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文檔簡介
上海市華東師大二附中2025屆高二數(shù)學(xué)第一學(xué)期期末統(tǒng)考試題請(qǐng)考生注意:1.請(qǐng)用2B鉛筆將選擇題答案涂填在答題紙相應(yīng)位置上,請(qǐng)用0.5毫米及以上黑色字跡的鋼筆或簽字筆將主觀題的答案寫在答題紙相應(yīng)的答題區(qū)內(nèi)。寫在試題卷、草稿紙上均無效。2.答題前,認(rèn)真閱讀答題紙上的《注意事項(xiàng)》,按規(guī)定答題。一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1.已知拋物線C:y2=8x的焦點(diǎn)為F,準(zhǔn)線為l,P是l上一點(diǎn),Q是直線PF與C的一個(gè)交點(diǎn),若,則|QF|=()A. B.C.3 D.22.已知三棱錐,點(diǎn)分別為的中點(diǎn),且,用表示,則等于()A. B.C. D.3.關(guān)于實(shí)數(shù)a,b,c,下列說法正確的是()A.如果,則,,成等差數(shù)列B.如果,則,,成等比數(shù)列C.如果,則,,成等差數(shù)列D.如果,則,,成等差數(shù)列4.已知,,,則最小值是()A.10 B.9C.8 D.75.曲線在點(diǎn)處的切線方程是A. B.C. D.6.直線分別與軸,軸交于,兩點(diǎn),點(diǎn)在圓上,則面積的取值范圍是A. B.C. D.7.某三棱錐的三視圖如圖所示,則該三棱錐內(nèi)切球的表面積為A.B.C.D.8.設(shè)集合,則AB=()A.{2} B.{2,3}C.{3,4} D.{2,3,4}9.設(shè)是兩個(gè)非零向量,則“”是“夾角為鈍角”的A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充分必要條件 D.既不充分也不必要條件10.在四棱錐中,四邊形為菱形,平面,是中點(diǎn),下列敘述正確的是()A.平面 B.平面C.平面平面 D.平面平面11.圓與圓的位置關(guān)系為()A.內(nèi)切 B.相交C.外切 D.相離12.一個(gè)公司有8名員工,其中6名員工的月工資分別為5200,5300,5500,6100,6500,6600,另兩名員工數(shù)據(jù)不清楚,那么8位員工月工資的中位數(shù)不可能是()A.5800 B.6000C.6200 D.6400二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13.已知橢圓,分別是橢圓的上、下頂點(diǎn),是左頂點(diǎn),為左焦點(diǎn),直線與相交于點(diǎn),則________14.若函數(shù),則_______15.甲乙兩艘輪船都要在某個(gè)泊位???個(gè)小時(shí),假定它們?cè)谝粫円沟臅r(shí)間段內(nèi)隨機(jī)地到達(dá),則兩船中有一艘在??坎次粫r(shí)、另一艘船必須等待的概率為______.16.函數(shù)的最小值為______.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17.(12分)已知橢圓C:,斜率為的直線l與橢圓C交于A、B兩點(diǎn)且(1)求橢圓C的離心率;(2)求直線l方程18.(12分)某校在全體同學(xué)中隨機(jī)抽取了100名同學(xué),進(jìn)行體育鍛煉時(shí)間的專項(xiàng)調(diào)查.將調(diào)查數(shù)據(jù)按平均每天鍛煉時(shí)間的多少(單位:分鐘)分成五組:,,,,,得到如圖所示的頻率分布直方圖.將平均每天體育鍛煉時(shí)間不少于60分鐘的同學(xué)定義為鍛煉達(dá)標(biāo),平均每天體育鍛煉時(shí)間少于60分鐘的同學(xué)定義為鍛煉不達(dá)標(biāo)(1)求a的值,并估計(jì)該校同學(xué)平均每天體育鍛煉時(shí)間的中位數(shù);(2)在樣本中,對(duì)平均每天體育鍛煉時(shí)間不達(dá)標(biāo)的同學(xué),按分層抽樣的方法抽取6名同學(xué)了解不達(dá)標(biāo)的原因,再從這6名同學(xué)中隨機(jī)抽取2名進(jìn)行調(diào)研,求這2名同學(xué)中至少有一名每天體育鍛煉時(shí)間(單位:分鐘)在內(nèi)的概率19.(12分)在①,②,③,,成等比數(shù)列這三個(gè)條件中選擇符合題意的兩個(gè)條件,補(bǔ)充在下面的問題中,并求解.已知數(shù)列中,公差不等于的等差數(shù)列滿足_________,求數(shù)列的前項(xiàng)和.20.(12分)已知拋物線上的點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離為6(1)求拋物線的方程;(2)設(shè)為拋物線的焦點(diǎn),直線與拋物線交于,兩點(diǎn),求的面積21.(12分)如圖,在四棱錐P-ABCD中,PD=2AD=4,PD⊥CD,PD⊥AD,底面ABCD為正方形,M、N、Q分別為AD、PD、BC的中點(diǎn)(1)證明:面PAQ//面MNC;(2)求二面角M-NC-D的余弦值22.(10分)籃天技校為了了解車床班學(xué)生的操作能力,設(shè)計(jì)了一個(gè)考查方案;每個(gè)考生從道備選題中一次性隨機(jī)抽取道題,按照題目要求獨(dú)立完成零件加工,規(guī)定:至少正確加工完成其中個(gè)零件方可通過.道備選題中,考生甲有個(gè)零件能正確加工完成,個(gè)零件不能完成;考生乙每個(gè)零件正確完成的概率都是,且每個(gè)零件正確加工完成與否互不影響(1)分別求甲、乙兩位考生正確加工完成零件數(shù)的概率分布列(列出分布列表);(2)試從甲、乙兩位考生正確加工完成零件數(shù)的數(shù)學(xué)期望及兩人通過考查的概率分析比較兩位考生的操作能力
參考答案一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、C【解析】過點(diǎn)Q作QQ′⊥l交l于點(diǎn)Q′,利用拋物線定義以及相似得到|QF|=|QQ′|=3.【詳解】如圖所示:過點(diǎn)Q作QQ′⊥l交l于點(diǎn)Q′,因?yàn)椋詜PQ|∶|PF|=3∶4,又焦點(diǎn)F到準(zhǔn)線l的距離為4,所以|QF|=|QQ′|=3.故選C.【點(diǎn)睛】本題考查了拋物線的定義應(yīng)用,意在考查學(xué)生的計(jì)算能力.2、D【解析】連接,利用,化簡即可得到答案.【詳解】連接,如下圖.故選:D.3、B【解析】根據(jù)給定條件結(jié)合取特值、推理計(jì)算等方法逐一分析各個(gè)選項(xiàng)并判斷即可作答.【詳解】對(duì)于A,若,取,而,即,,不成等差數(shù)列,A不正確;對(duì)于B,若,則,即,,成等比數(shù)列,B正確;對(duì)于C,若,取,而,,,不成等差數(shù)列,C不正確;對(duì)于D,a,b,c是實(shí)數(shù),若,顯然都可以為負(fù)數(shù)或者0,此時(shí)a,b,c無對(duì)數(shù),D不正確.故選:B4、B【解析】利用題設(shè)中的等式,把的表達(dá)式轉(zhuǎn)化成展開后,利用基本不等式求得的最小值【詳解】∵,,,∴=,當(dāng)且僅當(dāng),即時(shí)等號(hào)成立故選:B5、D【解析】先求導(dǎo)數(shù),得切線的斜率,再根據(jù)點(diǎn)斜式得切線方程.【詳解】,選D.點(diǎn)睛】本題考查導(dǎo)數(shù)幾何意義以及直線點(diǎn)斜式方程,考查基本求解能力,屬基礎(chǔ)題.6、A【解析】分析:先求出A,B兩點(diǎn)坐標(biāo)得到再計(jì)算圓心到直線距離,得到點(diǎn)P到直線距離范圍,由面積公式計(jì)算即可詳解:直線分別與軸,軸交于,兩點(diǎn),則點(diǎn)P在圓上圓心為(2,0),則圓心到直線距離故點(diǎn)P到直線的距離的范圍為則故答案選A.點(diǎn)睛:本題主要考查直線與圓,考查了點(diǎn)到直線的距離公式,三角形的面積公式,屬于中檔題7、A【解析】由三視圖可知該幾何體是一個(gè)三棱錐,根據(jù)等積法求出幾何體內(nèi)切球的半徑,再計(jì)算內(nèi)切球的表面積【詳解】解:由三視圖知該幾何體是一個(gè)三棱錐,放入棱長為2的正方體中,如圖所示:設(shè)三棱錐內(nèi)切球的半徑為,則由等體積法得,解得,所以該三棱錐內(nèi)切球的表面積為故選:A【點(diǎn)睛】本題考查了由三視圖求三棱錐內(nèi)切球表面積的應(yīng)用問題,屬于中檔題8、B【解析】按交集定義求解即可.【詳解】AB={2,3}故選:B9、B【解析】因?yàn)闀r(shí),夾角為鈍角或平角;而當(dāng)夾角為鈍角時(shí),成立,所以“”是“夾角為鈍角”的必要不充分條件.故選B考點(diǎn):1向量的數(shù)量積;2充分必要條件10、D【解析】利用反證法可判斷A選項(xiàng);利用面面垂直的性質(zhì)可判斷BC選項(xiàng);利用面面垂直的判定可判斷D選項(xiàng).【詳解】對(duì)于A選項(xiàng),因?yàn)樗倪呅螢榱庑?,則,平面,平面,平面,若平面,因?yàn)?,則平面平面,事實(shí)上,平面與平面相交,假設(shè)不成立,A錯(cuò);對(duì)于B選項(xiàng),過點(diǎn)在平面內(nèi)作,垂足為點(diǎn),平面,平面,則,,,平面,而過作平面的垂線,有且只有一條,故與平面不垂直,B錯(cuò);對(duì)于C選項(xiàng),過點(diǎn)在平面內(nèi)作,垂足為點(diǎn),因?yàn)槠矫?,平面,則,,,則平面,若平面平面,過點(diǎn)在平面內(nèi)作,垂足為點(diǎn),因?yàn)槠矫嫫矫妫矫嫫矫?,平面,平面,而過點(diǎn)作平面的垂線,有且只有一條,即、重合,所以,平面平面,所以,,但四邊形為菱形,、不一定垂直,C錯(cuò);對(duì)于D選項(xiàng),因?yàn)樗倪呅螢榱庑危瑒t,平面,平面,,,平面,因?yàn)槠矫?,因此,平面平面平面,D對(duì).故選:D.11、C【解析】寫出兩圓的圓心和半徑,求出圓心距,發(fā)現(xiàn)與兩圓的半徑和相等,所以判斷兩圓外切【詳解】圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為:,所以圓心坐標(biāo)為,半徑;圓的圓心為,半徑,圓心距,所以兩圓相外切故選:C12、D【解析】解:∵一個(gè)公司有8名員工,其中6名員工的月工資分別為5200,5300,5500,6100,6500,6600,∴當(dāng)另外兩名員工的工資都小于5300時(shí),中位數(shù)為(5300+5500)÷2=5400,當(dāng)另外兩名員工的工資都大于5300時(shí),中位數(shù)為(6100+6500)÷2=6300,∴8位員工月工資的中位數(shù)的取值區(qū)間為[5400,6300],∴8位員工月工資的中位數(shù)不可能是6400.本題選擇D選項(xiàng).二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13、##【解析】先求出頂點(diǎn)和焦點(diǎn)坐標(biāo),求出直線直線與的斜率,利用到角公式求出的正切值,進(jìn)而求出正弦值.【詳解】由可得:,所以,,,,故,由到角公式得:,其中,所以.故答案為:14、1【解析】先對(duì)函數(shù)求導(dǎo),然后令可求出的值【詳解】因?yàn)椋?,則,解得故答案為:15、【解析】利用幾何概型的面積型概率計(jì)算,作出邊長為24的正方形面積,求出部分的面積,即可求得答案.【詳解】設(shè)甲乙兩艘輪船到達(dá)的時(shí)間分為,則,記事件為兩船中有一艘在??坎次粫r(shí)、另一艘船必須等待,則,即∴.故答案為:.【點(diǎn)睛】本題考查幾何概型,考查轉(zhuǎn)化與化歸思想、數(shù)形結(jié)合思想,考查邏輯推理能力和運(yùn)算求解能力,求解時(shí)注意對(duì)概率模型的抽象成面積型.16、1【解析】由解析式知定義域?yàn)椋懻?、、,并結(jié)合導(dǎo)數(shù)研究的單調(diào)性,即可求最小值.【詳解】由題設(shè)知:定義域?yàn)?,∴?dāng)時(shí),,此時(shí)單調(diào)遞減;當(dāng)時(shí),,有,此時(shí)單調(diào)遞減;當(dāng)時(shí),,有,此時(shí)單調(diào)遞增;又在各分段的界點(diǎn)處連續(xù),∴綜上有:時(shí),單調(diào)遞減,時(shí),單調(diào)遞增;∴故答案為:1.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、(1)(2)或【解析】(1)將橢圓化為標(biāo)準(zhǔn)方程,求得,進(jìn)而求得離心率;(2)設(shè)直線,,,與橢圓聯(lián)立,借助韋達(dá)定理及弦長公式求得,從而求得直線方程.【小問1詳解】由題知,橢圓C:,則,離心率【小問2詳解】設(shè)直線,,聯(lián)立,化簡得,則,解得,,由弦長公式知,,解得,故直線或18、(1),中位數(shù)為64;(2).【解析】(1)由頻率和為1求參數(shù)a,根據(jù)中位數(shù)的性質(zhì),結(jié)合頻率直方圖求中位數(shù).(2)首先由分層抽樣求6名同學(xué)的分布情況,再應(yīng)用列舉法求概率.【詳解】(1)由題設(shè),,可得,∴中位數(shù)應(yīng)在之間,令中位數(shù)為,則,解得.∴該校同學(xué)平均每天體育鍛煉時(shí)間的中位數(shù)為64.(2)由題設(shè),抽取6名同學(xué)中1名在,2名在,3名在,若1名在為,2名在為,3名在為,∴隨機(jī)抽取2名的可能情況有共15種,其中至少有一名在內(nèi)的共12種,∴這2名同學(xué)中至少有一名每天體育鍛煉時(shí)間(單位:分鐘)在內(nèi)的概率為.19、詳見解析【解析】根據(jù)已知求出的通項(xiàng)公式.當(dāng)①②時(shí),設(shè)數(shù)列公差為,利用賦值法得到與的關(guān)系式,列方程求出與,求出,寫出的通項(xiàng)公式,可得數(shù)列的通項(xiàng)公式,利用錯(cuò)位相減法求和即可;選②③時(shí),設(shè)數(shù)列公差為,根據(jù)題意得到與的關(guān)系式,解出與,寫出的通項(xiàng)公式,可得數(shù)列的通項(xiàng)公式,利用錯(cuò)位相減法求和即可;選①③時(shí),設(shè)數(shù)列公差為,根據(jù)題意得到與的關(guān)系式,發(fā)現(xiàn)無解,則等差數(shù)列不存在,故不合題意.【詳解】解:因?yàn)?,,所以是以為首?xiàng),為公比的等比數(shù)列,所以,選①②時(shí),設(shè)數(shù)列公差為,因?yàn)?,所以,因?yàn)?,所以時(shí),,解得,,所以,所以.所以.(i)所以(ii)(i)(ii),得:所以.選②③時(shí),設(shè)數(shù)列公差為,因?yàn)椋?,即,因?yàn)?,,成等比?shù)列,所以,即,化簡得,因?yàn)?,所以,從而,所以,所以,(i)所以(ii)(i)(ii),得:,所以.選①③時(shí),設(shè)數(shù)列公差為,因?yàn)椋詴r(shí),,所以.又因?yàn)?,,成等比?shù)列,所以,即,化簡得,因?yàn)?,所以,從而無解,所以等差數(shù)列不存在,故不合題意.【點(diǎn)睛】本題考查了等差(比)數(shù)列的通項(xiàng)公式,考查了錯(cuò)位相減法在數(shù)列求和中的應(yīng)用,考查了轉(zhuǎn)化能力與方程思想,屬于中檔題.20、(1)(2)【解析】(1)根據(jù)焦半徑公式可求,從而可求拋物線的方程.(2)求出的長度后可求的面積.【小問1詳解】因?yàn)椋?,故拋物線方程為:.【小問2詳解】設(shè),且,由可得,故或,故,故,故,而到直線的距離為,故的面積為21、(1)證明過程見解析(2)【解析】(1)由線線平行證明線面平行;(2)建立空間直角坐標(biāo)系,利用空間向量進(jìn)行求解二面角的余弦值.【小問1詳解】因?yàn)镸,N是DA,PD的中點(diǎn),所以MN//AP,因?yàn)槠矫鍼AQ,平面PAQ,所以MN//平面PAQ因?yàn)樗倪呅蜛BCD為正方形,且Q為BC中點(diǎn),所以MA//CQ,且MA=CQ,所以四邊形MAQC為平行四邊形,所以CM//AQ,因?yàn)槠矫鍼AQ,平面PAQ,所以MC//平面PAQ,因?yàn)椋悦鍼AQ//面MNC【小問2詳解】因?yàn)镻D⊥CD,PD⊥AD,AD⊥CD故以D為坐標(biāo)原點(diǎn),DA所在直線為x軸,DC所在直線為y軸,DP所在直線為z軸建立空間直角坐標(biāo)系,則,,,設(shè)平面NMC的法向量為,則,令得:,所以,平面NDC的法向量為,則,設(shè)二面角M-NC-D的大小為,顯然為銳角,則22、(1)分布列見解析(2)甲的試驗(yàn)操作能力較強(qiáng),理由見解析【解析】(1)設(shè)考生甲、乙正確加工完成零件的個(gè)數(shù)
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