(白)第15章機(jī)械波

前言1.

振動在空間的傳播過程叫做波動。2.常見的波有兩大類:在微觀領(lǐng)域中還有物質(zhì)波（概率波），討論微觀粒子的波動性。3.各種波的本質(zhì)不同,但其基本傳播規(guī)律有許多相同之處。(1)機(jī)械波(機(jī)械振動的傳播)(2)電磁波（交變電場、磁場的傳播）第15章機(jī)械波1按波面形狀平面波（planewave）球面波（sphericalwave）柱面波（cylindricalwave）按復(fù)雜程度簡諧波（simpleharmonicwave）復(fù)波（compoundwave）按持續(xù)時間連續(xù)波（continuedwave）脈沖波（pulsatingwave）4.波的分類：2按波形是否傳播行波（travellingwave）駐波（standingwave）…………3波動一定的擾動的傳播（一定運動形態(tài)的傳播過程）行波POyxxu擾動的傳播（行走）行波一次擾動（脈沖）的傳播脈沖波例：抖動繩子O點:P點:脈沖波波函數(shù)415.1彈性體彈性形變彈性體——若物體在外力的作用下發(fā)生形變，而外力撤消后又能恢復(fù)原來的大小和形狀，則這種變形體就稱為彈性體。15.1.1拉伸與壓縮ΔS圖15-1應(yīng)力與應(yīng)變ΔFtΔFΔFN正應(yīng)力：切應(yīng)力：5相對形變：（也稱線應(yīng)變），ε正負(fù)號分別對應(yīng)于拉伸形變和壓縮形變。胡克定律：實驗表明在線形變限度內(nèi)，正應(yīng)力和線應(yīng)變成正比，比例系數(shù)稱為楊氏模量。其中分別對應(yīng)均勻彈性桿的原長和變形后長度。615.1.2剪切應(yīng)變與切變模量切應(yīng)變γ15.1.3體應(yīng)變與體積模量體積應(yīng)變β微小形變時，此時，剪切形變可直接用β來表示。記作θ其中，比例系數(shù)實驗表明：在線形變限度內(nèi)，切應(yīng)力與切應(yīng)變成正比：71、機(jī)械波產(chǎn)生的條件1）波源2）彈性介質(zhì)或者彈性媒質(zhì)2、橫波：縱波：共性：波動性15.2機(jī)械波的產(chǎn)生和傳播89常用的概念：周期：波速：相速：波面：空間同相位點的集合波前球面波：平面波：波線：波的傳播方向各向同性介質(zhì)，波線與波面垂直(時間)頻率：波長：空間頻率：3.波的描述波數(shù)：1015.3一維平面簡諧波的波函數(shù)-----波函數(shù)設(shè)一維平面簡諧波以相速u沿x軸正向傳播,t時刻波形如圖O點的振動位移為P點的振動位移為(op=x)或u15.3.1表達(dá)式11定義角波數(shù)定義波矢例：“+”會聚球面波“-”發(fā)散球面波沿負(fù)方向傳播的波的方程同一振動狀態(tài)X處比0處超前t=x/u12波函數(shù)的物理意義1、當(dāng)x一定時,例:x=x0=常數(shù)令常數(shù)----x0處簡諧振動運動方程反映了振動的時間周期性t每增加T，y不變132、當(dāng)t=t0=常數(shù)令t0時刻的波形

------t0時刻各點振動周相不同x每增加λ，y不變反映了波的空間周期性14當(dāng)

0=01）t0=03）2）------t=0時各質(zhì)點的位移

t0

=T波形恢復(fù)原樣而在一個T內(nèi)波形向右移動了

T這個物理量從時間上反映了波的周期性153、x

,t都變表示波射線上不同質(zhì)點在不同時刻的位移

----行波波動方程不僅表示波射線上給定點的振動情況，某時刻波形，初位相及比原點落后的相位，還反映了振動狀態(tài)的傳播，波形的傳播，能量的傳播。由看出t或x每增加T或λ,相位重復(fù)出現(xiàn)，反映了時間和空間的周期性。16例：已知：圖示為波源（x=0處）振動曲線且波速u=4m/s,方向沿x軸正向.求：t=3s時波形曲線（大致畫出）解：4812y(cm)x(m)0.50-0.5u=4m/sy(cm)t(s)0.50-0.5123417例：沿x軸正向傳播的平面簡諧波，振幅為A=1.0m，周期T=2.0s，波長=2.0m。t=0時刻，坐標(biāo)原點處的質(zhì)點恰好從平衡位置向

軸正向運動，求:(1)

波函數(shù)；(2)

t=1.0s時刻的波形圖；

(3)

x=0.5m處質(zhì)點的振動曲線；解：(1)波函數(shù)(3)(2)x/m/mot=1.0s/mot/s

x=0.5m18例：沿x軸正向傳播的平面簡諧波，波速u=20m/s，已知A點的振動方程為，(1)以A為坐標(biāo)原點，寫出波函數(shù)；(2)以B為原點寫出波函數(shù)；(3)寫出C、D點的振動方程解：(1)(2)B點與A點振動的相位差(3)原點振動方程波函數(shù)與坐標(biāo)原點的選擇無關(guān)19例2正向波在t=0時的波形圖波速u=1200m/sA/2AA0yΦ0=π/3φM=-π/2t=0x=0t=0M處求：波函數(shù)和波長解：由圖如何確定ωφ0?由初始條件：y0=A/2v0<0x(m)-0.10y(cm)0100.05t=0時uMΦ0=π/3如何確定ω?由M點狀態(tài)yM=0vM>0ΦM=-π/220例.一平面簡諧波沿著x軸正向傳播，速度為u，已知t’時刻的波形曲線如圖所示，x1處質(zhì)元位移為0。試求：（1）原點o處質(zhì)元的振動方程；（2）該簡諧波的波函數(shù)。xyOx1-Au解：（1）由圖可知t’時刻原點處質(zhì)元振動的相位為-π/2，則有：則振動的初相為：所以振動方程可以寫出：21（2）在x軸上任意選取一點P，坐標(biāo)為x，如圖所示。P點振動相位落后于原點O，其相位差為：根據(jù)原點處質(zhì)元的振動方程，可以得到P點的振動方程，即波函數(shù)為：OPxx注：22(a)例平面簡諧波以波速u=0.5m/s沿著x軸負(fù)方向傳播。在t=2s時的波形如圖（a）所示。求原點處質(zhì)點的振動方程。分析：由圖可得到的信息有振幅，波長，從而可以確定振動方程三要素中的兩個。確定t=0時刻原點的振動初相位是關(guān)鍵。解：由圖可知：振幅：波長：23所以，可以得到角頻率ω：圖（a）是t=2s時的波形曲線，波沿著x軸負(fù)向傳播，所以可以采用波形移動法推知t=0s時的曲線，如圖（b）。(b)Δx=ut由圖可知，t=0時刻，原點處的質(zhì)點正位于平衡位置，而且向y軸負(fù)向運動，所以，由旋轉(zhuǎn)矢量法可知：24所以原點處質(zhì)點的振動方程為：例一平面簡諧波其波長為12m，沿x軸負(fù)向傳播，如圖所示的是x=1.0m處質(zhì)點的振動曲線。求此波的波函數(shù)。分析：如何根據(jù)圖中的信息寫出x=1.0m處質(zhì)點的振動方程是關(guān)鍵。如何確定三要素。解：由圖可知：質(zhì)點的振動振幅（1）A=0.4m。25（2）t=0時刻位于x=1.0m處的質(zhì)點位移為A/2，并且向oy軸正向運動，由旋轉(zhuǎn)矢量法，可知：（3）由圖還可知，t=5.0s時，質(zhì)點第一次回到平衡位置。t=0st=5sωt所以，可以得到：26由此可以寫出x=1.0m處的質(zhì)點的振動方程為：波長已知，由此可以得到波速為：波函數(shù)的一般形式為：當(dāng)x=1.0m時，得到1.0m處質(zhì)點的振動方程：27當(dāng)x=1.0m時，得到1.0m處質(zhì)點的振動方程：與剛求得的x=1.0m處質(zhì)點的振動方程作比較，可得：所以，此波的波函數(shù)為：2815.3.2平面波波動方程求一階偏導(dǎo)數(shù)得振動速度函數(shù)再求一次偏導(dǎo)數(shù)，得波函數(shù)對時間的二階偏導(dǎo)數(shù)，即振動加速度函數(shù)由平面簡諧波波函數(shù)波函數(shù)對位置x的一階偏導(dǎo)數(shù)為：29該式是平面簡諧波（或一維簡諧波）的波動方程，而平面簡諧波（或一維簡諧波）的波函數(shù)是該方程的一個特解。而一維簡諧行波函數(shù)對x的二階偏導(dǎo)數(shù)為比較上兩式得3015.4波動方程與波速取小質(zhì)元ab=dx

體積為dV=sdx質(zhì)量為dm=sdx設(shè)質(zhì)元被拉伸形變：受彈性力利用胡克定律有：為應(yīng)力：

或協(xié)強(qiáng)Y為楊氏模量受彈性力(應(yīng)力與應(yīng)變成正比）因此可以看出倔強(qiáng)系數(shù)31橫波波速縱波波速G為剪切模量三維情況：式中稱為

拉普拉斯算子Y為楊氏模量由波函數(shù)對比上式可得32建立弦微小振動的波動微分方程xyxx+dxF1F2對比得3315.5波的能量設(shè)在棒中傳播的一維簡諧波的表達(dá)式x處點質(zhì)元的動能:彈性勢能34彈性勢能以繩波為例35能量密度平均能流平均能流密度

---波的強(qiáng)度36球面波波函數(shù)的簡單推導(dǎo)：若各處的振動情況不隨時間變化，介質(zhì)無吸收，則由能量守恒定律，單位時間內(nèi)通過不同波面的能量應(yīng)相等。設(shè)面積為S1的波面處波的強(qiáng)度為I1，面積為S2的波面處波的強(qiáng)度為I2，則由能量守恒定律，即對于平面波，所以即平面波的振幅37對于球面波，則由能量守恒定律，即所以球面波的振幅與傳播距離成反比，即則球面波波函數(shù)為38波的吸收吸收系數(shù)與介質(zhì)性質(zhì)有關(guān)3915.6惠更斯原理波的衍射、反射和折射一、惠更斯原理惠更斯原理：（1）用來確定波的傳播方向，能解釋機(jī)械波的傳播規(guī)律；（2）解釋了光（電磁波）的反射、光的折射和光的衍射等現(xiàn)象。成功地說明了光在單軸晶體中的雙折射現(xiàn)象；不足之處：它不能說明和確定衍射強(qiáng)度分布問題，后來由菲涅耳（A.J.Fresnel，1788-1827）加以補(bǔ)充完善而成為惠更斯-菲涅耳原理。40用惠更斯原理確定新的波陣面41波的反射波的折射42一、波的干涉相干波頻率相同振動方向相同有恒定相位差s1s2pr1r2波源s1和s2振動方程P點振動方程15.7波的干涉駐波波的疊加原理（獨立性原理）視頻43式中相位加強(qiáng)減弱(n=012……)相位差4445二、駐波兩列相干波，振幅相同，傳播方向相反（初位相為0）疊加而成駐波振幅駐波方程46

稱為

波節(jié)

波腹位置1）當(dāng)稱為

波腹2）當(dāng)討論：1）相鄰波腹（節(jié)）之間距離為

/22）一波節(jié)兩側(cè)質(zhì)元具有相反相位3）兩相鄰波節(jié)間質(zhì)元具有相同相位4）駐波無能量傳播當(dāng)當(dāng)

波節(jié)位置駐波視頻47三、半波損失全波反射：

波從波疏媒質(zhì)反射回來，則在反射處，反射波的振動相位與入射波的相位相同半波損失：波從波疏媒質(zhì)到波密媒質(zhì)，從波密媒質(zhì)反射回來，在反射處發(fā)生了的相位突變視頻：半波損失48四、弦振動系統(tǒng)的簡正模49例、等幅反向傳播的兩相干波，在x軸上傳播，波長為8m，A、B兩點相距20m，如圖所示。若t=0時正向傳播的波在A處為波峰時，反向傳播的波在B處位相為-π/2。試求A、B之間因干涉而靜止的各點的位置。AB20mOx解、如圖所示，以A點為坐標(biāo)原點，建立坐標(biāo)系。設(shè)正向傳播的波的波函數(shù)為：則反向傳播的波的波函數(shù)為：另設(shè)t=0時，正向傳播的波在A點為波峰，反向傳播的波在B點的位相為-π/2，則有，當(dāng)t=0，x=0時：50即：所以：當(dāng)t=0，x=20m時，反向傳播的位相為：所以：于是，正向傳播的波的波函數(shù)為：51反向傳播的波的波函數(shù)為：合成波的方程為：所以靜止點的位置就是合成駐波的波節(jié)位置：即：解得：在AB=20m之間，則k的取值為：52例、A和B是兩個相位相同的波源，相距d=0.10m，同時以30Hz的頻率發(fā)出波動，波速為0.50m/s，P點位于與AB呈30度角，與A相距為4m處，如圖所示，求兩波通過P點的相位差。ABP30。解：該波的波長為：設(shè)A、B兩個波源的相位分別為ΦA(chǔ)(t)，φB(t)。A波在P點的相位落后于A點，相位差為：因而此波在P點的相位為：同理，B波在P的相位為：53因此兩波通過P點，在P點的相位差為：根據(jù)題意，兩個波源的相位相同，所以則P點相位差為：其中所以，兩波在P點的相位差為：54例、如圖所示，地面上一波源S，與一高頻率探測器D之間的距離為d，從S直接發(fā)出的波與從S發(fā)出經(jīng)高度為H的水平層反射后的波，在D處加強(qiáng)。當(dāng)水平層逐漸升高h(yuǎn)距離時，在D處沒有測到訊號，如果不考慮大氣對波能量吸收，試求波源S發(fā)出波的波長λ。解：自S發(fā)出的波，經(jīng)過高度為H的水平層反射后至D，全程設(shè)為d1，經(jīng)高度為（H+h)的水平層至D，全程設(shè)為d2。直達(dá)波與經(jīng)過高度為H的水平層反射的波在D處同相。由于在B，C處反射的情況是相同的，所以兩次測量不會由于反射引起不同的效果，所以可以假設(shè)在B、C處反射時都有半波損失，根據(jù)題意：dhHSDBC直達(dá)波與經(jīng)過高度為（H+h）的水平層反射的波在D處反相，則55由（1）、（2）式可以得到：由圖中幾何關(guān)系可以看出：另外：從（3）、（4）解出d1和d2，從而可以得到波長的表達(dá)式：5615.8多普勒效應(yīng)vs：

以趨近于觀察者為正

vR：

以趨近于波源為正假定波源和觀測者相對于介質(zhì)靜止時，測得頻率為1.波源靜止，觀察者相對介質(zhì)運動單位時間通過觀測者的完整波形：多普勒效應(yīng):57s觀測者2、觀測者靜止,波源相對于介質(zhì)運動s觀測者583、波源