湖南省醴陵兩中學(xué)2025屆高二數(shù)學(xué)第一學(xué)期期末聯(lián)考模擬試題含解析

湖南省醴陵兩中學(xué)2025屆高二數(shù)學(xué)第一學(xué)期期末聯(lián)考模擬試題考生請(qǐng)注意：1．答題前請(qǐng)將考場(chǎng)、試室號(hào)、座位號(hào)、考生號(hào)、姓名寫(xiě)在試卷密封線內(nèi)，不得在試卷上作任何標(biāo)記。2．第一部分選擇題每小題選出答案后，需將答案寫(xiě)在試卷指定的括號(hào)內(nèi)，第二部分非選擇題答案寫(xiě)在試卷題目指定的位置上。3．考生必須保證答題卡的整潔?？荚嚱Y(jié)束后，請(qǐng)將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．對(duì)于兩個(gè)平面、，“內(nèi)有三個(gè)點(diǎn)到的距離相等”是“”的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件2．算盤是中國(guó)古代的一項(xiàng)重要發(fā)明．現(xiàn)有一種算盤（如圖1），共兩檔，自右向左分別表示個(gè)位和十位，檔中橫以梁，梁上一珠撥下，記作數(shù)字5，梁下五珠，上撥一珠記作數(shù)字1（如圖2中算盤表示整數(shù)51）．如果撥動(dòng)圖1算盤中的兩枚算珠，可以表示不同整數(shù)的個(gè)數(shù)為（）A.8 B.10C.15 D.163．如圖，我市某地一拱橋垂直軸截面是拋物線，已知水利人員在某個(gè)時(shí)刻測(cè)得水面寬，則此時(shí)刻拱橋的最高點(diǎn)到水面的距離為（）A. B.C. D.4．已知三棱柱中，，，D點(diǎn)是線段上靠近A的一個(gè)三等分點(diǎn)，則（）A. B.C. D.5．已知?jiǎng)狱c(diǎn)的坐標(biāo)滿足方程，則的軌跡方程是（）A. B.C. D.6．如圖，在正方體中，，，，若為的中點(diǎn)，在上，且，則等于（）A. B.C. D.7．過(guò)點(diǎn)且與拋物線只有一個(gè)公共點(diǎn)的直線有（）A.1條 B.2條C.3條 D.0條8．若實(shí)數(shù)，滿足約束條件，則的最小值為（）A.-3 B.-2C. D.19．已知平面內(nèi)有一點(diǎn)，平面的一個(gè)法向量為，則下列四個(gè)點(diǎn)中在平面內(nèi)的是（）A. B.C. D.10．過(guò)雙曲線（，）的左焦點(diǎn)作圓：的兩條切線，切點(diǎn)分別為，，雙曲線的左頂點(diǎn)為，若，則雙曲線的漸近線方程為（）A. B.C. D.11．《鏡花緣》是清代文人李汝珍創(chuàng)作的長(zhǎng)篇小說(shuō)，書(shū)中有這樣一個(gè)情節(jié)：一座樓閣到處掛滿了五彩繽紛的大小燈球，燈球有兩種，一種是大燈下綴2個(gè)小燈，另一種是大燈下綴4個(gè)小燈，大燈共360個(gè)，小燈共1200個(gè).若在這座樓閣的燈球中，隨機(jī)選取一個(gè)燈球，則這個(gè)燈球是大燈下綴4個(gè)小燈的概率為A. B.C. D.12．命題“”為真命題一個(gè)充分不必要條件是（）A. B.C. D.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．函數(shù)的最小值為_(kāi)_____.14．設(shè)、為正數(shù)，若，則的最小值是______，此時(shí)______.15．已知數(shù)列的通項(xiàng)公式為，記數(shù)列的前項(xiàng)和為，則__________，的最小值為_(kāi)_________16．橢圓的焦距為_(kāi)_____.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17．（12分）已知單調(diào)遞增的等比數(shù)列滿足：,且是,的等差中項(xiàng)（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）若,,求18．（12分）已知拋物線上一點(diǎn)到拋物線焦點(diǎn)的距離為，點(diǎn)關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)對(duì)稱，過(guò)點(diǎn)作軸的垂線，為垂足，直線與拋物線交于兩點(diǎn).（1）求拋物線的方程；（2）設(shè)直線與軸交點(diǎn)分別為，求的值；（3）若，求.19．（12分）如圖，已知直三棱柱中，，，E，F(xiàn)分別為AC和的中點(diǎn)，D為棱上的一點(diǎn).（1）證明：；（2）當(dāng)平面DEF與平面所成的銳二面角的余弦值為時(shí)，求點(diǎn)B到平面DFE距離.20．（12分）公差不為0的等差數(shù)列中，，且成等比數(shù)列（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）設(shè)，數(shù)列的前n項(xiàng)和為．若，求的取值范圍21．（12分）如圖，四棱錐中，平面，∥,，，為上一點(diǎn)，平面（Ⅰ）求證：∥平面；（Ⅱ）若，求點(diǎn)D到平面EMC的距離22．（10分）已知數(shù)列滿足，（1）設(shè)，求證:數(shù)列是等比數(shù)列;（2）求數(shù)列的前項(xiàng)和

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、B【解析】根據(jù)平面的性質(zhì)分別判斷充分性和必要性.【詳解】充分性：若內(nèi)有三個(gè)點(diǎn)到的距離相等，當(dāng)這三個(gè)點(diǎn)不在一條直線上時(shí)，可得；當(dāng)這三個(gè)點(diǎn)在一條直線上時(shí)，則、平行或相交，故充分性不成立；必要性：若，則內(nèi)每個(gè)點(diǎn)到的距離相等，故必要性成立，所以“內(nèi)有三個(gè)點(diǎn)到的距離相等”是“”的必要不充分條件.故選：B.2、A【解析】根據(jù)給定條件分類探求出撥動(dòng)兩枚算珠的結(jié)果計(jì)算得解.【詳解】撥動(dòng)圖1算盤中的兩枚算珠，有兩類辦法，由于撥動(dòng)一枚算珠有梁上、梁下之分，則只在一個(gè)檔撥動(dòng)兩枚算珠共有4種方法，在每一個(gè)檔各撥動(dòng)一枚算珠共有4種方法，由分類加法計(jì)數(shù)原理得共有8種方法，所以表示不同整數(shù)的個(gè)數(shù)為8.故選：A3、D【解析】代入計(jì)算即可.【詳解】設(shè)B點(diǎn)的坐標(biāo)為，由拋物線方程得，則此時(shí)刻拱橋的最高點(diǎn)到水面的距離為2米.故選：D4、A【解析】在三棱柱中，，轉(zhuǎn)化為結(jié)合已知條件計(jì)算即可.【詳解】在三棱柱中，滿足，且，則，，D點(diǎn)是線段上靠近A的一個(gè)三等分點(diǎn)，則，由向量的減法運(yùn)算得，.故選：A【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：在三棱柱中，，由向量的減法運(yùn)算得，再展開(kāi)利用數(shù)量積運(yùn)算.5、C【解析】此方程表示點(diǎn)到點(diǎn)的距離與到點(diǎn)的距離之差為8，而這正好符合雙曲線的定義，點(diǎn)的軌跡是雙曲線的右支，，的軌跡方程是，故選C.6、B【解析】利用空間向量的加減法、數(shù)乘運(yùn)算推導(dǎo)即可.【詳解】.故選：B.7、B【解析】過(guò)的直線的斜率存在和不存在兩種情況分別討論即可得出答案.【詳解】易知過(guò)點(diǎn)，且斜率不存在的直線為，滿足與拋物線只有一個(gè)公共點(diǎn).當(dāng)直線的斜率存在時(shí)，設(shè)直線方程為，與聯(lián)立得，當(dāng)時(shí)，方程有一個(gè)解，即直線與擾物線只有一個(gè)公共點(diǎn).故滿足題意的直線有2條.故選：B8、B【解析】先畫(huà)出可行域，由，作出直線向下平移過(guò)點(diǎn)A時(shí)，取得最小值，然后求出點(diǎn)A的坐標(biāo)，代入目標(biāo)函數(shù)中可求得答案【詳解】由題可得其可行域?yàn)槿鐖D，l：，當(dāng)經(jīng)過(guò)點(diǎn)A時(shí)，取到最小值，由，得，即，所以的最小值為故選：B9、A【解析】設(shè)所求點(diǎn)的坐標(biāo)為，由，逐一驗(yàn)證選項(xiàng)即可【詳解】設(shè)所求點(diǎn)的坐標(biāo)為，則，因?yàn)槠矫娴囊粋€(gè)法向量為，所以，，對(duì)于選項(xiàng)A，，對(duì)于選項(xiàng)B，，對(duì)于選項(xiàng)C，，對(duì)于選項(xiàng)D，故選：A10、C【解析】根據(jù)，，可以得到，從而得到與的關(guān)系式，再由，，的關(guān)系，進(jìn)而可求雙曲線的漸近線方程【詳解】解：由，，則是圓的切線，，，，所以，因?yàn)殡p曲線的漸近線方程為，即為故選：C11、B【解析】設(shè)大燈下綴2個(gè)小燈為個(gè)，大燈下綴4個(gè)小燈有個(gè)，根據(jù)題意求得，再由古典概型及其概率的公式，即可求解【詳解】設(shè)大燈下綴2個(gè)小燈為個(gè)，大燈下綴4個(gè)小燈有個(gè)，根據(jù)題意可得，解得，則燈球的總數(shù)為個(gè)，故這個(gè)燈球是大燈下綴4個(gè)小燈的概率為，故選B【點(diǎn)睛】本題主要考查了古典概型及其概率的計(jì)算，其中解答中根據(jù)題意列出方程組，求得兩種燈球的數(shù)量是解答的關(guān)鍵，著重考查了運(yùn)算與求解能力，屬于基礎(chǔ)題12、B【解析】求解命題為真命題的充要條件，再利用集合包含關(guān)系判斷【詳解】命題“”為真命題，則≤1,只有是的真子集,故選項(xiàng)B符合題意故選：B二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、1【解析】由解析式知定義域?yàn)?，討論、、，并結(jié)合導(dǎo)數(shù)研究的單調(diào)性，即可求最小值.【詳解】由題設(shè)知：定義域?yàn)椋喈?dāng)時(shí)，，此時(shí)單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，，有，此時(shí)單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，，有，此時(shí)單調(diào)遞增；又在各分段的界點(diǎn)處連續(xù)，∴綜上有：時(shí)，單調(diào)遞減，時(shí)，單調(diào)遞增；∴故答案為：1.14、①.4②.【解析】巧用“1”改變目標(biāo)式子的結(jié)果，借助均值不等式求最值即可.【詳解】，當(dāng)且僅當(dāng)即，時(shí)等號(hào)成立.故答案為，【點(diǎn)睛】本題考查最值的求法，注意運(yùn)用“1”的代換法和基本不等式，考查運(yùn)算能力，屬于中檔題15、①.②.【解析】首先確定的正負(fù)，分別在和兩種情況下求得，代入即可求得；由可求得，分別在和兩種情況下結(jié)合一次函數(shù)和對(duì)勾函數(shù)單調(diào)性得到最小值，綜合可得最終結(jié)果.【詳解】令，解得：，則當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；；，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，又，，，當(dāng)時(shí)，；綜上所述：.故答案為：；.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題考查含絕對(duì)值的數(shù)列前項(xiàng)和的求解問(wèn)題，解題關(guān)鍵是能夠確定數(shù)列的變號(hào)項(xiàng)，從而以變號(hào)項(xiàng)為分類基準(zhǔn)進(jìn)行分類討論得到數(shù)列的前項(xiàng)和；求解數(shù)列中的最值問(wèn)題的關(guān)鍵是能夠利用數(shù)列與函數(shù)的關(guān)系，結(jié)合函數(shù)單調(diào)性和來(lái)進(jìn)行求解.16、【解析】由求出即可.【詳解】可化為，設(shè)焦距為，則，則焦距故答案為：三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17、（1）；（2）【解析】（1）將已知條件整理變形為等比數(shù)列的首項(xiàng)和公比來(lái)表示，解方程組得到基本量，可得到通項(xiàng)公式（2）化簡(jiǎn)通項(xiàng)得，根據(jù)特點(diǎn)求和時(shí)采用錯(cuò)位相減法求解試題解析：（1）設(shè)等比數(shù)列的首項(xiàng)為，公比為，依題意，有2（）=+,代入,得=8,2分∴+=20∴解之得或4分又單調(diào)遞增，∴="2,"=2,∴=2n6分（2）,∴①8分∴②∴①-②得＝12分考點(diǎn)：1．等比數(shù)列通項(xiàng)公式；2．錯(cuò)位相減求和18、（1）；（2）；（3）.【解析】（1）運(yùn)用拋物線的定義進(jìn)行求解即可；（2）設(shè)出直線的方程，與拋物線的方程聯(lián)立，可求得點(diǎn)和的縱坐標(biāo)，結(jié)合直線點(diǎn)斜式方程、兩點(diǎn)間距離公式進(jìn)行求解即可；（3）利用弦長(zhǎng)公式求得，由兩點(diǎn)間距離公式求得和，再解方程即可.【小問(wèn)1詳解】拋物線的準(zhǔn)線方程為：，因?yàn)辄c(diǎn)到拋物線焦點(diǎn)的距離為，所以有；小問(wèn)2詳解】由題意知，，，設(shè)，則，，，，所以直線的方程為，聯(lián)立，消去得，，解得，設(shè)，，，，不妨取，，直線的斜率為，其方程為，令，則，同理可得，所以，而，所以；【小問(wèn)3詳解】，其中，，，因?yàn)?，所以，化?jiǎn)得，解得（舍負(fù)），即，所以【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：運(yùn)用拋物線的定義、弦長(zhǎng)公式進(jìn)行求解是解題的關(guān)鍵.19、（1）證明見(jiàn)解析（2）【解析】（1）建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法證得.（2）利用平面DEF與平面所成的銳二面角的余弦值列方程，求得，結(jié)合向量法求得到平面的距離.【小問(wèn)1詳解】以B為坐標(biāo)原點(diǎn)，為x軸正方向建立如圖所示的建立空間直角坐標(biāo)系.設(shè)，可得，，，.，.因?yàn)?，所?【小問(wèn)2詳解】，設(shè)為平面DEF的法向量，則，即，可取.因?yàn)槠矫娴姆ㄏ蛄繛?，所?由題設(shè)，可得，所以.點(diǎn)B到DFE平面距離.20、（1）（2）【解析】（1）利用等比數(shù)列的定義以及等差數(shù)列的性質(zhì)，列出方程即可得到答案；（2）先求出的通項(xiàng)，再利用的單調(diào)性即可得到的最小值，從而求得的取值范圍【小問(wèn)1詳解】依題意，，，所以，設(shè)等差數(shù)列的公差為，則，解得，所以【小問(wèn)2詳解】，則數(shù)列是遞增數(shù)列，，所以，若，則.21、（Ⅰ）證明見(jiàn)解析；（Ⅱ）【解析】（Ⅰ）運(yùn)用線面平行的判定定理證明；（Ⅱ）借助體積相等建立方程求解即可【詳解】（Ⅰ）證明：取的中點(diǎn)，連接，因?yàn)?，所以，又因?yàn)槠矫?，所以，所以平面，因?yàn)槠矫?，所以∥，面，平?所以∥平面；（Ⅱ）因?yàn)槠矫妫?，所以平面平面，平面平?過(guò)點(diǎn)作直線,則平面，由已知平面，∥,，可得，又，所以為的中點(diǎn)，在中，，在中，，，在中，，由等面積法知，所以，即點(diǎn)D到平面EMC的距離為.考點(diǎn)：直線與平面的位置關(guān)系及運(yùn)用【易錯(cuò)點(diǎn)晴】本題考查的是空間的直線與平面平行的推證問(wèn)題和點(diǎn)到直線的距離問(wèn)題．解答時(shí),證明問(wèn)題務(wù)必要依據(jù)判定定理,因此線面的平行問(wèn)題一定要在所給的平面中找出一條直線與這個(gè)平面外的直線平行,敘述時(shí)一定要交代面外的線和面內(nèi)的線,這是許多學(xué)生容易忽視的問(wèn)題,也高考閱卷時(shí)最容易扣分的地方,因此在表達(dá)時(shí)一定要引起注意22、（1）證明見(jiàn)解