2025屆陜西省商洛市第3中學(xué)高二數(shù)學(xué)第一學(xué)期期末學(xué)業(yè)質(zhì)量監(jiān)測模擬試題含解析

2025屆陜西省商洛市第3中學(xué)高二數(shù)學(xué)第一學(xué)期期末學(xué)業(yè)質(zhì)量監(jiān)測模擬試題考生請注意：1．答題前請將考場、試室號、座位號、考生號、姓名寫在試卷密封線內(nèi)，不得在試卷上作任何標(biāo)記。2．第一部分選擇題每小題選出答案后，需將答案寫在試卷指定的括號內(nèi)，第二部分非選擇題答案寫在試卷題目指定的位置上。3．考生必須保證答題卡的整潔?？荚嚱Y(jié)束后，請將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．已知數(shù)列的前n項和為，則“數(shù)列是等比數(shù)列”為“存在，使得”的（）A.既不充分也不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.充分不必要條件2．函數(shù)在其定義域內(nèi)可導(dǎo)，的圖象如圖所示，則導(dǎo)函數(shù)的圖象為A. B.C. D.3．若，則與的大小關(guān)系是（）A. B.C. D.不能確定4．?dāng)?shù)列滿足，，，則數(shù)列的前8項和為（）A.25 B.26C.27 D.285．函數(shù)極小值為（）A. B.C. D.6．已知是邊長為6的等邊所在平面外一點(diǎn)，，當(dāng)三棱錐的體積最大時，三棱錐外接球的表面積為（）A. B.C. D.7．橢圓的長軸長是（）A.3 B.4C.6 D.88．已知是定義在上的函數(shù)，且對任意都有，若函數(shù)的圖象關(guān)于點(diǎn)對稱，且，則（）A. B.C. D.9．在等差數(shù)列中，，，則數(shù)列的公差為（）A.1 B.2C.3 D.410．已知橢圓的左，右兩個焦點(diǎn)分別為，若橢圓C上存在一點(diǎn)A，滿足，則橢圓C的離心率的取值范圍是（）A. B.C. D.11．過雙曲線Ω：(a＞0，b＞0)右焦點(diǎn)F作x軸的垂線，與Ω在第一象限的交點(diǎn)為M，且直線AM的斜率大于2，其中A為Ω的左頂點(diǎn)，則Ω的離心率的取值范圍為()A.(1,3) B.(3，＋∞)C.(1,) D.(，＋∞)12．已知是橢圓兩個焦點(diǎn)，P在橢圓上，，且當(dāng)時，的面積最大，則橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為（）A. B.C. D.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．若橢圓的長軸是短軸的2倍，且經(jīng)過點(diǎn)，則橢圓的離心率為________.14．在公差不為的等差數(shù)列中，，，成等比數(shù)列，數(shù)列的前項和為（1）求數(shù)列的通項公式；（2）若，且數(shù)列的前項和為，求15．如圖：二面角等于，是棱上兩點(diǎn)，分別在半平面內(nèi)，，則的長等于__________.16．記為等差數(shù)列{}的前n項和，若，，則=_________.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）已知圓的圓心在直線上，且圓與軸相切于點(diǎn)（1）求圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）若直線與圓相交于，兩點(diǎn)，求的面積18．（12分）已知，使；不等式對一切恒成立.如果為真命題，為假命題，求實(shí)數(shù)的取值范圍.19．（12分）已知橢圓C的中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在x軸上，長軸長為4，且點(diǎn)在橢圓上（1）經(jīng)過點(diǎn)M（1，）作一直線交橢圓于AB兩點(diǎn)，若點(diǎn)M為線段AB的中點(diǎn)，求直線的斜率；（2）設(shè)橢圓C的上頂點(diǎn)為P，設(shè)不經(jīng)過點(diǎn)P的直線與橢圓C交于C，D兩點(diǎn)，且，求證：直線過定點(diǎn)20．（12分）某話劇表演小組由名學(xué)生組成，若從這名學(xué)生中任意選取人，其中恰有名男生的概率是.（1）求該小組中男、女生各有多少人？（2）若這名學(xué)生站成一排照相留念，求所有排法中男生不相鄰的概率.21．（12分）已知函數(shù)的兩個極值點(diǎn)之差的絕對值為.（1）求的值；（2）若過原點(diǎn)的直線與曲線在點(diǎn)處相切，求點(diǎn)的坐標(biāo).22．（10分）已知函數(shù)（1）解關(guān)于的不等式；（2）若不等式在上有解，求實(shí)數(shù)的取值范圍

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、D【解析】由充分必要條件的定義，結(jié)合等比數(shù)列的通項公式和求和公式，以及利用特殊數(shù)列的分法，即可求解.【詳解】由題意，數(shù)列是等比數(shù)列，設(shè)等比數(shù)列的公比為，則，所以存在，使得，即充分性成立；若存在，使得，可取，即，可得，當(dāng)，可得，此時數(shù)列不是等比數(shù)列，即必要性不成立，所以數(shù)列是等比數(shù)列為存在，使得的充分不必要條件.故選：D.2、D【解析】分析：根據(jù)函數(shù)單調(diào)性、極值與導(dǎo)數(shù)的關(guān)系即可得到結(jié)論.詳解：觀察函數(shù)圖象，從左到右單調(diào)性先單調(diào)遞增，然后單調(diào)遞減，最后單調(diào)遞增.對應(yīng)的導(dǎo)數(shù)符號為正，負(fù)，正.,選項D的圖象正確.故選D.點(diǎn)睛：本題主要考查函數(shù)圖象的識別和判斷，函數(shù)單調(diào)性與導(dǎo)數(shù)符號的對應(yīng)關(guān)系是解題關(guān)鍵.3、B【解析】由題知，進(jìn)而研究的符號即可得答案.詳解】解：，所以，即.故選：B4、C【解析】根據(jù)通項公式及求出，從而求出前8項和.【詳解】當(dāng)時，，當(dāng)時，，當(dāng)時，，當(dāng)時，，當(dāng)時，，當(dāng)時，，則數(shù)列的前8項和為.故選：C5、A【解析】利用導(dǎo)數(shù)分析函數(shù)的單調(diào)性，可求得該函數(shù)的極小值.【詳解】對函數(shù)求導(dǎo)得，令，可得或，列表如下：減極小值增極大值減所以，函數(shù)的極小值為.故選：A.6、C【解析】由題意分析可得，當(dāng)時三棱錐的體積最大，然后作圖，將三棱錐還原成正三棱柱，按照正三棱柱外接球半徑的計算方法來計算，即可計算出球半徑，從而完成求解.【詳解】由題意可知，當(dāng)三棱錐的體積最大時是時，為正三角形，如圖所示，將三棱錐補(bǔ)成正三棱柱，該正三棱柱的外接球就是三棱錐的外接球，而正三棱柱的外接球球心落在上下底面外接圓圓心連線的中點(diǎn)上，設(shè)外接圓半徑為，三棱錐外接球半徑為，由正弦定理可得：，所以，，所以三棱錐外接球的表面積為.故選：C.7、D【解析】根據(jù)橢圓方程可得到a，從而求得長軸長.【詳解】橢圓方程為，故，所以橢圓長軸長為，故選:D.8、D【解析】令，代入可得，即得，再由函數(shù)的圖象關(guān)于點(diǎn)對稱，判斷得函數(shù)的圖象關(guān)于點(diǎn)對稱，即，則化簡可得，即函數(shù)的周期為，從而代入求解.【詳解】令，得，即，所以，因為函數(shù)的圖象關(guān)于點(diǎn)對稱，所以函數(shù)的圖象關(guān)于點(diǎn)對稱，即，所以，即，可得，則，故選：D.第II卷（非選擇題9、B【解析】將已知條件轉(zhuǎn)化為的形式，由此求得.【詳解】在等差數(shù)列中，設(shè)公差為d，由，，得，解得.故選：B10、C【解析】根據(jù)題意可知當(dāng)A為橢圓的上下頂點(diǎn)時，即可滿足橢圓C上存在一點(diǎn)A，使得，由此可得，解此不等式可得答案.【詳解】由橢圓的對稱性可知，當(dāng)A為橢圓的上下頂點(diǎn)時，最大，故只需即可滿足題意，設(shè)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，則只需,即有，所以，解得，故選：C11、B【解析】求點(diǎn)A和M的坐標(biāo)，進(jìn)而表示斜率，可得，整理得b2＞2ac＋2a2，從而可解得離心率的范圍.【詳解】F(c,0)，設(shè)M(c，yM)，(yM＞0)代入可解得yM＝，A(－a,0)，由于kAM＞2，即，整理得b2＞2ac＋2a2，又b2＝c2－a2，∴c2－a2＞2ac＋2a2，即c2－2ac－3a2＞0，∴e2－2e－3＞0，e＜－1(舍)或e＞3.答案：B【點(diǎn)睛】解決橢圓和雙曲線的離心率的求值及范圍問題其關(guān)鍵就是確立一個關(guān)于的方程或不等式，再根據(jù)的關(guān)系消掉得到的關(guān)系式，而建立關(guān)于的方程或不等式，要充分利用橢圓和雙曲線的幾何性質(zhì)、點(diǎn)的坐標(biāo)的范圍等.12、A【解析】由題意知c＝3，當(dāng)△F1PF2的面積最大時，點(diǎn)P與橢圓在y軸上的頂點(diǎn)重合，即可解出【詳解】由題意知c＝3，當(dāng)△F1PF2的面積最大時，點(diǎn)P與橢圓在y軸上的頂點(diǎn)重合，∵時，△F1PF2的面積最大，∴a＝＝，b＝∴橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為故選：A二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解析】分類討論焦點(diǎn)在軸與焦點(diǎn)在軸兩種情況.【詳解】因為橢圓經(jīng)過點(diǎn)，當(dāng)焦點(diǎn)在軸時，可知，，所以，所以，當(dāng)焦點(diǎn)在軸時，同理可得.故答案為：14、（1）（2）【解析】（1）由解出，再由前項和為55求得，由等差數(shù)列通項公式即可求解；（2）先求出，再由裂項相消求和即可.【小問1詳解】設(shè)公差為，由，，成等比數(shù)列，可得，即有，整理得，數(shù)列的前項和為55，可得，解得1，1，則；【小問2詳解】，則15、【解析】由題意，二面角等于，根據(jù)，結(jié)合向量的運(yùn)算，即可求解.【詳解】由題意，二面角等于，可得向量，，因為，可得,所以.故答案為：16、18【解析】根據(jù)等差數(shù)列通項和前n項和公式即可得到結(jié)果.【詳解】設(shè)等差數(shù)列的公差為，由，得，解得，所以故答案為：18三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）（2）4【解析】（1）由已知設(shè)圓心，再由相切求圓半徑從而得解.（2）求弦長，再求點(diǎn)到直線的距離，進(jìn)而可得解.【小問1詳解】因為圓心在直線上，所以設(shè)圓心，又圓與軸相切于點(diǎn)，所以，即圓與軸相切，則圓的半徑，于是圓的方程為【小問2詳解】圓心到直線的距離，則，又到直線的距離為，所以.18、【解析】若真命題，利用分離參數(shù)法結(jié)合指數(shù)函數(shù)性質(zhì)，可得；若為真命題，利用分離參數(shù)法并結(jié)合基本不等式可得，再根據(jù)為真命題，為假命題，可知，一真命題一假命題；再分“為真命題，為假命題”和“為假命題，為真命題”兩種情況，求解范圍，即可得到結(jié)果.【詳解】解：若為真命題，則有解，所以，即；若為真命題，則對一切恒成立,令則,當(dāng)且僅當(dāng)，即時，取得最小值；所以，即；又為真命題，為假命題，所以，一真命題一假命題；當(dāng)為真命題，為假命題時，，所以；當(dāng)為假命題，為真命題時，，所以；綜上所述，.19、（1）；（2）證明見解析.【解析】（1）設(shè)橢圓的方程為代入點(diǎn)的坐標(biāo)求出橢圓的方程，再利用點(diǎn)差法求解；（2）由題得直線的斜率存在，設(shè)直線的方程為，聯(lián)立直線和橢圓的方程得韋達(dá)定理，根據(jù)和韋達(dá)定理得到，即得證.【小問1詳解】解：由題設(shè)橢圓的方程為因為橢圓經(jīng)過點(diǎn)，所以所以橢圓的方程為.設(shè)，所以，所以，由題得，所以，所以，所以，所以直線的斜率為.【小問2詳解】解：由題得當(dāng)直線的斜率不存在時，不符合題意；當(dāng)直線的斜率存在時，設(shè)直線的方程為，聯(lián)立方程組y=kx+nx24所以，解得①，設(shè)，，，，則②，因為，則，，，又，，所以③，由②③可得（舍或滿足條件①，此時直線的方程為，故直線過定點(diǎn)20、（1）男生人數(shù)為，女生人數(shù)為；（2）.【解析】（1）設(shè)男生的人數(shù)為，則女生人數(shù)為，且，根據(jù)組合計數(shù)原理結(jié)合古典概型的概率公式可求得的值，即可得解；（2）利用插空法結(jié)合古典概型的概率公式可求得所求事件的概率.【小問1詳解】解：設(shè)男生的人數(shù)為，則女生人數(shù)為，且，由已知可得，即，因為且，解得，所以，該小組中男生人數(shù)為，女生人數(shù)為.【小問2詳解】解：若男生不相鄰，則先將女生全排，然后在女生所形成的個空中選個空插入男生，因此，所有排法中男生不相鄰的概率為.21、（1）；（2）.【解析】（1）求，設(shè)的兩根分別為，，由韋達(dá)定理可得：，，由題意知，進(jìn)而可得的值；再檢驗所求的的值是否符合題意即可；（2）設(shè)，則，由列關(guān)于的方程，即可求得的值，進(jìn)而可得的值，即可得點(diǎn)的坐標(biāo).【詳解】由可得：設(shè)的兩根分別為，，則，，由題意可知：，即，所以解得：，當(dāng)時，，由可得或，由可得，所以在單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增，所以為極大值點(diǎn)，為極小值點(diǎn)，滿足兩個極值點(diǎn)之差的絕對值為，符合題意，所以.（2）由（1）知，，設(shè)，則，由題意可得：