位:天)的變化規(guī)律，指數(shù)增長(zhǎng)率r與R0，T近似滿足R0=1+rT.有學(xué)者基于已有數(shù)據(jù)估計(jì)出R0=3.28，T=6.據(jù)此，在新冠肺炎疫情初始階段，累計(jì)感染病例數(shù)增加1倍需要的時(shí)間約為(ln2≈0.69)（）A．1.2天 B．1.8天C．2.5天 D．3.5天【答案】B【解析】因?yàn)?，，，所以，所以，設(shè)在新冠肺炎疫情初始階段，累計(jì)感染病例數(shù)增加1倍需要的時(shí)間為天，則，所以，所以，所以天.故選：B.2．（2020·全國(guó)高考真題（理））若，則（）A． B． C． D．【答案】B【解析】設(shè)，則為增函數(shù)，因?yàn)樗裕?，所?，當(dāng)時(shí)，，此時(shí)，有當(dāng)時(shí)，，此時(shí)，有，所以C、D錯(cuò)誤.故選：B.3．（2020·全國(guó)高考真題（理））在新冠肺炎疫情防控期間，某超市開通網(wǎng)上銷售業(yè)務(wù)，每天能完成1200份訂單的配貨，由于訂單量大幅增加，導(dǎo)致訂單積壓.為解決困難，許多志愿者踴躍報(bào)名參加配貨工作.已知該超市某日積壓500份訂單未配貨，預(yù)計(jì)第二天的新訂單超過1600份的概率為0.05，志愿者每人每天能完成50份訂單的配貨，為使第二天完成積壓訂單及當(dāng)日訂單的配貨的概率不小于0.95，則至少需要志愿者（）A．10名 B．18名 C．24名 D．32名【答案】B【解析】由題意，第二天新增訂單數(shù)為，設(shè)需要志愿者x名，，,故需要志愿者名.故選：B4．關(guān)于函數(shù)有下述四個(gè)結(jié)論：①f(x)是偶函數(shù)②f(x)在區(qū)間（,）單調(diào)遞增③f(x)在有4個(gè)零點(diǎn)④f(x)的最大值為2其中所有正確結(jié)論的編號(hào)是（）A．①②④ B．②④ C．①④ D．①③【答案】C【解析】為偶函數(shù)，故①正確．當(dāng)時(shí)，，它在區(qū)間單調(diào)遞減，故②錯(cuò)誤．當(dāng)時(shí)，，它有兩個(gè)零點(diǎn)：；當(dāng)時(shí)，，它有一個(gè)零點(diǎn)：，故在有個(gè)零點(diǎn)：，故③錯(cuò)誤．當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，又為偶函數(shù)，的最大值為，故④正確．綜上所述，①④正確，故選C．5．函數(shù)在的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為（）A．2 B．3 C．4 D．5【答案】B【解析】由，得或，，．在的零點(diǎn)個(gè)數(shù)是3，故選B．6．已知，函數(shù)，若函數(shù)恰有三個(gè)零點(diǎn)，則（）A． B．C． D．【答案】C【解析】當(dāng)時(shí)，，得；最多一個(gè)零點(diǎn)；當(dāng)時(shí)，，，當(dāng)，即時(shí)，，在，上遞增，最多一個(gè)零點(diǎn)．不合題意；當(dāng)，即時(shí)，令得，，函數(shù)遞增，令得，，函數(shù)遞減；函數(shù)最多有2個(gè)零點(diǎn)；根據(jù)題意函數(shù)恰有3個(gè)零點(diǎn)函數(shù)在上有一個(gè)零點(diǎn)，在，上有2個(gè)零點(diǎn)，如圖：且，解得，，．故選．7．2019年1月3日嫦娥四號(hào)探測(cè)器成功實(shí)現(xiàn)人類歷史上首次月球背面軟著陸，我國(guó)航天事業(yè)取得又一重大成就，實(shí)現(xiàn)月球背面軟著陸需要解決的一個(gè)關(guān)鍵技術(shù)問題是地面與探測(cè)器的通訊聯(lián)系．為解決這個(gè)問題，發(fā)射了嫦娥四號(hào)中繼星“鵲橋”，鵲橋沿著圍繞地月拉格朗日點(diǎn)的軌道運(yùn)行．點(diǎn)是平衡點(diǎn)，位于地月連線的延長(zhǎng)線上．設(shè)地球質(zhì)量為M１，月球質(zhì)量為M２，地月距離為R，點(diǎn)到月球的距離為r，根據(jù)牛頓運(yùn)動(dòng)定律和萬(wàn)有引力定律，r滿足方程：.設(shè)，由于的值很小，因此在近似計(jì)算中，則r的近似值為（）A． B．C． D．【答案】D【解析】由，得因?yàn)椋?，即，解得，所?．已知函數(shù)．若g（x）存在2個(gè)零點(diǎn)，則a的取值范圍是（）A．[–1，0） B．[0，+∞） C．[–1，+∞） D．[1，+∞）【答案】C【解析】畫出函數(shù)的圖像，在y軸右側(cè)的去掉，再畫出直線，之后上下移動(dòng)，可以發(fā)現(xiàn)當(dāng)直線過點(diǎn)A時(shí)，直線與函數(shù)圖像有兩個(gè)交點(diǎn)，并且向下可以無(wú)限移動(dòng)，都可以保證直線與函數(shù)的圖像有兩個(gè)交點(diǎn)，即方程有兩個(gè)解，也就是函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn)，此時(shí)滿足，即，故選C.二、填空題9．（2021·北京高考真題）已知函數(shù)，給出下列四個(gè)結(jié)論：①若，則有兩個(gè)零點(diǎn)；②，使得有一個(gè)零點(diǎn)；③，使得有三個(gè)零點(diǎn)；④，使得有三個(gè)零點(diǎn)．以上正確結(jié)論得序號(hào)是_______．【答案】①②④【解析】對(duì)于①，當(dāng)時(shí)，由，可得或，①正確；對(duì)于②，考查直線與曲線相切于點(diǎn)，對(duì)函數(shù)求導(dǎo)得，由題意可得，解得，所以，存在，使得只有一個(gè)零點(diǎn)，②正確；對(duì)于③，當(dāng)直線過點(diǎn)時(shí)，，解得，所以，當(dāng)時(shí)，直線與曲線有兩個(gè)交點(diǎn)，若函數(shù)有三個(gè)零點(diǎn)，則直線與曲線有兩個(gè)交點(diǎn)，直線與曲線有一個(gè)交點(diǎn)，所以，，此不等式無(wú)解，因此，不存在，使得函數(shù)有三個(gè)零點(diǎn)，③錯(cuò)誤；對(duì)于④，考查直線與曲線相切于點(diǎn)，對(duì)函數(shù)求導(dǎo)得，由題意可得，解得，所以，當(dāng)時(shí)，函數(shù)有三個(gè)零點(diǎn)，④正確.故答案為：①②④.10．設(shè)是定義在上的兩個(gè)周期函數(shù)，的周期為4，的周期為2，且是奇函數(shù).當(dāng)時(shí)，，，其中.若在區(qū)間上，關(guān)于的方程有8個(gè)不同的實(shí)數(shù)根，則的取值范圍是_____.【答案】.【解析】當(dāng)時(shí)，即又為奇函數(shù)，其圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，其周期為，如圖，函數(shù)與的圖象，要使在上有個(gè)實(shí)根，只需二者圖象有個(gè)交點(diǎn)即可.當(dāng)時(shí)，函數(shù)與的圖象有個(gè)交點(diǎn)；當(dāng)時(shí)，的圖象為恒過點(diǎn)的直線，只需函數(shù)與的圖象有個(gè)交點(diǎn).當(dāng)與圖象相切時(shí)，圓心到直線的距離為，即，得，函數(shù)與的圖象有個(gè)交點(diǎn)；當(dāng)過點(diǎn)時(shí)，函數(shù)與的圖象有個(gè)交點(diǎn)，此時(shí)，得.綜上可知，滿足在上有個(gè)實(shí)根的的取值范圍為.11．函數(shù)在的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為________．【答案】【解析】詳解：由題可知，或解得,或故有3個(gè)零點(diǎn)．12．已知，函數(shù)若關(guān)于的方程恰有2個(gè)互異的實(shí)數(shù)解，則的取值范圍是______________.【答案】【解析】分類討論：當(dāng)時(shí)，方程即，整理可得：，很明顯不是方程的實(shí)數(shù)解，則，當(dāng)時(shí)，方程即，整理可得：，很明顯不是方程的實(shí)數(shù)解，則，令，其中，原問題等價(jià)于函數(shù)與函數(shù)有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，求的取值范圍.結(jié)合對(duì)勾函數(shù)和函數(shù)圖象平移的規(guī)律繪制函數(shù)的圖象，同時(shí)繪制函數(shù)的圖象如圖所示，考查臨界條件，結(jié)合觀察可得，實(shí)數(shù)的取值范圍是.13．李明自主創(chuàng)業(yè)，在網(wǎng)上經(jīng)營(yíng)一家水果店，銷售的水果中有草莓、京白梨、西瓜、桃，價(jià)格依次為60元/盒、65元/盒、80元/盒、90元/盒．為增加銷量，李明對(duì)這四種水果進(jìn)行促銷：一次購(gòu)買水果的總價(jià)達(dá)到120元，顧客就少付x元．每筆訂單顧客網(wǎng)上支付成功后，李明會(huì)得到支付款的80%．①當(dāng)x=10時(shí)，顧客一次購(gòu)買草莓和西瓜各1盒，需要支付__________元；②在促銷活動(dòng)中，為保證李明每筆訂單得到的金額均不低于促銷前總價(jià)的七折，則x的最大值為__________．【答案】130.15.【解析】(1),顧客一次購(gòu)買草莓和西瓜各一盒,需要支付元.(2)設(shè)顧客一次購(gòu)買水果的促銷前總價(jià)為元,元時(shí),李明得到的金額為,符合要求.元時(shí),有恒成立,即,即元.所以的最大值為.14．我國(guó)古代數(shù)學(xué)著作《張邱建算經(jīng)》中記載百雞問題：“今有雞翁一，值錢五；雞母一，值錢三；雞雛三，值錢一，凡百錢，買雞百只，問雞翁、母、雛各幾何？”設(shè)雞翁，雞母，雞雛個(gè)數(shù)分別為，，，則當(dāng)時(shí)，___________，___________．【答案】【解析】15．已知λ∈R，函數(shù)f(x)=，當(dāng)λ=2時(shí)，不等式f(x)<0的解集是___________．若函數(shù)f(x)恰有2個(gè)零點(diǎn)，則λ的取值范圍是___________．【答案】(1,4)【解析】由題意得或，所以或，即，不等式f(x)<0的解集是當(dāng)時(shí)，，此時(shí)，即在上有兩個(gè)零點(diǎn)；當(dāng)時(shí)，，由在上只能有一個(gè)零點(diǎn)得.綜上，的取值范圍為.三、解答題16．如圖，一個(gè)湖的邊界是圓心為O的圓，湖的一側(cè)有一條直線型公路l，湖上有橋AB（AB是圓O的直徑）．規(guī)劃在公路l上選兩個(gè)點(diǎn)P、Q，并修建兩段直線型道路PB、QA．規(guī)劃要求:線段PB、QA上的所有點(diǎn)到點(diǎn)O的距離均不小于圓O的半徑．已知點(diǎn)A、B到直線l的距離分別為AC和BD（C、D為垂足），測(cè)得AB=10，AC=6，BD=12（單位:百米）．（1）若道路PB與橋AB垂直，求道路PB的長(zhǎng)；（2）在規(guī)劃要求下，P和Q中能否有一個(gè)點(diǎn)選在D處？并說明理由；（3）對(duì)規(guī)劃要求下，若道路PB和QA的長(zhǎng)度均為d（單位：百米）.求當(dāng)d最小時(shí)，P、Q兩點(diǎn)間的距離．【答案】（1）15（百米）；（2）見解析；（3）17+（百米）.【解析】解法一：（1）過A作，垂足為E.由已知條件得，四邊形ACDE為矩形，.因?yàn)镻B⊥AB，所以.所以.因此道路PB的長(zhǎng)為15（百米）.（2）①若P在D處，由（1）可得E在圓上，則線段BE上的點(diǎn)（除B，E）到點(diǎn)O的距離均小于圓O的半徑，所以P選在D處不滿足規(guī)劃要求.②若Q在D處，連結(jié)AD，由（1）知，從而，所以∠BAD為銳角.所以線段AD上存在點(diǎn)到點(diǎn)O的距離小于圓O的半徑.因此，Q選在D處也不滿足規(guī)劃要求.綜上，P和Q均不能選在D處.（3）先討論點(diǎn)P的位置.當(dāng)∠OBP<90°時(shí)，線段PB上存在點(diǎn)到點(diǎn)O的距離小于圓O的半徑，點(diǎn)P不符合規(guī)劃要求；當(dāng)∠OBP≥90°時(shí)，對(duì)線段PB上任意一點(diǎn)F，OF≥OB，即線段PB上所有點(diǎn)到點(diǎn)O的距離均不小于圓O的半徑，點(diǎn)P符合規(guī)劃要求.設(shè)為l上一點(diǎn)，且，由（1）知，，此時(shí)；當(dāng)∠OBP>90°時(shí)，在中，.由上可知，d≥15.再討論點(diǎn)Q的位置.由（2）知，要使得QA≥15，點(diǎn)Q只有位于點(diǎn)C的右側(cè)，才能符合規(guī)劃要求.當(dāng)QA=15時(shí)，.此時(shí)，線段QA上所有點(diǎn)到點(diǎn)O的距離均不小于圓O的半徑.綜上，當(dāng)PB⊥AB，點(diǎn)Q位于點(diǎn)C右側(cè)，且CQ=時(shí)，d最小，此時(shí)P，Q兩點(diǎn)間的距離PQ=PD+CD+CQ=17+.因此，d最小時(shí)，P，Q兩點(diǎn)間的距離為17+（百米）.解法二：（1）如圖，過O作OH⊥l，垂足為H.以O(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)，直線OH為y軸，建立平面直角坐標(biāo)系.因?yàn)锽D=12，AC=6，所以O(shè)H=9，直線l的方程為y=9，點(diǎn)A，B的縱坐標(biāo)分別為3，?3.因?yàn)锳B為圓O的直徑，AB=10，所以圓O的方程為x2+y2=25.從而A（4，3），B（?4，?3），直線AB的斜率為.因?yàn)镻B⊥AB，所以直線PB的斜率為，直線PB的方程為.所以P（?13，9），.因此道路PB的長(zhǎng)為15（百米）.（2）①若P在D處，取線段BD上一點(diǎn)E（?4，0），則EO=4<5，所以P選在D處不滿足規(guī)劃要求.②若Q在D處，連結(jié)AD，由（1）知D（?4，9），又A（4，3），所以線段AD：.在線段AD上取點(diǎn)M（3，），因?yàn)椋跃€段AD上存在點(diǎn)到點(diǎn)O的距離小于圓O的半徑.因此Q選在D處也不滿足規(guī)劃要求.綜上，P和Q均不能選在D處.（3）先討論點(diǎn)P的位置.當(dāng)∠OBP<90°時(shí)，線段PB上存在點(diǎn)到點(diǎn)O的距離小于圓O的半徑，點(diǎn)P不符合規(guī)劃要求；當(dāng)∠OBP≥90°時(shí)，對(duì)線段PB上任意一點(diǎn)F，OF≥OB，即線段PB上所有點(diǎn)到點(diǎn)O的距離均不小于圓O的半徑，點(diǎn)P符合規(guī)劃要求.設(shè)為l上一點(diǎn)，且，由（1）知，，此時(shí)；當(dāng)∠OBP>90°時(shí)，在中，.由上可知，d≥15.再討論點(diǎn)Q的位置.由（2）知，要使得QA≥15，點(diǎn)Q只有位于點(diǎn)C的右側(cè)，才能符合規(guī)劃要求.當(dāng)QA=15時(shí)，設(shè)Q（a，9），由，得a=，所以Q（，9），此時(shí)，線段QA上所有點(diǎn)到點(diǎn)O的距離均不小于圓O的半徑.綜上，當(dāng)P（?13，9），Q（，9）時(shí)，d最小，此時(shí)P，Q兩點(diǎn)間的距離.因此，d最小時(shí)，P，Q兩點(diǎn)間的距離為（百米）.17．某群體的人均通勤時(shí)間，是指單日內(nèi)該群體中成員從居住地到工作地的平均用時(shí)．某地上班族中的成員僅以自駕或公交方式通勤．分析顯示：當(dāng)中（）的成員自駕時(shí)，自駕群體的人均通勤時(shí)間為（單位：分鐘），而公交群體的人均通勤時(shí)間不受影響，恒為分鐘，試根據(jù)上述分析結(jié)果回答下列問題：（1）當(dāng)在什么范圍內(nèi)時(shí)，公交群體的人均通勤時(shí)間少于自駕群體的人均通勤時(shí)間？（2）求該地上班族的人均通勤時(shí)間的表達(dá)式；討論的單調(diào)性，并說明其實(shí)際意義．【答案】(1)時(shí)，公交群體的人均通勤時(shí)間少于自駕群體的人均通勤時(shí)間;(2)見解析.【解析】（1）由題意知，當(dāng)時(shí)，，即，解得或，∴時(shí)，公交群體的人均通勤時(shí)間少于自駕群體的人均通勤時(shí)間；（2）當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；∴；當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增；說明該地上班族中有小于的人自駕時(shí)，人均通勤時(shí)間是遞減的；有大于的人自駕時(shí)，人均通勤時(shí)間是遞增的；當(dāng)自駕人數(shù)為時(shí)，人均通勤時(shí)間最少．18．已知函數(shù)．（1）若，求的單調(diào)區(qū)間；（2）證明：只有一個(gè)零點(diǎn)．【答案】（1）f（x）在（–∞，），（，+∞）單調(diào)遞增，在（，）單調(diào)遞減．（2）見解析.【解析】（1）當(dāng)a=3時(shí)，f（x）=，f′（x）=．令f′（x）=0解得x=或x=．當(dāng)x∈（–∞，）∪（，+∞）時(shí)，f′（x）>0；當(dāng)x∈（，）時(shí)，f′（x）<0．故f（x）在（–∞，），（，+∞）單調(diào)遞增，在（，）單調(diào)遞減．（2）由于，所以等價(jià)于．設(shè)=，則g′（x）=≥0，僅當(dāng)x=0時(shí)g′（x）=0，所以g（x）在（–∞，+∞）單調(diào)遞增．故g（x）至多有一個(gè)零點(diǎn)，從而f（x）至多有一個(gè)零點(diǎn)．又f（3a–1）=，f（3a+1）=，故f（x）有一個(gè)零點(diǎn)．綜上，f（x）只有一個(gè)零點(diǎn)．19．已知函數(shù)．（1）若，證明：當(dāng)時(shí)，；（2）若在只有一個(gè)零點(diǎn)，求的值.【答案】（1）見解析；（2）【解析】（1）當(dāng)時(shí)，等價(jià)于．設(shè)函數(shù)，則．當(dāng)時(shí)，，所以在單調(diào)遞減．而，故當(dāng)時(shí)，，即．（2）設(shè)函數(shù)．在只有一個(gè)零點(diǎn)當(dāng)且僅當(dāng)在只有一個(gè)零點(diǎn)．（i）當(dāng)時(shí)，，沒有零點(diǎn)；（ii）當(dāng)時(shí)，．當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，．所以在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增．故是在的最小值．①若，即，在沒有零點(diǎn)；②若，即，在只有一個(gè)零點(diǎn)；③若，即，由于，所以在有一個(gè)零點(diǎn)，由（1）知，當(dāng)時(shí)，，所以．故在有一個(gè)零點(diǎn)，因此在有兩個(gè)零點(diǎn)．綜上，在只有一個(gè)零點(diǎn)時(shí)，．第二部分模擬訓(xùn)練一、單選題1．定義在R上的函數(shù)滿足，且時(shí)，；時(shí)，.令，，則函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為（）A．7 B．8 C．9 D．10【答案】B【解析】由題意時(shí)，，時(shí)，，∵，即，∴把在上圖象，向左平移2個(gè)單位，再向下平移1個(gè)單位，即得在上的圖象，類似可得在上的圖象，如圖，，則，作出直線，由圖可知．它與在上圖象的交點(diǎn)個(gè)數(shù)為8．即有8個(gè)零點(diǎn)．故選：B．2．定義：如果函數(shù)在區(qū)間上存在，滿足，，則稱函數(shù)是在區(qū)間上的一個(gè)雙中值函數(shù)，已知函數(shù)是區(qū)間上的雙中值函數(shù)，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（）A． B． C． D．【答案】A【解析】，∵函數(shù)是區(qū)間上的雙中值函數(shù)，

∴區(qū)間上存在，

滿足∴方程在區(qū)間有兩個(gè)不相等的解，

令，

則，解得∴實(shí)數(shù)的取值范圍是.故選:A．3．已知偶函數(shù)滿足，且當(dāng)時(shí)，，關(guān)于的不等式在區(qū)間上有且只有300個(gè)整數(shù)解，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（）A． B．C． D．【答案】D【解析】因?yàn)榕己瘮?shù)滿足,所以,所以的周期為且的圖象關(guān)于直線對(duì)稱,由于上含有50個(gè)周期,且在每個(gè)周期內(nèi)都是軸對(duì)稱圖形,所以關(guān)于的不等式在上有3個(gè)整數(shù)解,當(dāng)時(shí),,由,得,由,得,所以函數(shù)在上單調(diào)遞增,在上單調(diào)遞減,因?yàn)?,所以當(dāng)時(shí),,所以當(dāng)時(shí),在上有4個(gè)整數(shù)解,不符合題意,所以,由可得或,