【易錯(cuò)專訓(xùn)】02 矩形的性質(zhì)與判定（解析版）

【突破易錯(cuò)·沖刺滿分】2021-2022學(xué)年九年級(jí)數(shù)學(xué)上冊(cè)期末突破易錯(cuò)挑戰(zhàn)滿分（北師大版）易錯(cuò)02矩形的性質(zhì)與判定【易錯(cuò)1例題】矩形的性質(zhì)1．（2020·全國(guó)）矩形具有的性質(zhì)是（）A．對(duì)角線互相垂直 B．對(duì)角線相等C．一條對(duì)角線平分一組對(duì)角 D．面積等于兩條對(duì)角線乘積的一半【答案】B【分析】根據(jù)矩形的性質(zhì)即可判斷；【詳解】根據(jù)矩形的對(duì)角線相等，可知選項(xiàng)B正確，

故選B．【點(diǎn)睛】考查矩形的性質(zhì)、解題的關(guān)鍵是記住矩形的性質(zhì)：①平行四邊形的性質(zhì)矩形都具有；②角：矩形的四個(gè)角都是直角；③邊：鄰邊垂直；④對(duì)角線：矩形的對(duì)角線相等；

⑤矩形是軸對(duì)稱圖形，又是中心對(duì)稱圖形．它有2條對(duì)稱軸，分別是每組對(duì)邊中點(diǎn)連線所在的直線；對(duì)稱中心是兩條對(duì)角線的交點(diǎn)．【易錯(cuò)2例題】矩形的判定2．（2021·江蘇南通市·九年級(jí)二模）如圖，四邊形ABCD中，E，F(xiàn)分別是邊AD，BC的中點(diǎn)，G，H分別是對(duì)角線BD，AC的中點(diǎn)，若四邊形EGFH為矩形，則四邊形ABCD需滿足的條件是（）A．AC＝BD B．AC⊥BDC．AB＝DC D．AB⊥DC【答案】D【分析】由題意易得GF∥EH∥CD，GE∥FH∥AB，則有四邊形EGFH為平行四邊形，由矩形的性質(zhì)可得∠GFH=90°，然后可得∠GFB+∠HFC=90°，最后問題可求解．【詳解】解：∵E，F(xiàn)分別是邊AD，BC的中點(diǎn)，G，H分別是對(duì)角線BD，AC的中點(diǎn)，∴GF∥EH∥CD，GE∥FH∥AB，∴四邊形EGFH為平行四邊形，∠GFB=∠DCB，∠HFC=∠ABC，若四邊形EGFH為矩形，則有∠GFH=90°，∴∠GFB+∠HFC=90°，∴∠DCB+∠ABC=90°，∴AB⊥DC；故選D．【點(diǎn)睛】本題主要考查矩形的性質(zhì)與判定及三角形中位線，熟練掌握矩形的性質(zhì)與判定及三角形中位線是解題的關(guān)鍵．【專題訓(xùn)練】選擇題1．（2021·湖南八年級(jí)期中）已知矩形ABCD的周長(zhǎng)為32，AB＝6，則BC等于（）A．10 B．12 C．24 D．28【答案】A【分析】根據(jù)矩形的性質(zhì)得到AB＝CD，AD＝BC，根據(jù)2（AB＋BC）＝32，即可求出答案．【詳解】解：∵四邊形ABCD是矩形，∴AB＝CD，AD＝BC，∵矩形ABCD的周長(zhǎng)是32，∴2（AB＋BC）＝32，∴BC＝10．故選：A．【點(diǎn)睛】本題主要考查對(duì)矩形的性質(zhì)的理解和掌握，能利用矩形的性質(zhì)進(jìn)行計(jì)算是解此題的關(guān)鍵．2．（2021·江蘇八年級(jí)期末）矩形具有而菱形不具有的性質(zhì)是（）A．對(duì)邊相等 B．鄰邊垂直 C．對(duì)角線互相平分 D．對(duì)角線互相垂直【答案】B【分析】列舉矩形的性質(zhì)和菱形的性質(zhì)，根據(jù)性質(zhì)求出即可．【詳解】解：矩形的性質(zhì)是：矩形的對(duì)邊平行且相等，四個(gè)角都是直角，對(duì)角線相等且平分，四個(gè)角都是直角，鄰邊垂直，菱形的性質(zhì)是：菱形的四條邊都相等，對(duì)邊平行，對(duì)角線垂直且平分，每條對(duì)角線平分一組對(duì)角；矩形具有而菱形不具有的性質(zhì)是鄰邊垂直．故選：B．【點(diǎn)睛】本題主要考查對(duì)矩形的性質(zhì)，菱形的性質(zhì)等知識(shí)點(diǎn)的理解和掌握，解題的關(guān)鍵是：能熟練地運(yùn)用性質(zhì)進(jìn)行判斷．3．（2021·江蘇八年級(jí)期中）E、F、G、H分別是四邊形的邊、、、的中點(diǎn)，對(duì)角線、相交于點(diǎn)O，根據(jù)以下條件，不能證明四邊形是矩形的是（）A． B．，C．， D．，【答案】B【分析】先根據(jù)三角形中位線的性質(zhì)證明四邊形EFGH是平行四邊形，再利用矩形的判定定理依次判斷各選項(xiàng)即可．【詳解】解：∵E、F、G、H分別是四邊形的邊、、、的中點(diǎn)，∴EF∥AC，GH∥AC，∴EF∥GH，同理：EH∥FG，∴四邊形EFGH是平行四邊形∵，∴EF⊥EH，∴四邊形EFGH是矩形，故A選項(xiàng)不符合題意；∵，，∴，∴EF⊥EH，∴四邊形EFGH是矩形，故C選項(xiàng)不符合題意；∵，∴點(diǎn)B在線段AC的垂直平分線上，∵，∴點(diǎn)D在線段AC的垂直平分線上，∴∴EF⊥EH，∴四邊形EFGH是矩形，故D選項(xiàng)不符合題意；若，無法證明四邊形EFGH是矩形，故B選項(xiàng)符合題意，故選：B．【點(diǎn)睛】此題考查矩形的判定定理，三角形中位線的性質(zhì)定理，線段垂直平分線的判定，正確掌握矩形的判定定理是解題的關(guān)鍵．4．（2021·重慶八年級(jí)期末）如圖，將一個(gè)矩形紙片ABCD折疊，使C點(diǎn)與A點(diǎn)重合．折痕為EF．若AB＝8，BC＝16，則BE的長(zhǎng)是（）A．12 B．10 C．8 D．6【答案】D【分析】根據(jù)翻折變換的性質(zhì)可得AE=CE，設(shè)BE=x，表示出AE，然后在Rt△ABE中，利用勾股定理列方程求解即可．【詳解】解：∵矩形紙片ABCD折疊C點(diǎn)與A點(diǎn)重合，∴AE=CE，設(shè)BE=x，則AE=16-x，在Rt△ABE中，由勾股定理得，AB2+BE2=AE2，即82+x2=（16-x）2，解得x=6，即BE=6．故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查了翻折變換的性質(zhì)，主要利用了翻折前后對(duì)應(yīng)線段相等，難點(diǎn)在于利用勾股定理列出方程．5．（專題16一次函數(shù)的實(shí)際應(yīng)用-2020-2021學(xué)年八年級(jí)數(shù)學(xué)下學(xué)期期末專項(xiàng)復(fù)習(xí)（湘教版））如圖①，在矩形中，動(dòng)點(diǎn)從點(diǎn)出發(fā)，沿著方向運(yùn)動(dòng)至點(diǎn)處停止．設(shè)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的路程為，的面積為，如果關(guān)于的函數(shù)圖象如圖②所示，那么下列說法不正確的是（

）．A．當(dāng)時(shí)， B．矩形的周長(zhǎng)是C．當(dāng)時(shí)， D．當(dāng)時(shí)，【答案】D【分析】根據(jù)題意，得，；結(jié)合題意，根據(jù)與的關(guān)系計(jì)算，即可得到答案．【詳解】由圖象得，，選項(xiàng)，時(shí)，的面積，正確，不符合題意；選項(xiàng)B，矩形的周長(zhǎng)為：，正確，不符合題意；選項(xiàng)C，時(shí)，點(diǎn)在上，的面積，正確，不符合題意；選項(xiàng)D，時(shí)，高，∴高，點(diǎn)在或上，則或，∴D錯(cuò)誤，符合題意．故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查了矩形、函數(shù)的知識(shí)；解題的關(guān)鍵是熟練掌握矩形、函數(shù)的性質(zhì)，從而完成求解．二、填空題6．（2021·黑龍江九年級(jí)其他模擬）如圖，在△ABC中，D，E，F(xiàn)分別是AB，BC和AC邊的中點(diǎn)，請(qǐng)?zhí)砑右粋€(gè)條件_________，使四邊形BEFD為矩形．（填一個(gè)即可）【答案】AB⊥BC【分析】證DF、EF都是△ABC的中位線，得DF∥BC，EF∥AB，則四邊形BEFD為平行四邊形，當(dāng)AB⊥BC時(shí)，∠B＝90°，即可得出結(jié)論．【詳解】解：∵D，E，F(xiàn)分別是AB，BC和AC邊的中點(diǎn)，∴DF、EF都是△ABC的中位線，∴DF∥BC，EF∥AB，∴四邊形BEFD為平行四邊形，當(dāng)AB⊥BC時(shí)，∠B＝90°，∴平行四邊形BEFD為矩形，故答案為：AB⊥BC．【點(diǎn)睛】本題考查了矩形的判定、平行四邊形的判定與性質(zhì)以及三角形中位線定理等知識(shí)；熟練掌握三角形中位線定理，證明四邊形BEFD為平行四邊形是解題的關(guān)鍵．7．（2021·河北石家莊外國(guó)語(yǔ)學(xué)校八年級(jí)期末）如圖，四邊形ABCD的對(duì)角線相交于點(diǎn)O，且OA=OB=OC=OD，則它是______形．若∠AOB=60°，則AB：AC=_______．【答案】矩1：2【分析】先證（SAS），可得，∠BAO=∠DCO，可證是平行四邊形，再證AC=BD，可證是等邊三角形，求出，利用30角所對(duì)直角邊等腰斜邊一半可得即可．【詳解】解：在△AOB和△COD中∵，∴（SAS），∴，∠BAO=∠DCO∴,∴是平行四邊形，∵，∴即AC=BD，∴四邊形是矩形，∴，又∵，∴是等邊三角形，∴，∴，∴，∴．故答案為：矩；．【點(diǎn)睛】本題考查矩形判定與性質(zhì)，三角形全等判定與性質(zhì)，等邊三角形判定與性質(zhì)，30°直角三角形性質(zhì)，掌握矩形判定與性質(zhì)，三角形全等判定與性質(zhì)，等邊三角形判定與性質(zhì)，30°直角三角形性質(zhì)是解題關(guān)鍵．8．（2021·四川成都市·八年級(jí)期末）如圖，在中，，，，為斜邊上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)作于點(diǎn)，于點(diǎn)．則線段的最小值是______．【答案】【分析】連接CM，先證明四邊形CDME是矩形，得出DE=CM，再由三角形的面積關(guān)系求出CM的最小值，即可得出結(jié)果．【詳解】解：連接CM，如圖所示：∵M(jìn)D⊥AC，ME⊥CB，∴∠MDC=∠MEC=90°，∵∠C=90°，∴四邊形CDME是矩形，∴DE=CM，∵∠C=90°，BC=3，AC=6，∴AB=，當(dāng)CM⊥AB時(shí)，CM最短，此時(shí)△ABC的面積=，∴CM的最小值=，∴線段DE的最小值為，故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查了矩形的判定與性質(zhì)，勾股定理，三角形的面積公式，求出CM的長(zhǎng)是解題的關(guān)鍵．9．（2021·江蘇南京市·八年級(jí)期末）如圖，在矩形ABCD中，P為矩形ABCD的邊BC上任一點(diǎn)，PE⊥AC于點(diǎn)E，PF⊥BD于點(diǎn)F．若AB＝5，BC＝12，PE+PF＝__．【答案】【分析】設(shè)對(duì)角線AC、BD相交于點(diǎn)O，連接PO，利用矩形ABCD可得AC＝13，進(jìn)而可得S△BOC＝S△BOP+S△POC，求解可得PE+PF；【詳解】解：設(shè)對(duì)角線AC、BD相交于點(diǎn)O，連接PO，∵矩形ABCD的邊AB＝5，BC＝12，∴S矩形ABCD＝AB?BC＝5×12＝60，OA＝OC，OB＝OD，AC＝BD，AC＝＝13，∴S△BOC＝S矩形ABCD＝15，OB＝OC＝AC＝，∴S△BOC＝S△BOP+S△POC＝OB?PF+OC?PE＝OB（PE+PF）＝××（PE+PF）＝15，∴PE+PF＝，故填：．【點(diǎn)睛】本題主要考查矩形的性質(zhì)、面積公式及勾股定理，難點(diǎn)在熟練使用輔助線和矩形性質(zhì)；10．（2021·揚(yáng)州市梅嶺中學(xué)八年級(jí)期中）矩形ABCD中,AB＝3,BC＝4,點(diǎn)E是BC邊上一點(diǎn),連接AE,把∠B沿AE折疊,使點(diǎn)B落在點(diǎn)B′處,當(dāng)△CEB′為直角三角形時(shí),BE的長(zhǎng)為____________．【答案】3或1.5【分析】當(dāng)△CEB′為直角三角形時(shí),有兩種情況:當(dāng)點(diǎn)B′落在矩形內(nèi)部時(shí),圖1所示．連結(jié)AC,先利用勾股定理計(jì)算出AC=5,根據(jù)折疊的性質(zhì)得,而當(dāng)△CEB′為直角三角形時(shí),只能得到,所以點(diǎn)A?B′?C共線,即沿AE折疊,點(diǎn)B落在對(duì)角線AC上的點(diǎn)B′處,則EB=EB′,AB=AB′=3,可計(jì)算出CB′=2,設(shè)BE=x,則EB′=x,CE=4-x,然后在Rt△CEB′中運(yùn)用勾股定理可計(jì)算出x;當(dāng)點(diǎn)B落在AD邊上時(shí),圖2所示．此時(shí)四邊形ABEB′為正方形．【詳解】當(dāng)△CEB′為直角三角形時(shí),有兩種情況:當(dāng)點(diǎn)B′落在矩形內(nèi)部時(shí),如圖1所示連結(jié)AC,在中,AB=3,BC=4,∴,∵∠B沿AE折疊,使點(diǎn)B落在點(diǎn)B′處,∴,當(dāng)△CEB′為直角三角形時(shí),只能得到,∴點(diǎn)A?B′?C共線,即沿AE折疊,點(diǎn)B落在對(duì)角線AC上的點(diǎn)B′處,∴EB=EB′,AB=AB′=3,∴CB′=5-3=2,設(shè)BE=x,則EB′=x,CE=4-x,在Rt△CEB′中,,∴,解得:,即;當(dāng)點(diǎn)B落在AD邊上時(shí),圖2所示,此時(shí)四邊形ABEB′為正方形,∴BE=AB=3,綜上所述:BE的長(zhǎng)為3或1.5．【點(diǎn)睛】本題考查了折疊問題:折疊前后兩個(gè)圖形全等;矩形的性質(zhì)以及勾股定理,解題的關(guān)鍵是要注意分類討論思想,避免漏解．三、解答題11．（2021·青海西寧市·八年級(jí)期末）如圖，菱形ABCD的對(duì)角線AC、BD交于點(diǎn)O，BE∥AC，AE∥BD，連接EO．（1）試判斷四邊形AEBO的形狀，并說明理由；（2）若CD＝6，求OE的長(zhǎng)．【答案】（1）矩形，理由見解析；（2）6【分析】（1）結(jié)合題意，可得四邊形AEBO為平行四邊形；再根據(jù)菱形性質(zhì)，推導(dǎo)得，即可得到答案；（2）根據(jù)（1）的結(jié)論，結(jié)合矩形性質(zhì)，得；根據(jù)菱形性質(zhì)，得，即可得到答案．【詳解】（1）∵BE∥AC，AE∥BD∴四邊形AEBO為平行四邊形∵菱形ABCD∴∴∴四邊形AEBO為矩形；（2）∵四邊形AEBO為矩形∴∵菱形ABCD∴∴．【點(diǎn)睛】本題考查了平行四邊形、矩形、菱形的知識(shí)；解題的關(guān)鍵是熟練掌握平行四邊形、矩形、菱形的判定和性質(zhì)，從而完成求解．12．（2021·重慶八年級(jí)期末）如圖，菱形ABCD的對(duì)角線AC，BD相交于點(diǎn)O，E是AD的中點(diǎn)，點(diǎn)F，G在AB上，，．（1）求證：四邊形OEFG是矩形（2）若，，求BD的長(zhǎng)．【答案】（1）證明見解析；（2）．【分析】（1）根據(jù)菱形的性質(zhì)得到，，得到，推出，求得四邊形OEFG是平行四邊形，根據(jù)矩形的判定定理即可得到結(jié)論；（2）根據(jù)三角形的中位線定理得到，根據(jù)勾股定理得到，于是可求BD的長(zhǎng)．【詳解】解：（1）四邊形ABCD是菱形，，，是AD的中點(diǎn)，，，，，，四邊形OEFG是平行四邊形，，，四邊形OEFG是矩形；（2）由（1）得：分別為的中點(diǎn)，，在中，，四邊形OEFG是矩形；，．【點(diǎn)睛】本題考查了矩形的判定，菱形的性質(zhì)，勾股定理，三角形的中位線定理，正確的識(shí)別圖形是解題的關(guān)鍵．13．（2021·江蘇八年級(jí)月考）如圖，已知在△OAB中AO＝BO，分別延長(zhǎng)AO，BO到點(diǎn)C、D，使得OC＝AO，OD＝BO，連接AD，DC，CB．（1）求證：四邊形ABCD是矩形；（2）以AO，BO為一組鄰邊作平行四邊形AOBE，連接CE．若CE⊥AE，求∠AOB的度數(shù)．【答案】（1）見解析；（2）120°．【分析】（1）先說明四邊形ABCD是平行四邊形，可得AC＝2AO、BD＝2BO，進(jìn)而得到AC=BD，即可說明四邊形ABCD是矩形；（2）如圖，連接OE與BD交于F，由直角三角形斜邊中線的性質(zhì)可得EO=AO，即△AEO是等邊三角形，再根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)和平行線的性質(zhì)即可求出答案．【詳解】證：（1）∵OC＝AO，OD＝BO∴四邊形ABCD是平行四邊形∴AC＝2AO，BD＝2BO又∵AO＝BO∴AC＝BD∴四邊形ABCD是矩形；（2）如圖：連接OE與BD交于F∵四邊形AOBE是平行四邊形∴AE＝BO又∵AO＝BO∴AO＝AE∵CE⊥AE∴∠AEC＝90°∵OC＝OA∴OE＝AC＝AO∴OE＝AO＝AE∴△AOE是等邊三角形，∴∠OAE＝60°∵∠OAE＋∠AOB＝180°，∴∠AOB＝120°．【點(diǎn)睛】本題主要考查了矩形的判定和性質(zhì)、平行四邊形的性質(zhì)、等邊三角形的判定和性質(zhì)、直角三角形的性質(zhì)等知識(shí)點(diǎn)，靈活應(yīng)用所學(xué)知識(shí)并正確添加輔助線成為解答本題的關(guān)鍵．14．（2021·北京八年級(jí)期末）如圖，在直角△中，點(diǎn)，，分別是邊，，的中點(diǎn)．（1）求證：四邊形為矩形；（2）若，，求出矩形的周長(zhǎng)．【答案】（1）見解析；（2）矩形ADEF的周長(zhǎng)為．【分析】（1）連接DE．根據(jù)三角形的中位線的性質(zhì)即可得到結(jié)論；（2）根據(jù)矩形的性質(zhì)得到∠BAC＝∠FEC＝90°，解直角三角形即可得到結(jié)論．【詳解】（1）證明：連接DE．∵E，F(xiàn)分別是邊AC，BC的中點(diǎn)，∴EF∥AB，EF＝AB，∵點(diǎn)D是邊AB的中點(diǎn)，∴AD＝AB．∴AD＝EF．∴四邊形ADFE為平行四邊形；由點(diǎn)D，E分別是邊AB，AC的中點(diǎn)，∴DE＝BC．∵在直角△ABC中，點(diǎn)F是邊BC的中點(diǎn)，∴BC＝2AF，∴DE＝AF，∴四邊形ADFE為矩形；（2）解：∵四邊形ADFE為矩形，∴∠BAC＝∠FEC＝90°，∵AF＝2，∴BC＝4，CF＝2，∵∠C＝30°，∴AC＝2，CE＝，EF＝1，∴AE＝，∴矩形ADFE的周長(zhǎng)＝2+2．【點(diǎn)睛】本題考查了矩形的性質(zhì)和判定，三角形的中位線的性質(zhì)，解直角三角形，熟練掌握矩形的判定和性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．15．（2021·江蘇八年級(jí)月考）如圖，在菱形中，對(duì)角線，交于點(diǎn)O，過點(diǎn)A作于點(diǎn)E，延長(zhǎng)到點(diǎn)F，使，連接．（1）求證：四邊形是矩形；（2）連接，若，求的長(zhǎng)度．【答案】（1）見解析；（2）【分析】（1）根據(jù)菱形的性質(zhì)得到AD∥BC且AD=BC，等量代換得到BC=EF，推出四邊形AEFD是平行四邊形，根據(jù)矩形的判定定理即可得到結(jié)論；（2）由菱形的性質(zhì)得AD=AB=BC=10，由勾股定理求出AE=8，AC=，再由直角三角形斜邊上的中線性質(zhì)即可得出答案．【詳解】解：（1）證明：∵四邊形ABCD是菱形，∴AD∥BC且AD=BC，∵BE=CF，∴BC=EF，∴AD=EF，∵AD∥EF，