2023-2024學(xué)年山東青島城陽區(qū)高三（下）4月聯(lián)考數(shù)學(xué)試題試卷

2022-2023學(xué)年山東青島城陽區(qū)高三（下）4月聯(lián)考數(shù)學(xué)試題試卷注意事項(xiàng)：1．答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號、考場號和座位號填寫在試題卷和答題卡上。用2B鉛筆將試卷類型（B）填涂在答題卡相應(yīng)位置上。將條形碼粘貼在答題卡右上角"條形碼粘貼處"。2．作答選擇題時，選出每小題答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目選項(xiàng)的答案信息點(diǎn)涂黑；如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案。答案不能答在試題卷上。3．非選擇題必須用黑色字跡的鋼筆或簽字筆作答，答案必須寫在答題卡各題目指定區(qū)域內(nèi)相應(yīng)位置上；如需改動，先劃掉原來的答案，然后再寫上新答案；不準(zhǔn)使用鉛筆和涂改液。不按以上要求作答無效。4．考生必須保證答題卡的整潔?？荚嚱Y(jié)束后，請將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．已知函數(shù)，其中表示不超過的最大正整數(shù)，則下列結(jié)論正確的是（）A．的值域是 B．是奇函數(shù)C．是周期函數(shù) D．是增函數(shù)2．已知，，，若，則（）A． B． C． D．3．下列判斷錯誤的是()A．若隨機(jī)變量服從正態(tài)分布，則B．已知直線平面，直線平面，則“”是“”的充分不必要條件C．若隨機(jī)變量服從二項(xiàng)分布：，則D．是的充分不必要條件4．函數(shù)的大致圖象為（）A． B．C． D．5．已知函數(shù)，不等式對恒成立，則的取值范圍為（）A． B． C． D．6．已知底面是等腰直角三角形的三棱錐P-ABC的三視圖如圖所示，俯視圖中的兩個小三角形全等，則（）A．PA，PB，PC兩兩垂直 B．三棱錐P-ABC的體積為C． D．三棱錐P-ABC的側(cè)面積為7．高斯是德國著名的數(shù)學(xué)家，近代數(shù)學(xué)奠基者之一，享有“數(shù)學(xué)王子”的稱號，用其名字命名的“高斯函數(shù)”為：設(shè)，用表示不超過的最大整數(shù)，則稱為高斯函數(shù)，例如：，，已知函數(shù)（），則函數(shù)的值域?yàn)椋ǎ〢． B． C． D．8．某三棱錐的三視圖如圖所示，網(wǎng)格紙上小正方形的邊長為，則該三棱錐外接球的表面積為（）A． B． C． D．9．已知復(fù)數(shù)，若，則的值為（）A．1 B． C． D．10．已知橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為，，上頂點(diǎn)為點(diǎn)，延長交橢圓于點(diǎn)，若為等腰三角形，則橢圓的離心率A． B．C． D．11．若復(fù)數(shù)（是虛數(shù)單位），則復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點(diǎn)位于（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限12．已知三棱錐的四個頂點(diǎn)都在球的球面上,平面,是邊長為的等邊三角形,若球的表面積為,則直線與平面所成角的正切值為()A． B． C． D．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．在中，角，，的對邊分別是，，，若，，則的面積的最大值為______.14．雙曲線的左右頂點(diǎn)為，以為直徑作圓，為雙曲線右支上不同于頂點(diǎn)的任一點(diǎn)，連接交圓于點(diǎn)，設(shè)直線的斜率分別為，若，則_____.15．過拋物線C：（）的焦點(diǎn)F且傾斜角為銳角的直線l與C交于A，B兩點(diǎn)，過線段的中點(diǎn)N且垂直于l的直線與C的準(zhǔn)線交于點(diǎn)M，若，則l的斜率為______.16．已知集合A＝，B＝，若AB中有且只有一個元素，則實(shí)數(shù)a的值為_______．三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）已知函數(shù)（I）若討論的單調(diào)性；（Ⅱ）若，且對于函數(shù)的圖象上兩點(diǎn)，存在，使得函數(shù)的圖象在處的切線.求證：.18．（12分）如圖，四棱錐中，底面ABCD為菱形，平面ABCD，BD交AC于點(diǎn)E，F(xiàn)是線段PC中點(diǎn)，G為線段EC中點(diǎn)．Ⅰ求證：平面PBD；Ⅱ求證：．19．（12分）某單位準(zhǔn)備購買三臺設(shè)備，型號分別為已知這三臺設(shè)備均使用同一種易耗品，提供設(shè)備的商家規(guī)定：可以在購買設(shè)備的同時購買該易耗品，每件易耗品的價格為100元，也可以在設(shè)備使用過程中，隨時單獨(dú)購買易耗品，每件易耗品的價格為200元.為了決策在購買設(shè)備時應(yīng)購買的易耗品的件數(shù).該單位調(diào)查了這三種型號的設(shè)備各60臺，調(diào)査每臺設(shè)備在一個月中使用的易耗品的件數(shù)，并得到統(tǒng)計(jì)表如下所示.每臺設(shè)備一個月中使用的易耗品的件數(shù)678型號A30300頻數(shù)型號B203010型號C04515將調(diào)查的每種型號的設(shè)備的頻率視為概率，各臺設(shè)備在易耗品的使用上相互獨(dú)立.（1）求該單位一個月中三臺設(shè)備使用的易耗品總數(shù)超過21件的概率；（2）以該單位一個月購買易耗品所需總費(fèi)用的期望值為決策依據(jù)，該單位在購買設(shè)備時應(yīng)同時購買20件還是21件易耗品？20．（12分）正項(xiàng)數(shù)列的前n項(xiàng)和Sn滿足：(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)令，數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和為Tn，證明：對于任意的n∈N*，都有Tn＜.21．（12分）已知函數(shù).（1）當(dāng)時，解不等式；（2）設(shè)不等式的解集為，若，求實(shí)數(shù)的取值范圍.22．（10分）已知橢圓的左頂點(diǎn)為，左、右焦點(diǎn)分別為，離心率為，是橢圓上的一個動點(diǎn)（不與左、右頂點(diǎn)重合），且的周長為6，點(diǎn)關(guān)于原點(diǎn)的對稱點(diǎn)為，直線交于點(diǎn).（1）求橢圓方程；（2）若直線與橢圓交于另一點(diǎn)，且，求點(diǎn)的坐標(biāo).

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．C【解析】

根據(jù)表示不超過的最大正整數(shù)，可構(gòu)建函數(shù)圖象，即可分別判斷值域、奇偶性、周期性、單調(diào)性，進(jìn)而下結(jié)論.【詳解】由表示不超過的最大正整數(shù)，其函數(shù)圖象為選項(xiàng)A，函數(shù)，故錯誤；選項(xiàng)B，函數(shù)為非奇非偶函數(shù)，故錯誤；選項(xiàng)C，函數(shù)是以1為周期的周期函數(shù)，故正確；選項(xiàng)D，函數(shù)在區(qū)間上是增函數(shù)，但在整個定義域范圍上不具備單調(diào)性，故錯誤.故選：C【點(diǎn)睛】本題考查對題干的理解，屬于函數(shù)新定義問題，可作出圖象分析性質(zhì)，屬于較難題.2．B【解析】

由平行求出參數(shù)，再由數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算計(jì)算．【詳解】由，得，則，，，所以．故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查向量平行的坐標(biāo)表示，考查數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算，掌握向量數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算是解題關(guān)鍵．3．D【解析】

根據(jù)正態(tài)分布、空間中點(diǎn)線面的位置關(guān)系、充分條件與必要條件的判斷、二項(xiàng)分布及不等式的性質(zhì)等知識，依次對四個選項(xiàng)加以分析判斷，進(jìn)而可求解.【詳解】對于選項(xiàng)，若隨機(jī)變量服從正態(tài)分布，根據(jù)正態(tài)分布曲線的對稱性，有，故選項(xiàng)正確，不符合題意；對于選項(xiàng)，已知直線平面，直線平面，則當(dāng)時一定有，充分性成立，而當(dāng)時，不一定有，故必要性不成立，所以“”是“”的充分不必要條件，故選項(xiàng)正確，不符合題意；對于選項(xiàng)，若隨機(jī)變量服從二項(xiàng)分布：，則，故選項(xiàng)正確，不符合題意；對于選項(xiàng)，，僅當(dāng)時有，當(dāng)時，不成立，故充分性不成立；若，僅當(dāng)時有，當(dāng)時，不成立，故必要性不成立.因而是的既不充分也不必要條件,故選項(xiàng)不正確，符合題意.故選：D【點(diǎn)睛】本題考查正態(tài)分布、空間中點(diǎn)線面的位置關(guān)系、充分條件與必要條件的判斷、二項(xiàng)分布及不等式的性質(zhì)等知識，考查理解辨析能力與運(yùn)算求解能力，屬于基礎(chǔ)題.4．A【解析】

利用特殊點(diǎn)的坐標(biāo)代入，排除掉C，D；再由判斷A選項(xiàng)正確.【詳解】，排除掉C，D；，，，.故選：A．【點(diǎn)睛】本題考查了由函數(shù)解析式判斷函數(shù)的大致圖象問題，代入特殊點(diǎn)，采用排除法求解是解決這類問題的一種常用方法，屬于中檔題.5．C【解析】

確定函數(shù)為奇函數(shù)，且單調(diào)遞減，不等式轉(zhuǎn)化為，利用雙勾函數(shù)單調(diào)性求最值得到答案.【詳解】是奇函數(shù)，，易知均為減函數(shù)，故且在上單調(diào)遞減，不等式，即，結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性可得，即，設(shè)，，故單調(diào)遞減，故，當(dāng)，即時取最大值，所以.故選：.【點(diǎn)睛】本題考查了根據(jù)函數(shù)單調(diào)性和奇偶性解不等式，參數(shù)分離求最值是解題的關(guān)鍵.6．C【解析】

根據(jù)三視圖，可得三棱錐P-ABC的直觀圖，然后再計(jì)算可得.【詳解】解：根據(jù)三視圖，可得三棱錐P-ABC的直觀圖如圖所示，其中D為AB的中點(diǎn)，底面ABC.所以三棱錐P-ABC的體積為，，，，，、不可能垂直，即不可能兩兩垂直，，.三棱錐P-ABC的側(cè)面積為.故正確的為C.故選：C.【點(diǎn)睛】本題考查三視圖還原直觀圖，以及三棱錐的表面積、體積的計(jì)算問題，屬于中檔題.7．B【解析】

利用換元法化簡解析式為二次函數(shù)的形式，根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)求得的取值范圍，由此求得的值域.【詳解】因?yàn)椋ǎ?，所以，令（），則（），函數(shù)的對稱軸方程為，所以，，所以，所以的值域?yàn)?故選：B【點(diǎn)睛】本小題考查函數(shù)的定義域與值域等基礎(chǔ)知識，考查學(xué)生分析問題，解決問題的能力，運(yùn)算求解能力，轉(zhuǎn)化與化歸思想，換元思想，分類討論和應(yīng)用意識.8．C【解析】

作出三棱錐的實(shí)物圖，然后補(bǔ)成直四棱錐，且底面為矩形，可得知三棱錐的外接球和直四棱錐的外接球?yàn)橥粋€球，然后計(jì)算出矩形的外接圓直徑，利用公式可計(jì)算出外接球的直徑，再利用球體的表面積公式即可得出該三棱錐的外接球的表面積.【詳解】三棱錐的實(shí)物圖如下圖所示：將其補(bǔ)成直四棱錐，底面，可知四邊形為矩形，且，.矩形的外接圓直徑，且.所以，三棱錐外接球的直徑為，因此，該三棱錐的外接球的表面積為.故選：C.【點(diǎn)睛】本題考查三棱錐外接球的表面積，解題時要結(jié)合三視圖作出三棱錐的實(shí)物圖，并分析三棱錐的結(jié)構(gòu)，選擇合適的模型進(jìn)行計(jì)算，考查推理能力與計(jì)算能力，屬于中等題.9．D【解析】由復(fù)數(shù)模的定義可得：，求解關(guān)于實(shí)數(shù)的方程可得：.本題選擇D選項(xiàng).10．B【解析】

設(shè)，則，，因?yàn)?，所以．若，則，所以，所以，不符合題意，所以，則，所以，所以，，設(shè)，則，在中，易得，所以，解得（負(fù)值舍去），所以橢圓的離心率．故選B．11．A【解析】

將整理成的形式，得到復(fù)數(shù)所對應(yīng)的的點(diǎn)，從而可選出所在象限.【詳解】解：，所以所對應(yīng)的點(diǎn)為在第一象限.故選:A.【點(diǎn)睛】本題考查了復(fù)數(shù)的乘法運(yùn)算，考查了復(fù)數(shù)對應(yīng)的坐標(biāo).易錯點(diǎn)是誤把當(dāng)成進(jìn)行計(jì)算.12．C【解析】

設(shè)為中點(diǎn),先證明平面，得出為所求角,利用勾股定理計(jì)算,得出結(jié)論．【詳解】設(shè)分別是的中點(diǎn)平面是等邊三角形又平面為與平面所成的角是邊長為的等邊三角形，且為所在截面圓的圓心球的表面積為球的半徑平面本題正確選項(xiàng)：【點(diǎn)睛】本題考查了棱錐與外接球的位置關(guān)系問題，關(guān)鍵是能夠通過垂直關(guān)系得到直線與平面所求角，再利用球心位置來求解出線段長，屬于中檔題．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．【解析】

化簡得到，，根據(jù)余弦定理和均值不等式得到，根據(jù)面積公式計(jì)算得到答案.【詳解】，即，，故.根據(jù)余弦定理：，即.當(dāng)時等號成立，故.故答案為：.【點(diǎn)睛】本題考查了三角恒等變換，余弦定理，均值不等式，面積公式，意在考查學(xué)生的綜合應(yīng)用能力和計(jì)算能力.14．【解析】

根據(jù)雙曲線上的點(diǎn)的坐標(biāo)關(guān)系得，交圓于點(diǎn)，所以，建立等式，兩式作商即可得解.【詳解】設(shè)，交圓于點(diǎn)，所以易知:即.故答案為：【點(diǎn)睛】此題考查根據(jù)雙曲線上的點(diǎn)的坐標(biāo)關(guān)系求解斜率關(guān)系，涉及雙曲線中的部分定值結(jié)論，若能熟記常見二級結(jié)論，此題可以簡化計(jì)算.15．【解析】

分別過A，B，N作拋物線的準(zhǔn)線的垂線，垂足分別為，，，根據(jù)拋物線定義和求得，從而求得直線l的傾斜角.【詳解】分別過A，B，N作拋物線的準(zhǔn)線的垂線，垂足分別為，，，由拋物線的定義知，，，因?yàn)?，所以，所以，即直線的傾斜角為，又直線與直線l垂直且直線l的傾斜角為銳角，所以直線l的傾斜角為，.故答案為：【點(diǎn)睛】此題考查拋物線的定義，根據(jù)已知條件做出輔助線利用拋物線定義和幾何關(guān)系即可求解，屬于較易題目.16．2【解析】

利用AB中有且只有一個元素，可得，可求實(shí)數(shù)a的值.【詳解】由題意AB中有且只有一個元素，所以，即.故答案為：.【點(diǎn)睛】本題主要考查集合的交集運(yùn)算，集合交集的運(yùn)算本質(zhì)是存同去異，側(cè)重考查數(shù)學(xué)運(yùn)算的核心素養(yǎng).三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．(1)見解析(2)見證明【解析】

(1)對函數(shù)求導(dǎo)，分別討論，以及，即可得出結(jié)果；(2)根據(jù)題意，由導(dǎo)數(shù)幾何意義得到，將證明轉(zhuǎn)化為證明即可，再令，設(shè)，用導(dǎo)數(shù)方法判斷出的單調(diào)性，進(jìn)而可得出結(jié)論成立.【詳解】（1）解：易得，函數(shù)的定義域?yàn)?，，令，得?①當(dāng)時，時，，函數(shù)單調(diào)遞減；時，，函數(shù)單調(diào)遞增.此時，的減區(qū)間為，增區(qū)間為.②當(dāng)時，時，，函數(shù)單調(diào)遞減；或時，，函數(shù)單調(diào)遞增.此時，的減區(qū)間為，增區(qū)間為，.③當(dāng)時，時，，函數(shù)單調(diào)遞增；此時，的減區(qū)間為.綜上，當(dāng)時，的減區(qū)間為，增區(qū)間為：當(dāng)時，的減區(qū)間為，增區(qū)間為.；當(dāng)時，增區(qū)間為.（2）證明：由題意及導(dǎo)數(shù)的幾何意義，得由（1）中得.易知，導(dǎo)函數(shù)在上為增函數(shù)，所以，要證，只要證，即，即證.因?yàn)?，不妨令，則.所以，所以在上為增函數(shù)，所以，即，所以，即，即.故有（得證）.【點(diǎn)睛】本題主要考查導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用，通常需要對函數(shù)求導(dǎo)，利用導(dǎo)數(shù)的方法研究函數(shù)的單調(diào)性以及函數(shù)極值等即可，屬于?？碱}型.18．（1）見解析；（2）見解析．【解析】分析：（1）先證明，再證明FG//平面PBD.（2）先證明平面，再證明BD⊥FG．詳解：證明：（1）連結(jié)PE，因?yàn)镚.、F為EC和PC的中點(diǎn)，，又平面，平面，所以平面（II）因?yàn)榱庑蜛BCD，所以，又PA⊥面ABCD，平面，所以，因?yàn)槠矫?，平面，且，平面，平面，∴BD⊥FG.點(diǎn)睛：（1）本題主要考查空間位置關(guān)系的證明，意在考查學(xué)生對這些基礎(chǔ)知識的掌握水平和空間想象轉(zhuǎn)化能力.(2)證明空間位置關(guān)系，一般有幾何法和向量法，本題利用幾何法比較方便.19．（1）（2）應(yīng)該購買21件易耗品【解析】

（1）由統(tǒng)計(jì)表中數(shù)據(jù)可得型號分別為在一個月使用易耗品的件數(shù)為6,7,8時的概率,設(shè)該單位三臺設(shè)備一個月中使用易耗品的件數(shù)總數(shù)為X,則,利用獨(dú)立事件概率公式進(jìn)而求解即可；（2）由題可得X所有可能的取值為,即可求得對應(yīng)的概率,再分別討論該單位在購買設(shè)備時應(yīng)同時購買20件易耗品和21件易耗品時總費(fèi)用的可能取值及期望,即可分析求解.【詳解】（1）由題中的表格可知A型號的設(shè)備一個月使用易耗品的件數(shù)為6和7的頻率均為；B型號的設(shè)備一個月使用易耗品的件數(shù)為6,7,8的頻率分別為；C型號的設(shè)備一個月使用易耗品的件數(shù)為7和8的頻率分別為；設(shè)該單位一個月中三臺設(shè)備使用易耗品的件數(shù)分別為,則,,,設(shè)該單位三臺設(shè)備一個月中使用易耗品的件數(shù)總數(shù)為X,則而,,故,即該單位一個月中三臺設(shè)備使用的易耗品總數(shù)超過21件的概率為.（2）以題意知,X所有可能的取值為；；；由（1）知,,若該單位在購買設(shè)備的同時購買了20件易耗品,設(shè)該單位一個月中購買易耗品所需的總費(fèi)用為元,則的所有可能取值為,；；；；；若該單位在肋買設(shè)備的同時購買了21件易耗品,設(shè)該單位一個月中購買易耗品所需的總費(fèi)用為元,則的所有可能取值為,；；；；,所以該單位在購買設(shè)備時應(yīng)該購買21件易耗品【點(diǎn)睛】本題考查獨(dú)立事件的概率,考查離散型隨機(jī)變量的分布列和期望,考查數(shù)據(jù)處理能力.20．（1）（2）見解析【解析】

（1）因?yàn)閿?shù)列的前項(xiàng)和滿足：，所以當(dāng)時，，即解得或，因?yàn)閿?shù)列都是正項(xiàng)，所以，因?yàn)椋?，解得或，因?yàn)閿?shù)列都是正項(xiàng)，所以，當(dāng)時，有，所以，解得，當(dāng)時，，符合所以數(shù)列的通項(xiàng)公式，;（2）因?yàn)椋?/p>