福州市八縣協(xié)作校2025屆數(shù)學(xué)高二上期末聯(lián)考試題含解析

福州市八縣協(xié)作校2025屆數(shù)學(xué)高二上期末聯(lián)考試題注意事項(xiàng)：1．答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)填寫在答題卡上。2．回答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑，如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其它答案標(biāo)號(hào)?；卮鸱沁x擇題時(shí)，將答案寫在答題卡上，寫在本試卷上無效。3．考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．德國(guó)數(shù)學(xué)家萊布尼茨是微積分的創(chuàng)立者之一，他從幾何問題出發(fā)，引進(jìn)微積分概念．在研究切線時(shí)認(rèn)識(shí)到，求曲線的切線的斜率依賴于縱坐標(biāo)的差值和橫坐標(biāo)的差值，以及當(dāng)此差值變成無限小時(shí)它們的比值，這也正是導(dǎo)數(shù)的幾何意義．設(shè)是函數(shù)f（x）的導(dǎo)函數(shù)，若，對(duì)，且．總有，則下列選項(xiàng)正確的是（）A. B.C. D.2．第24屆冬季奧林匹克運(yùn)動(dòng)會(huì)，將于2022年2月4日在北京市和張家口市聯(lián)合舉行．北京將成為奧運(yùn)史上第一個(gè)舉辦過夏季奧林匹克運(yùn)動(dòng)會(huì)和冬季奧林匹克運(yùn)動(dòng)會(huì)的城市．根據(jù)安排，國(guó)家體育場(chǎng)（鳥巢）成為北京冬奧會(huì)開、閉幕式的場(chǎng)館．國(guó)家體育場(chǎng)“鳥巢”的鋼結(jié)構(gòu)鳥瞰圖如圖所示，內(nèi)外兩圈的鋼骨架是兩個(gè)“相似橢圓”（離心率相同的兩個(gè)橢圓我們稱為“相似橢圓”）．如圖，由外層橢圓長(zhǎng)軸一端點(diǎn)A和短軸一端點(diǎn)B分別向內(nèi)層橢圓引切線AC，BD，若兩切線斜率之積等于，則橢圓的離心率為（）A. B.C. D.3．已知直線，，若，則實(shí)數(shù)（）A. B.C.1 D.24．命題“?x∈R，|x|+x2≥0”的否定是（）A.?x∈R，|x|+x2<0 B.?x∈R，|x|+x2≤0C.?x0∈R，|x0|+<0 D.?x0∈R，|x0|+≥05．已知一個(gè)圓錐體積為，任取該圓錐的兩條母線a，b，若a，b所成角的最大值為，則該圓錐的側(cè)面積為（）A. B.C. D.6．過點(diǎn)且斜率為的直線方程為（）A. B.C D.7．若方程表示雙曲線，則此雙曲線的虛軸長(zhǎng)等于（）A. B.C. D.8．函數(shù)的圖象在點(diǎn)處的切線的傾斜角為（）A. B.0C. D.19．圓與直線的位置關(guān)系是（）A.相交 B.相切C.相離 D.不能確定10．如圖，正四棱柱ABCD—A1B1C1D1中，AA1=2AB，則異面直線A1B與AD1所成角的余弦值為A. B.C. D.11．過點(diǎn)的直線在兩坐標(biāo)軸上的截距之和為零，則該直線方程為()A. B.C.或 D.或12．已知函數(shù)，則的值為（）A. B.C.0 D.1二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．已知拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)為，則該拋物線上一點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離的取值范圍是___________.14．已知球的半徑為3，則該球的體積為_________.15．已知正項(xiàng)數(shù)列的前n項(xiàng)和為，且，則__________，滿足不等式的最大整數(shù)為__________16．若，，三點(diǎn)共線，則m的值為___________.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）排一張有6個(gè)歌唱節(jié)目和5個(gè)舞蹈節(jié)目的演出節(jié)目單.（1）任何兩個(gè)舞蹈節(jié)目不相鄰的排法有多少種？（2）歌唱節(jié)目與舞蹈節(jié)目間隔排列的方法有多少種？18．（12分）已知數(shù)列是公比為正數(shù)的等比數(shù)列，且，.（1）求數(shù)列通項(xiàng)公式；（2）若，求數(shù)列的前項(xiàng)和.19．（12分）如圖，在三棱錐中，是邊長(zhǎng)為2的等邊三角形，，O是BC的中點(diǎn)，（1）證明：平面平面BCD；（2）若三棱錐的體積為，E是棱AC上的一點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，二面角E－BD－C大小為60°，求t的值20．（12分）在2016珠海航展志愿服務(wù)開始前，團(tuán)珠海市委調(diào)查了北京師范大學(xué)珠海分校某班50名志愿者參加志愿服務(wù)禮儀培訓(xùn)和賽會(huì)應(yīng)急救援培訓(xùn)的情況，數(shù)據(jù)如下表：?jiǎn)挝唬喝藚⒓又驹阜?wù)禮儀培訓(xùn)未參加志愿服務(wù)禮儀培訓(xùn)參加賽會(huì)應(yīng)急救援培訓(xùn)88未參加賽會(huì)應(yīng)急救援培訓(xùn)430（1）從該班隨機(jī)選1名同學(xué)，求該同學(xué)至少參加上述一個(gè)培訓(xùn)的概率；（2）在既參加志愿服務(wù)禮儀培訓(xùn)又參加賽會(huì)應(yīng)急救援培訓(xùn)的8名同學(xué)中，有5名男同學(xué)A，A，A，A，A名女同學(xué)B，B，B現(xiàn)從這5名男同學(xué)和3名女同學(xué)中各隨機(jī)選1人，求A被選中且B未被選中的概率.21．（12分）已知橢圓的離心率為，且經(jīng)過點(diǎn).（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）已知，經(jīng)過點(diǎn)的直線與橢圓交于、兩點(diǎn)，若原點(diǎn)到直線的距離為，且，求直線的方程.22．（10分）近年來，我國(guó)電子商務(wù)蓬勃發(fā)展.2016年“618”期間，某網(wǎng)購平臺(tái)的銷售業(yè)績(jī)高達(dá)516億元人民幣，與此同時(shí)，相關(guān)管理部門推出了針對(duì)該網(wǎng)購平臺(tái)的商品和服務(wù)的評(píng)價(jià)系統(tǒng).從該評(píng)價(jià)系統(tǒng)中選出200次成功交易，并對(duì)其評(píng)價(jià)進(jìn)行統(tǒng)計(jì)，網(wǎng)購者對(duì)商品的滿意率為0.6，對(duì)服務(wù)的滿意率為0.75，其中對(duì)商品和服務(wù)都滿意的交易為80次.（1）根據(jù)已知條件完成下面的列聯(lián)表，并回答能否有的把握認(rèn)為“網(wǎng)購者對(duì)商品滿意與對(duì)服務(wù)滿意之間有關(guān)系”?對(duì)服務(wù)滿意對(duì)服務(wù)不滿意合計(jì)對(duì)商品滿意80對(duì)商品不滿意10合計(jì)200（2）若將頻率視為概率，某人在該網(wǎng)購平臺(tái)上進(jìn)行的3次購物中，設(shè)對(duì)商品和服務(wù)都滿意的次數(shù)為隨機(jī)變量，求的分布列和數(shù)學(xué)期望.臨界值表：0.150.100.050.0250.0100.0050.0012.0722.7063.8415.0246.6357.89710.828的觀測(cè)值：（其中）.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、C【解析】由，得在上單調(diào)遞增，并且由的圖象是向上凸，進(jìn)而判斷選項(xiàng).【詳解】由，得在上單調(diào)遞增，因?yàn)椋?，故A不正確；對(duì)，，且，總有，可得函數(shù)的圖象是向上凸，可用如圖的圖象來表示，由表示函數(shù)圖象上各點(diǎn)處的切線的斜率，由函數(shù)圖象可知，隨著的增大，的圖象越來越平緩，即切線的斜率越來越小，所以，故B不正確；，表示點(diǎn)與點(diǎn)連線的斜率，由圖可知，所以C正確，同理，由圖可知，故D不正確.故選：C2、C【解析】設(shè)內(nèi)層橢圓的方程為，可得外層橢圓的方程為，設(shè)切線的方程為，聯(lián)立方程組，根據(jù)，得到，同理得到，結(jié)合題意求得，進(jìn)而求得離心率.【詳解】設(shè)內(nèi)層橢圓方程為，因?yàn)閮?nèi)外層的橢圓的離心率相同，可設(shè)外層橢圓的方程為，設(shè)切線的方程為，聯(lián)立方程組，整理得，由，整理得，設(shè)切線的方程為，同理可得，因?yàn)閮汕芯€斜率之積等于，可得，可得，所以離心率為.故選：C.3、D【解析】根據(jù)兩條直線的斜率相等可得結(jié)果.【詳解】因?yàn)橹本€，，且，所以，故選：D.4、C【解析】利用全稱命題的否定可得出結(jié)論.【詳解】由全稱命題的否定可知，命題“，”的否定是“，”.故選：C.5、B【解析】設(shè)圓錐的母線長(zhǎng)為R，底面半徑長(zhǎng)為r，由題可知圓錐的軸截面是等邊三角形，根據(jù)體積公式計(jì)算可得，利用扇形的面積公式計(jì)算即可求得結(jié)果.【詳解】如圖，設(shè)圓錐的母線長(zhǎng)為R，底面半徑長(zhǎng)為r，由題可知圓錐的軸截面是等邊三角形，所以，圓錐的體積，解得，所以該圓錐的側(cè)面積為.故選：B6、B【解析】利用點(diǎn)斜式可得出所求直線的方程.【詳解】由題意可知所求直線的方程為，即.故選：B.7、B【解析】根據(jù)雙曲線標(biāo)準(zhǔn)方程直接判斷.【詳解】方程即為，由方程表示雙曲線，可得，所以，，所以虛軸長(zhǎng)為，故選：B.8、A【解析】求出導(dǎo)函數(shù)，計(jì)算得切線斜率，由斜率求得傾斜角【詳解】，設(shè)傾斜角為，則，，故選：A9、B【解析】用圓心到直線的距離與半徑的大小判斷【詳解】解：圓的圓心到直線的距離，等于圓的半徑，所以圓與直線相切，故選：B10、D【解析】設(shè)AA1=2AB=2，因?yàn)椋援惷嬷本€A1B與AD1所成角，，故選D.11、D【解析】分截距為零和不為零兩種情況討論即可﹒【詳解】當(dāng)直線過原點(diǎn)時(shí)，滿足題意，方程為，即2x－y＝0；當(dāng)直線不過原點(diǎn)時(shí)，設(shè)方程為，∵直線過(1，2)，∴，∴，∴方程為，故選：D﹒12、B【解析】對(duì)函數(shù)求導(dǎo)，然后將代入導(dǎo)數(shù)中可得結(jié)果.【詳解】，則，則，故選：B二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解析】根據(jù)題意，求得，得到焦點(diǎn)坐標(biāo)，結(jié)合拋物線的定義，得到，根據(jù)，求得，即可求解.【詳解】由拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)為，可得，解得，設(shè)拋物線上的任意一點(diǎn)為，焦點(diǎn)為，由拋物線的定義可得，因?yàn)?，所以，所以拋物線上一點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離的取值范圍是.故答案為：.14、【解析】根據(jù)球的體積公式計(jì)算可得；【詳解】解：因?yàn)榍虻陌霃剑郧虻捏w積；故答案為：15、①.##②.【解析】由得到，即可得到數(shù)列是首項(xiàng)為1，公差為1的等差數(shù)列，從而求出，再根據(jù)求出，令，利用裂項(xiàng)相消法求出，即可求出的取值范圍，從而得解；【詳解】解：由，令，得，，解得；當(dāng)時(shí)，，即因此，數(shù)列是首項(xiàng)為1，公差為1的等差數(shù)列，，即所以，令，所以，所以，則最大整數(shù)為；故答案為：；；16、【解析】根據(jù)三點(diǎn)共線與斜率的關(guān)系即可得出【詳解】由，，三點(diǎn)共線，可知所在的直線與所在的直線平行，又，由已知可得，解得故答案為：三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）（2）【解析】(1)用插空法，現(xiàn)排唱歌，利用產(chǎn)生的空排跳舞；（2）先排唱歌再排舞蹈.【小問1詳解】解：先排歌唱節(jié)目有種，歌唱節(jié)目之間以及兩端共有7個(gè)空位，從中選5個(gè)放入舞蹈節(jié)目，共有種方法，所以任何兩個(gè)舞蹈節(jié)目不相鄰的排法有種方法.【小問2詳解】解：先排舞蹈節(jié)目有種方法，在舞蹈節(jié)目之間以及兩端共有6個(gè)空位，恰好供6個(gè)歌唱節(jié)目放入.所以歌唱節(jié)目與舞蹈節(jié)目間隔排列的排法有種方法.18、（1）；（2）.【解析】（1）根據(jù)題意，通過解方程求出公比，即可求解；（2）根據(jù)題意，求出，結(jié)合組合法求和，即可求解.【小問1詳解】根據(jù)題意，設(shè)公比為，且，∵，，∴，解得或（舍），∴.【小問2詳解】根據(jù)題意，得，故，因此.19、（1）證明見解析（2）3【解析】（1）證得平面BCD，結(jié)合面面垂直判定定理即可得出結(jié)論；（2）建立空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量求二面角的公式可得，進(jìn)而解方程即可求出結(jié)果.【小問1詳解】因?yàn)?，O是BC的中點(diǎn)，所以，又因?yàn)?，且，平面BCD，平面BCD，所以平面BCD，因?yàn)槠矫鍭BC，所以平面平面BCD【小問2詳解】連接OD，又因?yàn)槭沁呴L(zhǎng)為2的等邊三角形，所以，由（1）知平面BCD，所以AO，BC，DO兩兩互相垂直以O(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)，OA，OB，OD所在直線分別為x軸，y軸，z軸建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系設(shè)，則O（0，0，0），A（0，0，m），B（1，0，0），C（－1，0，0），，因?yàn)锳－BCD的體積為，所以，解得，即A（0，0，3），，∵，∴，設(shè)平面BCD的法向量為，,則，取平面BCD的法向量為，，，設(shè)是平面BDE的法向量，則，∴取平面BDE的法向量，解得或（舍）20、（1）；（2）.【解析】（1）根據(jù)表中數(shù)據(jù)知未參加志愿服務(wù)禮儀培訓(xùn)又未參加賽會(huì)應(yīng)急救援培訓(xùn)的有30人，故至少參加上述一個(gè)培訓(xùn)的共有人.從而求得概率；（2）從這5名男同學(xué)和3名女同學(xué)中各隨機(jī)選1人，列出其一切可能的結(jié)果，從而求得被選中且未被選中的概率.【詳解】解：由調(diào)查數(shù)據(jù)可知，既未參加志愿服務(wù)禮儀培訓(xùn)又未參加賽會(huì)應(yīng)急救援培訓(xùn)的有30人，故至少參加上述一個(gè)培訓(xùn)的共有人.從該班隨機(jī)選1名同學(xué)，該同學(xué)至少參加上述一個(gè)培訓(xùn)的概率為；從這5名男同學(xué)和3名女同學(xué)中各隨機(jī)選1人，其一切可能的結(jié)果組成的基本事件有：，，，共15個(gè)，根據(jù)題意，這些基本事件的出現(xiàn)是等可能的，事件“被選中且未被選中”所包含的基本事件有：，共2個(gè)，被選中且未被選中的概率為.21、（1）；（2）.【解析】（1）由已知條件可得出關(guān)于、、的方程組，求出這三個(gè)量的值，由此可得出橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）分析可知直線的斜率存在且不為零，設(shè)直線的方程為，由點(diǎn)到直線的距離公式可得出，設(shè)點(diǎn)、，將直線的方程與橢圓的方程聯(lián)立，列出韋達(dá)定理，由可得出，代入韋達(dá)定理求出、的值，由此可得出直線的方程.【詳解】（1）設(shè)橢圓的焦距為，則，解得，因此，橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為；（2）若直線斜率不存在，則直線過原點(diǎn)，不合乎題意.所以，直線的斜率存在，設(shè)斜率為，設(shè)直線方程為，設(shè)、，原點(diǎn)到直線的距離為，，即①.聯(lián)立直線與橢圓方程可得，則，則，由韋達(dá)定理可得，.，則為線段的中點(diǎn)，所以，，，得，，所以，，整理可得，解得，即，，因此，直線的方程為或.【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：利用韋達(dá)定理法解決直線與圓錐曲線相交問題的基本步驟如下：（1）設(shè)直線方程，設(shè)交點(diǎn)坐標(biāo)為、；（2）聯(lián)立直線與圓錐曲線的方程，得到關(guān)于（或）的一元二次方程，必要時(shí)計(jì)算；（3）列出韋達(dá)定理；（4）將所求問題或題中的關(guān)系轉(zhuǎn)化為、的形式；（5）代入韋達(dá)定理求解.22、（1）列聯(lián)表見解析，能有；（2）分布列見解析，.【解析】（1）利用數(shù)據(jù)直接填寫聯(lián)列表即可，求出