2025屆江蘇省揚(yáng)州市高二上數(shù)學(xué)期末學(xué)業(yè)質(zhì)量監(jiān)測(cè)模擬試題含解析

2025屆江蘇省揚(yáng)州市高二上數(shù)學(xué)期末學(xué)業(yè)質(zhì)量監(jiān)測(cè)模擬試題考生須知：1．全卷分選擇題和非選擇題兩部分，全部在答題紙上作答。選擇題必須用2B鉛筆填涂；非選擇題的答案必須用黑色字跡的鋼筆或答字筆寫(xiě)在“答題紙”相應(yīng)位置上。2．請(qǐng)用黑色字跡的鋼筆或答字筆在“答題紙”上先填寫(xiě)姓名和準(zhǔn)考證號(hào)。3．保持卡面清潔，不要折疊，不要弄破、弄皺，在草稿紙、試題卷上答題無(wú)效。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．已知等差數(shù)列中，、是的兩根，則（）A B.C. D.2．已知等比數(shù)列的前項(xiàng)和為，若，，則（）A.20 B.30C.40 D.503．已知函數(shù)的圖象是下列四個(gè)圖象之一，且其導(dǎo)函數(shù)的圖象如圖所示，則該函數(shù)的圖象是（）A. B.C. D.4．已知點(diǎn)，點(diǎn)關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)點(diǎn)為，則（）A. B.C. D.5．圓錐曲線(xiàn)具有豐富的光學(xué)性質(zhì)，從橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)發(fā)出的光線(xiàn)，經(jīng)過(guò)橢圓反射后，反射光線(xiàn)經(jīng)過(guò)橢圓的另一個(gè)焦點(diǎn)．直線(xiàn)l：與橢圓C：相切于點(diǎn)P，橢圓C的焦點(diǎn)為，，由光學(xué)性質(zhì)知直線(xiàn)，與l的夾角相等，則的角平分線(xiàn)所在的直線(xiàn)的方程為（）A. B.C. D.6．已知雙曲線(xiàn)，過(guò)左焦點(diǎn)且與軸垂直的直線(xiàn)與雙曲線(xiàn)交于、兩點(diǎn)，若弦的長(zhǎng)恰等于實(shí)鈾的長(zhǎng)，則雙曲線(xiàn)的離心率為（）A. B.C. D.7．下列關(guān)于拋物線(xiàn)的圖象描述正確的是（）A.開(kāi)口向上，焦點(diǎn)為 B.開(kāi)口向右，焦點(diǎn)為C.開(kāi)口向上，焦點(diǎn)為 D.開(kāi)口向右，焦點(diǎn)為8．已知橢圓：的左、右焦點(diǎn)分別為，，下頂點(diǎn)為，直線(xiàn)與橢圓的另一個(gè)交點(diǎn)為，若為等腰三角形，則橢圓的離心率為（）A. B.C. D.9．橢圓的短軸長(zhǎng)為（）A.8 B.2C.4 D.10．有7名同學(xué)參加百米競(jìng)賽，預(yù)賽成績(jī)各不相同，取前3名參加決賽，小明同學(xué)已經(jīng)知道了自己的成績(jī)，為了判斷自己是否能進(jìn)入決賽，他還需要知道7名同學(xué)成績(jī)的（）A.平均數(shù) B.眾數(shù)C.中位數(shù) D.方差11．美學(xué)四大構(gòu)件是：史詩(shī)、音樂(lè)、造型（繪畫(huà)、建筑等）和數(shù)學(xué)．素描是學(xué)習(xí)繪畫(huà)的必要一步，它包括明暗素描和結(jié)構(gòu)素描，而學(xué)習(xí)幾何體結(jié)構(gòu)素描是學(xué)習(xí)素描最重要的一步．某同學(xué)在畫(huà)切面圓柱體（用與圓柱底面不平行的平面去截圓柱，底面與截面之間的部分叫做切面圓柱體，原圓柱的母線(xiàn)被截面所截剩余的部分稱(chēng)為切面圓柱體的母線(xiàn)）的過(guò)程中，發(fā)現(xiàn)“切面”是一個(gè)橢圓，若切面圓柱體的最長(zhǎng)母線(xiàn)與最短母線(xiàn)所確定的平面截切面圓柱體得到的截面圖形是有一個(gè)底角為60度的直角梯形，則該橢圓的離心率為（）A. B.C. D.12．已知三維數(shù)組，，且，則實(shí)數(shù)（）A.-2 B.-9C. D.2二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．過(guò)點(diǎn)作圓的兩條切線(xiàn)，切點(diǎn)為A，B，則直線(xiàn)的一般式方程為_(kāi)__________.14．下列是某廠(chǎng)1~4月份用水量（單位：百?lài)崳┑囊唤M數(shù)據(jù)，由其散點(diǎn)圖可知，用水量與月份之間有較好的線(xiàn)性相關(guān)關(guān)系，其線(xiàn)性回歸方程是，則_______.月份1234用水量4.5432.515．函數(shù)的圖象在處的切線(xiàn)方程為，則___________.16．從10名大學(xué)畢業(yè)生中選3個(gè)人擔(dān)任村主任助理，則甲、乙至少有1人入選，而丙沒(méi)有入選不同選法的種數(shù)為_(kāi)__________.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17．（12分）已知等差數(shù)列中，，.（1）求的通項(xiàng)公式；（2）若，求數(shù)列的前n項(xiàng)和.18．（12分）已知圓C經(jīng)過(guò)、兩點(diǎn)，且圓心在直線(xiàn)上（1）求圓C的方程；（2）若直線(xiàn)經(jīng)過(guò)點(diǎn)且與圓C相切，求直線(xiàn)的方程19．（12分）已知空間內(nèi)不重合的四點(diǎn)A，B，C，D的坐標(biāo)分別為，，，，且（1）求k，t的值；（2）求點(diǎn)B到直線(xiàn)CD的距離20．（12分）已知橢圓M：的離心率為，左頂點(diǎn)A到左焦點(diǎn)F的距離為1，橢圓M上一點(diǎn)B位于第一象限，點(diǎn)B與點(diǎn)C關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，直線(xiàn)CF與橢圓M的另一交點(diǎn)為D（1）求橢圓M的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）設(shè)直線(xiàn)AD的斜率為，直線(xiàn)AB的斜率為．求證：為定值21．（12分）已知數(shù)列的首項(xiàng)，且滿(mǎn)足.（1）求證：數(shù)列為等差數(shù)列；（2）設(shè)，求數(shù)列的前項(xiàng)和.22．（10分）已知橢圓的左，右焦點(diǎn)為，橢圓的離心率為，點(diǎn)在橢圓C上（1）求橢圓C的方程；（2）點(diǎn)T為橢圓C上的點(diǎn)，若點(diǎn)T在第一象限，且與x軸垂直，過(guò)T作兩條斜率互為相反數(shù)的直線(xiàn)分別與橢圓C交于點(diǎn)M，N，探究直線(xiàn)的斜率是否為定值？若為定值，請(qǐng)求之；若不為定值，請(qǐng)說(shuō)明理由

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、B【解析】利用韋達(dá)定理結(jié)合等差中項(xiàng)的性質(zhì)可求得的值，再結(jié)合等差中項(xiàng)的性質(zhì)可求得結(jié)果.【詳解】對(duì)于方程，，由韋達(dá)定理可得，故，則，所以，.故選：B.2、B【解析】根據(jù)等比數(shù)列前項(xiàng)和的性質(zhì)進(jìn)行求解即可.【詳解】因?yàn)槭堑缺葦?shù)列，所以成等比數(shù)列，即成等比數(shù)列，顯然，故選：B3、A【解析】利用導(dǎo)數(shù)與函數(shù)的單調(diào)性之間的關(guān)系及導(dǎo)數(shù)的幾何意義即得.【詳解】由函數(shù)f(x)的導(dǎo)函數(shù)y＝f′(x)的圖像自左至右是先減后增，可知函數(shù)y＝f(x)圖像的切線(xiàn)的斜率自左至右先減小后增大，且，在處的切線(xiàn)的斜率為0，故BCD錯(cuò)誤，A正確.故選：A.4、C【解析】根據(jù)空間兩點(diǎn)間距離公式，結(jié)合對(duì)稱(chēng)性進(jìn)行求解即可.【詳解】因?yàn)辄c(diǎn)關(guān)于原點(diǎn)的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)為，所以,因此，故選：C5、A【解析】先求得點(diǎn)坐標(biāo)，然后求得的角平分線(xiàn)所在的直線(xiàn)的方程.【詳解】，直線(xiàn)的斜率為，由于直線(xiàn)，與l的夾角相等，則的角平分線(xiàn)所在的直線(xiàn)的斜率為，所以所求直線(xiàn)方程為.故選：A6、B【解析】求出，進(jìn)而求出，之間的關(guān)系，即可求解結(jié)論【詳解】解：由題意，直線(xiàn)方程為：，其中，因此，設(shè)，，，，解得，得，，弦的長(zhǎng)恰等于實(shí)軸的長(zhǎng)，，，故選：B7、A【解析】把化成拋物線(xiàn)標(biāo)準(zhǔn)方程，依據(jù)拋物線(xiàn)幾何性質(zhì)看開(kāi)口方向，求其焦點(diǎn)坐標(biāo)即可解決.【詳解】，即.則，即故此拋物線(xiàn)開(kāi)口向上，焦點(diǎn)為故選：A8、B【解析】由橢圓定義可得各邊長(zhǎng)，利用三角形相似，可得點(diǎn)坐標(biāo)，再根據(jù)點(diǎn)在橢圓上，可得離心率.【詳解】如圖所示：因?yàn)闉榈妊切?，且，又，所以，所以，過(guò)點(diǎn)作軸，垂足為，則，由，，得，因?yàn)辄c(diǎn)在橢圓上，所以，所以，即離心率，故選：B.9、C【解析】根據(jù)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程求出，進(jìn)而得出短軸長(zhǎng).【詳解】由，可得，所以短軸長(zhǎng)為.故選：C.10、C【解析】根據(jù)中位數(shù)的性質(zhì)，結(jié)合題設(shè)按成績(jī)排序7選3，即可知還需明確的成績(jī)數(shù)據(jù)信息.【詳解】由題設(shè)，7名同學(xué)參加百米競(jìng)賽，要取前3名參加決賽，則成績(jī)從高到低排列，確定7名同學(xué)成績(jī)的中位數(shù)，即第3名的成績(jī)便可判斷自己是否能進(jìn)入決賽.故選：C.11、A【解析】設(shè)圓柱的底面半徑為，由題意知，，橢圓的長(zhǎng)軸長(zhǎng)，短軸長(zhǎng)為，可以求出的值，即可得離心率.【詳解】設(shè)圓柱的底面半徑為，依題意知，最長(zhǎng)母線(xiàn)與最短母線(xiàn)所在截面如圖所示從而因此在橢圓中長(zhǎng)軸長(zhǎng)，短軸長(zhǎng)，，故選：A【點(diǎn)睛】本題主要考查了橢圓的定義和橢圓離心力的求解，屬于基礎(chǔ)題.12、D【解析】由空間向量的數(shù)量積運(yùn)算即可求解【詳解】∵，，，，，，且，∴，解得故選：D二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解析】已知圓的圓心，點(diǎn)在以為直徑的圓上，兩圓相減就是直線(xiàn)的方程.【詳解】，圓心，點(diǎn)在以為直徑的圓上，，所以圓心是，以為直徑的圓的圓的方程是，直線(xiàn)是兩圓相交的公共弦所在直線(xiàn)，所以?xún)蓤A相減就是直線(xiàn)的方程，，所以直線(xiàn)的一般式方程為.故答案為：【點(diǎn)睛】結(jié)論點(diǎn)睛：過(guò)圓外一點(diǎn)引圓的切線(xiàn)，那么以圓心和圓外一點(diǎn)連線(xiàn)段為直徑的圓與已知圓相減，就是切點(diǎn)所在直線(xiàn)方程，或是兩圓相交，兩圓相減，就是公共弦所在直線(xiàn)方程.14、25【解析】根據(jù)表格數(shù)據(jù)求出，代入，即可求出.【詳解】解：由題意知：，，將代入線(xiàn)性回歸方程，即，解得：.故答案為：5.25.15、【解析】根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義可得，根據(jù)切點(diǎn)在切線(xiàn)上可得.【詳解】因?yàn)榍芯€(xiàn)的斜率為，所以，又切點(diǎn)在切線(xiàn)上，所以，所以，所以.故答案為：.16、49【解析】丙沒(méi)有入選，相當(dāng)于從9個(gè)人中選3人，分為兩種情況：甲乙兩人只有一人入選；甲乙兩人都入選，分別求出每種情況的選法數(shù)，再利用分類(lèi)加法計(jì)數(shù)原理即可得解.【詳解】丙沒(méi)有入選，把丙去掉，相當(dāng)于從9個(gè)人中選3人，甲、乙至少有1人入選，分為兩種情況：甲乙兩人只有一人入選；甲乙兩人都入選.甲乙兩人只有一人入選，選法有種；甲乙兩人都入選，選法有種.所以，滿(mǎn)足題意的選法共有種.故答案為：49.【點(diǎn)睛】本題考查組合的應(yīng)用，其中涉及到分類(lèi)加法計(jì)數(shù)原理，屬于中檔題.一些常見(jiàn)類(lèi)型的排列組合問(wèn)題的解法：（1）特殊元素、特殊位置優(yōu)先法元素優(yōu)先法：先考慮有限制條件的元素的要求，再考慮其他元素；位置優(yōu)先法：先考慮有限制條件的位置的要求，再考慮其他位置；（2）分類(lèi)分步法：對(duì)于較復(fù)雜的排列組合問(wèn)題，常需要分類(lèi)討論或分步計(jì)算，一定要做到分類(lèi)明確，層次清楚，不重不漏；（3）間接法（排除法），從總體中排除不符合條件的方法數(shù)，這是一種間接解題的方法；（4）捆綁法：某些元素必相鄰的排列，可以先將相鄰的元素“捆成一個(gè)”元素，與其它元素進(jìn)行排列，然后再給那“一捆元素”內(nèi)部排列；（5）插空法：某些元素不相鄰的排列，可以先排其它元素，再讓不相鄰的元素插空；（6）去序法或倍縮法；（7）插板法：個(gè)相同元素，分成組，每組至少一個(gè)的分組問(wèn)題.把個(gè)元素排成一排，從個(gè)空中選個(gè)空，各插一個(gè)隔板，有；（8）分組、分配法：有等分、不等分、部分等分之別.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17、（1）；（2）.【解析】（1）先設(shè)等差數(shù)列的公差為，由題中條件，列出方程求出首項(xiàng)和公差，即可得出通項(xiàng)公式；（2）根據(jù)（1）的結(jié)果，得到，再由等比數(shù)列的求和公式，即可得出結(jié)果.【詳解】（1）設(shè)等差數(shù)列的公差為，因?yàn)?，，所以，解得，所以；?）由（1）可得，，即數(shù)列為等比數(shù)列，所以數(shù)列的前n項(xiàng)和.18、（１）；（２）【解析】（1）根據(jù)圓心在弦的垂直平分線(xiàn)上，先求出弦的垂直平分線(xiàn)的方程與聯(lián)立可求得圓心坐標(biāo)，再用兩點(diǎn)間的距離公式求得半徑，進(jìn)而求得圓的方程；（2）當(dāng)直線(xiàn)斜率不存在時(shí)，與圓相切，方程為；當(dāng)直線(xiàn)斜率存在時(shí)，設(shè)斜率為，寫(xiě)出其點(diǎn)斜式方程，利用圓心到直線(xiàn)的距離等于半徑建立方程求解出的值.試題解析：（1）依題意知線(xiàn)段的中點(diǎn)坐標(biāo)是，直線(xiàn)的斜率為，故線(xiàn)段的中垂線(xiàn)方程是即，解方程組得，即圓心的坐標(biāo)為，圓的半徑，故圓的方程是（2）若直線(xiàn)斜率不存在，則直線(xiàn)方程是，與圓相離，不合題意；若直線(xiàn)斜率存在，可設(shè)直線(xiàn)方程是，即，因?yàn)橹本€(xiàn)與圓相切，所以有，解得或所以直線(xiàn)的方程是或.19、（1），（2）【解析】（1）由，可得存在唯一實(shí)數(shù)，使得，列出方程組，解之即可得解；（2）設(shè)直線(xiàn)與所成的角為，求出，再根據(jù)點(diǎn)B到直線(xiàn)CD的距離為即可得解【小問(wèn)1詳解】解：，，因?yàn)?，所以存在唯一?shí)數(shù)，使得，所以，所以，解得，所以，；【小問(wèn)2詳解】解：，則，設(shè)直線(xiàn)與所成的角為，則，所以點(diǎn)B到直線(xiàn)CD的距離為.20、（1）（2）證明見(jiàn)解析【解析】（1）根據(jù)橢圓離心率公式，結(jié)合橢圓的性質(zhì)進(jìn)行求解即可；（2）設(shè)出直線(xiàn)CF的方程與橢圓方程聯(lián)立，根據(jù)斜率公式，結(jié)合一元二次方程根與系數(shù)關(guān)系進(jìn)行求解即可.【小問(wèn)1詳解】（1），，∴，，，∴；【小問(wèn)2詳解】設(shè)，，則，CF：聯(lián)立∴，∴【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：利用一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系是解題的關(guān)鍵.21、（1）證明見(jiàn)解析（2）【解析】（1）化簡(jiǎn)得到，由此證得數(shù)列為等差數(shù)列.（2）先求得，然后利用錯(cuò)位相減求和法求得.【小問(wèn)1詳解】.又?jǐn)?shù)列是以1為首項(xiàng)，4為公差等差數(shù)列.【小問(wèn)2詳解】由（1）知：，則數(shù)列的通項(xiàng)公式為，則，①，②，①-②得：，，，，.22、（1）；（2）直線(xiàn)的斜率為定值，且定值為.【解析】（1）根據(jù)橢圓的離心率及所過(guò)的點(diǎn)求出橢圓參數(shù)a、b，即可得橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程.（2）由題設(shè)得，法一：設(shè)為，聯(lián)立橢圓方程應(yīng)用韋達(dá)定理求M坐標(biāo)，根據(jù)與斜率關(guān)系求N的坐標(biāo)，應(yīng)用兩點(diǎn)式求斜率；法二：設(shè)為，，聯(lián)立橢圓方程，應(yīng)用韋達(dá)定理及得到關(guān)于參數(shù)m、k的方程，即可判斷是否為定值.【小問(wèn)1詳