2024年福建省中考數(shù)學真題卷及答案解析

中考PAGE1試題2024年福建省中考數(shù)學試題一、選擇題：本題共10小題，每小題4分，共40分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合要求的．1.下列實數(shù)中，無理數(shù)是（）A. B.0 C. D.2.據(jù)《人民日報》3月12日電，世界知識產(chǎn)權(quán)組織近日公布數(shù)據(jù)顯示，2023年，全球（《專利合作條約》）國際專利申請總量為27.26萬件，中國申請量為69610件，是申請量最大的來源國．數(shù)據(jù)69610用科學記數(shù)法表示為（）A. B. C. D.3.如圖是由長方體和圓柱組成的幾何體，其俯視圖是（）A. B.C. D.4.在同一平面內(nèi)，將直尺、含角三角尺和木工角尺（）按如圖方式擺放，若，則的大小為（）A. B. C. D.5.下列運算正確的是（）A. B. C. D.6.哥德巴赫提出“每個大于2的偶數(shù)都可以表示為兩個質(zhì)數(shù)之和”的猜想，我國數(shù)學家陳景潤在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界領先的成果．在質(zhì)數(shù)2，3，5中，隨機選取兩個不同的數(shù)，其和是偶數(shù)的概率是（）A B. C. D.7.如圖，已知點在上，，直線與相切，切點為，且為的中點，則等于（）A B. C. D.8.今年我國國民經(jīng)濟開局良好，市場銷售穩(wěn)定增長，社會消費增長較快，第一季度社會消費品零售總額120327億元，比去年第一季度增長，求去年第一季度社會消費品零售總額．若將去年第一季度社會消費品零售總額設為億元，則符合題意的方程是（）A. B.C. D.9.小明用兩個全等的等腰三角形設計了一個“蝴蝶”的平面圖案．如圖，其中與都是等腰三角形，且它們關于直線對稱，點，分別是底邊，的中點，．下列推斷錯誤的是（）A. B.C D.10.已知二次函數(shù)的圖象經(jīng)過，兩點，則下列判斷正確的是（）A.可以找到一個實數(shù)，使得 B.無論實數(shù)取什么值，都有C.可以找到一個實數(shù)，使得 D.無論實數(shù)取什么值，都有二、填空題：本題共6小題，每小題4分，共24分．11.因式分解：x2+x=_____．12.不等式的解集是______．13.學校為了解學生安全防范意識，隨機抽取了12名學生進行相關知識測試，將測試成績整理得到如圖所示的條形統(tǒng)計圖，則這12名學生測試成績的中位數(shù)是______．（單位：分）14.如圖，正方形的面積為4，點，，，分別為邊，，，的中點，則四邊形的面積為______．15.如圖，在平面直角坐標系中，反比例函數(shù)的圖象與交于兩點，且點都在第一象限．若，則點的坐標為______．16.無動力帆船是借助風力前行的．下圖是帆船借助風力航行的平面示意圖，已知帆船航行方向與風向所在直線的夾角為，帆與航行方向的夾角為，風對帆的作用力為．根據(jù)物理知識，可以分解為兩個力與，其中與帆平行的力不起作用，與帆垂直的力儀可以分解為兩個力與與航行方向垂直，被舵的阻力抵消；與航行方向一致，是真正推動帆船前行的動力．在物理學上常用線段的長度表示力的大小，據(jù)此，建立數(shù)學模型：，則______．（單位：）（參考數(shù)據(jù)：）三、解答題：本題共9小題，共86分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17.計算：．18.如圖，在菱形中，點分別在邊上，，求證：．19.解方程：．20.已知A、B兩地都只有甲、乙兩類普通高中學校．在一次普通高中學業(yè)水平考試中，A地甲類學校有考生3000人，數(shù)學平均分為90分：乙類學校有考生2000人，數(shù)學平均分為80分．（1）求A地考生的數(shù)學平均分；（2）若B地甲類學校數(shù)學平均分為94分，乙類學校數(shù)學平均分為82分，據(jù)此，能否判斷B地考生數(shù)學平均分一定比A地考生數(shù)學平均分高？若能，請給予證明：若不能，請舉例說明．21.如圖，已知二次函數(shù)的圖象與軸交于兩點，與軸交于點，其中．（1）求二次函數(shù)的表達式；（2）若是二次函數(shù)圖象上的一點，且點在第二象限，線段交軸于點的面積是的面積的2倍，求點的坐標．22.如圖，已知直線．（1）在所在的平面內(nèi)求作直線，使得，且與間的距離恰好等于與間的距離；（要求：尺規(guī)作圖，不寫作法，保留作圖痕跡）（2）在（1）的條件下，若與間的距離為2，點分別在上，且為等腰直角三角形，求的面積．23.已知實數(shù)滿足．（1）求證：為非負數(shù)；（2）若均為奇數(shù)，是否可以都為整數(shù)？說明你的理由．24.在手工制作課上，老師提供了如圖1所示的矩形卡紙，要求大家利用它制作一個底面為正方形的禮品盒．小明按照圖2的方式裁剪（其中），恰好得到紙盒的展開圖，并利用該展開圖折成一個禮品盒，如圖3所示．圖1圖2圖3（1）直接寫出的值；（2）如果要求折成的禮品盒的兩個相對的面上分別印有“吉祥”和“如意”，如圖4所示，那么應選擇的紙盒展開圖圖樣是（）圖4A．B．C．D．（3）卡紙型號型號Ⅰ型號Ⅱ型號Ⅲ規(guī)格（單位：cm）單價（單位：元）3520現(xiàn)以小明設計的紙盒展開圖（圖2）為基本樣式，適當調(diào)整，的比例，制作棱長為的正方體禮品盒，如果要制作27個這樣的禮品盒，請你合理選擇上述卡紙（包括卡紙的型號及相應型號卡紙的張數(shù)），并在卡紙上畫出設計示意圖（包括一張卡紙可制作幾個禮品盒，其展開圖在卡紙上的分布情況），給出所用卡紙的總費用．（要求：①同一型號的卡紙如果需要不止一張，只要在一張卡紙上畫出設計方案；②沒有用到的卡紙，不要在該型號的卡紙上作任何設計；③所用卡紙的數(shù)量及總費用直接填在答題卡的表格上；④本題將綜合考慮“利用卡紙的合理性”和“所用卡紙的總費用”給分，總費用最低的才能得滿分；⑤試卷上的卡紙僅供作草稿用）25.如圖，在中，，以為直徑的交于點，，垂足為的延長線交于點．（1）求的值；（2）求證：；（3）求證：與互相平分．

數(shù)學試題一、選擇題：本題共10小題，每小題4分，共40分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合要求的．1.下列實數(shù)中，無理數(shù)是（）A. B.0 C. D.【答案】D【解析】【分析】無理數(shù)就是無限不循環(huán)小數(shù)，理解無理數(shù)的概念，一定要同時理解有理數(shù)的概念，有理數(shù)是整數(shù)與分數(shù)的統(tǒng)稱．即有限小數(shù)和無限循環(huán)小數(shù)是有理數(shù)，而無限不循環(huán)小數(shù)是無理數(shù)，由此即可判定選擇項．本題主要考查了無理數(shù)的定義，其中初中范圍內(nèi)學習的無理數(shù)有：等；開方開不盡的數(shù)；以及像，等數(shù)．【詳解】根據(jù)無理數(shù)的定義可得：無理數(shù)是故選：D．2.據(jù)《人民日報》3月12日電，世界知識產(chǎn)權(quán)組織近日公布數(shù)據(jù)顯示，2023年，全球（《專利合作條約》）國際專利申請總量為27.26萬件，中國申請量為69610件，是申請量最大的來源國．數(shù)據(jù)69610用科學記數(shù)法表示為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根據(jù)科學記數(shù)法的定義解答，科學記數(shù)法的表示形式為的形式，其中為整數(shù)，確定n的值時，要看把原數(shù)變成a時，小數(shù)點移動了多少位，n的絕對值與小數(shù)點移動的位數(shù)相同．當原數(shù)絕對值時，n是正數(shù)；當原數(shù)的絕對值時，n是負數(shù)．本題考查了科學記數(shù)法，熟悉科學記數(shù)法概念是解題的關鍵．【詳解】故選：C．3.如圖是由長方體和圓柱組成幾何體，其俯視圖是（）A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】本題考查了簡單組合體的三視圖，根據(jù)從上邊看得到的圖形是俯視圖，可得答案．【詳解】解：這個立體圖形的俯視圖是一個圓形，圓形內(nèi)部中間是一個矩形．故選：C．4.在同一平面內(nèi)，將直尺、含角的三角尺和木工角尺（）按如圖方式擺放，若，則的大小為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】本題考查了平行線的性質(zhì)，由，可得，即可求解．【詳解】∵，∴，∵，則，∴，故選：A．5.下列運算正確的是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】本題考查了同底數(shù)冪的乘法，同底數(shù)冪的除法，冪的乘方，合并同類項，解題的關鍵是掌握同底數(shù)冪的乘法，同底數(shù)冪的除法，冪的乘方，合并同類項運算法則．利用同底數(shù)冪的乘法，同底數(shù)冪的除法，冪的乘方，合并同類項計算后判斷正誤．【詳解】解：，A選項錯誤；，B選項正確；，C選項錯誤；，D選項錯誤；故選：B．6.哥德巴赫提出“每個大于2的偶數(shù)都可以表示為兩個質(zhì)數(shù)之和”的猜想，我國數(shù)學家陳景潤在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界領先的成果．在質(zhì)數(shù)2，3，5中，隨機選取兩個不同的數(shù)，其和是偶數(shù)的概率是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】此題考查了樹狀圖或列表法求概率，根據(jù)題意畫出樹狀圖，求和后利用概率公式計算即可．【詳解】解：畫樹狀圖如下：由樹狀圖可知，共有6種不同情況，和是偶數(shù)的共有2種情況，故和是偶數(shù)的概率是，故選：B7.如圖，已知點在上，，直線與相切，切點為，且為的中點，則等于（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】本題考查了切線的性質(zhì)，三角形內(nèi)角和以及等腰三角形的性質(zhì)，根據(jù)C為的中點，三角形內(nèi)角和可求出，再根據(jù)切線的性質(zhì)即可求解．【詳解】∵，為的中點，∴∵∴∵直線與相切，∴，∴故選：A．8.今年我國國民經(jīng)濟開局良好，市場銷售穩(wěn)定增長，社會消費增長較快，第一季度社會消費品零售總額120327億元，比去年第一季度增長，求去年第一季度社會消費品零售總額．若將去年第一季度社會消費品零售總額設為億元，則符合題意的方程是（）A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】本題主要考查了列一元一次方程，解題的關鍵是理解題意，找出等量關系，根據(jù)今年第一季度社會消費品零售總額120327億元，比去年第一季度增長，列出方程即可．【詳解】解：將去年第一季度社會消費品零售總額設為億元，根據(jù)題意得：，故選：A．9.小明用兩個全等的等腰三角形設計了一個“蝴蝶”的平面圖案．如圖，其中與都是等腰三角形，且它們關于直線對稱，點，分別是底邊，的中點，．下列推斷錯誤的是（）A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】本題考查了對稱的性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)等；A.由對稱的性質(zhì)得，由等腰三角形的性質(zhì)得，，即可判斷；B.不一定等于，即可判斷；C.由對稱的性質(zhì)得，由全等三角形的性質(zhì)即可判斷；D.過作，可得，由對稱性質(zhì)得同理可證，即可判斷；掌握性質(zhì)是解題的關鍵．【詳解】解：A.，，由對稱得，點，分別是底邊，的中點，與都是等腰三角形，，，，，結(jié)論正確，故不符合題意；B.不一定等于，結(jié)論錯誤，故符合題意；C.由對稱得，，結(jié)論正確，故不符合題意；D.過作，，，，由對稱得，，同理可證，，結(jié)論正確，故不符合題意；故選：B．10.已知二次函數(shù)的圖象經(jīng)過，兩點，則下列判斷正確的是（）A.可以找到一個實數(shù)，使得 B.無論實數(shù)取什么值，都有C.可以找到一個實數(shù)，使得 D.無論實數(shù)取什么值，都有【答案】C【解析】【分析】本題考查二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，根據(jù)題意得到二次函數(shù)開口向上，且對稱軸為，頂點坐標為，再分情況討論，當時，當時，，的大小情況，即可解題．【詳解】解：二次函數(shù)解析式為，二次函數(shù)開口向上，且對稱軸為，頂點坐標為，當時，，，當時，，，故A、B錯誤，不符合題意；當時，，由二次函數(shù)對稱性可知，，當時，，由二次函數(shù)對稱性可知，，不一定大于，故C正確符合題意；D錯誤，不符合題意；故選：C．二、填空題：本題共6小題，每小題4分，共24分．11.因式分解：x2+x=_____．【答案】【解析】【分析】要將一個多項式分解因式的一般步驟是首先看各項有沒有公因式，若有公因式，則把它提取出來，之后再觀察是否是完全平方公式或平方差公式，若是就考慮用公式法繼續(xù)分解因式．因此，直接提取公因式x即可．【詳解】解：12.不等式的解集是______．【答案】【解析】【分析】本題考查的是解一元一次不等式，通過移項，未知數(shù)系數(shù)化為1，求解即可解．【詳解】解：，，，故答案為：．13.學校為了解學生的安全防范意識，隨機抽取了12名學生進行相關知識測試，將測試成績整理得到如圖所示的條形統(tǒng)計圖，則這12名學生測試成績的中位數(shù)是______．（單位：分）【答案】90【解析】【分析】本題考查了中位數(shù)的知識，解題的關鍵是了解中位數(shù)的求法，難度不大．根據(jù)中位數(shù)的定義（排序后，位于中間位置的數(shù)為中位數(shù)），結(jié)合圖中的數(shù)據(jù)進行計算即可；【詳解】解：∵共有12個數(shù)，∴中位數(shù)是第6和7個數(shù)的平均數(shù)，∴中位數(shù)是；故答案為：90．14.如圖，正方形的面積為4，點，，，分別為邊，，，的中點，則四邊形的面積為______．【答案】2【解析】【分析】本題考查正方形性質(zhì)，線段中點的性質(zhì)，根據(jù)正方形性質(zhì)和線段中點的性質(zhì)得到，進而得到，同理可得，最后利用四邊形的面積正方形的面積個小三角形面積求解，即可解題．【詳解】解：正方形的面積為4，，，點，，，分別為邊，，，的中點，，，同理可得，四邊形的面積為．故答案為：2．15.如圖，在平面直角坐標系中，反比例函數(shù)的圖象與交于兩點，且點都在第一象限．若，則點的坐標為______．【答案】【解析】【分析】本題考查了反比例函數(shù)的性質(zhì)以及勾股定理，完全平方公式的應用，先根據(jù)得出，設，則，結(jié)合完全平方公式的變形與應用得出，結(jié)合，則，即可作答．【詳解】解：如圖：連接∵反比例函數(shù)的圖象與交于兩點，且∴設，則∵∴則∵點在第一象限∴把代入得∴經(jīng)檢驗：都是原方程的解∵∴故答案為：16.無動力帆船是借助風力前行的．下圖是帆船借助風力航行的平面示意圖，已知帆船航行方向與風向所在直線的夾角為，帆與航行方向的夾角為，風對帆的作用力為．根據(jù)物理知識，可以分解為兩個力與，其中與帆平行的力不起作用，與帆垂直的力儀可以分解為兩個力與與航行方向垂直，被舵的阻力抵消；與航行方向一致，是真正推動帆船前行的動力．在物理學上常用線段的長度表示力的大小，據(jù)此，建立數(shù)學模型：，則______．（單位：）（參考數(shù)據(jù)：）【答案】128【解析】【分析】此題考查了解直角三角形的應用，求出，，由得到，求出，求出在中，根據(jù)即可求出答案．【詳解】解：如圖，∵帆船航行方向與風向所在直線的夾角為，帆與航行方向的夾角為，∴，，∵，∴，在中，，，∴，有題意可知，，∴，∴在中，，∴，故答案為：三、解答題：本題共9小題，共86分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17.計算：．【答案】4【解析】【分析】本小題考查零指數(shù)冪、絕對值、算術平方根等基礎知識，考查運算能力．根據(jù)零指數(shù)冪、絕對值、算術平方根分別計算即可；【詳解】解：原式．18.如圖，在菱形中，點分別在邊上，，求證：．【答案】見解析【解析】【分析】本題考查菱形的性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)，熟練掌握全等三角形的判定與性質(zhì)是解答的關鍵．根據(jù)菱形的性質(zhì)證得，，再根據(jù)全等三角形的判定證明即可．【詳解】證明：四邊形是菱形，，，，，．19.解方程：．【答案】．【解析】【分析】本題考查解分式方程,掌握解分式方程的步驟和方法，將分式方程化為整式方程求解，即可解題．【詳解】解：，方程兩邊都乘，得．去括號得：，解得．經(jīng)檢驗，是原方程根．20.已知A、B兩地都只有甲、乙兩類普通高中學校．在一次普通高中學業(yè)水平考試中，A地甲類學校有考生3000人，數(shù)學平均分為90分：乙類學校有考生2000人，數(shù)學平均分為80分．（1）求A地考生的數(shù)學平均分；（2）若B地甲類學校數(shù)學平均分為94分，乙類學校數(shù)學平均分為82分，據(jù)此，能否判斷B地考生數(shù)學平均分一定比A地考生數(shù)學平均分高？若能，請給予證明：若不能，請舉例說明．【答案】（1）86；（2）不能，舉例見解析．【解析】【分析】本小題考查加權(quán)平均數(shù)等基礎知識，（1）根據(jù)平均數(shù)的概念求解即可；（2）根據(jù)平均數(shù)的意義求解即可．【小問1詳解】由題意，得A地考生的數(shù)學平均分為．【小問2詳解】不能．舉例如下：如B地甲類學校有考生1000人，乙類學校有考生3000人，則B地考生的數(shù)學平均分為．因為，所以不能判斷B地考生數(shù)學平均分一定比地考生數(shù)學平均分高．21.如圖，已知二次函數(shù)的圖象與軸交于兩點，與軸交于點，其中．（1）求二次函數(shù)的表達式；（2）若是二次函數(shù)圖象上的一點，且點在第二象限，線段交軸于點的面積是的面積的2倍，求點的坐標．【答案】（1）（2）【解析】【分析】本小題考查二次函數(shù)表達式、二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)二元一次方程組、一元二次方程、三角形面積等基礎知識，考查運算能力、推理能力、幾何直觀等，考查數(shù)形結(jié)合思想、函數(shù)與方程思想、化歸與轉(zhuǎn)化思想等．（1）根據(jù)待定系數(shù)法求解即可；（2）設，因為點在第二象限，所以．依題意，得，即可得出，求出，由，求出，即可求出點的坐標．【小問1詳解】解：將代入，得，解得，所以，二次函數(shù)的表達式為．【小問2詳解】設，因為點在第二象限，所以．依題意，得，即，所以．由已知，得，所以．由，解得（舍去），所以點坐標為．22.如圖，已知直線．（1）在所在的平面內(nèi)求作直線，使得，且與間的距離恰好等于與間的距離；（要求：尺規(guī)作圖，不寫作法，保留作圖痕跡）（2）在（1）的條件下，若與間的距離為2，點分別在上，且為等腰直角三角形，求的面積．【答案】（1）見解析；（2）的面積為1或．【解析】【分析】本題主要考查基本作圖，平行線的性質(zhì)，全等三角形的判定以及分類討論思想：（1）先作出與垂直的垂線，再作出夾在間垂線段的垂直平分線即可；（2）分；；三種情況，結(jié)合三角形面積公式求解即可【小問1詳解】解：如圖，直線就是所求作的直線．【小問2詳解】①當時，，直線與間的距離為2，且與間的距離等于與間的距離，根據(jù)圖形的對稱性可知：，，．②當時，分別過點作直線的垂線，垂足為，．，直線與間的距離為2，且與間的距離等于與間的距離，．，，，，．在中，由勾股定理得，．．③當時，同理可得，．綜上所述，的面積為1或．23已知實數(shù)滿足．（1）求證：為非負數(shù)；（2）若均為奇數(shù)，是否可以都為整數(shù)？說明你的理由．【答案】（1）證明見解析；（2）不可能都為整數(shù)，理由見解析．【解析】【分析】（1）根據(jù)題意得出，進而計算，根據(jù)非負數(shù)的性質(zhì)，即可求解；（2）分情況討論，①都為奇數(shù)；②為整數(shù)，且其中至少有一個為偶數(shù)．【小問1詳解】解：因為，所以．則．因為是實數(shù)，所以，所以為非負數(shù)．【小問2詳解】不可能都為整數(shù)．理由如下：若都為整數(shù)，其可能情況有：①都為奇數(shù)；②為整數(shù)，且其中至少有一個為偶數(shù)．①當都為奇數(shù)時，則必為偶數(shù)．又，所以．因為為奇數(shù)，所以必為偶數(shù)，這與為奇數(shù)矛盾．②當為整數(shù)，且其中至少有一個為偶數(shù)時，則必為偶數(shù)．又因，所以．因為為奇數(shù)，所以必為偶數(shù)，這與為奇數(shù)矛盾．綜上所述，不可能都為整數(shù)．【點睛】本小題考查整式的運算、因式分解、等式的性質(zhì)等基礎知識：考查運算能力、推理能力、創(chuàng)新意識等，考查綜合應用所學知識分析、解決問題的能力：考查化歸與轉(zhuǎn)化思想、分類與整合思想等．24.在手工制作課上，老師提供了如圖1所示矩形卡紙，要求大家利用它制作一個底面為正方形的禮品盒．小明按照圖2的方式裁剪（其中），恰好得到紙盒的展開圖，并利用該展開圖折成一個禮品盒，如圖3所示．圖1圖2圖3（1）直接寫出的值；（2）如果要求折成的禮品盒的兩個相對的面上分別印有“吉祥”和“如意”，如圖4所示，那么應選擇的紙盒展開圖圖樣是（）圖4A．B．C．D．（3）卡紙型號型號Ⅰ型號Ⅱ型號Ⅲ規(guī)格（單位：cm）單價（單位：元）3520現(xiàn)以小明設計的紙盒展開圖（圖2）為基本樣式，適當調(diào)整，的比例，制作棱長為的正方體禮品盒，如果要制作27個這樣的禮品盒，請你合理選擇上述卡紙（包括卡紙的型號及相應型號卡紙的張數(shù)），并在卡紙上畫出設計示意圖（包括一張卡紙可制作幾個禮品盒，其展開圖在卡紙上的分布情況），給出所用卡紙的總費用．（要求：①同一型號的卡紙如果需要不止一張，只要在一張卡紙上畫出設計方案；②沒有用到的卡紙，不要在該型號的卡紙上作任何設計；③所用卡紙的數(shù)量及總費用直接填在答題卡的表格上；④本題將綜合考慮“利用卡紙的合理性”和“所用卡紙的總費用”給分，總費用最低的才能得滿分；⑤試卷上的卡紙僅供作草稿用）【答案】（1）2；（2）C；（3）見解析．【解析】【分析】本題考查了幾何體的展開與折疊，空間觀念、推理能力、模型觀念、創(chuàng)新意識等