2025屆上海大學(xué)市北附屬中學(xué)數(shù)學(xué)高二上期末經(jīng)典試題含解析

2025屆上海大學(xué)市北附屬中學(xué)數(shù)學(xué)高二上期末經(jīng)典試題考生請(qǐng)注意：1．答題前請(qǐng)將考場(chǎng)、試室號(hào)、座位號(hào)、考生號(hào)、姓名寫(xiě)在試卷密封線內(nèi)，不得在試卷上作任何標(biāo)記。2．第一部分選擇題每小題選出答案后，需將答案寫(xiě)在試卷指定的括號(hào)內(nèi)，第二部分非選擇題答案寫(xiě)在試卷題目指定的位置上。3．考生必須保證答題卡的整潔。考試結(jié)束后，請(qǐng)將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．是等差數(shù)列，且，，則的值（）A. B.C. D.2．已知1與5的等差中項(xiàng)是，又1，，，8成等比數(shù)列，公比為，則的值為（）A.5 B.4C.3 D.63．“且”是“”的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件4．圓心在直線上，且過(guò)點(diǎn)，并與直線相切的圓的方程為（）A. B.C. D.5．如圖，正三棱柱中，，則與平面所成角的正弦值等于（）A. B.C. D.6．已知數(shù)列滿足，且，則（）A.2 B.3C.5 D.87．設(shè)雙曲線與橢圓：有公共焦點(diǎn)，.若雙曲線經(jīng)過(guò)點(diǎn)，設(shè)為雙曲線與橢圓的一個(gè)交點(diǎn)，則的余弦值為（）A. B.C. D.8．已知平面的一個(gè)法向量為，且，則點(diǎn)A到平面的距離為（）A. B.C. D.19．已知，則“”是“”的（）A.充分不必要條件 B.充要條件C.必要不充分條件 D.既不充分也不必要條件10．設(shè)拋物線C:的焦點(diǎn)為，準(zhǔn)線為．是拋物線C上異于的一點(diǎn)，過(guò)作于，則線段的垂直平分線（）A.經(jīng)過(guò)點(diǎn) B.經(jīng)過(guò)點(diǎn)C.平行于直線 D.垂直于直線11．已知，，則下列結(jié)論一定成立的是（）A. B.C. D.12．的二項(xiàng)展開(kāi)式中，二項(xiàng)式系數(shù)最大的項(xiàng)是第（）項(xiàng).A.6 B.5C.4和6 D.5和7二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．如圖，在四棱錐中，平面，底面為矩形，分別為的中點(diǎn)，連接，則點(diǎn)到平面的距離為_(kāi)_________.14．已知，空間直角坐標(biāo)系中，過(guò)點(diǎn)且一個(gè)法向量為的平面的方程為.用以上知識(shí)解決下面問(wèn)題：已知平面的方程為，直線是兩個(gè)平面與的交線，則直線與平面所成角的正弦值為_(kāi)__________.15．根據(jù)某市有關(guān)統(tǒng)計(jì)公報(bào)顯示，隨著“一帶一路”經(jīng)貿(mào)合作持續(xù)深化，該市對(duì)外貿(mào)易近幾年持續(xù)繁榮，2017年至2020年每年進(jìn)口總額x（單位：千億元）和出口總額y（單位：千億元）之間一組數(shù)據(jù)如下：2017年2018年2019年2020年x1.82.22.63.0y2.02.83.24.0若每年的進(jìn)出口總額x，y滿足線性相關(guān)關(guān)系，則______；若計(jì)劃2022年出口總額達(dá)到5千億元，預(yù)計(jì)該年進(jìn)口總額為_(kāi)_____千億元16．若向量滿足，則_________.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17．（12分）已知圓心為的圓經(jīng)過(guò)，兩點(diǎn)，且圓心在直線上，求此圓的標(biāo)準(zhǔn)方程.18．（12分）已知數(shù)列的前項(xiàng)和，且（1）證明：數(shù)列為等差數(shù)列；（2）設(shè)，記數(shù)列的前項(xiàng)和為，若，對(duì)任意恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍19．（12分）已知橢圓的焦點(diǎn)與雙曲線的焦點(diǎn)相同，且D的離心率為.（1）求C與D的方程；（2）若，直線與C交于A，B兩點(diǎn)，且直線PA，PB的斜率都存在.①求m的取值范圍.②試問(wèn)這直線PA，PB的斜率之積是否為定值？若是，求出該定值；若不是，請(qǐng)說(shuō)明理由.20．（12分）已知四邊形是菱形，四邊形是矩形，平面平面，，，G是的中點(diǎn)（1）證明：平面；（2）求二面角的正弦值21．（12分）如圖，在梯形中，，，平面，四邊形為矩形，點(diǎn)為線段的中點(diǎn)，且（1）求證：平面平面；（2）若平面與平面所成銳二面角的余弦值為，則三棱錐F-ABC的體積為多少？22．（10分）已知點(diǎn)和圓.（1）求圓的圓心坐標(biāo)和半徑；（2）設(shè)為圓上的點(diǎn)，求的取值范圍.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、B【解析】根據(jù)等差數(shù)列的性質(zhì)計(jì)算【詳解】因?yàn)槭堑炔顢?shù)列，所以，，也成等差數(shù)列，所以故選：B2、A【解析】由等差中項(xiàng)的概念列式求得值，再由等比數(shù)列的通項(xiàng)公式列式求解，則答案可求.【詳解】由題意，，則；又1，，，8成等比數(shù)列，公比為，，即,,故選：.3、A【解析】按照充分必要條件的判斷方法判斷，“且”能否推出“”，以及“”能否推出“且”，判斷得到正確答案，【詳解】當(dāng)且時(shí)，成立，反過(guò)來(lái)，當(dāng)時(shí)，例：，不能推出且.所以“且”是“”的充分不必要條件.故選：A【點(diǎn)睛】本題考查充分不必要條件的判斷，重點(diǎn)考查基本判斷方法，屬于基礎(chǔ)題型.4、A【解析】設(shè)圓的圓心，表示出半徑，再由圓心到切線距離等于半徑即可列出方程求得參數(shù)及圓的方程.【詳解】∵圓的圓心在直線上，∴設(shè)圓心為(a，－a)，∵圓過(guò)，∴半徑r＝，又∵圓與相切，∴半徑r＝，則，解得a＝2，故圓心為(2，－2)，半徑為，故方程為.故選：A.5、C【解析】取中點(diǎn)，連接，，證明平面，從而可得為與平面所成角，再利用三角函數(shù)計(jì)算的正弦值.【詳解】取中點(diǎn)，連接，，在正三棱柱中，底面是正三角形，∴，又∵底面，∴，又，∴平面，∴為與平面所成角，由題意，，，在中，.故選：C6、D【解析】使用遞推公式逐個(gè)求解，直到求出即可.【詳解】因?yàn)樗裕?，?故選：D7、A【解析】求出雙曲線方程，根據(jù)橢圓和雙曲線的第一定義求出的長(zhǎng)度，從而根據(jù)余弦定理求出的余弦值【詳解】由題得，雙曲線中，所以，雙曲線方程為：，假設(shè)在第一象限，根據(jù)橢圓和雙曲線的定義可得：，解得：，，所以根據(jù)余弦定理，故選：A8、B【解析】直接由點(diǎn)面距離的向量公式就可求出【詳解】∵，∴，又平面的一個(gè)法向量為，∴點(diǎn)A到平面的距離為故選：B9、B【解析】求得中的取值范圍，由此確定充分、必要條件.【詳解】，，所以“”是“”的充要條件.故選：B10、A【解析】依據(jù)題意作出焦點(diǎn)在軸上的開(kāi)口向右的拋物線，根據(jù)垂直平分線的定義和拋物線的定義可知，線段的垂直平分線經(jīng)過(guò)點(diǎn)，即可求解.【詳解】如圖所示：因?yàn)榫€段的垂直平分線上的點(diǎn)到的距離相等，又點(diǎn)在拋物線上，根據(jù)定義可知，，所以線段的垂直平分線經(jīng)過(guò)點(diǎn).故選：A.11、B【解析】根據(jù)不等式的同向可加性求解即可.【詳解】因?yàn)?，所以，又，所?故選：B.12、A【解析】由二項(xiàng)展開(kāi)的中間項(xiàng)或中間兩項(xiàng)二項(xiàng)式系數(shù)最大可得解.【詳解】因?yàn)槎?xiàng)式展開(kāi)式一共11項(xiàng)，其中中間項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)最大，易知當(dāng)r＝5時(shí)，最大，即二項(xiàng)展開(kāi)式中，二項(xiàng)式系數(shù)最大的為第6項(xiàng).故選：A二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解析】利用轉(zhuǎn)化法，根據(jù)線面平行的性質(zhì)，結(jié)合三棱錐的體積等積性進(jìn)行求解即可.【詳解】設(shè)是的中點(diǎn)，連接，因?yàn)槭堑闹悬c(diǎn)，所以，因?yàn)槠矫?，平面，所以平面，因此點(diǎn)到平面的距離等于點(diǎn)到平面的距離，設(shè)為，因?yàn)槠矫妫?，，于是有，底面為矩形，所以有，，因?yàn)槠矫?，所以，于是有：，由余弦定理可知：cos∠PEC=所以，因此，，因?yàn)?，所以，故答案為?4、【解析】由題意分別求出這三個(gè)平面的法向量，設(shè)直線的方向向量為，由直線與平面與的法向量垂直，得出，由向量的夾角公式可得答案.【詳解】由，解得，即直線與平面的交點(diǎn)坐標(biāo)為平面的方程為，可得所以平面的法向量為平面的法向量為，的法向量為設(shè)直線的方向向量為，則，即取，設(shè)直線與平面所成角則故答案為：15、①.1.6；②.3.65.【解析】根據(jù)給定數(shù)表求出樣本中心點(diǎn)，代入即可求得，取可求出該年進(jìn)口總額.詳解】由數(shù)表得：，，因此，回歸直線過(guò)點(diǎn)，由，解得，此時(shí)，，當(dāng)時(shí)，即，解得，所以，預(yù)計(jì)該年進(jìn)口總額為千億元.故答案為：1.6；3.6516、【解析】根據(jù)題目條件，利用模的平方可以得出答案【詳解】∵∴∴.故答案為：.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17、【解析】設(shè)圓心坐標(biāo)為，根據(jù)兩點(diǎn)在圓上利用兩點(diǎn)的距離公式建立關(guān)于的方程，解出值．從而求出圓的圓心和半徑，可得圓的方程【詳解】解：∵圓心在直線，∴設(shè)圓心坐標(biāo)為，根據(jù)點(diǎn)和在圓上，可得解之得.∴圓心坐標(biāo)為，半徑.因此，此圓的標(biāo)準(zhǔn)方程是18、（1）證明見(jiàn)解析（2）【解析】（1）利用可得答案；（2）利用錯(cuò)位相減可得，轉(zhuǎn)化為對(duì)任意，恒成立，求出的最大值可得答案小問(wèn)1詳解】當(dāng)時(shí)，由，得或（舍去），由，得，①當(dāng)時(shí)，，②由①－②，得，整理得，因?yàn)?，所以所以是首?xiàng)為1，公差為1的等差數(shù)列【小問(wèn)2詳解】由（1）可得，所以，③，④由③－④，得，即，由得，所以，即，該式對(duì)任意恒成立，因此，所以的取值范圍是19、（1）C：；D：；（2）①且；②見(jiàn)解析.【解析】（1）根據(jù)D的離心率為，求出從而求出雙曲線的焦點(diǎn)，再由橢圓的焦點(diǎn)與雙曲線的焦點(diǎn)相同，即可求出，即可求出C與D的方程；（2）①根據(jù)題意容易得出，然后聯(lián)立方程，消元，利用即可求出m的取值范圍；②設(shè)，由①得：，計(jì)算出，判斷其是否為定值即可.【詳解】解：（1）因?yàn)镈的離心率為，即，解得：，所以D的方程為：；焦點(diǎn)坐標(biāo)為，又因橢圓的焦點(diǎn)與雙曲線的焦點(diǎn)相同，所以，所以，所以C的方程為：；（2）①如圖：因?yàn)橹本€與C交于A，B兩點(diǎn)，且直線PA，PB的斜率都存在，所以，聯(lián)立，消化簡(jiǎn)得：，所以，解得，所以且；②設(shè)，由①得：，，所以，故直線PA，PB的斜率之積不是是定值.【點(diǎn)睛】本題考查了求橢圓與雙曲線的方程、直線與橢圓的位置關(guān)系及橢圓中跟定直有關(guān)的問(wèn)題，難度較大.20、（1）證明見(jiàn)解析（2）【解析】（1）設(shè)，線段的中點(diǎn)為H，分別連接，可證，從而可得平面；（2）建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，求出平面的一個(gè)法向量和平面的一個(gè)法向量后可求二面角的余弦值.【小問(wèn)1詳解】證明：設(shè)，線段的中點(diǎn)為H，分別連接又因?yàn)镚是的中點(diǎn)，所以因?yàn)樗倪呅螢榫匦?，?jù)菱形性質(zhì)知，O為的中點(diǎn)，所以，且，所以，且，所以四邊形是平行四邊形，所以又因?yàn)槠矫?，平面，所以平面【小?wèn)2詳解】解：據(jù)四邊形是菱形的性質(zhì)知，又因?yàn)槠矫嫫矫妫矫?，平面平面，故平面，所以以分別為x軸，y軸，以過(guò)與的交點(diǎn)O，且垂直于平面的直線為z軸建立空間直角坐標(biāo)系如圖所示，則有，所以設(shè)平面的一個(gè)法向量，則令，則，且，所以設(shè)平面的一個(gè)法向量，則令，則，且，所以所以，所以二面角的正弦值為21、（1）證明見(jiàn)解析；（2）【解析】（1）先證線面垂直，再證面面垂直即可解決；（2）建立空間直角坐標(biāo)系，以向量法去求平面與平面所成銳二面角的余弦值，列方程解得的長(zhǎng)度，即可求得三棱錐F-ABC的體積.【小問(wèn)1詳解】在梯形中，，，，所以，，又，所以，所以，又所以，即又平面，平面，所以，又，，平面，所以平面，即平面又平面，則平面平面【小問(wèn)2詳解】由（1）知，