赤峰市重點(diǎn)中學(xué)2025屆數(shù)學(xué)高二上期末統(tǒng)考模擬試題含解析

赤峰市重點(diǎn)中學(xué)2025屆數(shù)學(xué)高二上期末統(tǒng)考模擬試題注意事項(xiàng)：1．答題前，考生先將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)填寫清楚，將條形碼準(zhǔn)確粘貼在考生信息條形碼粘貼區(qū)。2．選擇題必須使用2B鉛筆填涂；非選擇題必須使用0．5毫米黑色字跡的簽字筆書寫，字體工整、筆跡清楚。3．請(qǐng)按照題號(hào)順序在各題目的答題區(qū)域內(nèi)作答，超出答題區(qū)域書寫的答案無(wú)效；在草稿紙、試題卷上答題無(wú)效。4．保持卡面清潔，不要折疊，不要弄破、弄皺，不準(zhǔn)使用涂改液、修正帶、刮紙刀。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．設(shè)正數(shù)數(shù)列的前項(xiàng)和為，數(shù)列的前項(xiàng)積為，且，則（）A. B.C. D.2．已知拋物線的焦點(diǎn)為F，且點(diǎn)F與圓上點(diǎn)的距離的最大值為6，則拋物線的準(zhǔn)線方程為（）A. B.C. D.3．某學(xué)校高二級(jí)選擇“史政地”“史政生”和“史地生”組合的同學(xué)人數(shù)分別為240，120和60．現(xiàn)采用分層抽樣的方法選出14位同學(xué)進(jìn)行一項(xiàng)調(diào)查研究，則“史政生”組合中選出的人數(shù)為（）A.8 B.6C.4 D.34．已知平面上兩點(diǎn)，則下列向量是直線的方向向量是（）A. B.C. D.5．在等差數(shù)列{an}中，a1=1，，則a7=（）A.13 B.14C.15 D.166．高二某班共有60名學(xué)生，其中女生有20名，“三好學(xué)生”人數(shù)是全班人數(shù)的，且“三好學(xué)生”中女生占一半.現(xiàn)從該班學(xué)生中任選1人參加座談會(huì)，則在已知沒(méi)有選上女生的條件下，選上的學(xué)生是“三好學(xué)生”的概率為（）A. B.C. D.7．如圖是函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)的圖象，下列結(jié)論中正確的是（）A.在上是增函數(shù) B.當(dāng)時(shí)，取得最小值C.當(dāng)時(shí)，取得極大值 D.在上是增函數(shù)，在上是減函數(shù)8．已知實(shí)數(shù)x，y滿足約束條件，則的最大值為（）A. B.0C.3 D.59．算盤是中國(guó)古代的一項(xiàng)重要發(fā)明．現(xiàn)有一種算盤（如圖1），共兩檔，自右向左分別表示個(gè)位和十位，檔中橫以梁，梁上一珠撥下，記作數(shù)字5，梁下五珠，上撥一珠記作數(shù)字1（如圖2中算盤表示整數(shù)51）．如果撥動(dòng)圖1算盤中的兩枚算珠，可以表示不同整數(shù)的個(gè)數(shù)為（）A.8 B.10C.15 D.1610．若直線與直線垂直，則a=（）A.-2 B.0C.0或-2 D.111．已知直線與圓交于A，B兩點(diǎn)，O為原點(diǎn)，且，則實(shí)數(shù)m等于（）A. B.C. D.12．已知兩條平行直線：與：間的距離為3，則（）A.25或－5 B.25C.5 D.21或－9二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．關(guān)于曲線，則以下結(jié)論正確的個(gè)數(shù)有______個(gè)①曲線C關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱；②曲線C中，；③曲線C是不封閉圖形，且它與圓無(wú)公共點(diǎn)；④曲線C與曲線有4個(gè)交點(diǎn)，這4點(diǎn)構(gòu)成正方形14．已知點(diǎn)P是雙曲線右支上的一點(diǎn)，且以點(diǎn)P及焦點(diǎn)為定點(diǎn)的三角形的面積為4，則點(diǎn)P的坐標(biāo)是_____________15．已知等差數(shù)列中，，則=_________.16．在銳角中，角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c．若，，，則的面積為_(kāi)________三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17．（12分）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，橢圓C：的左，右頂點(diǎn)分別為A、B，點(diǎn)F是橢圓的右焦點(diǎn)，，（1）求橢圓C的方程；（2）不過(guò)點(diǎn)A的直線l交橢圓C于M、N兩點(diǎn)，記直線l、AM、AN的斜率分別為k、、．若，證明直線l過(guò)定點(diǎn)，并求出定點(diǎn)的坐標(biāo)18．（12分）四棱錐中，平面，四邊形為平行四邊形，（1）若為中點(diǎn)，求證平面；（2）若，求面與面的夾角的余弦值.19．（12分）已知函數(shù).（1）當(dāng)時(shí)，求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（2）若函數(shù)在其定義域上是增函數(shù)，求實(shí)數(shù)的取值范圍.20．（12分）已知數(shù)列的前項(xiàng)和，且（1）證明：數(shù)列為等差數(shù)列；（2）設(shè)，記數(shù)列的前項(xiàng)和為，若，對(duì)任意恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍21．（12分）設(shè)為數(shù)列的前n項(xiàng)和，且滿足（1）求證：數(shù)列為等差數(shù)列；（2）若，且成等比數(shù)列，求數(shù)列的前項(xiàng)和22．（10分）已知點(diǎn)，橢圓：離心率為，是橢圓的右焦點(diǎn)，直線的斜率為，為坐標(biāo)原點(diǎn)．設(shè)過(guò)點(diǎn)的動(dòng)直線與相交于，兩點(diǎn)（1）求橢圓的方程（2）是否存在直線，使得的面積為？若存在，求出的方程；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、B【解析】當(dāng)可求得；當(dāng)時(shí)，可證得數(shù)列為等差數(shù)列，利用等差數(shù)列通項(xiàng)公式可推導(dǎo)得到，由求得后，利用可求得結(jié)果.【詳解】當(dāng)時(shí)，，解得：；當(dāng)時(shí)，由得：，即，，數(shù)列是以為首項(xiàng)，為公差的等差數(shù)列，，解得：，，經(jīng)檢驗(yàn)：滿足，，故選：B.2、D【解析】先求得拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)，再根據(jù)點(diǎn)F與圓上點(diǎn)的距離的最大值為6求解.【詳解】因?yàn)閽佄锞€的焦點(diǎn)為F，且點(diǎn)F與圓上點(diǎn)的距離的最大值為6，所以，解得，所以拋物線準(zhǔn)線方程為，故選：D3、C【解析】根據(jù)題意求得抽樣比，再求“史政生”組合中抽取的人數(shù)即可.【詳解】根據(jù)題意，分層抽樣的抽樣比為，故從“史政生”組合120中，抽取的人數(shù)時(shí)人.故選：.4、D【解析】由空間向量的坐標(biāo)運(yùn)算和空間向量平行的坐標(biāo)表示，以及直線的方向向量的定義可得選項(xiàng).【詳解】解：因?yàn)閮牲c(diǎn)，則，又因?yàn)榕c向量平行，所以直線的方向向量是，故選：D.5、A【解析】利用等差數(shù)列的基本量，即可求解.【詳解】設(shè)等差數(shù)列的公差為，，解得：，則.故選：A6、C【解析】設(shè)事件表示“選上的學(xué)生是男生”，事件表示“選上的學(xué)生是三好學(xué)生，求出和，利用條件概率公式計(jì)算即可求解.【詳解】設(shè)事件表示“選上的學(xué)生是男生”，事件表示“選上的學(xué)生是‘三好學(xué)生’”，則所求概率為.由題意可得：男生有人，“三好學(xué)生”有人，所以“三好學(xué)生”中男生有人，所以，，故.故選：C.7、D【解析】根據(jù)導(dǎo)函數(shù)的圖象判斷出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間、極值、最值，由此確定正確選項(xiàng).【詳解】根據(jù)圖象知：當(dāng)，時(shí)，函數(shù)單調(diào)遞減；當(dāng)，時(shí)，函數(shù)單調(diào)遞增.所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，故選項(xiàng)A不正確，選項(xiàng)D正確；故當(dāng)時(shí)，取得極小值，選項(xiàng)C不正確；當(dāng)時(shí)，不是取得最小值，選項(xiàng)B不正確；故選：D.8、D【解析】先畫出可行域，由，得，作出直線，向上平移過(guò)點(diǎn)A時(shí)，取得最大值，求出點(diǎn)A的坐標(biāo)，代入可求得結(jié)果【詳解】不等式組表示的可行域，如圖所示由，得，作出直線，向上平移過(guò)點(diǎn)A時(shí)，取得最大值，由，得，即，所以的最大值為，故選：D9、A【解析】根據(jù)給定條件分類探求出撥動(dòng)兩枚算珠的結(jié)果計(jì)算得解.【詳解】撥動(dòng)圖1算盤中的兩枚算珠，有兩類辦法，由于撥動(dòng)一枚算珠有梁上、梁下之分，則只在一個(gè)檔撥動(dòng)兩枚算珠共有4種方法，在每一個(gè)檔各撥動(dòng)一枚算珠共有4種方法，由分類加法計(jì)數(shù)原理得共有8種方法，所以表示不同整數(shù)的個(gè)數(shù)為8.故選：A10、C【解析】代入兩直線垂直的公式，即可求解.【詳解】因?yàn)閮芍本€垂直，所以，解得：或.故選：C11、A【解析】根據(jù)給定條件求出，再求出圓O到直線l的距離即可計(jì)算作答.【詳解】圓的圓心O，半徑，因，則，而，則，即是正三角形，點(diǎn)O到直線l的距離，因此，，解得，所以實(shí)數(shù)m等于.故選：A12、A【解析】根據(jù)平行直線的性質(zhì)，結(jié)合平行線間距離公式進(jìn)行求解即可.【詳解】因?yàn)橹本€：與：平行，所以有，因?yàn)閮蓷l平行直線：與：間距離為3，所以，或，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，故選：A二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、2【解析】根據(jù)曲線的方程，以及曲線的對(duì)稱性、范圍，結(jié)合每個(gè)選項(xiàng)進(jìn)行逐一分析，即可判斷.【詳解】①將方程中的分別換為，方程不變，故該曲線關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，故正確；②因?yàn)椋獾没?，故，同理可得：，故錯(cuò)誤；③根據(jù)②可知，該曲線不是封閉圖形；聯(lián)立與，可得：，將其視作關(guān)于的一元二次方程，故，所以方程無(wú)根，故曲線與沒(méi)有交點(diǎn)；綜上所述，③正確；④假設(shè)曲線C與曲線有4個(gè)交點(diǎn)且交點(diǎn)構(gòu)成正方形，根據(jù)對(duì)稱性，第一象限的交點(diǎn)必在上，聯(lián)立與可得：，故交點(diǎn)為，而此點(diǎn)坐標(biāo)不滿足，所以這樣的正方形不存在，故錯(cuò)誤；綜上所述，正確的是①③.故答案為：.【點(diǎn)睛】本題考察曲線與方程中利用曲線方程研究曲線性質(zhì)，處理問(wèn)題的關(guān)鍵是把握由曲線方程如何研究對(duì)稱性以及范圍問(wèn)題，屬困難題.14、【解析】由題可得P到x軸的距離為1，把代入，得，可得P點(diǎn)坐標(biāo)【詳解】設(shè)，由題意知，所以，則，由題意可得，把代入，得，所以P點(diǎn)坐標(biāo)為故答案為：15、4【解析】由等差數(shù)列的通項(xiàng)公式求出公差，進(jìn)而求出.【詳解】設(shè)該等差數(shù)列的公差為，則，所以.故答案為：4.16、【解析】根據(jù)求出，由向量數(shù)量積得到，使用余弦定理得到方程組，求出，利用面積公式求出結(jié)果.【詳解】因?yàn)椋?，即，而因?yàn)槭卿J角三角形，所以，所以，所以，因?yàn)椋?，即，因?yàn)?，所以，整理得：①，其中，即，因?yàn)?，所以，即，解得：②，把②代入①得：，解得：，則的面積為.故答案為：三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17、（1）；（2）證明見(jiàn)解析，(－5,0).【解析】(1)寫出A、B、F的坐標(biāo)，求出向量坐標(biāo)，根據(jù)向量的關(guān)系即可列出方程組，求得a、b、c和橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)設(shè)直線l的方程為y＝kx＋m，，．聯(lián)立直線l與橢圓方程，根據(jù)韋達(dá)定理得到根與系數(shù)的關(guān)系，求出，根據(jù)即可求得k和m的關(guān)系，即可證明直線過(guò)定點(diǎn)并求出該定點(diǎn).【小問(wèn)1詳解】由題意，知A(－a，0)，B(a，0)，F(xiàn)(c，0)∵，∴解得從而b2＝a2－c2＝3∴橢圓C的方程；【小問(wèn)2詳解】設(shè)直線l的方程為y＝kx＋m，，∵直線l不過(guò)點(diǎn)A，因此－2k＋m≠0由得時(shí)，，，∴由，可得3k＝m－2k，即m＝5k，故l的方程為y＝kx＋5k，恒過(guò)定點(diǎn)(－5,0).18、（1）證明見(jiàn)解析（2）【解析】（1）先證，，再證平面即可；（2）建立空間直角坐標(biāo)系，先求出面與面的法向量，再計(jì)算夾角余弦值即可.小問(wèn)1詳解】取中點(diǎn)，連接，則四邊形為平行四邊形，，為直角三角形，且.又平面，平面，.又，平面.【小問(wèn)2詳解】，為等邊三角形，取中點(diǎn)，連接，則，以為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以為軸建立空間坐標(biāo)系，如圖令，則，設(shè)面的法向量為，則由得取，則設(shè)面的法向量為，則由得取，則設(shè)面與面的夾角為，則所以面與面的夾角的余弦值為.19、（1）在、上遞增，在上遞減；（2）.【解析】【小問(wèn)1詳解】由題設(shè)，且定義域?yàn)?，則，當(dāng)或時(shí)，；當(dāng)時(shí)，.所以在、上遞增，在上遞減.【小問(wèn)2詳解】由題設(shè)，在上恒成立，所以在上恒成立，當(dāng)時(shí)，滿足題設(shè)；當(dāng)時(shí)，，可得.綜上，.20、（1）證明見(jiàn)解析（2）【解析】（1）利用可得答案；（2）利用錯(cuò)位相減可得，轉(zhuǎn)化為對(duì)任意，恒成立，求出的最大值可得答案小問(wèn)1詳解】當(dāng)時(shí)，由，得或（舍去），由，得，①當(dāng)時(shí)，，②由①－②，得，整理得，因?yàn)?，所以所以是首?xiàng)為1，公差為1的等差數(shù)列【小問(wèn)2詳解】由（1）可得，所以，③，④由③－④，得，即，由得，所以，即，該式對(duì)任意恒成立，因此，所以的取值范圍是21、（1）證明見(jiàn)解析；（2）答案見(jiàn)解析.【解析】（1）利用給定的遞推公式，結(jié)合“當(dāng)時(shí)，”變形，再利用等差中項(xiàng)的定義推理作答.（2）利用（1）的結(jié)論，利用等比中項(xiàng)的定義列式計(jì)算，再利用等差數(shù)列前n項(xiàng)和公式計(jì)算作答.【小問(wèn)1詳解】依題意，，當(dāng)時(shí)，有，兩式相減得：，同理可得，于是得，即，而當(dāng)時(shí)，，所以數(shù)列為等差數(shù)列.【小問(wèn)2詳解】由（1）知數(shù)列為等差數(shù)列，設(shè)其首項(xiàng)為，公差為d，依題意，，解得