35函數(shù)的凹凸性曲線的拐點(diǎn)及漸近線

3.5函數(shù)的凹凸性、拐點(diǎn)及漸近線一、曲線的凹凸性與拐點(diǎn)二、曲線的漸近線一、曲線的凹凸性與拐點(diǎn)問(wèn)題:如何研究曲線的彎曲方向?圖形上弧段總是位于任意切線的下方……凸弧圖形上弧段總是位于任意切線的上方……凹弧1、定義設(shè)連續(xù)曲線弧AB方程y=f(x)，a<x<b,弧AB上除端點(diǎn)外的每一點(diǎn)處的切線都存在，如果曲線弧總是位于任一切線的上（下）方，則稱曲線弧AB是向上凹的或稱凹弧（向上凸的，或稱凸弧），記為“∪”(“∩”)。

分析：2、定理（曲線凹凸性判定定理）設(shè)f(x)在(a,b)內(nèi)具有二階導(dǎo)數(shù)，若在(a,b)內(nèi)f"(x)＞0(或<0)，則曲線y=f(x)在(a,b)上的為凹?。ɑ蛲够。?；例1判定曲線弧y=xarctanx的凹凸性.解故y=xarctanx

在(-∞,+∞)內(nèi)為凹弧.因此當(dāng)x<0時(shí)，，可知曲線弧為凸弧.當(dāng)x>0時(shí)，，可知曲線弧為凹的.例2判定曲線弧y=x3的凹凸性.解注意到2、拐點(diǎn)及其判定判定步驟：定義連續(xù)曲線弧上的凹弧與凸弧的分界點(diǎn)，稱為該曲線弧的拐點(diǎn).(1)在f(x)所定義的區(qū)間內(nèi)，求出二階導(dǎo)數(shù)f"(x)=0的點(diǎn).(2)求出二階導(dǎo)數(shù)f"(x)不存在的點(diǎn).判定上述點(diǎn)兩側(cè)，f"(x)是否異號(hào).如果f"(x)

在xi的兩側(cè)異號(hào)，則(xi,f(xi))為曲線弧的y=f(x)的拐點(diǎn).如果f"(x)在xi的兩側(cè)同號(hào)，則(xi,f(xi))不為曲線弧y=f(x)的拐點(diǎn).例3解凹的凸的凹的拐點(diǎn)拐點(diǎn)例5解例4曲線y=x4是否有拐點(diǎn)？所以x=0是不可導(dǎo)點(diǎn)，y′,y"均不存在但在(-∞,0)內(nèi)，y"＞0,曲線在(-∞,0]上是凹??；在(0,+∞)內(nèi)，y"<

0,曲線在[0,+∞)上是凸弧。例6討論曲線的凹凸性，并求其拐點(diǎn).解函數(shù)的定義域?yàn)?-∞,+∞)當(dāng)時(shí)凹+非拐點(diǎn)凹拐點(diǎn)凸y不存在+0－可知所給曲線在為凸弧.在內(nèi)為凹弧.討論曲線弧的凹凸性，并求其拐點(diǎn).x1(1,2)2+0－0+y凹拐點(diǎn)(1,－3)凸拐點(diǎn)(2,6)凹練習(xí)1所給函數(shù)內(nèi)連續(xù).解可知所給曲線弧在內(nèi)為凹的.在(1,2)為凸的.拐點(diǎn)為點(diǎn)(1,－3)與點(diǎn)(2,6).練習(xí)21、若點(diǎn)（1,2)是曲線的拐點(diǎn)，則2、曲線的拐點(diǎn)是

。3、曲線的凹區(qū)間是

，凸區(qū)間是

,拐點(diǎn)是

。

1-3（0,0）二、曲線的漸近線1、曲線的水平漸近線若，則直線y=y0是曲線y=f(x)的水平漸近線.所以曲線y=arctanx有水平漸近線因?yàn)?，所以曲線有水平漸近線y=02、曲線的垂直漸近線若，則直線x=x0是曲線y=f(x)的垂直漸近線.所以曲線有垂直漸近線x=-1,x=13.曲線的斜漸近線若，則直線y=ax+b是曲線y=f(x)的斜漸近線.例7求曲線的斜漸近線.解：因?yàn)橛忠驗(yàn)樗詁=-2,所以直線y=x-2是曲線的斜漸近線.三、函數(shù)圖形的描繪步驟:1)確定函數(shù)的定義域，考察函數(shù)的奇偶性和周期性；2)求出f′(x)和f"(x)，解出f′(x)=0和f"(x)=0在定義域內(nèi)的全部實(shí)根及使f′(x)和f"(x)不存在的點(diǎn)，用這些點(diǎn)將定義域分成各部分區(qū)間；3)列表考察各部分區(qū)間內(nèi)f′(x)和f"(x)的符號(hào)，確定函數(shù)的單調(diào)性和極值，曲線的凹凸性和拐點(diǎn)；4)確定曲線的水平漸近線和垂直漸近性，及輔助點(diǎn)；5)用光滑的曲線描繪出函數(shù)圖形。3）列表確定函數(shù)及曲線的特性例8描繪函數(shù)的圖形3）列表確定函數(shù)及曲線的特性4)求漸近線5）輔助點(diǎn)小結(jié)曲線的彎曲方向——凹凸性;