廣東省中山市實驗中學2025屆高二上數(shù)學期末聯(lián)考模擬試題含解析

廣東省中山市實驗中學2025屆高二上數(shù)學期末聯(lián)考模擬試題考生須知：1．全卷分選擇題和非選擇題兩部分，全部在答題紙上作答。選擇題必須用2B鉛筆填涂；非選擇題的答案必須用黑色字跡的鋼筆或答字筆寫在“答題紙”相應位置上。2．請用黑色字跡的鋼筆或答字筆在“答題紙”上先填寫姓名和準考證號。3．保持卡面清潔，不要折疊，不要弄破、弄皺，在草稿紙、試題卷上答題無效。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．某次生物實驗6個小組的耗材質量（單位：千克）分別為1.71，1.58，1.63，1.43，1.85，1.67，則這組數(shù)據(jù)的中位數(shù)是（）A.1.63 B.1.67C.1.64 D.1.652．若存在兩個不相等的正實數(shù)x，y，使得成立，則實數(shù)m的取值范圍是（）A. B.C. D.3．已知點，點關于原點的對稱點為，則（）A. B.C. D.4．執(zhí)行如圖所示的流程圖，則輸出k的值為（）A.3 B.4C.5 D.25．已知拋物線上一點的縱坐標為4，則點到拋物線焦點的距離為A.2 B.3C.4 D.56．中國古代數(shù)學著作算法統(tǒng)宗中有這樣一個問題：“三百七十八里關，初步健步不為難，次日腳痛減一半，六朝才得到其關，要見首日行里數(shù)，請公仔細算相還．”其大意為：有一個人走里路，第一天健步行走，從第二天起腳痛每天走的路程為前一天的一半，恰好走了天到達目的地，則該人第一天走的路程為（）A.里 B.里C.里 D.里7．過點A(3，3)且垂直于直線的直線方程為A. B.C. D.8．圓與圓的位置關系為（）A.外切 B.內切C.相交 D.相離9．已知，分別為橢圓的左右焦點，為坐標原點，橢圓上存在一點，使得，設的面積為，若，則該橢圓的離心率為（）A. B.C. D.10．參加抗疫的300名醫(yī)務人員，編號為1，2，…，300.為了解這300名醫(yī)務人員的年齡情況，現(xiàn)用系統(tǒng)抽樣的方法從中抽取15名醫(yī)務人員的年齡進行調查.若抽到的第一個編號為6，則抽到的第二個編號為（）A.21 B.26C.31 D.3611．焦點為的拋物線標準方程是（）A. B.C. D.12．已知函數(shù)，在上隨機任取一個數(shù)，則的概率為（）A. B.C. D.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．生活中有這樣的經驗：三腳架在不平的地面上也可以穩(wěn)固地支撐一部照相機.這個經驗用我們所學的數(shù)學公理可以表述為___________.14．已知是定義在上的奇函數(shù)，當時，則當時___________.15．若數(shù)列滿足，，則__________16．已知數(shù)列滿足，，的前項和為，則______.三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）長方體中，，點分別在上，且.（1）求證：平面；（2）求平面與平面所成角的余弦值.18．（12分）已知拋物線E：y2＝8x（1）求拋物線的焦點及準線方程；（2）過點P(-1,1)的直線l1與拋物線E只有一個公共點，求直線l1的方程；（3）過點M(2,3)的直線l2與拋物線E交于點A，B．若弦AB的中點為M，求直線l2的方程19．（12分）已知拋物線的焦點與曲線的右焦點重合.（1）求拋物線的標準方程；（2）若拋物線上的點滿足，求點的坐標.20．（12分）如圖，已知平面，底面為正方形，，分別為的中點（1）求證：平面；（2）求與平面所成角的正弦值21．（12分）設Sn是等差數(shù)列{an}的前n項和，已知，S2=-3.（1）求{an}的通項公式；（2）若，求數(shù)列{bn}的前n項和Tn.22．（10分）若等比數(shù)列的各項為正，前項和為，且，.（1）求數(shù)列的通項公式；（2）若是以1為首項，1為公差的等差數(shù)列，求數(shù)列的前項和.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、D【解析】將已有數(shù)據(jù)從小到大排序，根據(jù)中位數(shù)的定義確定該組數(shù)據(jù)的中位數(shù).【詳解】由題設，將數(shù)據(jù)從小到大排序可得：，∴中位數(shù)為.故選：D.2、D【解析】將給定等式變形并構造函數(shù)，由函數(shù)的圖象與垂直于y軸的直線有兩個公共點推理作答.【詳解】因，令，則存在兩個不相等的正實數(shù)x，y，使得，即存在垂直于y軸的直線與函數(shù)的圖象有兩個公共點，，，而，當時，，函數(shù)在上單調遞增，則垂直于y軸的直線與函數(shù)的圖象最多只有1個公共點，不符合要求，當時，由得，當時，，當時，，即函數(shù)在上單調遞減，在上單調遞增，，令，，令，則，即在上單調遞增，，即，在上單調遞增，則有當時，，，而函數(shù)在上單調遞增，取，則，而，因此，存在垂直于y軸的直線()，與函數(shù)的圖象有兩個公共點，所以實數(shù)m的取值范圍是.故選：D【點睛】思路點睛：涉及雙變量的等式或不等式問題，把雙變量的等式或不等式轉化為一元變量問題求解，途徑都是構造一元函數(shù).3、C【解析】根據(jù)空間兩點間距離公式，結合對稱性進行求解即可.【詳解】因為點關于原點的對稱點為，所以,因此，故選：C4、B【解析】根據(jù)程序框圖運行程序，直到滿足，輸出結果即可.【詳解】按照程序框圖運行程序，輸入，則，，不滿足，循環(huán)；，，不滿足，循環(huán)；，，不滿足，循環(huán)；，，滿足，輸出結果：故選：B.5、D【解析】拋物線焦點在軸上，開口向上，所以焦點坐標為，準線方程為，因為點A的縱坐標為4，所以點A到拋物線準線的距離為，因為拋物線上的點到焦點的距離等于到準線的距離，所以點A與拋物線焦點的距離為5.考點：本小題主要考查應用拋物線定義和拋物線上點的性質拋物線上的點到焦點的距離，考查學生的運算求解能力.點評：拋物線上的點到焦點的距離等于到準線的距離，這條性質在解題時經常用到，可以簡化運算.6、C【解析】建立等比數(shù)列的模型，由等比數(shù)列的前項和公式求解【詳解】記第天走的路程為里，則是等比數(shù)列，，，故選：C7、D【解析】過點A(3，3)且垂直于直線的直線斜率為，代入過的點得到.故答案為D.8、A【解析】根據(jù)兩圓半徑和、差、圓心距之間的大小關系進行判斷即可.【詳解】由，該圓的圓心為，半徑為.圓圓心為，半徑為，因為兩圓的圓心距為，兩圓的半徑和為，所以兩圓的半徑和等于兩圓的圓心距，因此兩圓相外切，故選：A9、D【解析】由可得直角三角形，故，且，結合，聯(lián)立可得，即得解【詳解】由題意，故為直角三角形，，又，，又為直角三角形，故，，即，.故選：D.10、B【解析】將300個數(shù)編號：001，002，003，，3000，再平均分為15個小組，然后按系統(tǒng)抽樣方法得解.【詳解】將300個數(shù)編號：001，002，003，，3000，再平均分為15個小組，則第一編號為006，第二個編號為.故選：B.11、D【解析】設拋物線的方程為，根據(jù)題意，得到，即可求解.【詳解】由題意，設拋物線的方程為，因為拋物線的焦點為，可得，解得，所以拋物線的方程為.故選：D.12、A【解析】先解不等式，然后由區(qū)間長度比可得.【詳解】解不等式，得，所以，即的概率為.故選：A二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、不在同一直線上的三點確定一個平面【解析】根據(jù)題意結合平面公理2即可得出答案.【詳解】解：根據(jù)題意可知，三腳架與地面接觸的三個點不在同一直線上，則為數(shù)學中的平面公理2：不在同一直線上的三點確定一個平面.故答案為：不在同一直線上的三點確定一個平面.14、【解析】當時，利用及求得函數(shù)的解析式.【詳解】當時，，由于函數(shù)是奇函數(shù)，故.【點睛】本小題主要考查已知函數(shù)的奇偶性以及軸一側的解析式，求另一側的解析式，屬于基礎題.15、7【解析】根據(jù)遞推公式，依次求得值.【詳解】依題意，由，可知，故答案為：716、【解析】分析出當為正奇數(shù)時，，可求得的值，再分析出當為正偶數(shù)時，，可求得的值，進而可求得的值.【詳解】由題知，當為正奇數(shù)時，，于是,，，，，所以.又因為當為正偶數(shù)時，，且，所以兩式相加可得，于是，兩式相減得.所以，故.故答案為：.【點睛】關鍵點點睛：本題的解題關鍵在于分析出當為正奇數(shù)時，，以及當為正偶數(shù)時，，找出規(guī)律，結合并項求和法求出以及的值.三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）證明見解析.（2）【解析】（1）根據(jù)線面垂直的性質和判定可得證；（2）以為坐標原點，分以所在直線為軸建立如圖所示的空間直角坐標系，由面面角的空間向量求解方法可得答案.【小問1詳解】證明：長方體中，平面，又平面，又平面，又平面同理可證，而平面，平面【小問2詳解】解：以為坐標原點，分以所在直線為軸建立如圖所示的空間直角坐標系.從而，，，由（1）知，為平面的一個法向量，設平面的法向量為，則，，則，從而，令，則，得平面的一個法向量為由圖示得平面與平面所成的角為銳角，平面與平面所成的角的余弦值為18、（1）焦點為(2,0)，準線方程為x＝-2；（2）y＝1或x-y+2＝0或2x+y+1＝0；（3）4x-3y+1＝0.【解析】（1）根據(jù)拋物線的方程及其幾何性質，求焦點和準線；（2）分直線l1的斜率為0和不為0兩種情況，根據(jù)直線與拋物線只有一個公共點，由直線與x軸平行或Δ＝0，得解；（3）利用點差法求出直線l2的斜率，即可得直線l2的方程【小問1詳解】由題意，p＝4，則焦點為(2,0)，準線方程為x＝-2【小問2詳解】當直線l1的斜率為0時，y＝1；當直線l1的斜率不為0時，設直線l1為x+1＝m(y-1)，聯(lián)立，得y2-8my+8m+8＝0，因為直線l1與拋物線E只有一個公共點，所以Δ＝64m2-4(8m+8)＝0，解得m＝1或，所以直線l1的方程為x-y+2＝0或2x+y+1＝0，綜上，直線l1為y＝1或x-y+2＝0或2x+y+1＝0【小問3詳解】由題意，直線l2的斜率一定存在，設其斜率為k，A(x1，y1)，B(x2，y2)，則8x1，8x2，兩式作差得：8(x1-x2)，即k，所以直線l2為y-3(x-2)，即4x-3y+1＝019、（1）；（2）或.【解析】（1）求出雙曲線的右焦點坐標，可求出的值，即可得出拋物線的標準方程；（2）設點，由拋物線的定義求出的值，代入拋物線的方程可求得的值，即可得出點的坐標.【詳解】（1）由雙曲線方程可得，，所以，解得.則曲線的右焦點為，所以，.因此，拋物線的標準方程為；（2）設，由拋物線的定義及已知可得，解得.代入拋物線方程可得，解得，所以點的坐標為或.20、（1）證明見解析；（2）.【解析】（1）建立空間直角坐標系，利用向量法證得平面.（2）利用直線的方向向量，平面的法向量，計算線面角的正弦值.【詳解】（1）以為原點建立如圖所示空間直角坐標系，則.，，所以,由于，所以平面.（2），，設平面的法向量為，則，令，則，所以.設直線與平面所成角為，則.21、（1）；（2）【解析】（1）根據(jù)所給條件列出方程組，求得，即可求得答案；（2）根據(jù)（1）的結果，寫出，利用等比數(shù)列的前n項和公式求得答案.【小問1詳解】設等差數(shù)列{an}公差為d，由，得解得