上海市上師大附中 2025屆高二上數(shù)學(xué)期末預(yù)測試題含解析

上海市上師大附中2025屆高二上數(shù)學(xué)期末預(yù)測試題考生請注意：1．答題前請將考場、試室號、座位號、考生號、姓名寫在試卷密封線內(nèi)，不得在試卷上作任何標(biāo)記。2．第一部分選擇題每小題選出答案后，需將答案寫在試卷指定的括號內(nèi)，第二部分非選擇題答案寫在試卷題目指定的位置上。3．考生必須保證答題卡的整潔。考試結(jié)束后，請將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．在正四面體中，點為所在平面上動點，若與所成角為定值，則動點的軌跡是（）A.圓 B.橢圓C.雙曲線 D.拋物線2．在等差數(shù)列中，為數(shù)列的前項和，，，則數(shù)列的公差為（）A. B.C.4 D.3．直線的傾斜角為（）A. B.C. D.4．已知拋物線的焦點為F，，點是拋物線上的動點，則當(dāng)?shù)闹底钚r，=（）A.1 B.2C. D.45．已知圓M的圓心在直線上，且點，在M上，則M的方程為（）A. B.C. D.6．“且”是“”的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C充要條件 D.既不充分也不必要條件7．若是函數(shù)的極值點，則函數(shù)（）A.有最小值，無最大值 B.有最大值，無最小值C.有最小值，最大值 D.無最大值，無最小值8．下列曲線中，與雙曲線有相同漸近線是（）A. B.C. D.9．在中，已知點在線段上，點是的中點，，，，則的最小值為（）A. B.4C. D.10．若一個正方體的全面積是72，則它的對角線長為（）A. B.12C. D.611．若數(shù)列是等比數(shù)列，且，則（）A.1 B.2C.4 D.812．由于受疫情的影響，學(xué)校停課，同學(xué)們通過三種方式在家自主學(xué)習(xí)，現(xiàn)學(xué)校想了解同學(xué)們對假期學(xué)習(xí)方式的滿意程度，收集如圖1所示的數(shù)據(jù)；教務(wù)處通過分層抽樣的方法抽取4%的同學(xué)進行滿意度調(diào)查，得到的數(shù)據(jù)如圖2.下列說法錯誤的是（）A.樣本容量為240B.若，則本次自主學(xué)習(xí)學(xué)生的滿意度不低于四成C.總體中對方式二滿意學(xué)生約為300人D.樣本中對方式一滿意的學(xué)生為24人二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．已知拋物線的頂點為坐標(biāo)原點，焦點坐標(biāo)是，則該拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為___________14．已知函數(shù)，則_________15．已知數(shù)列滿足（），設(shè)數(shù)列滿足：，數(shù)列的前項和為，若（）恒成立，則的取值范圍是________16．已知內(nèi)角A，B，C的對邊為a，b，c，已知，且，則c的最小值為__________.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）設(shè)p：關(guān)于x的不等式有解，q：.（1）若p為真命題，求實數(shù)m的取值范圍；（2）若為假命題，為真命題，求實數(shù)m的取值范圍.18．（12分）已知點F是拋物線和橢圓的公共焦點，是與的交點，.（1）求橢圓的方程；（2）直線與拋物線相切于點，與橢圓交于，，點關(guān)于軸的對稱點為.求的最大值及相應(yīng)的.19．（12分）在平面直角坐標(biāo)系中，動點，滿足，記點的軌跡為（1）請說明是什么曲線，并寫出它的方程；（2）設(shè)不過原點且斜率為的直線與交于不同的兩點，，線段的中點為，直線與交于兩點，，請判斷與的關(guān)系，并證明你的結(jié)論20．（12分）已知焦點為F的拋物線上一點到F的距離是4（1）求拋物線C的方程（2）若不過原點O的直線l與拋物線C交于A，B兩點（A，B位于x軸兩側(cè)），C的準(zhǔn)線與x軸交于點E，直線與分別交于點M，N，若，證明：直線l過定點21．（12分）點A、B分別是橢圓長軸的左、右端點，點F是橢圓的右焦點，點P在橢圓上，且位于軸上方，.（1）求點P的坐標(biāo)；（2）設(shè)M是橢圓長軸AB上的一點，M到直線AP的距離等于，求橢圓上的點到點M的距離的最小值.22．（10分）已知關(guān)于的不等式（1）若不等式的解集為，求的值（2）若不等式的解集為，求的取值范圍

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、B【解析】把條件轉(zhuǎn)化為與圓錐的軸重合，面與圓錐的相交軌跡即為點的軌跡后即可求解.【詳解】以平面截圓錐面，平面位置不同，生成的相交軌跡可以為拋物線、雙曲線、橢圓、圓.令與圓錐的軸線重合，如圖所示，則圓錐母線與所成角為定值，所以面與圓錐的相交軌跡即為點的軌跡.根據(jù)題意，不可能垂直于平面即軌跡不可能為圓.面不可能與圓錐軸線平行，即軌跡不可能是雙曲線.可進一步計算與平面所成角為，即時，軌跡為拋物線，時，軌跡為橢圓，，所以軌跡為橢圓.故選：B.【點睛】本題考查了平面截圓錐面所得軌跡問題，考查了轉(zhuǎn)化化歸思想，屬于難題.2、A【解析】由已知條件列方程組求解即可【詳解】設(shè)等差數(shù)列的公差為，因為，，所以，解得，故選：A3、D【解析】若直線傾斜角為，由題設(shè)有，結(jié)合即可得傾斜角的大小.【詳解】由直線方程，若其傾斜角為，則，而，∴.故選：D4、B【解析】根據(jù)拋物線定義，轉(zhuǎn)化，要使有最小值，只需最大，即直線與拋物線相切，聯(lián)立直線方程與拋物線方程，求出斜率，然后求出點坐標(biāo)，即可求解.【詳解】由題知，拋物線的準(zhǔn)線方程為，，過P作垂直于準(zhǔn)線于，連接，由拋物線定義知.由正弦函數(shù)知，要使最小值，即最小，即最大，即直線斜率最大，即直線與拋物線相切.設(shè)所在的直線方程為：，聯(lián)立拋物線方程：，整理得：則，解得即，解得，代入得或，再利用焦半徑公式得故選：B.關(guān)鍵點睛：本題考查拋物線的性質(zhì)，直線與拋物線的位置關(guān)系，解題的關(guān)鍵是要將取最小值轉(zhuǎn)化為直線斜率最大，再轉(zhuǎn)化為拋物線的切線，考查學(xué)生的轉(zhuǎn)化思想與運算求解能力，屬于中檔題.5、C【解析】由題設(shè)寫出的中垂線，求其與的交點即得圓心坐標(biāo)，再應(yīng)用兩點距離公式求半徑，即可得圓的方程.【詳解】因為點，在M上，所以圓心在的中垂線上由，解得，即圓心為，則半徑，所以M的方程為故選：C6、A【解析】按照充分必要條件的判斷方法判斷，“且”能否推出“”，以及“”能否推出“且”，判斷得到正確答案，【詳解】當(dāng)且時，成立，反過來，當(dāng)時，例：，不能推出且.所以“且”是“”的充分不必要條件.故選：A【點睛】本題考查充分不必要條件的判斷，重點考查基本判斷方法，屬于基礎(chǔ)題型.7、A【解析】對求導(dǎo)，根據(jù)極值點求參數(shù)a，再由導(dǎo)數(shù)研究其單調(diào)性并判斷其最值情況.【詳解】由題設(shè)，且，∴，可得.∴且，當(dāng)時，遞減；當(dāng)時，遞增；∴有極小值，無極大值.綜上，有最小值，無最大值.故選：A8、B【解析】求出已知雙曲線的漸近線方程，逐一驗證即可.【詳解】雙曲線的漸近線方程為，而雙曲線的漸近線方程為，雙曲線的漸近線方程為，雙曲線的漸近線方程為，雙曲線的漸近線方程為.故選：B9、C【解析】利用三點共線可得，由，利用基本不等式即可求解.【詳解】由點是的中點，則，又因為點在線段上，則，所以，當(dāng)且僅當(dāng)，時取等號，故選：C【點睛】本題考查了基本不等式求最值、平面向量共線的推論，考查了基本運算求解能力，屬于基礎(chǔ)題.10、D【解析】根據(jù)全面積得到正方體的棱長，再由勾股定理計算對角線.【詳解】設(shè)正方體的棱長為，對角線長為，則有，解得，從而，解得.故選：D11、C【解析】根據(jù)等比數(shù)列的性質(zhì)，由題中條件，求出，即可得出結(jié)果.【詳解】因為數(shù)列是等比數(shù)列，由，得，所以，因此.故選：C.12、B【解析】利用扇形統(tǒng)計圖和條形統(tǒng)計圖可求出結(jié)果【詳解】選項A，樣本容量為，該選項正確；選項B，根據(jù)題意得自主學(xué)習(xí)的滿意率，錯誤；選項C，樣本可以估計總體，但會有一定的誤差，總體中對方式二滿意人數(shù)約為，該選項正確；選項D，樣本中對方式一滿意人數(shù)為，該選項正確.故選：B【點睛】本題主要考查了命題真假的判斷，考查扇形統(tǒng)計圖和條形統(tǒng)計圖等基礎(chǔ)知識，考查運算求解能力，屬于中檔題二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解析】根據(jù)焦點坐標(biāo)即可得到拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程【詳解】因為拋物線的頂點為坐標(biāo)原點，焦點坐標(biāo)是，所以，解得，拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為故答案為：14、【解析】利用函數(shù)的解析式由內(nèi)到外逐層計算可得的值.【詳解】，，因此，.故答案為：.15、【解析】先由條件求出的通項公式，得到，由裂項相消法再求出，根據(jù)不等式恒成立求出參數(shù)的范圍即可.【詳解】當(dāng)時，有當(dāng)時，由①有②由①－②得：所以，當(dāng)時也成立.所以,故則由，即，所以所以，由所以故答案為：【點睛】本題考查求數(shù)列的通項公式，考查裂項相消法求和以及數(shù)列不等式問題，屬于中檔題.16、【解析】先利用正弦定理邊化角式子，得到，再利用正弦定理求出，根據(jù)與的關(guān)系，求得，即可求得c的最小值.【詳解】，即，又，當(dāng)最大時，即，最小，且為由正弦定理得：，當(dāng)時，c的最小值為故答案為：【點睛】方法點睛：在解三角形題目中，若已知條件同時含有邊和角，但不能直接使用正弦定理或余弦定理得到答案，要選擇“邊化角”或“角化邊”，變換原則常用：（1）若式子含有的齊次式，優(yōu)先考慮正弦定理，“角化邊”；（2）若式子含有的齊次式，優(yōu)先考慮正弦定理，“邊化角”；（3）若式子含有的齊次式，優(yōu)先考慮余弦定理，“角化邊”；（4）代數(shù)變形或者三角恒等變換前置；（5）同時出現(xiàn)兩個自由角（或三個自由角）時，要用到.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）（2）【解析】根據(jù)題意，解出p和q里面m的范圍即可求解﹒其中有解，則≥0﹒【小問1詳解】p為真命題時，，解得，所以m的取值范圍是；【小問2詳解】q為真命題時，即，解得，所以q為假命題時，或，由(1)知，p為假時，因為為假命題，為真命題，所以p，q為一真一假，當(dāng)p真q假時，且“或”，解得；當(dāng)p假q真時，，解得；綜上：m的取值范圍是18、（1）；（2），.【解析】（1）根據(jù)題意可得，然后根據(jù)，，計算可得，最后可得結(jié)果.（2）假設(shè)直線的方程為，根據(jù)與拋物線相切，可得，然后與橢圓聯(lián)立，計算，然后計算點到的距離，計算，利用函數(shù)性質(zhì)可得結(jié)果.【詳解】（1）由題意知：，.，得：，所以.所以的方程為.（2）設(shè)直線的方程為，則由，得得：所以直線的方程為.由，得得.又，所以點到的距離為..令，則，.此時，即【點睛】本題考查直線與圓錐曲線的綜合以及三角形面積問題，本題著重考查對問題分析能力以及計算能力，屬難題.19、（1）橢圓，（2），證明見解析【解析】（1）結(jié)合橢圓第一定義直接判斷即可求出的軌跡為；（2）設(shè)直線的方程為，，，聯(lián)立橢圓方程，寫出韋達定理；由中點公式求出點，進而得出直線方程，聯(lián)立橢圓方程求出，結(jié)合弦長公式可求，可轉(zhuǎn)化為，結(jié)合韋達定理可化簡，進而得證.【小問1詳解】設(shè)，，則因為，滿足，即動點表示以點，為左、右焦點，長軸長為4，焦距為的橢圓，其軌跡的方程為；【小問2詳解】可以判斷出，下面進行證明：設(shè)直線的方程為，，，由方程組，得①，方程①判別式為，由，即，解得且由①得，，所以點坐標(biāo)為，直線方程為，由方程組，得，，所以又所以.20、（1）；（2）證明過程見解析.【解析】（1）利用拋物線的定義進行求解即可；（2）設(shè)出直線l的方程，與拋物線方程聯(lián)立，根據(jù)一元二次方程的根與系數(shù)關(guān)系進行求解證明即可.【小問1詳解】該拋物線的準(zhǔn)線方程為，因為點到F的距離是4，所以有，所以拋物線C的方程為：；【小問2詳解】該拋物線的準(zhǔn)線方程為，設(shè)直線l的方程為：，與拋物線方程聯(lián)立，得，不妨設(shè)，因此，直線的斜率為：，所以方程為：，當(dāng)時，，即，同理，因為，所以有，而，所以有，所以直線l的方程為：，因此直線l恒過.【點睛】關(guān)鍵點睛：把直線l的方程為：，利用一元二次方程根與系數(shù)關(guān)系是解題的關(guān)鍵.21、（1）(,).（2）【解析】（1）根據(jù)條件列關(guān)于P點坐標(biāo)得方程組，解得結(jié)果，（2）先根據(jù)點到直線距離公式結(jié)合條件解得點M坐標(biāo)，再建立的函數(shù)解析式，最后根據(jù)二次函數(shù)性質(zhì)求最小值.【詳解】解:（1）由已知可得點A(－6,0),F(4,0)設(shè)點P(,),則={+6,},={－4,},由已知可得則2+9－18=0,解得=或=－6.由于>0,只能=,于是=.∴點P的坐標(biāo)是(,).（2）直線AP的方程是－+6=0.設(shè)點M(,0),則M到直線AP的距離是.于是=,又－6≤≤6,解得=2.橢圓上的點(,)到點