北京市順義區(qū)仁和中學2024-2025學年九年級 上學期月考數(shù)學試卷（10月份）+答案解析

2024-2025學年北京市順義區(qū)仁和中學九年級（上）月考數(shù)學試卷（10月份）一、選擇題：本題共8小題，每小題2分，共16分。在每小題給出的選項中，只有一項是符合題目要求的。1.下列形狀分別為兩個正方形、矩形、正三角形、圓的邊框，其中不一定是相似圖形的是(

)A. B.

C. D.2.下列長度的各組線段中，是成比例線段的是(

)A.1cm，2cm，3cm，4cm B.1cm，2cm，3cm，6cm

C.2cm，4cm，8cm，8cm D.3cm，4cm，5cm，10cm3.如圖，直線，直線，被直線，，所截，截得的線段分別為AB，BC，DE，EF，若，，，則EF的長是(

)A.

B.3

C.

D.44.如圖，在中，點D，E，F(xiàn)分別在邊AB，AC，BC上，且，若，則的值為(

)

A. B. C. D.5.如圖，點D是的邊AB上的一點，連接DC，則下列條件中不能判定∽的是(

)A.

B.

C.

D.6.如圖，在平行四邊形ABCD中，E是DC上的點，DE：：2，連接AE交BD于點F，則與的面積之比為(

)

A.2：5 B.3：5 C.9：25 D.4：257.下列四個三角形，與如圖中的三角形相似的是(

)

A. B. C. D.8.大約在兩千四五百年前，墨子和他的學生做了世界上第1個小孔成倒像的實驗.并在《墨經》中有這樣的精彩記錄：“景到，在午有端，與景長，說在端”.如圖所示的小孔成像實驗中，若物距為10cm，像距為15cm，蠟燭火焰倒立的像的高度是8cm，則蠟燭火焰的高度是A. B.6 C. D.8二、填空題：本題共8小題，每小題2分，共16分。9.已知，那么______.10.已知a，b，c，d是成比例線段，其中，，，求線段d的長為______.11.已知點C是線段AB的黃金分割點，若線段AB的長10cm，則線段AC的長為______.12.如圖，小明同學用自制的直角三角形紙板DEF測量樹的高度AB，他調整自己的位置，設法使斜邊DF保持水平，并且邊DE與點B在同一直線上.已知紙板的兩條邊，，測得邊DF離地面的高度，，則樹高AB為______.13.如圖，在中，，，點D為AC中點，點E在AB上，當AE為______時，與以點A、D、E為頂點的三角形相似.

14.圖1是伸縮折疊不銹鋼晾衣架的實物圖，圖2是它的側面示意圖，AD與CB相交于點O，，根據(jù)圖2中的數(shù)據(jù)可得x的值為______.15.如圖，小明借助太陽光線測量樹高.在早上8時小明測得樹的影長為2m，下午3時又測得該樹的影長為8m，且這兩次太陽光線剛好互相垂直，則樹高為______16.如圖，AD是的中線，E是AD上一點，且，CE的延長線交AB于點F，若，則______.

三、解答題：本題共12小題，共68分。解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟。17.本小題5分

如圖，AC，BD相交于的點O，且

求證：∽18.本小題5分

線段a、b、c，且

求的值；

如果線段a、b、c滿足，求的值．19.本小題5分

如圖，在由邊長均為1的小正方形組成的網格中有和，求證：∽20.本小題5分

如圖，在中，D為AB上一點，，，求AB的長.21.本小題5分

如圖，在中，，CD是斜邊AB上的高．

求證：∽；

若，，求CD的長．22.本小題5分

為了測量水平地面上一棟建筑物AB的高度，學校數(shù)學興趣小組做了如下的探索：根據(jù)光的反射定律，利用一面鏡子和一根皮尺，設計如圖所示的測量方案：先在水平地面上放置一面平面鏡，并在鏡面上做標記點C，后退至點D處恰好看到建筑物AB的頂端A在鏡子中的像與鏡面上的標記點C重合，法線是FC，小軍的眼睛與地面距離DE是，BC、CD的長分別為60m、3m，求建筑物AB的高度．

23.本小題6分

如圖，正方形ABCD中，M為BC上一點，F(xiàn)是AM的中點，，垂足為F，交AD的延長線于點E，交DC于點

求證：∽；

若，，求AE的長.24.本小題6分

如圖，在平行四邊形ABCD中，在BC的延長線上取一點B，使，連接AE，AE與CD交于點

求證：∽；

求DF的長.25.本小題6分

如圖，在中，，點D在AB上，，過點B作，交CD的延長線于點

求證：∽；

如果，，求AC的長．26.本小題6分

如圖，在平行四邊形ABCD中，連接DB，F(xiàn)是邊BC上一點，連接DF并延長，交AB的延長線于E，且

求證：∽；

如果，，求BF的值.27.本小題7分

如圖，在平面直角坐標系中，已知，點P從點B開始沿BA邊向終點A以的速度移動；點Q從點A開始沿AO邊向終點O以的速度移動.有一點到達終點，另一點也停止運動.若P，Q同時出發(fā)，運動時間為

用含t的代數(shù)式分別表示線段AQ和AP的長；

當t為何值時，與相似？28.本小題7分

如圖，在等邊中，作，邊CD、BD交于點D，連接

請直接寫出的度數(shù)；

求的度數(shù)；

用等式表示線段AD、BD、CD三者之間的數(shù)量關系，并證明.

答案和解析1.【答案】B

【解析】解：A、兩圖形形狀相同，是相似圖形，不符合題意；

B、兩圖形形狀不同，不是相似圖形，符合題意；

C、兩圖形形狀相同，是相似圖形，不符合題意；

D、兩圖形形狀相同，是相似圖形，不符合題意；

故選：

根據(jù)相似圖形的定義，形狀相同，可得出答案．

本題主要考查相似圖形的定義，掌握相似圖形形狀相同是解題的關鍵．2.【答案】B

【解析】解：A、，四條線段不成比例；

B、，四條線段成比例；

C、，四條線段不成比例；

D、，四條線段不成比例；

故選：

根據(jù)比例線段的性質，讓最小的數(shù)和最大的數(shù)相乘，另外兩個數(shù)相乘，看它們的積是否相等即得答案．

本題考查了比例線段，熟練掌握比例線段的性質是關鍵．3.【答案】B

【解析】解：直線，

，

，，，

，

故選：

根據(jù)平行線分線段成比例定理解答即可．

本題主要考查了平行線分線段成比例的性質，能夠熟練運用其性質是解題的關鍵．4.【答案】A

【解析】解：，，，

，，

，

故選：

根據(jù)平行線分線段成比例定理得出，即可得出答案．

本題考查了平行線分線段成比例定理的應用，注意：一組平行線截兩條直線，所截得的對應線段成比例．5.【答案】C

【解析】解：，

當或，可根據(jù)有兩組角對應相等的兩個三角形相似可判斷∽；

當時，可根據(jù)兩組對應邊的比相等且夾角對應相等的兩個三角形相似可判斷∽

故選：

和有公共角，然后根據(jù)相似三角形的判定方法對各選項進行判斷．

本題考查了相似三角形的判定：兩邊及其夾角法：兩組對應邊的比相等且夾角對應相等的兩個三角形相似；有兩組角對應相等的兩個三角形相似．6.【答案】C

【解析】解：四邊形ABCD為平行四邊形，

，

∽

：：2，

，

故選：

根據(jù)平行四邊形的性質可得出，進而可得出∽，根據(jù)相似三角形的性質結合DE：：2，即可得出與的面積之比，此題得解．

本題考查了相似三角形的判定與性質以及平行四邊形的性質，牢記相似三角形的面積比等于相似比的平方是解題的關鍵．7.【答案】D

【解析】【分析】

本題考查兩三角形相似的判定定理，相似三角形的判定方法有：兩角對應相等的兩個三角形相似，兩邊對應成比例，且夾角相等的兩個三角形相似，三邊對應成比例的兩個三角形相似，解答此題先根據(jù)勾股定理求出三角形的邊長，然后看三邊是否成比例即可.

【解答】

解：設單位正方形的邊長為1，則給出的三角形三邊長分別為，，

A.三角形三邊分別是2，，，與給出的三角形的各邊不成比例，故A選項錯誤；

B.三角形三邊，，4，與給出的三角形的各邊不成比例，故B選項錯誤；

C.三角形三邊2，3，，與給出的三角形的各邊不成比例，故C選項錯誤；

D.三角形三邊2，4，，與給出的三角形的各邊成比例，故D選項正確．8.【答案】C

【解析】解：如圖：過點O作，垂足為E，延長EO交AB于點F，

由題意得：

，，，

，

，

，

，，

∽，

，

，

解得：，

蠟燭火焰的高度是，

故選：

過點O作，垂足為E，延長EO交AB于點F，根據(jù)題意可得：，，，，然后利用平行線的性質可得：，從而可得∽，然后利用相似三角形的性質進行計算，即可解答．

本題考查了相似三角形的應用，熟練掌握相似三角形的判定與性質是解題的關鍵．9.【答案】

【解析】解：，

，

故答案為：

根據(jù)比例的性質進行計算，即可解答．

本題考查了比例的性質，熟練掌握比例的性質是解題的關鍵．10.【答案】4cm

【解析】解：已知a，b，c，d是成比例線段，

根據(jù)比例線段的定義得：，

代入，，，

解得：，

則

故答案為：

如果其中兩條線段的乘積等于另外兩條線段的乘積，則四條線段叫成比例線段．根據(jù)定義，將a，b及c的值代入即可求得

本題考查了比例線段的定義：若四條線段a，b，c，d有a：：d，那么就說這四條線段成比例．11.【答案】

【解析】解：點C是線段AB的黃金分割點，，

，

故答案為：

根據(jù)黃金分割的定義得，代入AB的長計算即可．

本題主要考查了黃金分割的定義，熟記黃金分割的比值是解題的關鍵．12.【答案】

【解析】解：，，

∽，

，

，，，，

，

，

故答案為：

利用直角三角形DEF和直角三角形BCD相似求得BC的長后加上小明同學的身高即可求得樹高

本題考查了相似三角形的應用，解題的關鍵是從實際問題中整理出相似三角形的模型．13.【答案】3或

【解析】解：當時，

，

∽，

，

當時，

，

∽，

，

綜上，或，

故答案為：3或

先得到，再分與兩種情況討論即可解答．

本題考查了相似三角形的判定，解題的關鍵是分類討論思想的運用及熟練掌握相似三角形的判定定理．14.【答案】

【解析】解：在圖2中，過點O作于點M，MN交CD于點N，則，，

，

∽，

，

即，

故答案為：

在圖2中，過點O作于點M，MN交CD于點N，則，，由，可得出∽，再利用相似三角形的性質，即可求出x的值．

本題考查了相似三角形的判定與性質，牢記“相似三角形的一切對應線段的比等于相似比”是解題的關鍵．15.【答案】4

【解析】解：根據(jù)題意作圖，，，，，

，，

，

，

，

，

，

故答案為：

先根據(jù)題意作出相應的圖，然后可根據(jù)條件得到，最后利用相似比即可得解．

本題考查了相似三角形的應用，掌握相似三角形的性質與判定是解題關鍵．16.【答案】6

【解析】解：

過D作交AB于M，

是的中線，

，

，

∽，

，

，

，

，

，

，

，

故答案為：

過D作交AB于M，求出，根據(jù)平行線分線段成比例定理求出，即可得出，代入求出即可．

本題考查了平行線分線段成比例定理和相似三角形的性質和判定的應用，關鍵是求出17.【答案】證明：，BD相交于的點O，

，

又，

∽

【解析】根據(jù)相似三角形的判定解答即可．

此題考查相似三角形的判定，關鍵是根據(jù)有兩組角對應相等的兩個三角形相似解答．18.【答案】解：設

，，

設，

，，

，

，解得，

【解析】本題考查了比例性質，熟練掌握比例的性質是解題的關鍵．

設，則，，然后把它們代入中進行分式的運算即可；

設，則，，，則利用可求出t，然后利用求解．19.【答案】解：根據(jù)網格可知：

三邊的長分別為：，，，

三邊的長分別為：，，，

，

∽

【解析】分別計算兩個三角形三條邊的長，再根據(jù)三邊成比例的兩三角形相似可得結論．

此題考查的是相似三角形的判定，掌握其判定方法是解決此題的關鍵．20.【答案】解：，，

∽，

，

，，

，

【解析】根據(jù)，為公共角，可證∽，根據(jù)相似三角形的性質可得，，，代入即可求解．

本題主要考查相似三角形的判定與性質，熟練掌握證明三角形的方法和相似三角形的性質是解題關鍵．21.【答案】證明：，

，

，

，，

，

∽

解：∽，

，

，

，，

，

，

【解析】根據(jù)兩角對應相等的兩個三角形相似證明即可．

利用相似三角形的性質證明，可得結論．

本題考查相似三角形的判定和性質等知識，解題的關鍵是掌握相似三角形的判定方法，屬于中考?？碱}型．22.【答案】解：根據(jù)題意，易得，，

則∽，

所以，即，

解得：，

答：建筑物AB的高度為

【解析】此題考查相似三角形的應用，應用反射的基本性質，得出三角形相似，運用相似比即可解答．根據(jù)鏡面反射的性質求出∽，再根據(jù)對應邊的比相等求得答案．23.【答案】證明：四邊形ABCD是正方形，

，，，

，

又，

，

，

∽；

解：四邊形ABCD是正方形，，，

，，

，

是AM的中點，

，

∽，

，

即，

【解析】由正方形的性質得出，，，得出，再由，即可得出結論；

由勾股定理求出AM，可求出AF，由∽得出比例式，即可求出AE的長．

本題考查正方形的性質、相似三角形的判定與性質、勾股定理，熟練掌握正方形的性質，并能進行推理計算是解題的關鍵．24.【答案】證明：四邊形ABCD為平行四邊形，

，即，

，，

∽；

解：四邊形ABCD為平行四邊形，

，，

，即

∽，

，即

，

【解析】由平行四邊形的性質可得出，從而得出，，即證明∽；

由平行四邊形的性質可得出，，即得出，再根據(jù)相似三角形的性質可得出，即，最后結合，即可求出DF的長．

本題考查平行四邊形的性質，三角形相似的判定和性質．熟練掌握三角形相似的判定定理及其性質是解題關鍵．25.【答案】證明：，，

，

，

，

，

，

∽

解：，，，

，

，

∽，

=，

=，

，

的長是.

【解析】由，，得，由，得，即可根據(jù)“兩角分別相等的兩個三角形相似”證明∽

先根據(jù)勾股定理求得，則，再根據(jù)相似三角形的對應邊成比例列方程得=，即可求得.

此題重點考查相似三角形的判定與性質、勾股定理的應用等知識，