湖南省衡陽八中2025屆數學高二上期末考試模擬試題含解析

湖南省衡陽八中2025屆數學高二上期末考試模擬試題注意事項：1．答卷前，考生務必將自己的姓名、準考證號填寫在答題卡上。2．回答選擇題時，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對應題目的答案標號涂黑，如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其它答案標號?；卮鸱沁x擇題時，將答案寫在答題卡上，寫在本試卷上無效。3．考試結束后，將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．已知雙曲線C：-＝1(a＞b＞0)的左焦點為F1，若過原點傾斜角為的直線與雙曲線C左右兩支交于M、N兩點，且MF1NF1，則雙曲線C的離心率是（）A.2 B.C. D.2．四棱錐中，底面ABCD是平行四邊形，點E為棱PC的中點，若，則等于（）A.1 B.C. D.23．數列中前項和滿足，若是遞增數列，則的取值范圍為（）A. B.C. D.4．在中，角，，所對的邊分別為，，，若，則的形狀為（）A.銳角三角形 B.直角三角形C.鈍角三角形 D.不確定5．在等比數列中，若，則公比（）A. B.C.2 D.36．已知數列滿足，則（）A. B.C. D.7．已知雙曲線的離心率為2，則（）A.2 B.C. D.18．在中國，周朝時期的商高提出了“勾三股四弦五”的勾股定理的特例.在西方，最早提出并證明此定理的為公元前世紀古希臘的畢達哥拉斯學派，他們用演繹法證明了直角三角形斜邊平方等于兩直角邊平方之和.若一個直角三角形的斜邊長等于則這個直角三角形周長的最大值為（）A. B.C. D.9．已知點為直線上任意一點，為坐標原點．則以為直徑的圓除過定點外還過定點（）A. B.C. D.10．《周髀算經》是中國最古老的天文學和數學著作，書中提到:冬至、小寒、大寒、立春、雨水、驚蟄、春分、清明、谷雨、立夏、小滿、芒種這十二個節(jié)氣的日影子長依次成等差數列.若冬至、大寒、雨水的日影子長的和是尺，芒種的日影子長為尺，則冬至的日影子長為（）A.尺 B.尺C.尺 D.尺11．平行六面體中，若，則（）A. B.1C. D.12．若點，在拋物線上，是坐標原點，若等邊三角形的面積為，則該拋物線的方程是（）A. B.C. D.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．知函數，若函數有兩個不同的零點，則實數的取值范圍為_____________.14．過拋物線的焦點作直線交拋物線于兩點，為坐標原點，記直線的斜率分別為，則______.15．設分別是平面的法向量，若，則實數的值是________16．圓錐曲線的焦點在軸上，離心率為，則實數的值是__________.三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）求下列函數的導數：（1）；（2）.18．（12分）已知拋物線的焦點為，直線與拋物線交于，兩點，且（1）求拋物線的方程；（2）若，是拋物線上一點，過點的直線與拋物線交于，兩點（均與點不重合），設直線，的斜率分別為，，求證：為定值19．（12分）已知是拋物線上的焦點，是拋物線上的一個動點，若動點滿足，則的軌跡方程.20．（12分）已知直三棱柱中，，，E、F分別是、的中點，D為棱上的點.（1）證明：；（2）當時，求直線BF與平面DEF所成角的正弦值.21．（12分）如圖，已知拋物線的焦點為，點是軸上一定點，過的直線交與兩點.（1）若過的直線交拋物線于，證明縱坐標之積為定值；（2）若直線分別交拋物線于另一點，連接交軸于點.證明：成等比數列.22．（10分）已知直線l過定點（1）若直線l與直線垂直，求直線l的方程；（2）若直線l在兩坐標軸上的截距相等，求直線l的方程

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、C【解析】根據雙曲線和直線的對稱性，結合矩形的性質、雙曲線的定義、離心率公式、余弦定理進行求解即可.【詳解】設雙曲線的右焦點為F2，過原點傾斜角為的直線為，設M、N分別在第三、第一象限，由雙曲線和直線的對稱性可知：M、N兩點關于原點對稱，而MF1NF1，因此四邊形是矩形，而，所以是等邊三角形，故，因此，因為，所以，在等腰三角形中，由余弦定理可知：，由矩形的性質可知：，由雙曲線的定義可知：，故選：C【點睛】關鍵點睛：利用矩形的性質、雙曲線的定義是解題的關鍵.2、B【解析】運用向量的線性運用表示向量，對照系數，求得，代入可得選項.【詳解】因為，所以，所以，所以，解得，所以，故選：B.3、B【解析】由已知求得，再根據當時，，，可求得范圍.【詳解】解：因為，則，兩式相減得，因為是遞增數列，所以當時，，解得，又，，所以，解得，綜上得，故選：B.4、C【解析】由正弦定理得出，再由余弦定理得出，從而判斷為鈍角得出的形狀.【詳解】因為，所以，所以，所以的形狀為鈍角三角形.故選：C5、C【解析】由題得，化簡即得解.【詳解】因為，所以，所以，解得.故選：C6、D【解析】根據給定條件求出數列的通項公式，再利用裂項相消法即可計算作答.【詳解】因，則，所以，所以.故選：D7、D【解析】由雙曲線的性質，直接表示離心率，求.【詳解】由雙曲線方程可知，因為，所以，解得：，又，所以.故選：D【點睛】本題考查雙曲線基本性質，意在考查數形結合分析問題和解決問題能力，屬于中檔題型，一般求雙曲線離心率的方法：

直接法：直接求出，然后利用公式求解；2.公式法：，3.構造法：根據條件，可構造出的齊次方程，通過等式兩邊同時除以，進而得到關于的方程.8、C【解析】設直角三角形的兩條直角邊邊長分別為，則，根據基本不等式求出的最大值后，可得三角形周長的最大值.【詳解】設直角三角形的兩條直角邊邊長分別為，則.因為，所以，所以，當且僅當時，等號成立.故這個直角三角形周長的最大值為故選：C9、D【解析】設垂直于直線，可知圓恒過垂足；兩條直線方程聯(lián)立可求得點坐標.【詳解】設垂直于直線，垂足為，則直線方程為：，由圓的性質可知：以為直徑的圓恒過點，由得：，以為直徑的圓恒過定點.故選：D.10、D【解析】根據題意轉化為等差數列，求首項.【詳解】設冬至的日影長為，雨水的日影長為，根據等差數列的性質可知，芒種的日影長為，，解得：，，所以冬至的日影長為尺.故選：D11、D【解析】根據空間向量的運算，表示出，和已知比較可求得的值，進而求得答案.【詳解】在平行六面體中，有，故由題意可知：，即，所以，故選：D.12、A【解析】根據等邊三角形的面積求得邊長，根據角度求得點的坐標，代入拋物線方程求得的值.【詳解】設等邊三角形的邊長為，則，解得根據拋物線的對稱性可知，且，設點在軸上方，則點的坐標為，即，將代入拋物線方程得，解得，故拋物線方程為故選：A二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解析】根據分段函數的性質，結合冪函數、一次函數的單調性判斷零點的分布，進而求m的范圍.【詳解】由解析式知：在上為增函數且，在上，時為單調函數，時無零點，故要使有兩個不同的零點，即兩側各有一個零點，所以在上必遞減且，則，可得.故答案為：14、【解析】過焦點作直線要分為有斜率和斜率不存在兩種情況進行分類討論.【詳解】拋物線的焦點當過焦點的直線斜率不存在時，直線方程可設為，不妨令則，故當過焦點的直線斜率存在時，直線方程可設為，令由整理得則，綜上，故答案為：15、4【解析】根據分別是平面的法向量，且，則有求解.【詳解】因為分別是平面的法向量，且所以所以解得故答案為：4【點睛】本題主要考查空間向量垂直，還考查了運算求解的能力，屬于基礎題.16、【解析】根據圓錐曲線焦點在軸上且離心率小于1，確定a,b求解即可.【詳解】因為圓錐曲線的焦點在軸上，離心率為，所以曲線為橢圓，且，所以，解得，故答案為：三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）；（2）.【解析】（1）根據導數的加法運算法則，結合常見函數的導數進行求解即可；（2）根據導數的加法和乘法的運算法則，結合常見函數的導數進行求解即可.【小問1詳解】；【小問2詳解】.18、（1）（2）證明見解析【解析】(1)聯(lián)立直線和拋物線方程，根據拋物線定義和焦半徑公式得到，根據韋達定理可得到最終結果；（2）代入點坐標可得到參數的值，設直線的方程為，聯(lián)立該直線和拋物線方程，，代入韋達定理可得到最終結果.【小問1詳解】設點，，點，，聯(lián)立，整理得，，由拋物線的定義知，解得，拋物線的方程為【小問2詳解】，為拋物線上一點，，即，設，，，，直線的方程為，由，消去得，，，，即為定值19、【解析】由拋物線的方程可得到焦點坐標，設，寫出向量的坐標，由向量間的關系得到，將點代入物線即可得到軌跡方程.【詳解】由拋物線可得：設①在上，將①代入可得：，即.【點睛】求軌跡方程，一般是求誰設誰的坐標然后根據題目等式直接求解即可，而對于直線與曲線的綜合問題要先分析題意轉化為等式，例如，可以轉化為向量坐標進行運算也可以轉化為斜率來理解，然后借助韋達定理求解即可運算此類題計算一定要仔細.20、（1）證明見解析（2）【解析】（1）由題意建立如圖所示的空間直角坐標系，利用空間向量證明即可，（2）求出平面DEF的法向量，利用空間向量求解【小問1詳解】證明：因為三棱柱是直三棱柱，且，所以兩兩垂直，所以以為原點，以所在的直線分別為軸建立空間直角坐標系，則，，設，則，所以，所以，所以【小問2詳解】因為，所以，所以，設平面一個法向量為，則，令，則，設直線BF與平面DEF所成角為，則，所以直線BF與平面DEF所成角的正弦值為21、（1）證明見解析（2）證明見解析【解析】（1）設直線方程為，聯(lián)立拋物線方程用韋達定理可得；（2）借助（1）中結論可得各點縱坐標之積，進而得到F、T、Q三點橫坐標關系，然后可證.【小問1詳解】顯然過T的直線斜率不為0，設方程為，聯(lián)立，消元得到，.【小問2詳解】由（1）設，因為AP與BQ均過T(t,0)點，可知，又AB過F點，所以，如圖：，,設M(n，