上海師范大學(xué)附屬金山前京中學(xué)2024--2025學(xué)年上學(xué)期九年級10月月考數(shù)學(xué)試卷

2024-2025學(xué)年上海師大附屬金山前京中學(xué)九年級（上）月考數(shù)學(xué)試卷（10月份）一、選擇題：本題共6小題，每小題4分，共24分。在每小題給出的選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1.如圖，已知，BD：：3，那么下列結(jié)論中，正確的是(

)

A.CD：：5

B.AB：：5

C.AC：：5

D.CE：：5

2.已知點(diǎn)D、E分別在的邊AB、AC的反向延長線上，且，如果AD：：4，，那么邊BC的長是(

)A.8 B.10 C.6 D.43.如圖，已知，AD：：5，，那么CE的長等于(

)A.2

B.4

C.

D.4.已知點(diǎn)P是線段AB的黃金分割點(diǎn)，且，則下列比例式能成立的是(

)A. B. C. D.5.下列命題中，說法正確的是(

)A.所有菱形都相似

B.兩邊對應(yīng)成比例且有一組角對應(yīng)相等的兩個(gè)三角形相似

C.三角形的重心到一個(gè)頂點(diǎn)的距離，等于它到這個(gè)頂點(diǎn)對邊距離的兩倍

D.斜邊和直角邊對應(yīng)成比例，兩個(gè)直角三角形相似6.如圖，點(diǎn)E是線段BC的中點(diǎn)，，下列結(jié)論中，說法錯(cuò)誤的是(

)A.與相似 B.與相似

C. D.二、填空題：本題共12小題，每小題4分，共48分。7.已知，那么的值為______.8.冬日暖陽，下午4點(diǎn)時(shí)分，小明在學(xué)恔操場曬太陽，身高米的他，在地面上的影長為2米，則此時(shí)高度為9米的旗桿在地面的影長為______米．9.在比例尺為1：10000的地圖上，相距5厘米的兩地實(shí)際距離為______千米．10.已知點(diǎn)C是線段AB的黃金分割點(diǎn)，如果，則______.11.如果兩個(gè)相似三角形面積之比為3：2，那么這兩個(gè)三角形的周長之比為______.12.如圖，平行四邊形ABCD，F(xiàn)為BC中點(diǎn)，延長AD至E，使DE：：3，連接EF交DC于點(diǎn)G，則：______.

13.點(diǎn)G是的重心，過點(diǎn)G作BC邊的平行線與AB邊交于點(diǎn)E，與AC邊交于點(diǎn)F，則______.14.已知在矩形ABCD中，，，點(diǎn)P是射線BC上的一個(gè)動點(diǎn)，過點(diǎn)P作，交直線CD于點(diǎn)Q，那么當(dāng)時(shí)，CQ的值是______.15.如圖，在中，，，點(diǎn)D在邊AC上，，那么AD的長是______.

16.在中，，DE交邊AB、AC分別于點(diǎn)D、E，如果與四邊形BCED的面積相等，那么AD：DB的值為______.17.我們把三角形三邊上的高產(chǎn)生的三個(gè)垂足組成的三角形稱為該三角形的垂三角形.已知等腰三角形的腰長為5，底邊長為6，則該三角形的垂三角形的周長是______.18.如圖，在中，，，，D是AC的中點(diǎn)，點(diǎn)E在邊AB上，將沿DE翻折，使得點(diǎn)A落在點(diǎn)處，當(dāng)時(shí)，則______.

三、解答題：本題共7小題，共78分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟。19.本小題10分

已知：a：b：：3：

求代數(shù)式的值；

如果，求a，b，c的值．20.本小題10分

如圖，已知梯形ABCD中，，的面積等于9，的面積等于6，，求CD的長．21.本小題10分

已知：在直角梯形ABCD中，，，，連接BD，垂足為

求證：∽；

求線段AE的長．22.本小題10分

已知：如圖，在中，點(diǎn)D在邊BC上，，BE與AD、AC分別相交于點(diǎn)F、G，

求證：∽；

聯(lián)結(jié)DG，求證：23.本小題12分

如圖，中，，E是AD邊上一點(diǎn)，聯(lián)結(jié)BE，過點(diǎn)D作，垂足為F，且，聯(lián)結(jié)AF、CF，CF與邊AD交于點(diǎn)

求證：；

24.本小題12分

我們知道，互相垂直且有公共原點(diǎn)的兩條數(shù)軸構(gòu)成平面直角坐標(biāo)系.如果坐標(biāo)系中兩條坐標(biāo)軸不垂直，那么這樣的坐標(biāo)系稱為“斜坐標(biāo)系”.

如圖1，P是斜坐標(biāo)系xOy中的任意一點(diǎn)，與直角坐標(biāo)系相類似，過點(diǎn)P分別作兩坐標(biāo)軸的平行線，與x軸、y軸交于點(diǎn)M、N，若M、N在x軸、y軸上分別對應(yīng)實(shí)數(shù)a、b，則有序數(shù)對叫做點(diǎn)P在斜坐標(biāo)系xOy中的坐標(biāo).

如圖2，已知斜坐標(biāo)系xOy中，，試在該坐標(biāo)系中作出點(diǎn)，并求點(diǎn)O、A之間的距離；

如圖3，在斜坐標(biāo)系xOy中，已知點(diǎn)、點(diǎn)，是線段BC上的任意一點(diǎn)，試求x、y之間一定滿足的一個(gè)等量關(guān)系式；

若問題中的點(diǎn)P在線段BC的延長線上，其它條件都不變，試判斷上述x、y之間的等量關(guān)系是否仍然成立，并說明理由.25.本小題14分

如圖，已知中，，，點(diǎn)D是邊AB上的動點(diǎn)，過點(diǎn)D作，交邊AC于點(diǎn)E，點(diǎn)Q是線段DE上的點(diǎn)，且，連接BQ并延長，交邊AC于點(diǎn)設(shè)，

求y關(guān)于x的函數(shù)解析式及x的取值范圍；

當(dāng)是等腰三角形時(shí)，求BD的長；

連接CQ，當(dāng)和互補(bǔ)時(shí)，求x的值．

答案和解析1.【答案】C

【解析】解：，

，

，

故選：

根據(jù)平行線分線段成比例定理判斷即可得到結(jié)果．

本題主要考查平行線分線段成比例，掌握平行線分線段所得線段對應(yīng)成比例是解題的關(guān)鍵．2.【答案】C

【解析】解：如圖，

，

∽，

，

，，

，

，

故選：

本題考查了相似三角形的性質(zhì)和判定的應(yīng)用，能推出∽是解此題的關(guān)鍵．

根據(jù)相似三角形的判定定理，得出∽，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)求出即可．3.【答案】C

【解析】【解答】

解：，

，即，

，

故選：

【分析】

本題考查了平行線分線段成比例定理．

根據(jù)平行線分線段成比例定理得到，即，可計(jì)算出BC，然后利用進(jìn)行計(jì)算．4.【答案】C

【解析】解：根據(jù)黃金分割定義，可知AP是AB和BP的比例中項(xiàng)，

即，

故選：

本題考查了黃金分割的知識，解決本題的關(guān)鍵是掌握黃金分割的定義．

根據(jù)黃金分割的定義：把線段AB分成兩條線段AP和，且使AP是AB和BP的比例中項(xiàng)，叫做把線段AB黃金分割，點(diǎn)P叫做線段AB的黃金分割點(diǎn).5.【答案】D

【解析】解：A、所有的菱形不都相似，故錯(cuò)誤，不符合題意；

B、兩邊對應(yīng)成比例且夾角相等的兩個(gè)三角形相似，故錯(cuò)誤，不符合題意；

C、三角形的重心到一個(gè)頂點(diǎn)的距離等于它到對邊中點(diǎn)距離的兩倍，故錯(cuò)誤，不符合題意；

D、斜邊和直角邊對應(yīng)成比例的兩個(gè)直角三角形是相似的，故正確，符合題意；

故選：

本題考查了命題與定義的知識，解題的關(guān)鍵是了解菱形的定義、相似三角形的判定方法、三角形的重心的性質(zhì)等知識．

利用菱形的定義、相似三角形的判定方法、三角形的重心的性質(zhì)等知識分別判斷后即可確定正確的選項(xiàng)．6.【答案】D

【解析】解：，，

，

，

∽，

，

點(diǎn)E是線段BC的中點(diǎn)，則，

，

，

，

∽，

，

故選項(xiàng)A，B，C正確，D錯(cuò)誤.

故選：

本題考查相似三角形的判定和性質(zhì)等知識，解題的關(guān)鍵是正確尋找相似三角形解決問題．

證明∽，∽，可得結(jié)論．7.【答案】

【解析】解：，

，

故答案為：

本題考查比例的基本性質(zhì)，根據(jù)已知得到是解題關(guān)鍵．

由已知可得，代入所求的代數(shù)式可得答案．8.【答案】12

【解析】解：設(shè)旗桿的影長x米，根據(jù)題意得：

，

解得：

故答案為：

在同一時(shí)刻物高和影長成正比，即在同一時(shí)刻的兩個(gè)物體，影子，經(jīng)過物體頂部的太陽光線構(gòu)成的兩個(gè)直角三角形相似解答即可．

本題考查了相似三角形的應(yīng)用，只要是把實(shí)際問題抽象到相似三角形中，利用相似三角形的相似比，列出方程，通過解方程求出旗桿的影長，體現(xiàn)了方程的思想．9.【答案】

【解析】解：根據(jù)比例尺=圖上距離：實(shí)際距離，

設(shè)兩地實(shí)際距離為x厘米，得1：：x，

相距5厘米的兩地的實(shí)際距離是厘米千米

故答案為：

本題考查了比例線段，能夠根據(jù)比例尺正確進(jìn)行計(jì)算，注意單位的轉(zhuǎn)換．

比例尺=圖上距離：實(shí)際距離，根據(jù)題意列出等式即可得出實(shí)際的距離．10.【答案】或

【解析】解：點(diǎn)C是線段AB的黃金分割點(diǎn)，

當(dāng)時(shí)，，

，

，

當(dāng)時(shí)，，

，

，

綜上所述：或，

故答案為：或

分、兩種情況，根據(jù)黃金比值計(jì)算即可．

本題考查的是黃金分割的概念，掌握黃金比值是、靈活運(yùn)用分情況討論思想是解題的關(guān)鍵．11.【答案】：

【解析】解：兩個(gè)相似三角形的面積之比為3：2，

它們的周長比為：，

故答案為：：

已知了兩個(gè)相似三角形的面積比，即可得到它們的相似比，由于相似三角形的面積比等于相似比的平方，由此得解．

此題考查的是相似三角形的性質(zhì)：熟練掌握相似三角形的周長比等于相似比，面積比等于相似比的平方是關(guān)鍵．12.【答案】

【解析】解：設(shè)，

：：3，

，

四邊形ABCD是平行四邊形，

，，

點(diǎn)F是BC的中點(diǎn)，

，

，

∽，

故答案為：

本題主要考查了相似三角形的判定和性質(zhì)，平行四邊形的性質(zhì)，中點(diǎn)的定義，熟練掌握相似三角形的判定和性質(zhì)定理是解本題的關(guān)鍵．

先設(shè)出，進(jìn)而得出，再用平行四邊形的性質(zhì)得出，進(jìn)而求出CF，最后用相似三角形的性質(zhì)即可得出結(jié)論．13.【答案】

【解析】解：連接AG并延長交BC于點(diǎn)D，

，

，

是的重心，

，

故答案為：

本題考查三角形重心定理，熟練掌握三角形重心定理，靈活應(yīng)用平行線的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．

連接AG并延長交BC于點(diǎn)D，由，可得，又由G是的重心，可得，可得14.【答案】

【解析】解：如圖，

，，

，

，

在矩形ABCD中，，

，

，

，

又，

∽，

，

，

故答案為：

本題考查了相似三角形的判定和性質(zhì)，矩形的性質(zhì)，掌握相似三角形的性質(zhì)是本題的關(guān)鍵．

通過證明∽，可得，即可求解．15.【答案】

【解析】解：，

，

，

，

，

，

∽，

，

又，，，

即，

，

故答案為：

本題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)：在判定兩個(gè)三角形相似時(shí)，應(yīng)注意利用圖形中已有的公共角、公共邊等隱含條件，以充分發(fā)揮基本圖形的作用；在運(yùn)用相似三角形的性質(zhì)時(shí)，靈活利用相似比進(jìn)行幾何計(jì)算，也考查了等腰三角形的性質(zhì)．

利用等腰三角形的性質(zhì)得到，，則，于是可判斷∽，然后利用相似比計(jì)算出CD的長，最后計(jì)算AD即可．16.【答案】

【解析】解：，

∽，

，

與四邊形BCED的面積相等，

，

，

故答案為：

本題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)：在判定兩個(gè)三角形相似時(shí)，應(yīng)注意利用圖形中已有的公共角、公共邊等隱含條件，以充分發(fā)揮基本圖形的作用；在運(yùn)用相似三角形的性質(zhì)時(shí)，靈活利用相似比進(jìn)行幾何計(jì)算．

先證明∽，利用相似三角形的性質(zhì)得到，則，然后利用比例的性質(zhì)得到的值．17.【答案】

【解析】解：如圖：

，，，

，

，，

設(shè)，由勾股定理得

，

∽，

，

，

的周長，

故答案為：

直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半，可得DF與BC的關(guān)系，DE與BC的關(guān)系，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)，可得EF的長，根據(jù)三角形的周長，可得答案．

本題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)，先求出DE、DE的長，再根據(jù)相似三角形的性質(zhì)，求出EF的長，最后求出三角形的周長．18.【答案】

【解析】【分析】

本題考查翻折變換，相似三角形的判定和性質(zhì)，勾股定理，等腰直角三角形等知識，解題的關(guān)鍵是學(xué)會添加常用輔助線，構(gòu)造直角三角形解決問題，屬于中考填空題中的壓軸題．

如圖，作于F，連接想辦法求出AE，利用等腰直角三角形的性質(zhì)求出即可．

【解答】

解：如圖，作于F，連接

在中，，

，，

∽，

，

，

，，

，

，

由翻折不變性可知：，

，

，

故答案為：19.【答案】解：：b：：3：5，

可設(shè)，，，

；

，

，

解得

則，

，

【解析】本題考查了比例的性質(zhì)，利用“設(shè)k法”求解更簡便．

根據(jù)比例設(shè)，，，然后代入比例式進(jìn)行計(jì)算即可得解；

先設(shè)，，，然后將其代入，即可求得a、b、c的值．20.【答案】解：，

，…分

的面積等于9，的面積等于6，

，分

，

，

【解析】根據(jù)的面積等于9，的面積等于6，可知OB：OD的值，再根據(jù)平行線分線段成比例即可求解．

本題主要考查了平行線分線段成比例和等高三角形的面積的比等于對應(yīng)底邊的比的性質(zhì)，熟練掌握性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．21.【答案】證明：，

，

，

，

，

，

，

∽；

解：，又，

，

，

由∽，

得，

，，

，

，

【解析】由等腰三角形的性質(zhì)可知，由可知，，由此可得，又，即可證∽；

由等腰三角形的性質(zhì)可知，，根據(jù)∽，利用相似比求BE，在中，利用勾股定理求

本題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)．關(guān)鍵是要懂得找相似三角形，利用相似三角形的性質(zhì)及勾股定理解題．22.【答案】證明：

，

，

∽，

，

，

，

，

，

∽；

∽，

，

，

∽，

，

，

，

，

，

【解析】通過證明∽，可得，由平行線的性質(zhì)可得，且，可證∽；

由相似三角形的性質(zhì)可得，且，可證∽，可得，由平行線分線段成比例可得，可得結(jié)論．

本題考查了相似三角形的判定和性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是正確尋找相似三角形解決問題，屬于中考常考題型．23.【答案】證明：，，

，

，，

，

，

，

，又，

∽，

；

∽，

，

，

，

，

，，

∽，

，

，又，

∽，

，

，

，

，又，

∽，

，即

【解析】證明∽，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)證明結(jié)論；

證明∽，得到，得到∽，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)得到，證明∽，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)證明結(jié)論．

本題考查的是相似三角形的判定和性質(zhì)，掌握相似三角形的判定定理和性質(zhì)定理是解題的關(guān)鍵．24.【答案】解：作軸，AM與x軸交于點(diǎn)M，軸，AN與y軸交于點(diǎn)N，

則四邊形AMON為平行四邊形，且，

是菱形，

平分，

又，

，

是等邊三角形，

；

過點(diǎn)P分別作兩坐標(biāo)軸的平行線，與x軸、y軸交于點(diǎn)M、N，

則

，，

由，得，即；

由，得，即；

，

即

當(dāng)點(diǎn)P在線段BC的延長線上時(shí)，上述結(jié)論仍然成立．理由如下：這時(shí)

，，

與類似，，

又

，即

【解析】作軸，AM與x軸交于點(diǎn)M，軸，AN與y軸交于點(diǎn)N，構(gòu)建菱形AMON，然后根據(jù)菱形的性質(zhì)以及等邊三角形的判定與性質(zhì)來求OA的長度；

過點(diǎn)P分別作兩坐標(biāo)軸的平行線，與x軸、y軸交于點(diǎn)M、N，則

，；根據(jù)平行線截線段成比