湖南省醴陵兩中學2025屆高二數(shù)學第一學期期末聯(lián)考模擬試題含解析

湖南省醴陵兩中學2025屆高二數(shù)學第一學期期末聯(lián)考模擬試題考生請注意：1．答題前請將考場、試室號、座位號、考生號、姓名寫在試卷密封線內(nèi)，不得在試卷上作任何標記。2．第一部分選擇題每小題選出答案后，需將答案寫在試卷指定的括號內(nèi)，第二部分非選擇題答案寫在試卷題目指定的位置上。3．考生必須保證答題卡的整潔。考試結(jié)束后，請將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．對于兩個平面、，“內(nèi)有三個點到的距離相等”是“”的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件2．算盤是中國古代的一項重要發(fā)明．現(xiàn)有一種算盤（如圖1），共兩檔，自右向左分別表示個位和十位，檔中橫以梁，梁上一珠撥下，記作數(shù)字5，梁下五珠，上撥一珠記作數(shù)字1（如圖2中算盤表示整數(shù)51）．如果撥動圖1算盤中的兩枚算珠，可以表示不同整數(shù)的個數(shù)為（）A.8 B.10C.15 D.163．如圖，我市某地一拱橋垂直軸截面是拋物線，已知水利人員在某個時刻測得水面寬，則此時刻拱橋的最高點到水面的距離為（）A. B.C. D.4．已知三棱柱中，，，D點是線段上靠近A的一個三等分點，則（）A. B.C. D.5．已知動點的坐標滿足方程，則的軌跡方程是（）A. B.C. D.6．如圖，在正方體中，，，，若為的中點，在上，且，則等于（）A. B.C. D.7．過點且與拋物線只有一個公共點的直線有（）A.1條 B.2條C.3條 D.0條8．若實數(shù)，滿足約束條件，則的最小值為（）A.-3 B.-2C. D.19．已知平面內(nèi)有一點，平面的一個法向量為，則下列四個點中在平面內(nèi)的是（）A. B.C. D.10．過雙曲線（，）的左焦點作圓：的兩條切線，切點分別為，，雙曲線的左頂點為，若，則雙曲線的漸近線方程為（）A. B.C. D.11．《鏡花緣》是清代文人李汝珍創(chuàng)作的長篇小說，書中有這樣一個情節(jié)：一座樓閣到處掛滿了五彩繽紛的大小燈球，燈球有兩種，一種是大燈下綴2個小燈，另一種是大燈下綴4個小燈，大燈共360個，小燈共1200個.若在這座樓閣的燈球中，隨機選取一個燈球，則這個燈球是大燈下綴4個小燈的概率為A. B.C. D.12．命題“”為真命題一個充分不必要條件是（）A. B.C. D.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．函數(shù)的最小值為______.14．設、為正數(shù)，若，則的最小值是______，此時______.15．已知數(shù)列的通項公式為，記數(shù)列的前項和為，則__________，的最小值為__________16．橢圓的焦距為______.三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）已知單調(diào)遞增的等比數(shù)列滿足：,且是,的等差中項（1）求數(shù)列的通項公式；（2）若,,求18．（12分）已知拋物線上一點到拋物線焦點的距離為，點關于坐標原點對稱，過點作軸的垂線，為垂足，直線與拋物線交于兩點.（1）求拋物線的方程；（2）設直線與軸交點分別為，求的值；（3）若，求.19．（12分）如圖，已知直三棱柱中，，，E，F(xiàn)分別為AC和的中點，D為棱上的一點.（1）證明：；（2）當平面DEF與平面所成的銳二面角的余弦值為時，求點B到平面DFE距離.20．（12分）公差不為0的等差數(shù)列中，，且成等比數(shù)列（1）求數(shù)列的通項公式；（2）設，數(shù)列的前n項和為．若，求的取值范圍21．（12分）如圖，四棱錐中，平面，∥,，，為上一點，平面（Ⅰ）求證：∥平面；（Ⅱ）若，求點D到平面EMC的距離22．（10分）已知數(shù)列滿足，（1）設，求證:數(shù)列是等比數(shù)列;（2）求數(shù)列的前項和

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、B【解析】根據(jù)平面的性質(zhì)分別判斷充分性和必要性.【詳解】充分性：若內(nèi)有三個點到的距離相等，當這三個點不在一條直線上時，可得；當這三個點在一條直線上時，則、平行或相交，故充分性不成立；必要性：若，則內(nèi)每個點到的距離相等，故必要性成立，所以“內(nèi)有三個點到的距離相等”是“”的必要不充分條件.故選：B.2、A【解析】根據(jù)給定條件分類探求出撥動兩枚算珠的結(jié)果計算得解.【詳解】撥動圖1算盤中的兩枚算珠，有兩類辦法，由于撥動一枚算珠有梁上、梁下之分，則只在一個檔撥動兩枚算珠共有4種方法，在每一個檔各撥動一枚算珠共有4種方法，由分類加法計數(shù)原理得共有8種方法，所以表示不同整數(shù)的個數(shù)為8.故選：A3、D【解析】代入計算即可.【詳解】設B點的坐標為，由拋物線方程得，則此時刻拱橋的最高點到水面的距離為2米.故選：D4、A【解析】在三棱柱中，，轉(zhuǎn)化為結(jié)合已知條件計算即可.【詳解】在三棱柱中，滿足，且，則，，D點是線段上靠近A的一個三等分點，則，由向量的減法運算得，.故選：A【點睛】關鍵點點睛：在三棱柱中，，由向量的減法運算得，再展開利用數(shù)量積運算.5、C【解析】此方程表示點到點的距離與到點的距離之差為8，而這正好符合雙曲線的定義，點的軌跡是雙曲線的右支，，的軌跡方程是，故選C.6、B【解析】利用空間向量的加減法、數(shù)乘運算推導即可.【詳解】.故選：B.7、B【解析】過的直線的斜率存在和不存在兩種情況分別討論即可得出答案.【詳解】易知過點，且斜率不存在的直線為，滿足與拋物線只有一個公共點.當直線的斜率存在時，設直線方程為，與聯(lián)立得，當時，方程有一個解，即直線與擾物線只有一個公共點.故滿足題意的直線有2條.故選：B8、B【解析】先畫出可行域，由，作出直線向下平移過點A時，取得最小值，然后求出點A的坐標，代入目標函數(shù)中可求得答案【詳解】由題可得其可行域為如圖，l：，當經(jīng)過點A時，取到最小值，由，得，即，所以的最小值為故選：B9、A【解析】設所求點的坐標為，由，逐一驗證選項即可【詳解】設所求點的坐標為，則，因為平面的一個法向量為，所以，，對于選項A，，對于選項B，，對于選項C，，對于選項D，故選：A10、C【解析】根據(jù)，，可以得到，從而得到與的關系式，再由，，的關系，進而可求雙曲線的漸近線方程【詳解】解：由，，則是圓的切線，，，，所以，因為雙曲線的漸近線方程為，即為故選：C11、B【解析】設大燈下綴2個小燈為個，大燈下綴4個小燈有個，根據(jù)題意求得，再由古典概型及其概率的公式，即可求解【詳解】設大燈下綴2個小燈為個，大燈下綴4個小燈有個，根據(jù)題意可得，解得，則燈球的總數(shù)為個，故這個燈球是大燈下綴4個小燈的概率為，故選B【點睛】本題主要考查了古典概型及其概率的計算，其中解答中根據(jù)題意列出方程組，求得兩種燈球的數(shù)量是解答的關鍵，著重考查了運算與求解能力，屬于基礎題12、B【解析】求解命題為真命題的充要條件，再利用集合包含關系判斷【詳解】命題“”為真命題，則≤1,只有是的真子集,故選項B符合題意故選：B二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、1【解析】由解析式知定義域為，討論、、，并結(jié)合導數(shù)研究的單調(diào)性，即可求最小值.【詳解】由題設知：定義域為，∴當時，，此時單調(diào)遞減；當時，，有，此時單調(diào)遞減；當時，，有，此時單調(diào)遞增；又在各分段的界點處連續(xù)，∴綜上有：時，單調(diào)遞減，時，單調(diào)遞增；∴故答案為：1.14、①.4②.【解析】巧用“1”改變目標式子的結(jié)果，借助均值不等式求最值即可.【詳解】，當且僅當即，時等號成立.故答案為，【點睛】本題考查最值的求法，注意運用“1”的代換法和基本不等式，考查運算能力，屬于中檔題15、①.②.【解析】首先確定的正負，分別在和兩種情況下求得，代入即可求得；由可求得，分別在和兩種情況下結(jié)合一次函數(shù)和對勾函數(shù)單調(diào)性得到最小值，綜合可得最終結(jié)果.【詳解】令，解得：，則當時，；當時，；當時，；當時，；；，當時，；當時，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，又，，，當時，；綜上所述：.故答案為：；.【點睛】關鍵點點睛：本題考查含絕對值的數(shù)列前項和的求解問題，解題關鍵是能夠確定數(shù)列的變號項，從而以變號項為分類基準進行分類討論得到數(shù)列的前項和；求解數(shù)列中的最值問題的關鍵是能夠利用數(shù)列與函數(shù)的關系，結(jié)合函數(shù)單調(diào)性和來進行求解.16、【解析】由求出即可.【詳解】可化為，設焦距為，則，則焦距故答案為：三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）；（2）【解析】（1）將已知條件整理變形為等比數(shù)列的首項和公比來表示，解方程組得到基本量，可得到通項公式（2）化簡通項得，根據(jù)特點求和時采用錯位相減法求解試題解析：（1）設等比數(shù)列的首項為，公比為，依題意，有2（）=+,代入,得=8,2分∴+=20∴解之得或4分又單調(diào)遞增，∴="2,"=2,∴=2n6分（2）,∴①8分∴②∴①-②得＝12分考點：1．等比數(shù)列通項公式；2．錯位相減求和18、（1）；（2）；（3）.【解析】（1）運用拋物線的定義進行求解即可；（2）設出直線的方程，與拋物線的方程聯(lián)立，可求得點和的縱坐標，結(jié)合直線點斜式方程、兩點間距離公式進行求解即可；（3）利用弦長公式求得，由兩點間距離公式求得和，再解方程即可.【小問1詳解】拋物線的準線方程為：，因為點到拋物線焦點的距離為，所以有；小問2詳解】由題意知，，，設，則，，，，所以直線的方程為，聯(lián)立，消去得，，解得，設，，，，不妨取，，直線的斜率為，其方程為，令，則，同理可得，所以，而，所以；【小問3詳解】，其中，，，因為，所以，化簡得，解得（舍負），即，所以【點睛】關鍵點睛：運用拋物線的定義、弦長公式進行求解是解題的關鍵.19、（1）證明見解析（2）【解析】（1）建立空間直角坐標系，利用向量法證得.（2）利用平面DEF與平面所成的銳二面角的余弦值列方程，求得，結(jié)合向量法求得到平面的距離.【小問1詳解】以B為坐標原點，為x軸正方向建立如圖所示的建立空間直角坐標系.設，可得，，，.，.因為，所以.【小問2詳解】，設為平面DEF的法向量，則，即，可取.因為平面的法向量為，所以.由題設，可得，所以.點B到DFE平面距離.20、（1）（2）【解析】（1）利用等比數(shù)列的定義以及等差數(shù)列的性質(zhì)，列出方程即可得到答案；（2）先求出的通項，再利用的單調(diào)性即可得到的最小值，從而求得的取值范圍【小問1詳解】依題意，，，所以，設等差數(shù)列的公差為，則，解得，所以【小問2詳解】，則數(shù)列是遞增數(shù)列，，所以，若，則.21、（Ⅰ）證明見解析；（Ⅱ）【解析】（Ⅰ）運用線面平行的判定定理證明；（Ⅱ）借助體積相等建立方程求解即可【詳解】（Ⅰ）證明：取的中點，連接，因為，所以，又因為平面，所以，所以平面，因為平面，所以∥，面，平面,所以∥平面；（Ⅱ）因為平面，面，所以平面平面，平面平面,過點作直線,則平面，由已知平面，∥,，可得，又，所以為的中點，在中，，在中，，，在中，，由等面積法知，所以，即點D到平面EMC的距離為.考點：直線與平面的位置關系及運用【易錯點晴】本題考查的是空間的直線與平面平行的推證問題和點到直線的距離問題．解答時,證明問題務必要依據(jù)判定定理,因此線面的平行問題一定要在所給的平面中找出一條直線與這個平面外的直線平行,敘述時一定要交代面外的線和面內(nèi)的線,這是許多學生容易忽視的問題,也高考閱卷時最容易扣分的地方,因此在表達時一定要引起注意22、（1）證明見解